Як розв'язувати рівняння методом крамера. Метод крамера: розв'язуємо системи лінійних рівнянь алгебри (слау)
Метод Крамера або так зване правило Крамера – це спосіб пошуку невідомих величин із систем рівнянь. Його можна використовувати тільки якщо число значень, що шукаються, еквівалентно кількості алгебраїчних рівняньв системі, тобто основна матриця, що утворюється з системи, повинна бути квадратною і не містити нульових рядків, а також якщо її детермінант не повинен бути нульовим.
Теорема 1
Теорема КрамераЯкщо головний визначник $ D $ основний матриці, складеної основі коефіцієнтів рівнянь, не дорівнює нулю, то система рівнянь спільна, причому рішення в неї існує єдине. Рішення такої системи обчислюється через так звані формули Крамера для вирішення систем лінійних рівнянь: $x_i = \frac(D_i)(D)$
У чому полягає метод Крамера
Суть методу Крамера наступного:
- Щоб знайти рішення системи методом Крамера, насамперед обчислюємо головний визначник матриці $D$. Коли обчислений детермінант основний матриці при підрахунку методом Крамера дорівнював нулю, то система не має жодного рішення або має нескінченну кількість рішень. У цьому випадку для знаходження загальної або будь-якої базової відповіді для системи рекомендується застосувати метод Гаусса.
- Потім потрібно замінити крайній стовпець головної матриці на стовпець вільних членів та вирахувати визначник $D_1$.
- Повторити те саме для всіх стовпців, отримавши визначники від $D_1$ до $D_n$, де $n$ - номер крайнього праворуч стовпця.
- Після того, як знайдено всі детермінанти $D_1$...$D_n$, можна вирахувати невідомі змінні за формулою $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Прийоми для обчислення визначника матриці
Для обчислення визначника матриці з розмірністю більше ніж 2 на 2 можна використовувати кілька способів:
- Правило трикутників, або правило Саррюса, що нагадує це правило. Суть методу трикутників у цьому, що з обчисленні визначника добутку всіх чисел, з'єднаних малюнку червоною лінією праворуч, записуються зі знаком плюс, проте цифри, з'єднані аналогічним чином малюнку ліворуч – зі знаком мінус. B те й інше правило підходить для матриць розміром 3 х 3. У разі правила Саррюса спочатку переписується сама матриця, а поруч із нею поруч переписуються ще раз її перший і другий стовпець. Через матрицю та ці додаткові стовпці проводяться діагоналі, члени матриці, що лежать на головній діагоналі або на паралельній їй записуються зі знаком плюс, а елементи, що лежать на побічній діагоналі або паралельно їй зі знаком мінус.
Рисунок 1. Правило трикутників для обчислення визначника методу Крамера
- За допомогою методу, відомого як метод Гауса, також іноді цей метод називають зниженням порядку визначника. В цьому випадку матриця перетворюється і приводиться до трикутного вигляду, а потім перемножуються всі числа, що стоять на головній діагоналі. Слід пам'ятати, що при такому пошуку визначника не можна домножувати чи ділити рядки чи стовпці на числа без винесення їх як множника чи дільника. У разі пошуку визначника можливо тільки віднімати і складати рядки і стовпи між собою, попередньо помноживши рядок, що віднімається, на ненульовий множник. Також при кожній перестановці рядків або стовпців матриці місцями слід пам'ятати необхідність зміни кінцевого знака у матриці.
- При вирішенні методом Крамера СЛАУ з 4 невідомими, найкраще застосовуватиме саме метод Гауса для пошуку та знаходження визначників або визначатиме детермінант через пошук мінорів.
Вирішення систем рівнянь методом Крамера
Застосуємо метод Крамера для системи з 2 рівнянь та двома шуканими величинами:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Відобразимо її у розширеній формі для зручності:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Знайдемо визначник основної матриці, який також називається головним визначником системи:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Якщо головний визначник не дорівнює нулю, то для вирішення слау методом Крамера необхідно вирахувати ще кілька визначників від двох матриць із заміненими стовпцями основної матриці на рядок вільних членів:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Тепер знайдемо невідомі $x_1$ і $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Приклад 1
Метод Крамера для вирішення СЛАУ з основною матрицею 3 порядку (3 x 3) та трьома шуканими.
Розв'яжіть систему рівнянь:
$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Порахуємо головний детермінант матриці, користуючись вищевикладеним під пунктом номер 1 правилом:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $
А тепер три інші детермінанти:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 $
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 $
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 $
Знайдемо шукані величини:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = frac(D_1) (D) = frac(-60) (-64) = frac (15) (16)$
Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.
Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.
Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).
Визначники
виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:
;
.
Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.
приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:
Згідно теоремі Крамерамаємо:
Отже, рішення системи (2):
онлайн-калькулятором вирішальним методомКрамер.
Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь
Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:
Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення
(Система спільна та визначена)
Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень
(Система спільна та невизначена)
** 
,
тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.
Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має
(Система несумісна)
Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна системарівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.
Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера
Нехай дана система
.
На підставі теореми Крамера
………….
,
де 
-
визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:
приклад 2.
.
Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.
приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
.
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, рішення системи – (2; -1; 1).
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
На початок сторінки
Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом
Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.
Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих
Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостейбудь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви який-небудь новий матеріалабо пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.
Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.
Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Знаходимо визначники при невідомих
Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, скільки незалежних змінних, тобто. має вигляд
Такі системи лінійних рівнянь називають квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів при незалежних змінних системах (1.5), називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою літерою D. Таким чином,
. (1.6)
Якщо у головному визначнику довільний ( j-ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще nдопоміжних визначників:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Правило КрамераРозв'язання квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і єдине рішення, яке можна знайти за формулами:
(1.8)
приклад 1.5.Методом Крамера вирішити систему рівнянь
.
Обчислимо головний визначник системи:
Оскільки D¹0, то система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):
Таким чином,
Дії над матрицями
1. Множення матриці на число.Операція множення матриці на число визначається в такий спосіб.
2. Щоб помножити матрицю на число, потрібно всі її елементи помножити цього числа. Тобто
. (1.9)
приклад 1.6. 
.
Додавання матриць.
Ця операція вводиться лише матриць однієї й тієї ж порядку.
Для того, щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншої матриці:
(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності та комутативності.
приклад 1.7. 
.
Розмноження матриць.
Якщо кількість стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці Удля таких матриць вводиться операція множення:
2 
Таким чином, при множенні матриці Арозмірності m´ nна матрицю Урозмірності n´ kми отримуємо матрицю Зрозмірності m´ k. При цьому елементи матриці Зобчислюються за такими формулами:
Завдання 1.8.Знайти, якщо це можливо, добуток матриць ABі BA:
Рішення. 1) Для того, щоб знайти твір ABнеобхідно рядки матриці Aпомножити на стовпці матриці B:
2) Твір BAне існує, тому що кількість стовпців матриці Bне збігається з кількістю рядків матриці A.
Зворотна матриця. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом
Матриця A - 1 називається зворотною до квадратної матриці А, якщо виконано рівність:
де через Iпозначається одинична матриця того ж порядку, що і матриця А:
.
Для того, щоб квадратна матриця мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля. Зворотну матрицю знаходять за такою формулою:
, (1.13)
де A ij- Додатки алгебри до елементів a ijматриці А(зауважимо, що додатки алгебри до рядків матриці Арозташовуються у зворотній матриці у вигляді відповідних стовпців).
приклад 1.9.Знайти зворотну матрицю A - 1 до матриці
.
Зворотну матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n= 3 має вигляд:
.
Знайдемо det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Оскільки визначник вихідної матриці відмінний від нуля, зворотна матриця існує.
1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij:
Для зручності знаходження зворотної матриці, Додатки алгебри до рядків вихідної матриці ми розташували у відповідні стовпці.
З отриманих алгебраїчних доповненьскладемо нову матрицю та розділимо її на визначник det A. Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:
Квадратні системи лінійних рівнянь із відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою зворотної матриці. Для цього систему (1.5) записують у матричному вигляді:
де 
Помножуючи обидві частини рівності (1.14) зліва на A - 1, ми отримаємо рішення системи:
, звідки
Таким чином, для того, щоб знайти рішення квадратної системи, потрібно знайти зворотну матрицю до основної матриці системи і помножити її праворуч на матрицю-стовпець вільних членів.
Завдання 1.10.Розв'язати систему лінійних рівнянь
за допомогою зворотної матриці.
Рішення.Запишемо систему в матричному вигляді: ,
де 
- основна матриця системи, - стовпець невідомих та - стовпець вільних членів. Оскільки головний визначник системи 
, то основна матриця системи Амає зворотну матрицю А-1. Для знаходження зворотної матриці А-1 , обчислимо додатки алгебри до всіх елементів матриці А:
З отриманих чисел складемо матрицю (причому додатки алгебри до рядків матриці Азапишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:
Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):
Таким чином,
Рішення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків
Нехай дана довільна (не обов'язково квадратна) система лінійних рівнянь:
(1.16)
Потрібно визначити рішення системи, тобто. такий набір змінних , який задовольняє всі рівні системи (1.16). У загальному випадкусистема (1.16) може мати як одне рішення, а й безліч рішень. Вона може взагалі взагалі не мати рішень.
При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий зі шкільного курсу метод виключення невідомих, який називається методом звичайних жорданових винятків. Суть даного методу полягає в тому, що в одному із рівнянь системи (1.16) одна із змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється до інших рівнянь системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого висловлювалася змінна, запам'ятовується.
Цей процес повторюється до того часу, поки у системі залишиться одне останнє рівняння. У процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися на вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння із системи виключаються, тому що вони виконуються за будь-яких значень змінних і, отже, не впливають на рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яка не може виконуватися за жодних значень змінних (наприклад ), то робимо висновок, що система не має рішення.
Якщо в ході вирішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з змінних, що залишилися в ньому. Якщо останньому рівнянні залишилася лише одна змінна, вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще інші змінні, то вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий « Зворотній хід». Знайдену змінну підставляють останнє запам'ятоване рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють передостаннє запам'ятоване рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запам'ятаного рівняння.
В результаті ми отримуємо рішення системи. Це рішення буде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші залежатимуть від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожному набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, що дозволяють знайти рішення системи в залежності від того чи іншого набору параметрів, називаються загальним рішенням системи.
приклад 1.11.
x
Після запам'ятовування першого рівняння 
і приведення подібних членів у другому та третьому рівнянні ми приходимо до системи:
Висловимо yз другого рівняння і підставимо його до першого рівняння:
Запам'ятаємо друге рівняння, а з першого знайдемо z:
Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо yі z. Для цього спочатку підставимо останнє запам'ятоване рівняння, звідки знайдемо y:
.
Потім підставимо і перше запам'ятоване рівняння звідки знайдемо x:
Завдання 1.12.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:
. (1.17)
Рішення.Виразимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:
.
Запам'ятаємо перше рівняння 
У цій системі перше і друге рівняння суперечать одне одному. Дійсно, висловлюючи y 
, Отримаємо, що 14 = 17. Дана рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x, y, і z. Отже, система (1.17) несумісна, тобто. немає рішення.
Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.
Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) лише одним вільним членом.
Завдання 1.13.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:
. (1.18)
Рішення.Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:
.
Запам'ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени у другому та третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:
Висловлюючи yз першого рівняння та підставляючи його на друге рівняння , ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке впливає рішення системи, і, отже, його з системи виключити.
В останній запам'ятованій рівності змінну zвважатимемо параметром. Вважаємо. Тоді
Підставимо yі zу першу запам'ятану рівність і знайдемо x:
.
Таким чином, система (1.18) має безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t:
(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) тощо. буд. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).
У тому випадку, коли вихідна система (1.16) має досить велику кількість рівнянь та невідомих, вказаний метод звичайних жерданових винятків є громіздким. Однак, це не так. Достатньо вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці в загальному виглядіта оформити розв'язання задачі у вигляді спеціальних жерданових таблиць.
Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):
, (1.20)
де x j- незалежні (шукані) змінні, a ij- постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m) можуть бути як змінними (залежними), і константами. Потрібно знайти рішень цієї системи шляхом виключення невідомих.
Розглянемо таку операцію, звану надалі «одним кроком звичайних жорданових винятків». З довільного ( r-го) рівності висловимо довільну змінну ( x s) і підставимо у всі інші рівності. Зрозуміло, це можливо лише в тому випадку, коли a rs¹ 0. Коефіцієнт a rsназивається роздільним (іноді напрямним або головним) елементом.
Ми отримаємо таку систему:
. (1.21)
З s-ї рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s(після того, як буде знайдено решту змінних). S-я рядок запам'ятовується і надалі із системи виключається. Система, що залишилася, міститиме на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.
Обчислимо коефіцієнти одержаної системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r-го рівняння, яке після вираження змінної x sчерез інші змінні виглядатиме так:
Таким чином, нові коефіцієнти r-го рівняння обчислюються за такими формулами:
(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij(i¹ r) довільного рівняння. Для цього підставимо виражену (1.22) змінну x sв i-е рівняння системи (1.20):
Після приведення подібних членів отримаємо:
(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (крім r-го рівняння):
(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків оформляється як таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «жерданових».
Так, завданню (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:
Таблиця 1.1
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | a ij | a is | a in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | a rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | a m 1 | a m 2 | a mj | a ms | a mn |
Жорданова таблиця 1.1 містить лівий заголовний стовпець, який записують праві частини системи (1.20) і верхній заголовний рядок, в який записують незалежні змінні.
Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю Ана матрицю , що складається з елементів верхнього великого рядка, то вийде матриця , що складається з елементів лівого великого стовпця. Тобто, сутнісно, жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь: . Системі (1.21) у своїй відповідає наступна жорданова таблиця:
Таблиця 1.2
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b is | b in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | b r 1 | b r 2 | b rj | b rs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | b mj | b ms | b mn |
Роздільний елемент a rs ми виділятимемо жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку жерданових винятків дозвільний елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить роздільний елемент, називають рядком. Стовпець, що містить роздільний елемент, називають роздільним стовпцем. При переході від цієї таблиці до наступної таблиці одна змінна ( x s) з вірніше заголовного рядка таблиці переміщається в лівий заголовний стовпець і, навпаки, один із вільних членів системи ( y r) з лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхній заголовний рядок.
Опишемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів під час переходу від жерданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що з формул (1.23) і (1.25).
1. Роздільний елемент замінюється зворотним числом:
2. Інші елементи роздільної здатності поділяються на роздільну здатність і змінюють знак на протилежний: 
3. Інші елементи роздільного стовпця поділяються на роздільну здатність: 
4. Елементи, які не потрапили в роздільну здатність і роздільний стовпець, перераховуються за формулами: 
Остання формула легко запам'ятовується, якщо помітити, що елементи, що становлять дріб 
, знаходяться на перетині i-ой і r-ий рядків та j-го та s-го стовпців (дозвільного рядка, що дозволяє стовпця і того рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться елемент, що перераховується). Точніше, при запам'ятовуванні формули 
можна використовувати наступну діаграму:
Здійснюючи перший крок жорданових винятків, в якості роздільної здатності можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований у стовпцях x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не дорівнюють нулю). Не слід лише вибирати роздільну здатність елемент в останньому стовпці, т.к. потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5 . Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінній x 3 у третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяючий елемент показаний жирним шрифтом). Під час переходу до таблиці 1.4 змінна x 3 з верхнього заголовного рядка змінюється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.
Рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам'ятавши, виключити з таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхньому заголовному рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому доданки кожного рівняння 0· b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти не обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам'ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленим рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 як роздільний елемент b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам'ятовуємо перший рядок та виключаємо його з таблиці разом із четвертим стовпцем (з нулем нагорі).
Таблиця 1.5 Таблиця 1.6
З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Послідовно підставляючи вже знайдені змінні до запам'ятаних рядків, знаходимо інші змінні:
Таким чином, система має безліч рішень. Змінною x 5 можна надавати довільні значення. Ця змінна виступає у ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи та знайшли її спільне рішення:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Надаючи параметру t різні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (-3; - 1; - 2; 4; 0).
У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, і навіть метод почленного складання рівнянь системи. Всім, хто зайшов на сайт через цю сторінку, рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал надто простим, але під час вирішення систем лінійних рівнянь я зробив ряд дуже важливих зауважень та висновків щодо вирішення математичних завданьв цілому.
Нині ж ми розберемо правило Крамера, і навіть рішення системи лінійних рівнянь з допомогою зворотної матриці (матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вищезазначеними способами.
Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Навіщо? – Адже найпростішу системуможна вирішити шкільним способом, шляхом почленного складання!
Справа в тому, що нехай іноді, але трапляється таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, простіший приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для складнішого випадку – системи трьох рівнянь із трьома невідомими.
Крім того, існують системи лінійних рівнянь із двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!
Розглянемо систему рівнянь
На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.
метод Гауса.
Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і
На практиці вищезазначені визначники також можуть позначатися латинською літерою.
Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,
Приклад 7
Розв'язати систему лінійних рівнянь 
Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, у правій частині присутні десяткові дробиз комою. Кома - досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, цю систему я взяв з економетричної задачі.
Як вирішити таку систему? Можна спробувати висловити одну змінну через іншу, але в цьому випадку напевно вийдуть страшні накручені дроби, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення виглядатиме просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті самі дроби.
Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.
;
;
Відповідь: ,
Обидва корені мають нескінченні хвости, і знайдені приблизно, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.
Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак є один нюанс. Коли використовуєте даний метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «Отже, система має єдине рішення». А якщо ні, то рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.
Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення у ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.
Приклад 8
Відповідь подати у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.
Це приклад самостійного рішення (приклад чистового оформлення і у кінці уроку).
Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими: 
Знаходимо головний визначник системи: 
Якщо , то система має безліч рішень або несумісна (не має рішень). В цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гауса.
Якщо , то система має єдине рішення і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще три визначники: 
, 
, 
І, нарешті, відповідь розраховується за формулами: 
Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо стовпцями головного визначника.
Приклад 9
Вирішити систему за формулами Крамера. 
Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера 
Отже, система має єдине рішення.
Відповідь: 
.
Власне, тут знову коментувати особливо нічого, зважаючи на те, що рішення проходить за готовими формулами. Але є кілька зауважень.
Буває так, що в результаті обчислень виходять погані нескоротні дроби, наприклад: .
Я рекомендую наступний алгоритм лікування. Якщо під рукою немає комп'ютера, робимо так:
1) Можливо, допущено помилку у обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганим» дробом, відразу необхідно перевірити, чи правильно переписано умову. Якщо умова переписана без помилок, потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).
2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущено друкарську помилку в умови завдання. У цьому випадку спокійно та уважно вирішуємо завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевіркута оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дробової відповіді – заняття неприємне, але зате буде аргумент для викладача, який ну дуже любить ставити мінус за всяку бяку начебто. Як керуватися дробами, детально розписано у відповіді для Прикладу 8.
Якщо під рукою є комп'ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на початку уроку. До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку рішення), Ви відразу бачитимете проміжний крок, на якому припустилися помилки! Цей же калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричним методом.
Зауваження друге. Іноді зустрічаються системи у рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад: 
Тут у першому рівнянні відсутня змінна, у другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно та УВАЖНО записати головний визначник: 
– на місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати по тому рядку (стовпцю), в якому знаходиться нуль, тому що обчислень виходить помітно менше.
Приклад 10
Вирішити систему за формулами Крамера. 
Це приклад самостійного рішення (зразок чистового оформлення і у кінці уроку).
Для випадку системи 4 рівнянь із 4 невідомими формули Крамера записуються за аналогічними принципами. Живий приклад можна побачити на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника – п'ять визначників 4-го порядку цілком вирішальні. Хоча завдання вже дуже нагадує черевики професора на грудях у студента-щасливчика.
Рішення системи за допомогою зворотної матриці
Метод зворотної матриці - це, по суті, окремий випадок матричного рівняння(Див. Приклад №3 зазначеного уроку).
Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю та виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть надані по ходу пояснень.
Приклад 11
Вирішити систему з матричним методом 
Рішення: Запишемо систему в матричній формі:
, де 
Будь ласка, подивіться на систему рівнянь та на матриці. За яким принципом записуємо елементи в матриці, гадаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби в рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях у матриці потрібно було б поставити нулі.
Зворотну матрицю знайдемо за такою формулою:
де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .
Спочатку знаємося з визначником:
Тут визначник розкритий по першому рядку.
Увага! Якщо , то зворотної матриці немає, і вирішити систему матричним методом неможливо. І тут система вирішується шляхом виключення невідомих (методом Гаусса) .
Тепер потрібно обчислити 9 мінорів та записати їх у матрицю мінорів 
Довідка:Корисно знати сенс подвійних підрядкових індексів у лінійній алгебрі. Перша цифра – це номер рядка, в якому знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться цей елемент: 
Тобто подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці
Розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими
Використовуючи визначники 3-го порядку, рішення такої системи можна записати у такому вигляді, як й у системи двох рівнянь, тобто.
(2.4)
якщо 0. Тут
Це є правило Крамера рішення системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.
приклад 2.3.Розв'язати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера:
Рішення . Знаходимо визначник основної матриці системи
Оскільки 0, то для знаходження рішення системи можна застосувати правило Крамера, але попередньо обчислимо ще три визначники:
Перевірка:
Отже, рішення знайдено правильно.
Правила Крамера, отримані для лінійних систем 2-го та 3-го порядку, наводять на думку, що такі ж правила можна сформулювати і для лінійних систем будь-якого порядку. Справді має місце
Теорема Крамера. Квадратна система лінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці системи (0) має одне і лише одне рішення і це рішення обчислюється за формулами
(2.5)
де – визначник основної матриці, i – визначник матриці, отриманої з основної, заміноюi-го стовпця стовпцем вільних членів.
Зазначимо, що якщо =0, то правило Крамера не застосовується. Це означає, що система або взагалі не має рішень, або має нескінченно багато рішень.
Сформулювавши теорему Крамера, природно виникає питання обчисленні визначників вищих порядків.
2.4. Визначники n-го порядку
Додатковим мінором M ijелемента a ijназивається визначник, що отримується з даного шляхом викреслення i-й рядки та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням A ijелемента a ijназивається мінор цього елемента, взятого зі знаком (-1) i + j, тобто. A ij = (–1) i + j M ij .
Наприклад, знайдемо мінори та алгебраїчні доповнення елементів a 23 і a 31 визначника
Отримуємо
Використовуючи поняття алгебраїчного доповнення, можна сформулювати теорему про розкладання визначникаn-го порядку за рядком або стовпцем.
Теорема 2.1. Визначник матриціAдорівнює сумі творів всіх елементів деякого рядка (або стовпця) на їх додатки алгебри:
(2.6)
Ця теорема є основою одного з основних методів обчислення визначників, т.зв. способу зниження порядку. В результаті розкладання визначника n-го порядку за будь-яким рядком або стовпцем, виходить n визначників ( n-1)-го порядку. Щоб таких визначників було менше, доцільно вибирати той рядок чи стовпець, у якому найбільше нулів. Насправді формулу розкладання визначника зазвичай записують як:
тобто. алгебраїчні доповнення записують у явному вигляді через мінори.
Приклади 2.4.Обчислити визначники, попередньо розклавши їх за будь-яким рядком або стовпцем. Зазвичай у таких випадках вибирають такий стовпець або рядок, в якому найбільше нулів. Вибраний рядок або стовпець будемо позначати стрілкою.
2.5. Основні властивості визначників
Розкладаючи визначник по якомусь рядку або стовпцю, ми отримаємо n визначників ( n-1)-го порядку. Потім кожен із цих визначників ( n-1)-го порядку також можна розкласти на суму визначників ( n-2)-го порядку. Продовжуючи цей процес, можна дійти визначників 1-го порядку, тобто. до елементів матриці, визначник якої обчислюється. Так, для обчислення визначників 2-го порядку доведеться обчислити суму двох доданків, для визначників 3-го порядку – суму 6 доданків, для визначників 4-го порядку – 24 доданків. Число доданків різко зростатиме в міру збільшення порядку визначника. Це означає, що обчислення визначників дуже високих порядків стає досить трудомістким завданням, непосильним навіть ЕОМ. Однак обчислювати визначники можна й інакше, використовуючи властивості визначників.
Властивість 1 . Визначник не зміниться, якщо у ньому поміняти місцями рядки та стовпці, тобто. при транспонуванні матриці:
.
Ця властивість свідчить про рівноправність рядків і стовпців визначника. Інакше кажучи, будь-яке твердження про стовпці визначника справедливе і для його рядків і навпаки.
Властивість 2 . Визначник змінює знак при перестановці двох рядків (стовпців).
Слідство . Якщо визначник має два однакові рядки (стовпця), він дорівнює нулю.
Властивість 3 . Загальний множник всіх елементів у будь-якому рядку (стовпці) можна винести за знак визначника.
Наприклад,
Слідство . Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
Властивість 4 . Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця), додати елементи іншого рядка (стовпця), помноженого на якесь число.
Наприклад,
Властивість 5 . Визначник твору матриць дорівнює добутку визначників матриць:
Завантаження...