Ірраціональні рівняння складні приклади. Способи розв'язання ірраціональних рівнянь

Відповідь: х = 3.

8 метод. Застосування похідної під час вирішення ірраціональних рівнянь

Найчастіше під час вирішення рівнянь з допомогою методу застосування похідної використовується метод оцінки.

ПРИКЛАД 15:

Розв'яжіть рівняння: (1)

Рішення: Так як https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371", або (2). ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всіх і, отже, зростає. Тому рівняння рівносильно рівнянню, що має корінь, що є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

ПРИКЛАД 16:

Вирішити ірраціональне рівняння:

Область визначення функції є відрізок. Знайдемо найбільше та найменше значеннязначення цієї функції на відрізку. Для цього знайдемо похідну функцію f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Знайдемо значення функції f(x)на кінцях відрізка і в точці : Значить, Але, отже, рівність можлива лише за умови https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Перевірка показує, що число 3 – корінь цього рівняння.

Відповідь:х = 3.

9 метод. Функціональний

На іспитах іноді пропонують вирішити рівняння, які можна записати у вигляді де - це деяка функція.

Наприклад, деякі рівняння: 1) 2) . Справді, у першому випадку , у другому випадку . Тому вирішувати ірраціональні рівняння за допомогою наступного твердження: якщо функція строго зростає на множині Хі для будь - якого , то рівняння і т. д. рівносильні на множині Х .

Вирішити ірраціональне рівняння: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго зростає на безлічі R,і https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому рівняння (1) також має єдиний корінь

Відповідь:х = 3.

ПРИКЛАД 18:

Вирішити ірраціональне рівняння: (1)

В силу визначення квадратного кореняотримуємо, що якщо рівняння (1) має коріння, то вони належать безлічі. (2)

Розглянемо функцію строго зростає на цій множині для будь-якого ..gif width="100" height ="41"> яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому на множині Хрівняння (1) має єдиний корінь

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Рішення: Дане рівняння рівносильно змішаній системі

Методичні розробки до елективного курсу

«Методи рішень ірраціональних рівнянь»

ВСТУП

Пропонований елективний курс «Методи рішень ірраціональних рівнянь» призначений для учнів 11 класу загальноосвітньої школиі є предметно-орієнтованим, спрямований на розширення теоретичних та практичних знаньучнів. Елективний курс побудований з опорою на знання та вміння, які отримують учні щодо математики в середній школі.

Специфіка даного курсу у тому, що він призначений насамперед учнів, бажаючих розширити, поглибити, систематизувати, узагальнити свої математичні знання, вивчити єдині методи та прийоми розв'язання ірраціональних рівнянь. У програму включені питання, що частково виходять за рамки чинних програм з математики та нестандартні методи, які дозволяють більш ефективно вирішувати різні завдання.

Більшість завдань ЄДІ вимагають від випускників володіння різними методамирозв'язання різного роду рівнянь та їх систем.Матеріал, пов'язаний із рівняннями та системами рівнянь, становить значну частину шкільного курсу математики. Актуальність вибору теми елективного курсувизначається значимістю теми «Ірраціональні рівняння» у шкільному курсі математики та, водночас, браком часу на розгляд нестандартних методів та підходів до вирішення ірраціональних рівнянь, що зустрічаються у завданнях групи «С» ЄДІ.

Поряд з ос новому завданній навчання математики -забезпечення міцного та свідомого оволодіння учнями системою математичних знань та умінь – даний елективний курс передбачає формування сталого інтересу до предмета, розвиток математичних здібностей, підвищення рівня математичної культури учнів, створює базу для успішної здачіЄДІ та продовження навчання у ВНЗ.

Ціль курсу:

Підвищити рівень розуміння та практичної підготовки при вирішенні ірраціональних рівнянь;

Вивчити прийоми та методи розв'язання ірраціональних рівнянь;

Формувати вміння аналізувати, виділяти головне, формувати елементи творчого пошуку з урахуванням прийомів узагальнення;

Розширити знання учнів на цю тему, удосконалювати вміння та навички вирішення різних завдань для успішної здачі ЄДІ.

Завдання курсу:

Розширення знань про методи та способи розв'язання рівнянь алгебри;

Узагальнення та систематизація знань під час навчання у 10-11 класах та підготовці до ЄДІ;

Розвиток уміння самостійно набувати та застосовувати знання;

Залучення учнів до роботи з математичною літературою;

Розвиток логічного мислення учнів, їхньої алгоритмічної культури та математичної інтуїції;

Підвищення математичної культури учня.

Програма елективного курсу передбачає вивчення різних методів і підходів при вирішенні ірраціональних рівнянь, відпрацювання практичних навичок з питань, що розглядаються. Курс розрахований на 17 годину.

Програма ускладнена, перевищує нормальний курс навчання, сприяє розвитку абстрактного мислення, розширює область пізнання учня. Водночас вона зберігає наступність з діючими програмами, будучи їх логічним продовженням.

Навчально-тематичний план

№п/п

Тема занять

Кількість годин

Розв'язання рівнянь з урахуванням області допустимих значень

Вирішення ірраціональних рівнянь шляхом зведення в натуральний ступінь

Розв'язання рівнянь методом запровадження допоміжних змінних (метод заміни)

Розв'язання рівняння з радикалом третього ступеня.

Тотожні перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь

Нетрадиційні завдання. Завдання групи «С» ЄДІ

Форми контролю:домашні контрольні, самостійні роботи, реферати та дослідницькі роботи.

У результаті навчання даного елективного курсу учні повинні вміти вирішувати різні ірраціональні рівняння, використовуючи стандартні та нестандартні методи та прийоми;

засвоїти алгоритм розв'язання стандартних ірраціональних рівнянь;

вміти використовувати властивості рівнянь на вирішення нестандартних завдань;

вміти виконувати тотожні перетворення під час вирішення рівнянь;

мати чітке уявлення про теми єдиного державного іспиту, про основні методи їх вирішення;

набути досвіду у виборі методів для вирішення нестандартних завдань.

ОСНОВНА ЧАСТИНА.

Рівняння, у яких невідома величина перебуває під знаком радикала, називаються ірраціональними.

До найпростіших ірраціональних рівнянь відносяться рівняння виду:

Основна ідея рішенняірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального рівня алгебри, яке або рівносильно вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. При розв'язанні ірраціональних рівнянь завжди йдеться про відшукання дійсних коренів.

Розглянемо деякі способи розв'язання ірраціональних рівнянь.

1.Рішення ірраціональних рівнянь з урахуванням області допустимих значень (ОДЗ).

Область допустимих значень ірраціонального рівняння складається з тих значень невідомих, за яких невід'ємними є всі вирази, що стоять під знаком радикала парного ступеня.

Іноді знання ОДЗ дозволяє довести, що рівняння немає рішень, інколи ж дозволяє знайти рішення рівняння безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.

Приклад1 . Вирішити рівняння.

Рішення . Знайшовши ОДЗ цього рівняння, приходимо до висновку, що ОДЗ вихідного рівняння – одноелементна множина. Підставивших = 2на це рівняння, приходимо до висновку, щох = 2- Корінь вихідного рівняння.

Відповідь : 2 .

Приклад2.

Рівняння немає рішень, т.к. при кожному допустимому значенні змінної сума двох невід'ємних чисел може бути негативна.

приклад 3.
+ 3 =
.

ОДЗ:

ОДЗ рівняння порожня множина.

Відповідь: рівняння коренів немає.

Приклад4. 3
−4
−
=−(2+
).

ОДЗ:

ОДЗ:
. Перевіркою переконуємося, що х=1 – корінь рівняння.

Відповідь: 1.

Доведіть, що рівняння не має

коріння.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Розв'яжіть рівняння.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(х+3)(2005-х)=0.

2. У озведення обох частин рівняння до натурального ступеня тобто перехід від рівняння

(1)

до рівняння

. (2)

Справедливі такі твердження:

1) за будь-якого рівняння (2) є наслідком рівняння (1);

2) якщо ( n– не парне число), то рівняння (1) та (2 ) рівносильні;

3) якщо ( n– парне число), то рівняння (2) рівносильне рівнянню

, (3)

а рівняння (3) рівносильне сукупності рівнянь

. (4)

Зокрема, рівняння

(5)

рівносильно сукупності рівнянь (4).

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рівняння рівносильне системі

звідки випливає, що х=1 , а корінь не задовольняє другу нерівність. При цьому грамотне рішення не потребує перевірки.

Відповідь:х=1.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильне рівнянню , отримаємо коріння та . Однак за цих значень xне виконується нерівність, і тому дане рівняння не має коріння.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння

рівносильне вихідному.

Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, оскільки вони обидві позитивні, отримуємо рівняння

,

яке є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат за умови, що приходимо до рівняння

.

Це рівняння має коріння. Перший корінь задовольняє вихідну умову, а другий – не задовольняє.

Відповідь: х = 2.

Якщо рівняння містить два і більше радикалів, їх спочатку усамітнюють, та був зводять у квадрат.

приклад 1.

Усамітнивши перший радикал, отримаємо рівняння, рівносильне цьому. Зведемо в квадрат обидві частини рівняння:

Виконавши необхідні перетворення, отримане рівняння зведемо у квадрат

Виконавши перевірку, зауважуємо, що

не входить у область допустимих значень.

Відповідь: 8.

Відповідь: 2

Відповідь: 3; 1,4.

3. Багато ірраціональних рівнянь вирішуються методом запровадження допоміжних змінних.

Зручним засобом вирішення ірраціональних рівнянь іноді є метод запровадження нової змінної, або "Метод заміни".Метод зазвичай застосовується у разі, якщо у рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, що залежить від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якоюсь новою літерою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомої, а потім уже знайти вихідну невідому.

Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння прозорішою. Нова змінна іноді очевидна, іноді дещо завуальована, але відчувається, а іноді виявляється лише в процесі перетворень.

приклад 1.

Нехай
t>0, тоді

t =
,

t 2 +5t-14 = 0,

t 1 = -7, t 2 = 2. t=-7 не задовольняє умову t>0 тоді

,

х 2 -2х-5 = 0,

х 1 = 1-
х 2 = 1+
.

Відповідь: 1-
; 1+
.

приклад 2.Вирішити ірраціональне рівняння

Заміна:

Зворотна заміна: /

Відповідь:

приклад 3.Розв'яжіть рівняння .

Зробимо заміни: , . Вихідне рівняння перепишеться у вигляді , звідки знаходимо, що а = 4bта . Далі, зводячи обидві частини рівняння у квадрат, отримуємо: Звідси х= 15 . Залишилось зробити перевірку:

- Правильно!

Відповідь: 15.

Приклад 4. Вирішити рівняння

Поклавши, отримаємо значно простіше ірраціональне рівняння. Зведемо обидві частини рівняння квадрат: .

; ;

; ; , .

Перевірка знайдених значень, їх підстановка рівняння показує, що – корінь рівняння, а – сторонній корінь.

Повертаючись до вихідної змінної x, Отримуємо рівняння , тобто квадратне рівняння , Розв'язавши яке знаходимо два корені: ,. Обидва корені задовольняють вихідного рівняння.

Відповідь: , .

Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на раціональне.

Приклад 6. Вирішити рівняння .

Перепишемо рівняння так: .

Видно, що якщо ввести нову змінну , то рівняння набуде вигляду , звідки - сторонній корінь та .

З рівняння отримуємо , .

Відповідь: , .

Приклад 7. Вирішити рівняння .

Введемо нову змінну , .

В результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного.

,

звідки враховуючи обмеження, отримуємо. Вирішуючи рівняння, отримуємо корінь. Відповідь: 2,5.

Завдання для самостійного вирішення.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Метод запровадження двох допоміжних змінних.

Рівняння виду (тут a , b , c , d – деякі числа, m , n – натуральні числа) та ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих:і , де і наступного переходу до еквівалентної системи раціональних рівнянь.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Зведення обох частин цього рівняння четвертий ступінь не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти , то вихідне рівняння переписується так: . Оскільки ми запровадили дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, яке зв'язує yі z. Для цього зведемо рівності в четвертий ступінь і зауважимо, що . Отже, треба розв'язати систему рівнянь

Зведенням у квадрат отримуємо:

Після підстановки маємо: або . Тоді система має два рішення: , ; , , А система не має рішень.

Залишається вирішити систему двох рівнянь із одним невідомим

і систему Перша їх дає , друга дає .

Відповідь: , .

приклад 2.

Нехай

Відповідь:

5. Рівняння з радикалом третього ступеня.
При вирішенні рівнянь, що містять радикали 3-го ступеня, корисно користуватися додаванням тотожності:

приклад 1. .
Зведемо обидві частини цього рівняння в 3-й ступінь і скористаємося вище наведеною тотожністю:

Зауважимо, що вираз, що стоїть у дужках, дорівнює 1, що випливає з початкового рівняння. Враховуючи це та наводячи подібні члени, отримаємо:
Розкриємо дужки, наведемо такі члени і вирішимо квадратне рівняння. Його корінняі. Якщо вважати (за визначенням), що корінь непарного ступеня можна отримувати і з негативних чисел, то обидва отримані числа є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь:.

6.Умножение обох частин рівняння на сполучене однієї з них вираз.

Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження значень, що виходять.

приклад 1.Розв'яжіть рівняння

Рішення:Виберемо функцію

Помножимо обидві частини рівняння на обрану функцію:

Наведемо подібні доданки та отримаємо рівносильне рівняння

Складемо вихідне рівняння та останнє, отримаємо

Відповідь: .

7.Тотожні перетворення при розв'язанні ірраціональних рівнянь

При вирішенні ірраціональних рівнянь часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, так само як зведення у парний ступінь, можуть купуватися або втрачатися рішення.

Розглянемо кілька ситуацій, у яких ці проблеми настають, і навчимося їх розпізнати та запобігати.

I. Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення.Тут застосовна формула .

Тільки необхідно замислитись про безпеку її застосування. Неважко бачити, що її ліва та права частини мають різні областівизначення і що ця рівність вірна лише за умови. Тому вихідне рівняння рівносильне системі

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Другий корінь не задовольняє сукупності нерівностей системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.

Відповідь: -1 .

II.Наступне небезпечне перетворення під час вирішення ірраціональних рівнянь, визначається формулою .

Якщо користуватися цією формулою ліворуч, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, у лівій частині обидві функції і мають бути невід'ємними; а правої неотрицательным має бути їх твір.

Розглянемо приклад, де реалізується проблема з використанням формули.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення.Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники

Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення, тому що воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого: немає сенсу при . Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням у квадрат.

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння та . Обидва корені задовольняють нерівності системи.

Відповідь: , .

III.Існує ще більше небезпечна дія- Скорочення на загальний множник.

Приклад 3. Вирішити рівняння .

Неправильна міркування: Скоротимо обидві частини рівняння на , отримаємо .

Немає нічого більш небезпечного та неправильного, ніж ця дія. По-перше, відповідне рішення вихідного рівняння було втрачено; по-друге, було придбано два сторонні рішення. Виходить, що нове рівняння немає нічого спільного з вихідним! Наведемо правильне рішення.

Рішення. Перенесемо всі члени до лівої частини рівняння і розкладемо її на множники

.

Це рівняння рівносильне системі

яка має єдине рішення.

Відповідь: 3 .

ВИСНОВОК.

В рамках вивчення елективного курсу показано нестандартні прийоми вирішення складних завдань, які успішно розвиваються логічне мислення, Вміння знайти серед безлічі способів вирішення той, який комфортний для учня та раціональний. Цей курс вимагає від учнів великої самостійної роботи, сприяє підготовці учнів до продовження освіти, підвищення рівня математичної культури.

У роботі було розглянуто основні методи розв'язання ірраціональних рівнянь, деякі підходи до вирішення рівнянь вищих ступенів, використання яких передбачається при вирішенні завдань ЄДІ, а також при вступі до ВНЗ та продовження математичної освіти Також було розкрито зміст основних понять та тверджень, які стосуються теорії вирішення ірраціональних рівнянь. Визначивши найпоширеніший метод розв'язання рівнянь, виявили його застосування у стандартних та не стандартних ситуаціях. Крім того, були розглянуті типові помилкипри виконанні тотожних перетворень та способи їх подолання.

При проходженні курсу учні отримають можливість оволодіти різними методами та прийомами розв'язання рівнянь, при цьому навчаться систематизувати та узагальнювати теоретичні відомості, самостійно займатися пошуком вирішення деяких проблем та у зв'язку з цим складати низку завдань та вправ з цих тем. Вибір складного матеріалу допоможе школярам проявити себе у дослідницькій діяльності.

Позитивною стороноюкурсу є можливість подальшого застосування учнями вивченого матеріалу при здачі ЄДІ, вступ до ВНЗ.

Негативною стороноюІ те, що кожен учень може опанувати всіма прийомами даного курсу, навіть маючи те бажання, зважаючи на труднощі більшості розв'язуваних завдань.

ЛІТЕРАТУРА:

Шаригін І.Ф. «Математика для вступників до вузів».-3-тє вид.,-М.:Дрофа, 2000.

Рівняння та нерівності. Довідковий посібник. / Вавілов В.В., Мельников І.І., Олехник С.М., Пасіченко П.І. -М.: Іспит,1998.

Черкас О.Ю., Якушев А.Г. "Математика: інтенсивний курс підготовки до іспиту". - 8-е вид., Випр. та дод. - М.: Айріс, 2003. - (Домашній репетитор)

Балаян Е.М. Комплексні вправи та варіанти тренувальних завдань до ЄДІ з математики. Ростов на - Дону: Вид-во "Фенікс", 2004.

Сканаві М.І. «Збірник завдань з математики для вступників до вузів». - М., «Вища школа»,1998.

Ігусман О.С. "Математика на усному іспиті". - М., Айріс,1999.

Екзаменаційні матеріали для підготовки до ЄДІ – 2008 – 2012.

В.В.Кочагін, М.Н.Кочагіна «ЄДІ - 2010. Математика. Репетитор» Москва «Освіта» 2010р.

В.А.Гусєв, А.Г.Мордкович «Математика. Довідкові матеріали» Москва «Освіта» 1988р.

Розв'язання ірраціональних рівнянь.

У цій статті ми поговоримо про способи вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь.

Ірраціональним рівняннямназивається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.

Давайте розглянемо два види ірраціональних рівняньякі дуже схожі на перший погляд, але по суті сильно один від одного відрізняються.

(1)

(2)

У першому рівнянні ми бачимо, що невідоме стоїть під знаком кореня третього ступеня. Ми можемо витягувати корінь непарного ступеня з негативного числа, тому у цьому рівнянні немає жодних обмежень ні на вираз, що стоїть під знаком кореня, ні на вираз, що стоїть у правій частині рівняння. Ми можемо звести обидві частини рівняння на третій ступінь, щоб позбутися кореня. Отримаємо рівносильне рівняння:

При зведенні правої та лівої частини рівняння на непарний ступінь ми можемо не побоюватися отримати сторонні корені.

Приклад 1. Розв'яжемо рівняння

Зведемо обидві частини рівняння на третій ступінь. Отримаємо рівносильне рівняння:

Перенесемо всі доданки в один бік і винесемо за дужки х:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: (0; 1; 2)

Подивимося уважно на друге рівняння: . У лівій частині рівняння стоїть квадратний корінь, який набуває лише невід'ємних значень. Тому, щоб рівняння мало рішення, права частинатеж має бути невід'ємною. Тому на праву частину рівняння накладається умова:

Title="g(x)>=0"> - это !} умова існування коріння.

Щоб вирішити рівняння такого виду, потрібно обидві частини рівняння звести у квадрат:

(3)

Зведення в квадрат може призвести до появи сторонніх коренів, тому нам потрібно рівняння:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Однак, нерівність (4) випливає з умови (3): якщо у правій частині рівності стоїть квадрат якогось виразу, а квадрат будь-якого виразу може набувати лише невід'ємних значень, отже ліва частина теж має бути невід'ємною. Тому умова (4) автоматично випливає з умови (3) і наше рівняння рівносильно системі:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Приклад 2 .Розв'яжемо рівняння:

.

Перейдемо до рівносильної системи:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Вирішимо перше рівняння системи і перевіримо, яке коріння задовольняє нерівності.

Нерівності title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Відповідь: x=1

Увага!Якщо ми в процесі рішення зводимо обидві частини рівняння в квадрат, то слід пам'ятати, що можуть виникнути сторонні корені. Тому або потрібно переходити до рівносильної системи, або наприкінці рішення ЗРОБИТИ ПЕРЕВІРКУ: знайти коріння і підставити їх у вихідне рівняння.

Приклад 3. Розв'яжемо рівняння:

Щоб вирішити це рівняння, нам також потрібно звести обидві частини квадрата. Давайте в цьому рівнянні не морочимось з ОДЗ і умовою існування коріння, а просто наприкінці рішення зробимо перевірку.

Зробимо обидві частини рівняння в квадрат:

Перенесемо доданок, що містить корінь вліво, а всі інші доданки вправо:

Ще раз зведемо обидві частини рівняння у квадрат:

По теремі Вієта:

Зробимо перевірку. Для цього підставимо знайдене коріння у вихідне рівняння. Вочевидь, що з права частина вихідного рівняння негативна, а ліва позитивна.

При отримуємо правильну рівність.

Конспект уроку

«Методи вирішення ірраціональних рівнянь»

11 клас фізико-математичного профілю.

Зеленодольського муніципального районуРТ»

Валієва С.З.

Тема уроку: Методи вирішення ірраціональних рівнянь

Мета уроку: 1. Вивчити різні способирозв'язання ірраціональних рівнянь.

1. 
   Розвивати вміння узагальнювати, правильно відбирати способи розв'язання ірраціональних рівнянь.
2. 
   Розвивати самостійність, виховувати грамотність мови

Тип уроку:семінар.
План уроку:

1. 
   Організаційний момент
2. 
   Вивчення нового матеріалу
3. 
   Закріплення
4. 
   Домашнє завдання
5. 
   Підсумок уроку

Хід уроку
I. Організаційний момент:повідомлення теми уроку, цілі уроку.

На попередньому уроці ми розглянули рішення ірраціональних рівнянь, що містять квадратне коріння, зведенням їх у квадрат. При цьому ми отримуємо рівняння-слідство, що іноді призводить до появи сторонніх коренів. І тоді обов'язковою частиною розв'язування рівняння є перевірка коренів. Також розглянули рішення рівнянь, використовуючи визначення квадратного кореня. І тут перевірку можна робити. Проте за розв'язання рівнянь який завжди слід відразу приступати до «сліпому» застосуванню алгоритмів розв'язання рівняння. У завданнях Єдиного державного іспиту є досить багато рівнянь, при вирішенні яких необхідно вибрати такий спосіб вирішення, який дозволяє вирішити рівняння простіше, швидше. Тому необхідно знати й інші методи розв'язання ірраціональних рівнянь, з якими ми сьогодні й ознайомимося. Попередньо клас був поділений на 8 творчих групі їм було дано на конкретних прикладах розкрити суть того чи іншого методу. Слово даємо їм.

З кожної групи 1 учень пояснює дітям спосіб розв'язання ірраціональних рівнянь. Весь клас слухають та конспектують їхню розповідь.

1 спосіб. Введення нової змінної.

Розв'язати рівняння: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 - 2х - 6 = t 2;

4t 2 - 3t - 27 = 0

х 2 - 2х - 15 = 0

х 2 - 2х - 6 = 9;

Відповідь: -3; 5.

2 спосіб. Дослідження ОДЗ.

Вирішити рівняння

ОДЗ:


х = 2. Перевіркою переконуємось, що х = 2 є коренем рівняння.

3 спосіб. Розмноження обох частин рівняння на сполучений множник.

+
(помножимо обидві частини на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)

2 = 4, звідси х = 1. Перевіркою переконуємось, що х = 1 є коренем цього рівняння.

Вирішити рівняння

Нехай = u,
=v.

Отримаємо систему:

Вирішимо методом підстановки. Отримаємо u = 2, v = 2. Значить,

отримаємо х = 1.

Відповідь: х = 1.

5 спосіб. Виділення повного квадрата.

Вирішити рівняння

Розкриємо модулі. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, отже, . Аналогічно,

Тоді отримаємо рівняння

x = 4πn, nZ.

Відповідь: 4πn, nZ.

6 спосіб. Метод оцінки

Вирішити рівняння

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, за визначенням права частина -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

отримаємо
тобто. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Розв'язавши рівняння розкладанням на множники, отримаємо х = 2, х = -2

7 спосіб: Використання властивостей монотонності функцій.

Вирішити рівняння . Функції строго зростають. Сума зростаючих функцій є зростаюча і це рівняння має трохи більше кореня. Підбираємо х = 1.

8 спосіб. Використання векторів.

Вирішити рівняння . ОДЗ: -1≤х≤3.

Нехай вектор
. Скалярний добутоквекторів – є ліва частина. Знайдемо твір їх довжин. Це права частина. Отримали
, тобто. вектори а і в колінеарні. Звідси
. Зведемо обидві частини квадрат. Розв'язавши рівняння, отримаємо х = 1 і х =
.

1. 
   Закріплення.(кожному учневі лунають листи із завданнями)

Знайти ідею розв'язання рівнянь (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(Заміна)

4. (виділення повного квадрата)

5.
(Зведення рівняння до системи за допомогою введення змінної.)

6.
(множенням на сполучене вираз)

7.
т.к.
. Те дане рівняння не має коріння.

8. Т.к. кожне доданок невід'ємний, прирівнюємо їх до нуля і вирішуємо систему.

9. 3

10. Знайдіть корінь рівняння (або добуток коренів, якщо їх кілька) рівняння.

Письмова самостійна роботаз подальшою перевіркою

розв'язати рівняння під номерами 11,13,17,19

12. (х + 6) 2 -

14.

1. 
   Які з цих методів використовуються під час вирішення рівнянь інших типів?
2. 
   Який із цих методів вам сподобався найбільше і чому?

1. 
   Домашнє завдання: Вирішити рівняння, що залишилися.

1. 
   Алгебра та початки математичного аналізу: навч. для 11 кл. загальноосвіт. установ / С.М.Нікольський, М.К.Потапов, Н.Н.Решетніков, А.В.Шевкін. М: Просвітництво, 2009

1. 
   Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 11 класу / Б.М. Івлєв, С.М. Саакян, С.І. Шварцбурд. - М.: Просвітництво, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра та початку аналізу. 10 - 11 кл.: Задачник для загальноосвіт. установ. - М.: Мнемозіна, 2000.
3. 
   Єршова О. П., Голобородько В. В. Самостійні та контрольні роботиз алгебри та початків аналізу для 10 – 11 класів. - М.: Ілекса, 2004
4. 
   КІМИ ЄДІ 2002 – 2010 р. р

Вивчаючи алгебру, школярі стикаються з рівняння багатьох видів. Серед тих, які найпростіші, можна назвати лінійні, що містять одну невідому. Якщо змінна в математичному вираженні зводиться у певну міру, то рівняння називають квадратним, кубічним, біквадратним тощо. Зазначені вирази можуть містити раціональні числа. Але існують також ірраціональні рівняння. Від інших вони відрізняються наявністю функції, де невідоме під знаком радикала (тобто суто зовні змінну тут можна побачити написаної під квадратним коренем). Рішення ірраціональних рівнянь має свої характерні особливості. При обчисленні значення змінної для отримання правильної відповіді слід обов'язково враховувати.

«Невимовні словами»

Не секрет, що древні математики оперували переважно раціональними числами. До таких відносяться, як відомо, цілі, що виражаються через звичайні та десяткові періодичні дроби представники цієї спільноти. Проте вчені Середнього та Близького Сходу, а також Індії, розвиваючи тригонометрію, астрономію та алгебру, ірраціональні рівняння теж вчилися вирішувати. Наприклад, греки знали подібні величини, але, вдягаючи в словесну форму, використовували поняття «алогос», що означало «невиразні». Дещо пізніше європейці, наслідуючи їх, називали подібні числа «глухими». Від решти вони відрізняються тим, що можуть бути представлені тільки у формі нескінченного неперіодичного дробу, остаточне числове вираз якого отримати просто неможливо. Тому частіше подібні представники царства чисел записуються у вигляді цифр і знаків як деякий вираз, що знаходиться під коренем другого або більшого ступеня.

На підставі сказаного вище спробуємо дати визначення ірраціональному рівнянню. Подібні вирази містять так звані невимовні числа, записані з використанням знака квадратного кореня. Вони можуть бути всілякими досить складними варіантами, але у своїй найпростішій формі мають такий вигляд, як на фото нижче.

Порушуючи вирішення ірраціональних рівнянь, насамперед необхідно обчислити область допустимих значень змінної.

Чи має сенс вираз?

Необхідність перевірки отриманих значень випливає з властивостей Як відомо, подібний вираз є прийнятним і має якийсь сенс лише за певних умов. У випадках кореня парного ступеня всі підкорені вирази мають бути позитивними або дорівнювати нулю. Якщо ця умова не виконується, то представлений математичний запис не може вважатися осмисленим.

Наведемо конкретний приклад, як вирішувати ірраціональні рівняння (на фото нижче).

В даному випадку очевидно, що зазначені умови за жодних значень, що приймаються шуканою величиною, виконуватися не можуть, тому що виходить, що 11 ≤ x ≤ 4. А значить, рішенням може бути тільки Ø.

Метод аналізу

З вищеописаного стає зрозумілим, як вирішувати ірраціональні рівняння деяких типів. Тут дієвим способомможе виявитися простий аналіз.

Наведемо низку прикладів, які знову це продемонструють (на фото нижче).

У першому випадку при уважному розгляді виразу відразу виявляється гранично ясно, що істинним воно не може. Дійсно, адже в лівій частині рівності має виходити позитивне число, яке не може виявитися рівним -1.

У другому випадку сума двох позитивних виразів може вважатися рівною нулю, тільки коли х - 3 = 0 і х + 3 = 0 одночасно. А подібне знову неможливе. Отже, у відповіді знову слід писати Ø.

Третій приклад дуже схожий на розглянутий раніше. Справді, адже тут умови ОДЗ вимагають, щоб виконувалася наступна абсурдна нерівність: 5 ≤ х ≤ 2. А подібне рівняння аналогічним чином не може мати здорових рішень.

Необмежене наближення

Природа ірраціонального найбільш ясно і повно можна пояснити і пізнати лише через нескінченний ряд чисел десяткового дробу. А конкретним, яскравим прикладоміз членів цього сімейства є πі. Небезпідставно передбачається, що ця математична константа була відома з давніх часів, використовуючись при обчисленні довжин кола і площі кола. Але серед європейців її вперше застосували на практиці англієць Вільям Джонс та швейцарець Леонард Ейлер.

Виникає ця константа в такий спосіб. Якщо порівнювати різні за довжиною кола, то відношення їх довжин і діаметрів в обов'язковому порядку рівні одному й тому ж числу. Це і є πі. Якщо висловити його через звичайний дріб, Приблизно отримаємо 22/7. Вперше це зробив великий Архімед, портрет якого представлений малюнку вище. Саме тому подібне число отримало його ім'я. Але це не явне, а наближене значення чи не найдивовижнішого з чисел. Геніальний вчений з точністю до 0,02 знайшов шукану величину, але, по суті, дана константа не має реального значення, а виражається як 3,1415926535… Вона є нескінченним рядом цифр, необмежено наближаючись до якогось міфічного значення.

Зведення у квадрат

Але повернемося до ірраціональних рівнянь. Щоб знайти невідоме, у разі дуже часто вдаються до простому методу: зводять обидві частини наявної рівності квадрат. Подібний спосіб зазвичай дає добрі результати. Але слід враховувати підступність ірраціональних величин. Усі отримані внаслідок цього коріння необхідно перевіряти, адже вони можуть не підійти.

Але продовжимо розгляд прикладів і намагатимемося знайти змінні знову запропонованим способом.

Зовсім нескладно, застосувавши теорему Вієта, знайти потрібні значення величин після того, як в результаті певних оперцій утворилося квадратне рівняння. Тут виходить, що серед коренів будуть 2 та -19. Однак при перевірці, підставивши отримані значення в початковий вираз, можна переконатися, що жоден з цих коренів не підходить. Це часте явище в ірраціональних рівняннях. Отже, наша дилема знову не має рішень, а у відповіді слід зазначити порожню множину.

Приклади складніші

У деяких випадках потрібно зводити у квадрат обидві частини виразу не один, а кілька разів. Розглянемо приклади, де потрібне вказане. Їх можна побачити нижче.

Отримавши коріння, не забуваємо їх перевіряти, адже можуть виникнути зайві. Слід пояснити, чому таке можливе. При застосуванні такого методу відбувається певною мірою раціоналізація рівняння. Але позбавляючись від неугодних нам коренів, які заважають виробляти арифметичні дії, ми ніби розширюємо існуючу область значень, що загрожує (як можна зрозуміти) наслідками. Передбачаючи подібне, ми й робимо перевірку. В даному випадку є шанс переконатися, що підходить лише один із коренів: х = 0.

Системи

Що ж робити у випадках, коли потрібно здійснити розв'язання систем ірраціональних рівнянь, і в нас є не одне, а цілих два невідомі? Тут чинимо так само, як у звичайних випадках, але з урахуванням перерахованих вище властивостей даних математичних виразів. І в кожному новому завданні, зрозуміло, слід застосовувати творчий підхід. Але, знову ж таки, краще розглянути все на конкретному прикладі, наведеному нижче. Тут не просто потрібно знайти змінні х і у, але і вказати у відповіді їхню суму. Отже, є система, що містить ірраціональні величини (див. фото нижче).

Як можна переконатись, подібне завдання не представляє нічого надприродно складного. Потрібно лише виявити кмітливість і здогадатися, що ліва частина першого рівняння є квадратом суми. Подібні завдання зустрічаються у ЄДІ.

Ірраціональне в математиці

Щоразу потреба у створенні нових видів чисел виникала у людства тоді, коли йому не вистачало «простору» для вирішення якихось рівнянь. Ірраціональні числа не є винятком. Як свідчать факти з історії, вперше великі мудреці звернули на це увагу ще до нашої ери, VII ст. Зробив це математик з Індії, відомий під назвою Манава. Він чітко розумів, що з деяких натуральних чиселнеможливо витягти корінь. Наприклад, до таких відносяться 2; 17 або 61, а також багато інших.

Один з піфагорійців, мислитель на ім'я Гіппас, дійшов того ж висновку, намагаючись робити обчислення з числовими виразами сторін пентаграми. Відкривши математичні елементи, які не можуть бути виражені цифровими значеннями і не мають властивостей звичайних чисел, він настільки розлютив своїх колег, що був викинутий за борт корабля в морі. Справа в тому, що інші піфагорійці визнали його міркування бунтом проти законів всесвіту.

Знак радикала: еволюція

Знак кореня висловлення числового значення «глухих» чисел став використовуватися під час вирішення ірраціональних нерівностей і рівнянь далеко ще не відразу. Вперше про радикал почали задумуватись європейські, зокрема італійські, математики приблизно в XIII столітті. Тоді ж для позначення вигадали задіяти латинську R. Але німецькі математики у своїх роботах чинили інакше. Їм більше сподобалася літера V. У Німеччині незабаром поширилося позначення V (2), V (3), що покликане було виражати квадратний корінь з 2, 3 і так далі. Пізніше в справу втрутилися нідерландці і змінили знак радикала. А завершив еволюцію Рене Декарт, довівши знак квадратного кореня до сучасної досконалості.

Порятунок від ірраціонального

Ірраціональні рівняння і нерівності можуть включати змінну не тільки під знаком квадратного кореня. Він може бути будь-якою мірою. Найпоширенішим способом його позбутися є можливість звести обидві частини рівності у відповідний ступінь. Це основна дія, яка допомагає при операціях з ірраціональним. Дії в парних випадках особливо не відрізняються від тих, які вже були розібрані нами раніше. Тут мають бути враховані умови невід'ємності підкореного виразу, а також по закінченні рішення необхідно проводити відсівання сторонніх значень змінних таким чином, як було показано в розглянутих прикладах.

З додаткових перетворень, що допомагають знайти правильну відповідь, часто використовується множення виразу на сполучене, а також нерідко потрібно введення нової змінної, що полегшує рішення. У деяких випадках, щоб знайти значення невідомих, доцільно застосовувати графіки.