Як розв'язувати складні ірраціональні рівняння. Ірраціональне рівняння: вчимося вирішувати методом усамітнення кореня

Конспект уроку

«Методи рішення ірраціональних рівнянь»

11 клас фізико-математичного профілю.

Зеленодольського муніципального районуРТ»

Валієва С.З.

Тема уроку: Методи вирішення ірраціональних рівнянь

Мета уроку: 1. Вивчити різні способирозв'язання ірраціональних рівнянь.

1. 
   Розвивати вміння узагальнювати, правильно відбирати способи розв'язання ірраціональних рівнянь.
2. 
   Розвивати самостійність, виховувати грамотність мови

Тип уроку:семінар.
План уроку:

1. 
   Організаційний момент
2. 
   Вивчення нового матеріалу
3. 
   Закріплення
4. 
   Домашнє завдання
5. 
   Підсумок уроку

Хід уроку
I. Організаційний момент:повідомлення теми уроку, цілі уроку.

На попередньому уроці ми розглянули рішення ірраціональних рівнянь, що містять квадратне коріння, зведенням їх у квадрат. При цьому ми отримуємо рівняння-слідство, що іноді призводить до появи сторонніх коренів. І тоді обов'язковою частиною розв'язування рівняння є перевірка коренів. Також розглянули рішення рівнянь, використовуючи визначення квадратного кореня. І тут перевірку можна робити. Проте за розв'язання рівнянь який завжди слід відразу приступати до «сліпому» застосуванню алгоритмів розв'язання рівняння. У завданнях Єдиного державного іспитує досить багато рівнянь, при вирішенні яких необхідно вибрати такий спосіб розв'язання, який дозволяє вирішити рівняння простіше, швидше. Тому необхідно знати й інші методи розв'язання ірраціональних рівнянь, з якими ми сьогодні й ознайомимося. Попередньо клас був поділений на 8 творчих групі їм було дано на конкретних прикладах розкрити суть того чи іншого методу. Слово даємо їм.

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

З кожної групи 1 учень пояснює дітям спосіб розв'язання ірраціональних рівнянь. Весь клас слухають та конспектують їхню розповідь.

1 спосіб. Введення нової змінної.

Розв'язати рівняння: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 - 2х - 6 = t 2;

4t 2 - 3t - 27 = 0

х 2 - 2х - 15 = 0

х 2 - 2х - 6 = 9;

Відповідь: -3; 5.

2 спосіб. Дослідження ОДЗ.

Вирішити рівняння

ОДЗ:


х = 2. Перевіркою переконуємось, що х = 2 є коренем рівняння.

3 спосіб. Розмноження обох частин рівняння на сполучений множник.

+
(помножимо обидві частини на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)

2 = 4, звідси х = 1. Перевіркою переконуємось, що х = 1 є коренем цього рівняння.

4 спосіб. Зведення рівняння до системи за допомогою введення змінної.

Вирішити рівняння

Нехай = u,
=v.

Отримаємо систему:

Вирішимо методом підстановки. Отримаємо u = 2, v = 2. Значить,

отримаємо х = 1.

Відповідь: х = 1.

5 спосіб. Виділення повного квадрата.

Вирішити рівняння

Розкриємо модулі. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, отже, . Аналогічно,

Тоді отримаємо рівняння

x = 4πn, nZ.

Відповідь: 4πn, nZ.

6 спосіб. Метод оцінки

Вирішити рівняння

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, за визначенням права частина -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

отримаємо
тобто. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Розв'язавши рівняння розкладанням на множники, отримаємо х = 2, х = -2

7 спосіб: Використання властивостей монотонності функцій.

Вирішити рівняння . Функції строго зростають. Сума зростаючих функцій є зростаюча і це рівняння має трохи більше кореня. Підбираємо х = 1.

8 спосіб. Використання векторів.

Вирішити рівняння . ОДЗ: -1≤х≤3.

Нехай вектор
. Скалярний твірвекторів – є ліва частина. Знайдемо твір їх довжин. Це права частина. Отримали
, тобто. вектори а і в колінеарні. Звідси
. Зведемо обидві частини квадрат. Розв'язавши рівняння, отримаємо х = 1 і х =
.

1. 
   Закріплення.(кожному учневі лунають листи із завданнями)

Фронтальна усна робота

Знайти ідею розв'язання рівнянь (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(Заміна)

4. (виділення повного квадрата)

5.
(Зведення рівняння до системи за допомогою введення змінної.)

6.
(множенням на сполучене вираз)

7.
т.к.
. Те дане рівняння не має коріння.

8. Т.к. кожне доданок невід'ємний, прирівнюємо їх до нуля і вирішуємо систему.

9. 3

10. Знайдіть корінь рівняння (або добуток коренів, якщо їх кілька) рівняння.

Письмова самостійна робота з подальшою перевіркою

розв'язати рівняння під номерами 11,13,17,19

Розв'язати рівняння:

12. (х + 6) 2 -

14.

Метод оцінки

Використання властивостей монотонності функцій.

Використання векторів.

1. 
   Які з цих методів використовуються під час вирішення рівнянь інших типів?
2. 
   Який із цих методів вам сподобався найбільше і чому?

1. 
   Домашнє завдання: Вирішити рівняння, що залишилися.

Список літератури:

1. 
   Алгебра та початки математичного аналізу: навч. для 11 кл. загальноосвіт. установ / С.М.Нікольський, М.К.Потапов, Н.Н.Решетніков, А.В.Шевкін. М: Просвітництво, 2009

1. 
   Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 11 класу / Б.М. Івлєв, С.М. Саакян, С.І. Шварцбурд. - М.: Просвітництво, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра та початку аналізу. 10 - 11 кл.: Задачник для загальноосвіт. установ. - М.: Мнемозіна, 2000.
3. 
   Єршова О. П., Голобородько В. В. Самостійні та контрольні роботиз алгебри та початків аналізу для 10 – 11 класів. - М.: Ілекса, 2004
4. 
   КІМИ ЄДІ 2002 – 2010 р. р

6. Алгебраїчний тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С. Якір. Посібник для школярів та абітурієнтів. Москва.: "Ілекса" 2001р.
7. Рівняння та нерівності. Нестандартні методи розв'язання. Навчально методичний посібник. 10 - 11 класи. С.Н.Олійник, М.К. Потапов, П.І.Пасіченко. Москва. "Дрофа". 2001р.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Методичні розробки до елективного курсу

«Методи рішень ірраціональних рівнянь»

ВСТУП

Пропонований елективний курс «Методи рішень ірраціональних рівнянь» призначений для учнів 11 класу загальноосвітньої школиі є предметно-орієнтованим, спрямований на розширення теоретичних та практичних знаньучнів. Елективний курс побудований з опорою на знання та вміння, які отримують учні щодо математики в середній школі.

Специфіка даного курсу у тому, що він призначений насамперед учнів, бажаючих розширити, поглибити, систематизувати, узагальнити свої математичні знання, вивчити єдині методи та прийоми розв'язання ірраціональних рівнянь. У програму включені питання, що частково виходять за рамки чинних програм з математики та нестандартні методи, які дозволяють більш ефективно вирішувати різні завдання.

Більшість завдань ЄДІ вимагають від випускників володіння різними методамирозв'язання різного роду рівнянь та їх систем.Матеріал, пов'язаний із рівняннями та системами рівнянь, становить значну частину шкільного курсу математики. Актуальність вибору теми елективного курсувизначається значимістю теми «Ірраціональні рівняння» у шкільному курсі математики та, водночас, браком часу на розгляд нестандартних методів та підходів до вирішення ірраціональних рівнянь, що зустрічаються у завданнях групи «С» ЄДІ.

Поряд з основою завданням навчання математики -забезпечення міцного та свідомого оволодіння учнями системою математичних знань та умінь – даний елективний курс передбачає формування сталого інтересу до предмета, розвиток математичних здібностей, підвищення рівня математичної культури учнів, створює базу для успішної здачіЄДІ та продовження навчання у ВНЗ.

Ціль курсу:

Підвищити рівень розуміння та практичної підготовки при вирішенні ірраціональних рівнянь;

Вивчити прийоми та методи розв'язання ірраціональних рівнянь;

Формувати вміння аналізувати, виділяти головне, формувати елементи творчого пошуку з урахуванням прийомів узагальнення;

Розширити знання учнів на цю тему, удосконалювати вміння та навички вирішення різних завдань для успішної здачі ЄДІ.

Завдання курсу:

Розширення знань про методи та способи розв'язання рівнянь алгебри;

Узагальнення та систематизація знань під час навчання у 10-11 класах та підготовці до ЄДІ;

Розвиток уміння самостійно набувати та застосовувати знання;

Залучення учнів до роботи з математичною літературою;

Розвиток логічного мислення учнів, їхньої алгоритмічної культури та математичної інтуїції;

Підвищення математичної культури учня.

Програма елективного курсу передбачає вивчення різних методів і підходів при вирішенні ірраціональних рівнянь, відпрацювання практичних навичок з питань, що розглядаються. Курс розрахований на 17 годину.

Програма ускладнена, перевищує нормальний курс навчання, сприяє розвитку абстрактного мислення, розширює область пізнання учня. Водночас вона зберігає наступність з діючими програмами, будучи їх логічним продовженням.

Навчально-тематичний план

№п/п

Тема занять

Кількість годин

Розв'язання рівнянь з урахуванням області допустимих значень

Вирішення ірраціональних рівнянь шляхом зведення в натуральний ступінь

Розв'язання рівнянь методом запровадження допоміжних змінних (метод заміни)

Розв'язання рівняння з радикалом третього ступеня.

Тотожні перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь

Нетрадиційні завдання. Завдання групи «С» ЄДІ

Форми контролю:домашні контрольні, самостійні роботи, реферати та дослідницькі роботи.

У результаті навчання даного елективного курсу учні повинні вміти вирішувати різні ірраціональні рівняння, використовуючи стандартні та нестандартні методи та прийоми;

засвоїти алгоритм розв'язання стандартних ірраціональних рівнянь;

вміти використовувати властивості рівнянь на вирішення нестандартних завдань;

вміти виконувати тотожні перетворення під час вирішення рівнянь;

мати чітке уявлення про теми єдиного державного іспиту, основні методи їх рішень;

набути досвіду у виборі методів для вирішення нестандартних завдань.

ОСНОВНА ЧАСТИНА.

Рівняння, у яких невідома величина перебуває під знаком радикала, називаються ірраціональними.

До найпростіших ірраціональних рівнянь відносяться рівняння виду:

Основна ідея рішенняірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального алгебраїчне рівняння, Яке або рівносильне вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. При розв'язанні ірраціональних рівнянь завжди йдеться про відшукання дійсних коренів.

Розглянемо деякі способи розв'язання ірраціональних рівнянь.

1.Рішення ірраціональних рівнянь з урахуванням області допустимих значень (ОДЗ).

Область допустимих значень ірраціонального рівняння складається з тих значень невідомих, за яких невід'ємними є всі вирази, що стоять під знаком радикала парного ступеня.

Іноді знання ОДЗ дозволяє довести, що рівняння немає рішень, інколи ж дозволяє знайти рішення рівняння безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.

Приклад1 . Вирішити рівняння.

Рішення . Знайшовши ОДЗ цього рівняння, приходимо до висновку, що ОДЗ вихідного рівняння – одноелементна множина. Підставивших = 2на це рівняння, приходимо до висновку, щох = 2- Корінь вихідного рівняння.

Відповідь : 2 .

Приклад2.

Рівняння немає рішень, т.к. при кожному допустимому значенні змінної сума двох невід'ємних чисел може бути негативна.

приклад 3.
+ 3 =
.

ОДЗ:

ОДЗ рівняння порожня множина.

Відповідь: рівняння коренів немає.

Приклад4. 3
−4
−
=−(2+
).

ОДЗ:

ОДЗ:
. Перевіркою переконуємося, що х=1 – корінь рівняння.

Відповідь: 1.

Доведіть, що рівняння не має

коріння.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Розв'яжіть рівняння.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(х+3)(2005-х)=0.

2. У озведення обох частин рівняння до натурального ступеня тобто перехід від рівняння

(1)

до рівняння

. (2)

Справедливі такі твердження:

1) за будь-якого рівняння (2) є наслідком рівняння (1);

2) якщо ( n– непарне число), то рівняння (1) та (2 ) рівносильні;

3) якщо ( n– парне число), то рівняння (2) рівносильне рівнянню

, (3)

а рівняння (3) рівносильне сукупності рівнянь

. (4)

Зокрема, рівняння

(5)

рівносильно сукупності рівнянь (4).

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рівняння рівносильне системі

звідки випливає, що х=1 , а корінь не задовольняє другу нерівність. При цьому грамотне рішення не потребує перевірки.

Відповідь:х=1.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильне рівнянню , отримаємо коріння та . Однак за цих значень xне виконується нерівність, і тому дане рівняння не має коріння.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння

рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, оскільки вони обидві позитивні, отримуємо рівняння

,

яке є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат за умови, що приходимо до рівняння

.

Це рівняння має коріння. Перший корінь задовольняє вихідну умову, а другий – не задовольняє.

Відповідь: х = 2.

Якщо рівняння містить два і більше радикалів, їх спочатку усамітнюють, та був зводять у квадрат.

приклад 1.

Усамітнивши перший радикал, отримаємо рівняння, рівносильне цьому. Зведемо в квадрат обидві частини рівняння:

Виконавши необхідні перетворення, отримане рівняння зведемо у квадрат

Виконавши перевірку, зауважуємо, що

не входить у область допустимих значень.

Відповідь: 8.

Відповідь: 2

Відповідь: 3; 1,4.

3. Багато ірраціональних рівнянь вирішуються методом запровадження допоміжних змінних.

Зручним засобом вирішення ірраціональних рівнянь іноді є метод запровадження нової змінної, або "Метод заміни".Метод зазвичай застосовується у разі, якщо у рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, що залежить від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якоюсь новою літерою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомої, а потім уже знайти вихідну невідому.

Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння прозорішою. Нова змінна іноді очевидна, іноді дещо завуальована, але «відчувається», інколи ж «виявляється» лише у процесі перетворень.

приклад 1.

Нехай
t>0, тоді

t =
,

t 2 +5t-14 = 0,

t 1 = -7, t 2 = 2. t=-7 не задовольняє умову t>0 тоді

,

х 2 -2х-5 = 0,

х 1 = 1-
х 2 = 1+
.

Відповідь: 1-
; 1+
.

приклад 2.Вирішити ірраціональне рівняння

Заміна:

Зворотна заміна: /

Відповідь:

приклад 3.Розв'яжіть рівняння .

Зробимо заміни: , . Вихідне рівняння перепишеться у вигляді , звідки знаходимо, що а = 4bта . Далі, зводячи обидві частини рівняння у квадрат, отримуємо: Звідси х= 15 . Залишилось зробити перевірку:

- Правильно!

Відповідь: 15.

Приклад 4. Вирішити рівняння

Поклавши, отримаємо значно простіше ірраціональне рівняння. Зведемо обидві частини рівняння квадрат: .

; ;

; ; , .

Перевірка знайдених значень, їх підстановка рівняння показує, що – корінь рівняння, а – сторонній корінь.

Повертаючись до вихідної змінної x, отримуємо рівняння, тобто квадратне рівняння, Вирішивши яке знаходимо два корені: ,. Обидва корені задовольняють вихідного рівняння.

Відповідь: , .

Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на раціональне.

Приклад 6. Вирішити рівняння .

Перепишемо рівняння так: .

Видно, що якщо ввести нову змінну , то рівняння набуде вигляду , звідки - сторонній корінь та .

З рівняння отримуємо , .

Відповідь: , .

Приклад 7. Вирішити рівняння .

Введемо нову змінну , .

В результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного.

,

звідки враховуючи обмеження, отримуємо. Вирішуючи рівняння, отримуємо корінь. Відповідь: 2,5.

Завдання для самостійного вирішення.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Метод запровадження двох допоміжних змінних.

Рівняння виду (тут a , b , c , d – деякі числа, m , n – натуральні числа) та ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих:і , де і наступного переходу до еквівалентної системи раціональних рівнянь.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Зведення обох частин цього рівняння четвертий ступінь не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти , то вихідне рівняння переписується так: . Оскільки ми запровадили дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, яке зв'язує yі z. Для цього зведемо рівності в четвертий ступінь і зауважимо, що . Отже, треба розв'язати систему рівнянь

Зведенням у квадрат отримуємо:

Після підстановки маємо: або . Тоді система має два рішення: , ; , , А система не має рішень.

Залишається вирішити систему двох рівнянь із одним невідомим

і систему Перша їх дає , друга дає .

Відповідь: , .

приклад 2.

Нехай

Відповідь:

5. Рівняння з радикалом третього ступеня.
При вирішенні рівнянь, що містять радикали 3-го ступеня, корисно користуватися додаванням тотожності:

приклад 1. .
Зведемо обидві частини цього рівняння в 3-й ступінь і скористаємося вище наведеною тотожністю:

Зауважимо, що вираз, що стоїть у дужках, дорівнює 1, що випливає з початкового рівняння. Враховуючи це та наводячи подібні члени, отримаємо:
Розкриємо дужки, наведемо такі члени і вирішимо квадратне рівняння. Його корінняі. Якщо вважати (за визначенням), що корінь непарного ступеня можна витягувати і з негативних чисел, обидва отримані числа є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь:.

6.Умножение обох частин рівняння на сполучене однієї з них вираз.

Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження значень, що виходять.

приклад 1.Розв'яжіть рівняння

Рішення:Виберемо функцію

Помножимо обидві частини рівняння на обрану функцію:

Наведемо подібні доданки та отримаємо рівносильне рівняння

Складемо вихідне рівняння та останнє, отримаємо

Відповідь: .

7.Тотожні перетворення при розв'язанні ірраціональних рівнянь

При вирішенні ірраціональних рівнянь часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, так само як зведення у парний ступінь, можуть купуватися або втрачатися рішення.

Розглянемо кілька ситуацій, у яких ці проблеми настають, і навчимося їх розпізнати та запобігати.

I. Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення.Тут застосовна формула .

Тільки необхідно замислитись про безпеку її застосування. Неважко бачити, що її ліва та права частини мають різні областівизначення і що ця рівність вірна лише за умови. Тому вихідне рівняння рівносильне системі

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Другий корінь не задовольняє сукупності нерівностей системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.

Відповідь: -1 .

II.Наступне небезпечне перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь, визначається формулою .

Якщо користуватися цією формулою ліворуч, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, у лівій частині обидві функції і мають бути невід'ємними; а правої неотрицательным має бути їх твір.

Розглянемо приклад, де реалізується проблема з використанням формули.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення.Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники

Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення, тому що воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого: немає сенсу при . Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням у квадрат.

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Обидва корені задовольняють нерівності системи.

Відповідь: , .

III.Існує ще більше небезпечна дія- Скорочення на загальний множник.

Приклад 3. Вирішити рівняння .

Неправильна міркування: Скоротимо обидві частини рівняння на , отримаємо .

Немає нічого більш небезпечного та неправильного, ніж ця дія. По-перше, відповідне рішення вихідного рівняння було втрачено; по-друге, було придбано два сторонні рішення. Виходить, що нове рівняння немає нічого спільного з вихідним! Наведемо правильне рішення.

Рішення. Перенесемо всі члени до лівої частини рівняння і розкладемо її на множники

.

Це рівняння рівносильне системі

яка має єдине рішення.

Відповідь: 3 .

ВИСНОВОК.

В рамках вивчення елективного курсу показано нестандартні прийоми вирішення складних завдань, які успішно розвиваються логічне мислення, Вміння знайти серед безлічі способів вирішення той, який комфортний для учня та раціональний. Цей курс вимагає від учнів великої самостійної роботи, сприяє підготовці учнів до продовження освіти, підвищення рівня математичної культури

В роботі були розглянуті основні методи вирішення ірраціональних рівнянь, деякі підходи до вирішення рівнянь вищих ступенів, використання яких передбачається при вирішенні завдань ЄДІ, а також при вступі до ВНЗ та продовження математичної освіти. Також було розкрито зміст основних понять та тверджень, які стосуються теорії вирішення ірраціональних рівнянь. Визначивши найпоширеніший метод розв'язання рівнянь, виявили його застосування у стандартних та не стандартних ситуаціях. Крім того, були розглянуті типові помилкипри виконанні тотожних перетворень та способи їх подолання.

При проходженні курсу учні отримають можливість оволодіти різними методами та прийомами розв'язання рівнянь, при цьому навчаться систематизувати та узагальнювати теоретичні відомості, самостійно займатися пошуком вирішення деяких проблем та у зв'язку з цим складати низку завдань та вправ з цих тем. Вибір складного матеріалу допоможе школярам проявити себе у дослідницькій діяльності.

Позитивною стороноюкурсу є можливість подальшого застосування учнями вивченого матеріалу при здачі ЄДІ, вступ до ВНЗ.

Негативною стороною є те, що не кожен учень може опанувати всі прийоми даного курсу, навіть маючи на те бажання, зважаючи на труднощі більшості розв'язуваних завдань.

ЛІТЕРАТУРА:

Шаригін І.Ф. «Математика для вступників до вузів».-3-тє вид.,-М.:Дрофа, 2000.

Рівняння та нерівності. Довідковий посібник. / Вавілов В.В., Мельников І.І., Олехник С.М., Пасіченко П.І. -М.: Іспит,1998.

Черкас О.Ю., Якушев А.Г. "Математика: інтенсивний курс підготовки до іспиту". - 8-е вид., Випр. та дод. - М.: Айріс, 2003. - (Домашній репетитор)

Балаян Е.М. Комплексні вправи та варіанти тренувальних завдань до ЄДІ з математики. Ростов на - Дону: Вид-во "Фенікс", 2004.

Сканаві М.І. «Збірник завдань з математики для вступників до вузів». - М., «Вища школа»,1998.

Ігусман О.С. "Математика на усному іспиті". - М., Айріс,1999.

Екзаменаційні матеріали для підготовки до ЄДІ – 2008 – 2012.

В.В.Кочагін, М.Н.Кочагіна «ЄДІ - 2010. Математика. Репетитор» Москва «Освіта» 2010р.

В.А.Гусєв, А.Г.Мордкович «Математика. Довідкові матеріали» Москва «Освіта» 1988р.

Рівняння, у яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними.

Методи вирішення ірраціональних рівнянь, як правило, ґрунтуються на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним рівнянням, Яке або еквівалентно вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. Найчастіше обидві частини рівняння зводять в один і той самий ступінь. У цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

При вирішенні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати таке:

1) якщо показник кореня - парне число, то підкорене вираз має бути негативним; при цьому значення кореня також є невід'ємним (визначення кореня з парним показником ступеня);

2) якщо показник кореня - непарне число, то підкорене вираз може бути будь-яким дійсним числом; у разі знак кореня збігається зі знаком підкореного висловлювання.

приклад 1.Вирішити рівняння

Зведемо обидві частини рівняння квадрат.
x 2 – 3 = 1;
Перенесемо -3 з лівої частини рівняння в праву і виконаємо приведення подібних доданків.
x 2 = 4;
Отримане неповне квадратне рівняння має два корені -2 та 2.

Зробимо перевірку отриманого коріння, для цього зробимо підстановку значень змінної x у вихідне рівняння.
Перевірка.
При x 1 = -2 - Істинно:
При x 2 = -2 істинно.
Звідси випливає, що вихідне ірраціональне рівняння має два корені -2 та 2.

приклад 2.Вирішити рівняння .

Це рівняння можна вирішити за такою ж методикою, як і в першому прикладі, але ми зробимо інакше.

Знайдемо ОДЗ цього рівняння. З визначення квадратного кореня слід, що у даному рівнянні одночасно мають виконуватися дві умови:

ОДЗ цього поранення: x.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння =+ 2.

Знаходження ОДЗ у цьому рівнянні є досить важким завданням. Зведемо обидві частини рівняння квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4 + 4x;
=0;
x 1 = 1; х 2 =0.
Провівши перевірку встановлюємо, що x 2 = 0 зайвий корінь.
Відповідь: х 1 =1.

приклад 4.Розв'язати рівняння x =.

У цьому прикладі ОДЗ легко знайти. ОДЗ цього рівняння: x[-1;).

Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат, в результаті отримаємо рівняння x 2 = x + 1. Коріння цього рівняння:

Здійснити перевірку знайденого коріння важко. Але, незважаючи на те, що обидва корені належать ОДЗ стверджувати, що обидва корені є корінням вихідного рівняння не можна. Це спричинить помилку. В даному випадку ірраціональне рівняння рівносильне сукупності двох нерівностей та одного рівняння:

x + 10 і x0 і x 2 = x + 1, з якої випливає, що негативний корінь для ірраціонального рівняння є стороннім і його слід відкинути.

Приклад 5 .Розв'язати рівняння+= 7.

Зведемо обидві частини рівняння квадрат і виконаємо приведення подібних членів, переніс доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на 0,5. В результаті ми отримаємо рівняння
= 12, (*) є наслідком вихідного. Знову зведемо обидві частини рівняння квадрат. Отримаємо рівняння (х + 5) (20 - х) = 144, що є наслідком вихідного. Отримане рівняння наводиться до виду x 2 – 15x + 44 =0.

Це рівняння (що є наслідком вихідного) має коріння x 1 = 4, х 2 = 11. Обидва корені, як показує перевірка, задовольняють вихідного рівняння.

Відп. х 1 = 4, х 2 = 11.

Зауваження. При зведенні рівнянь у квадрат учні нерідко в рівняннях типу (*) виробляють перемноження підкорених виразів, тобто замість рівняння = 12, пишуть рівняння = 12. Не призводить до помилок, оскільки рівняння є наслідками рівнянь. Слід, однак, мати на увазі, що в загальному випадкутаке перемноження підкорених виразів дає нерівносильні рівняння.

У розглянутих вище прикладах можна було спочатку перенести один із радикалів у праву частинурівняння. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал і після зведення обох частин рівняння квадрат в лівій частині рівняння вийде раціональна функція. Такий прийом (усамітнення радикала) досить часто застосовується під час вирішення ірраціональних рівнянь.

Приклад 6. Вирішити рівняння-=3.

Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння
=+ 3, рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, отримуємо рівняння

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, рівносильне рівнянню

4x – 5 = 3(*). Це рівняння є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини рівняння квадрат, приходимо до рівняння
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), або

7x 2 – 13x – 2 = 0.

Це рівняння є наслідком рівняння (*) (отже, і вихідного рівняння) і має коріння. Перший корінь x 1 = 2 задовольняє вихідного рівняння, а другий x 2 = - не задовольняє.

Відповідь: x = 2.

Зауважимо, що якби ми одразу, не усамітнивши один із радикалів, зводили обидві частини вихідного рівняння у квадрат нам довелося б виконати досить громіздкі перетворення.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь, крім усамітнення радикалів, використовують і інші методи. Розглянемо приклад використання методу заміни невідомого (метод запровадження допоміжної змінної).