Метод гауса із чотирма невідомими. Метод Гауса (послідовного виключення невідомих)

1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, яка полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

- Вектор стовпець з невідомих xj.
– вектор-стовпець із вільних членів bi.

Добуток матриць А*Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системиназивається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи перетворюється на правильну рівність.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У разі кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх окремих рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, спільна вона чи несовместна. Якщо система спільна, знайти її спільне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, еквівалентну вихідної, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівняньназивається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що вийшов після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляя цим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

У першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастому (зокрема, трикутному) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

,

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

(якщо a11=0, переставимо рядки матриці так, щоб a 11 не дорівнював 0. Це завжди можливо, тому що в іншому випадку матриця містить нульовий стовпець, її визначник дорівнює нулю і система несумісна).

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

і складемо почленно з другим рівнянням системи (або другого рівняння почленно віднімемо перше, помножене на ). Потім помножимо обидві частини першого рівняння і складемо з третім рівнянням системи (або з третього почленно віднімемо перше, помножене на ). Таким чином, послідовно множимо перший рядок на число і додаємо до i-й рядку, для i= 2, 3, …,n.

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

– нові значення коефіцієнтів при невідомих та вільні члени в останніх m-1 рівняннях системи, що визначаються формулами:

Таким чином, на першому кроці знищуються всі коефіцієнти, що лежать під провідним першим елементом a 11

0 на другому кроці знищуються елементи, що лежать під другим провідним елементом а 22 (1) (якщо a 22 (1) 0) і т.д. Продовжуючи цей процес і далі, ми нарешті на (m-1) кроці наведемо вихідну систему до трикутної системи.

Якщо процесі приведення системи до ступінчастому виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

то це свідчить про несумісність системи.

У цьому прямий хід методу Гаусса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати. фундаментальну системурішень, чи, якщо всі змінні є базисними, то висловити чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базова змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У цьому розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулили коефіцієнти при

у другому та третьому рядках. Для цього домножимо їх на 2/3 та 1 відповідно і складемо з першим рядком:

Одним із найпростіших способів розв'язання системи лінійних рівнянь є прийом, заснований на обчисленні визначників ( правило Крамера). Його перевага полягає в тому, що він дозволяє одразу провести запис рішення, особливо він зручний у тих випадках, коли коефіцієнти системи є не числами, а якимись параметрами. Його недолік - громіздкість обчислень у разі великої кількостірівнянь, до того ж правило Крамера безпосередньо не застосовується до систем, у яких кількість рівнянь не збігається з числом невідомих. У таких випадках зазвичай застосовують метод Гауса.

Системи лінійних рівнянь, що мають одну і ту ж безліч рішень, називаються еквівалентними. Очевидно, що безліч рішень лінійної системине зміниться, якщо якісь рівняння поміняти місцями, або помножити одне із рівнянь на якесь ненульове число, або якщо одне рівняння додати до іншого.

Метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система наводиться до еквівалентної системи східчастого вигляду. Спочатку за допомогою 1-го рівняння виключається x 1 з усіх наступних рівнянь системи. Потім за допомогою 2-го рівняння виключається x 2 з 3-го та всіх наступних рівнянь. Цей процес, званий прямим ходом методу Гауса, триває доти, доки в лівій частині останнього рівняння залишиться лише одне невідоме x n. Після цього проводиться зворотний хід методу Гауса– вирішуючи останнє рівняння, знаходимо x n; після цього, використовуючи це значення, з передостаннього рівняння обчислюємо x n-1 І т.д. Останнім знаходимо x 1 із першого рівняння.

Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи перетворення з самими рівняннями, і з матрицями їх коефіцієнтів. Розглянемо матрицю:

звану розширеною матрицею системи,бо до неї, крім основної матриці системи, включений стовпець вільних членів. Метод Гауса заснований на приведенні основної матриці системи до трикутного виду (або трапецієподібного виду у разі неквадратних систем) за допомогою елементарні перетвореннярядків (!) Розширеної матриці системи.

Приклад 5.1.Вирішити систему методом Гауса:

Рішення. Випишемо розширену матрицю системи і, використовуючи перший рядок, після цього обнулятимемо інші елементи:

отримаємо нулі у 2-му, 3-му та 4-му рядках першого стовпця:

Тепер потрібно щоб усі елементи в другому стовпці нижче 2-го рядка дорівнювали нулю. Для цього можна помножити другий рядок на -4/7 і додати до 3-го рядка. Однак, щоб не мати справу з дробами, створимо одиницю у 2-му рядку другого стовпця і тільки

Тепер, щоб отримати трикутну матрицю, потрібно обнулити елемент четвертого рядка 3-го стовпця, для цього можна помножити третій рядок на 8/54 і додати його до четвертого. Однак щоб не мати справу з дробами поміняємо місцями 3-й і 4-й рядки і 3-й і 4-й стовпець і тільки після цього зробимо обнулення зазначеного елемента. Зауважимо, що з перестановці стовпців змінюються місцями, відповідні змінні і це пам'ятати; інші елементарні перетворення зі стовпцями (складання та множення на число) робити не можна!

Остання спрощена матриця відповідає системі рівнянь, еквівалентної вихідної:

Звідси, використовуючи зворотний хід методу Гаусса, знайдемо з четвертого рівняння x 3 = -1; з третього x 4 = -2, з другого x 2 = 2 та з першого рівняння x 1 = 1. У матричному вигляді відповідь записується як

Ми розглянули випадок, коли система є певною, тобто. коли є лише одне рішення. Подивимося, що вийде, якщо система несумісна чи невизначена.

Приклад 5.2.Дослідити систему методом Гауса:

Рішення. Виписуємо та перетворюємо розширену матрицю системи

Записуємо спрощену систему рівнянь:

Тут, у останньому рівнянні вийшло, що 0=4, тобто. протиріччя. Отже, система немає рішення, тобто. вона несумісна. à

Приклад 5.3.Дослідити та вирішити систему методом Гауса:

Рішення. Виписуємо та перетворюємо розширену матрицю системи:

В результаті перетворень, в останньому рядку вийшли одні нулі. Це означає, що кількість рівнянь зменшилася на одиницю:

Отже, після спрощень залишилося два рівняння, а невідомих чотири, тобто. два невідомі "зайві". Нехай "зайвими", або, як то кажуть, вільними змінними, будуть x 3 та x 4 . Тоді

Вважаючи x 3 = 2aі x 4 = b, отримаємо x 2 = 1–aі x 1 = 2b–a; або в матричному вигляді

Записане подібним чином рішення називається загальним, оскільки, надаючи параметрам aі b різні значенняможна описати всі можливі рішення системи. à

Нехай задана система лінійних рівнянь алгебри, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід вилучитиз матриці всі ці рядки крім одного.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також вилучити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворюємо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімають Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не матимуть коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння та коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так доти, доки не залишиться одна остання невідома і перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідому х n . Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку у обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, отримуємо х 3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не зважаючи на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливостікоефіцієнтів за невідомих, адже на практиці (в економічних та технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходомметоду Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1із усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

У цій статті метод сприймається як спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАУ). Метод є аналітичним, тобто дозволяє написати алгоритм рішення у загальному виглядіа потім уже підставляти туди значення з конкретних прикладів. На відміну від матричного методу або формул Крамера, при вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гауса можна працювати і з тими, що мають нескінченно багато рішень. Або не мають його зовсім.

Що означає вирішити методом Гаусса?

Для початку необхідно нашу систему рівнянь записати у вигляд це наступним чином. Береться система:

Коефіцієнти записуються як таблиці, а справа окремим стовпчиком - вільні члени. Стовпець з вільними членами відокремлюється для зручності Матриця, що включає цей стовпець, називається розширеною.

Далі основну матрицю з коефіцієнтами слід призвести до верхньої трикутної форми. Це основний момент вирішення системи методом Гаусса. Простіше кажучи, після певних маніпуляцій матриця має виглядати так, щоб у її лівій нижній частині стояли одні нулі:

Тоді, якщо записати нову матрицю знову як систему рівнянь, можна помітити, що в останньому рядку вже міститься значення одного з коренів, яке потім підставляється в рівняння вище знаходиться ще один корінь, і так далі.

Це опис рішення методом Гауса в самих загальних рисах. А що вийде, якщо раптом система не має рішення? Чи їх нескінченно багато? Щоб відповісти на ці та ще безліч питань, необхідно розглянути окремо всі елементи, що використовуються під час вирішення методом Гауса.

Матриці, їх властивості

Ніякого прихованого сенсуу матриці немає. Це просто зручний спосіб запису даних для подальших операцій із ними. Боятися їх не треба навіть школярам.

Матриця завжди прямокутна, бо так зручніше. Навіть у методі Гауса, де все зводиться до побудови матриці трикутного вигляду, у записі фігурує прямокутник, тільки з нулями на тому місці, де немає чисел. Нулі можна не записувати, але вони маються на увазі.

Матриця має розмір. Її "ширина" – число рядків (m), "довжина" – число стовпців (n). Тоді розмір матриці A (для їх позначення зазвичай використовуються великі Латинські букви) позначатиметься як A m×n . Якщо m=n, то ця квадратна матриця, і m=n - її порядок. Відповідно, будь-який елемент матриці A можна позначити через номер рядка і стовпця: a xy ; x - номер рядка, змінюється, y - номер стовпця, змінюється.

В – це основний момент рішення. В принципі, всі операції можна виконувати безпосередньо з самими рівняннями, проте запис вийде набагато громіздкіший, і в ньому буде набагато легше заплутатися.

Визначник

Ще матриця має визначника. Це надзвичайно важлива характеристика. З'ясовувати його сенс зараз не варто, можна просто показати, як він обчислюється, а потім розповісти, які характеристики матриці він визначає. Найбільш простий спосіб знаходження визначника – через діагоналі. У матриці проводяться уявні діагоналі; елементи, що знаходяться на кожній з них, перемножуються, а потім отримані твори складаються: діагоналі з нахилом праворуч - зі знаком "плюс", з нахилом вліво - зі знаком "мінус".

Дуже важливо відзначити, що обчислювати визначник можна лише у квадратної матриці. Для прямокутної матриціможна зробити наступне: із кількості рядків і кількості стовпців вибрати найменше (нехай це буде k), а потім у матриці довільним чином відзначити k стовпців і k рядків. Елементи, що знаходяться на перетині вибраних стовпців і рядків, становитимуть нову квадратну матрицю. Якщо визначник такої матриці буде числом, відмінним від нуля, назветься базисним мінором початкової прямокутної матриці.

Перед тим, як приступити до вирішення системи рівнянь методом Гауса, не заважає порахувати визначник. Якщо він виявиться нульовим, то відразу можна говорити, що у матриці кількість рішень або нескінченно, або взагалі немає. У такому сумному випадку треба йти далі і дізнаватися про ранг матриці.

Класифікація систем

Існує таке поняття, як ранг матриці. Це максимальний порядок її визначника, відмінного від нуля (якщо згадати про базовий мінор, можна сказати, що ранг матриці - порядок базового мінору).

По тому, як справи з рангом, СЛАУ можна розділити на:

• Спільні. Успільних систем ранг основної матриці (що складається лише з коефіцієнтів) збігається з рангом розширеної (зі стовпцем вільних членів). Такі системи мають рішення, але необов'язково одне, тому додатково спільні системиділять на:
• - певні- мають єдине рішення. У певних системах рівні ранг матриці і кількість невідомих (або число стовпців, що є одне й те саме);
• - невизначені -з нескінченною кількістю рішень. Ранг матриць таких систем менше кількості невідомих.
• Несумісні. Утаких систем ранги основної та розширеної матриць не збігаються. Несумісні системи рішення немає.

Метод Гауса хороший тим, що дозволяє в ході рішення отримати або однозначний доказ несумісності системи (без обчислення визначників великих матриць), або рішення в загальному вигляді для системи з нескінченним числом рішень.

Елементарні перетворення

Перш ніж приступити безпосередньо до вирішення системи, можна зробити її менш громіздкою і зручнішою для обчислень. Це досягається за рахунок елементарних перетворень - таких, що їхнє виконання ніяк не змінює кінцеву відповідь. Слід зазначити, що з наведених елементарних перетворень дійсні лише матриць, вихідниками яких послужили саме СЛАУ. Ось перелік цих перетворень:

1. Перестановка рядків. Вочевидь, що у записи системи змінити порядок рівнянь, то рішення це ніяк не вплине. Отже, в матриці цієї системи також можна міняти місцями рядки, не забуваючи, звичайно, про стовпець вільних членів.
2. Збільшення всіх елементів рядка на деякий коефіцієнт. Дуже корисно! За допомогою нього можна скоротити великі числау матриці або прибрати нулі. Багато рішень, як завжди, не зміниться, а виконувати подальші операції стане зручніше. Головне, щоб коефіцієнт не дорівнював нулю.
3. Видалення рядків із пропорційними коефіцієнтами. Це частково випливає з попереднього пункту. Якщо два або більше рядки в матриці мають пропорційні коефіцієнти, то при множенні/розподілі одного з рядків на коефіцієнт пропорційності виходять два (або, знову ж таки, більше) абсолютно однакові рядки, і можна забрати зайві, залишивши тільки один.
4. Видалення нульового рядка. Якщо в ході перетворень десь вийшов рядок, в якому всі елементи, включаючи вільний член, - нуль, то такий рядок можна назвати нульовим і викинути з матриці.
5. Додаток до елементів одного рядка елементів іншого (за відповідними стовпцями), помножених на певний коефіцієнт. Найнеочевидніше і найважливіше перетворення з усіх. На ньому варто зупинитися докладніше.

Додавання рядка, помноженого на коефіцієнт

Для простоти розуміння варто розібрати цей процес кроками. Беруться два рядки з матриці:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Допустимо, необхідно до другої додати першу, помножену на коефіцієнт "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Потім у матриці другий рядок замінюється на новий, а перший залишається без змін.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Необхідно помітити, що коефіцієнт множення можна підібрати таким чином, щоб в результаті складання двох рядків один з елементів нового рядка дорівнював нулю. Отже, можна отримати рівняння у системі, де на одну невідому буде менше. А якщо отримати два такі рівняння, то операцію можна зробити ще раз і отримати рівняння, яке міститиме вже на дві невідомі менше. А якщо щоразу перетворювати на нуль один коефіцієнт у всіх рядків, що стоять нижче за вихідну, то можна, як по сходах, спуститися до самого низу матриці і отримати рівняння з однією невідомою. Це називається вирішити систему методом Гаусса.

Загалом

Нехай існує система. Вона має m рівнянь та n коренів-невідомих. Записати її можна так:

З коефіцієнтів системи складається основна матриця. До розширеної матриці додається стовпець вільних членів і для зручності відокремлюється рисою.

• перший рядок матриці множиться на коефіцієнт k = (-a 21 /a 11);
• перший змінений рядок і другий рядок матриці складаються;
• замість другого рядка в матрицю вставляється результат додавання з попереднього пункту;
• тепер перший коефіцієнт у новою другоюрядку дорівнює a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Тепер виконується та ж серія перетворень, тільки беруть участь перший і третій рядки. Відповідно, у кожному кроці алгоритму елемент a21 замінюється на a31. Потім все повторюється для a 41 ... a m1. У результаті виходить матриця, де у рядках перший елемент дорівнює нулю. Тепер потрібно забути про рядок номер один і виконати той самий алгоритм, починаючи з другого рядка:

• коефіцієнт k = (-a 32/a 22);
• з "поточним" рядком складається другий змінений рядок;
• результат додавання підставляється в третій, четвертий і так далі рядки, а перший і другий залишаються незмінними;
• у рядках матриці вже два перші елементи дорівнюють нулю.

Алгоритм треба повторювати, доки з'явиться коефіцієнт k = (-a m,m-1 /a mm). Це означає, що в останній разалгоритм виконувався лише для нижнього рівняння. Тепер матриця схожа на трикутник, або має ступінчасту форму. У нижньому рядку є рівність a mn × x n = b m. Коефіцієнт і вільний член відомі і корінь виражається через них: x n = b m /a mn . Отриманий корінь підставляється у верхній рядок, щоб знайти x n-1 = (b m-1 - m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . І так далі за аналогією: у кожному наступному рядку знаходиться новий корінь, і, діставшись "верху" системи, можна знайти безліч рішень. Воно буде єдиним.

Коли немає рішень

Якщо в одному з матричних рядків усі елементи, крім вільного члена, дорівнюють нулю, то рівняння, що відповідає цьому рядку, виглядає як 0 = b. Воно немає рішення. І оскільки таке рівняння укладено в систему, то й безліч рішень усієї системи – порожня, тобто вона є виродженою.

Коли рішень нескінченна кількість

Може вийти так, що в наведеній трикутній матриці немає рядків з одним елементом-коефіцієнтом рівняння і одним - вільним членом. Є тільки такі рядки, які під час переписування мали б вигляд рівняння з двома чи більше змінними. Отже, система має нескінченну кількість рішень. У разі відповідь можна дати як загального рішення. Як це зробити?

Всі змінні в матриці поділяються на базові та вільні. Базисні - це ті, що стоять "з краю" рядків у ступінчастій матриці. Інші – вільні. У загальному рішенні базисні змінні записуються через вільні.

Для зручності матриця спочатку переписується у систему рівнянь. Потім в останньому з них, там, де точно залишилася тільки одна базова змінна, вона залишається з одного боку, а все інше переноситься в іншу. Так робиться для кожного рівняння з однією базовою змінною. Потім до інших рівнянь, там, де це можливо, замість базисної змінної підставляється отриманий нею вираз. Якщо в результаті знову з'явився вираз, що містить тільки одну базисну змінну, вона звідти знову виражається, і так далі, поки кожна базова змінна не буде записана у вигляді виразу з вільними змінними. Це і є спільним рішенням СЛАУ.

Можна також знайти базисне рішення системи - дати вільним змінним будь-які значення, та був цього конкретного випадку порахувати значення базисних змінних. Приватних рішень можна навести дуже багато.

Рішення на конкретних прикладах

Ось система рівнянь.

Для зручності краще відразу скласти її матрицю

Відомо, що при вирішенні методом Гауса рівняння, що відповідає першому рядку, наприкінці перетворень залишиться незмінним. Тому вигідніше буде, якщо верхній лівий елемент матриці буде найменшим - тоді перші елементи інших рядків після операцій звернуться в нуль. Значить, у складеній матриці вигідно буде на місце першого рядка поставити другий.

другий рядок: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третій рядок: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Тепер, щоб не заплутатися, необхідно записати матрицю із проміжними результатами перетворень.

Очевидно, що таку матрицю можна зробити зручнішою для сприйняття за допомогою деяких операцій. Наприклад, з другого рядка можна усунути всі "мінуси", помножуючи кожен елемент на "-1".

Варто також зауважити, що у третьому рядку всі елементи кратні трьом. Тоді можна скоротити рядок на це число, помножуючи кожен елемент на "-1/3" (мінус - заразом, щоб прибрати від'ємні значення).

Виглядає набагато приємніше. Тепер треба дати спокій перший рядок і попрацювати з другого і третього. Завдання - додати до третього рядка другий, помножений на такий коефіцієнт, щоб елемент a 32 став дорівнює нулю.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (якщо в ході деяких перетворень у відповіді вийшло не ціле число, рекомендується для дотримання точності обчислень залишити його "як є", у вигляді звичайного дробу, а вже потім, коли отримані відповіді, вирішувати, чи варто округляти та переводити в іншу форму запису)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Знову записується матриця із новими значеннями.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Очевидно, отримана матриця вже має ступінчастий вигляд. Тому подальші перетворення системи методом Гаусса не потрібні. Що тут можна зробити, то це прибрати з третього рядка загальний коефіцієнт "-1/7".

Тепер все гарно. Справа за малим - записати матрицю знову у вигляді системи рівнянь та обчислити коріння

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Той алгоритм, за яким зараз будуть корені, називається зворотним ходом у методі Гауса. Рівняння (3) містить значення z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

І перше рівняння дозволяє знайти x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Таку систему ми маємо право назвати спільною, та ще й певною, тобто такою, що має єдине рішення. Відповідь записується у такій формі:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Приклад невизначеної системи

Варіант вирішення певної системи методом Гауса розібраний, тепер необхідно розглянути випадок, якщо система невизначена, тобто для неї можна знайти безліч рішень.

х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 7 (1)

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 - 3х 5 = -2 (2)

х 2 + 2х 3 + 2х 4 + 6х 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - х 5 = 12 (4)

Сам вид системи вже насторожує, тому що кількість невідомих n = 5, а ранг матриці системи вже точно менша від цього числа, тому що кількість рядків m = 4, тобто найбільший порядок визначника-квадрату - 4. Значить, рішень існує безліч, і треба шукати його загальний вигляд. Метод Гауса для лінійних рівнянь дозволяє це зробити.

Спочатку, як завжди, складається розширена матриця.

Другий рядок: коефіцієнт k = (-a 21/a 11) = -3. У третьому рядку перший елемент - ще до перетворень, тому не треба нічого чіпати, треба залишити як є. Четвертий рядок: k = (-а 4 1/а 11) = -5

Помноживши елементи першого рядка на кожен їх коефіцієнт по черзі і склавши їх з потрібними рядками, отримуємо матрицю наступного виду:

Як можна бачити, другий, третій і четвертий рядки складаються з елементів, пропорційних один одному. Друга і четверта взагалі однакові, тому одну з них можна прибрати відразу, а решту помножити на коефіцієнт "-1" і отримати рядок номер 3. І знову з двох однакових рядків залишити один.

Вийшла така матриця. Поки ще записана система, треба тут визначити базисні змінні - які стоять при коефіцієнтах a 11 = 1 і a 22 = 1, і вільні - й інші.

У другому рівнянні є лише одна базисна змінна - x2. Значить, її можна висловити звідти, записавши через змінні x 3 x 4 x 5 які є вільними.

Підставляємо отриманий вираз у перше рівняння.

Вийшло рівняння, в якому єдина базова змінна - x1. Зробимо з нею те саме, що і з x 2 .

Усі базисні змінні, яких дві, виражені через три вільні, тепер можна записувати у загальному вигляді.

Також можна вказати одне із приватних рішень системи. Для таких випадків як значення для вільних змінних вибирають, як правило, нулі. Тоді відповіддю буде:

16, 23, 0, 0, 0.

Приклад несумісної системи

Розв'язання несумісних систем рівнянь методом Гауса – найшвидше. Воно закінчується відразу, як тільки на одному з етапів виходить рівняння, яке не має рішення. Тобто етап з обчисленням коренів, досить довгий і нудний, відпадає. Розглядається така система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Як завжди, складається матриця:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

І наводиться до східчастого вигляду:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Після першого ж перетворення у третьому рядку міститься рівняння виду

не має рішення. Отже, система несумісна, і відповіддю буде безліч.

Переваги та недоліки методу

Якщо вибирати, яким методом вирішувати СЛАУ на папері ручкою, то метод, який було розглянуто у цій статті, виглядає найпривабливіше. В елементарних перетвореннях набагато важче заплутатися, ніж у тому трапляється, якщо доводиться шукати вручну визначник або якусь хитру зворотну матрицю. Однак, якщо використовувати програми для роботи з даними такого типу, наприклад, електронні таблиці, то виявляється, що в таких програмах вже закладені алгоритми обчислення основних параметрів матриць - визначник, мінори, зворотна і таке інше. А якщо бути впевненим у тому, що машина вважатиме ці значення сама і не помилиться, доцільніше використовувати вже матричний метод або формул Крамера, тому що їх застосування починається і закінчується обчисленням визначників і зворотними матрицями.

Застосування

Оскільки рішення методом Гауса представляє собою алгоритм, а матриця - це, фактично, двовимірний масив, його можна використовувати при програмуванні. Але оскільки стаття позиціонує себе як керівництво "для чайників", слід сказати, що найпростіше, куди метод можна запхати - це електронні таблиці, наприклад, Excel. Знову ж таки, всякі СЛАУ, занесені в таблицю у вигляді матриці, Excel буде розглядати як двовимірний масив. А для операцій з ними існує безліч приємних команд: додавання (складати можна тільки матриці однакових розмірів!), множення на число, перемноження матриць (також з певними обмеженнями), знаходження зворотної та транспонованої матриць і, найголовніше, обчислення визначника. Якщо це трудомістке заняття замінити однією командою, можна швидше визначати ранг матриці і, отже, встановлювати її спільність чи несовместность.