Обмеженою віссю абсцис, графіком інтегрованої функції та відрізками прямих x = a \, \!і x = b, \!, де a\,!і b\,!- межі інтегрування (див. рисунок).

Необхідність застосування чисельного інтегрування найчастіше може бути викликана відсутністю у подання і, отже, неможливістю аналітичного обчислення значення певного інтегралупо . Також можлива ситуація, коли вид первісної настільки складний, що швидше визначити значення інтеграла чисельним методом.

Одновимірний випадок

Основна ідея більшості методів чисельного інтегрування полягає у заміні підінтегральної функції більш просту, інтеграл від якої легко обчислюється аналітично. При цьому для оцінки значення інтегралу виходять формули виду

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

де n,\!- Число точок, в яких обчислюється значення підінтегральної функції. Крапки x_i\,\!називаються вузлами методу, числа w_i\,\!- Терезами вузлів. При заміні підінтегральної функції на поліном нульової, першого та другого ступеня виходять відповідно методи , і (Сімпсона). Часто формули з метою оцінки значення інтеграла називають квадратурними формулами.

Метод прямокутників

Метод прямокутниківвиходить при заміні підінтегральної функції константу. Як константа можна взяти значення функції в будь-якій точці відрізка \left\,\!. Найчастіше використовуються значення функції в середині відрізка та на його кінцях. Відповідні модифікації мають назви методів середніх прямокутників, лівих прямокутниківі правих прямокутників. Формула для наближеного обчислення значення певного інтеграла методом прямокутників має вигляд

I \approx f(x) (b-a),

де x=\frac(\left(a+b\right))(2), a\,!або b\,!, відповідно.

Метод трапецій

Якщо через кінці відрізка інтегрування провести пряму, отримаємо метод трапецій. З геометричних міркувань легко отримати

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Метод парабол

Використовуючи три точки відрізка інтегрування, можна замінити підінтегральну функцію параболою. Зазвичай як такі точки використовують кінці відрізка і його середню точку. У цьому випадку формула має дуже простий вигляд

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Збільшення точності

Наближення функції одним поліномом на всьому відрізку інтегрування зазвичай призводить до великої помилки в оцінці значення інтеграла.

Для зменшення похибки відрізок інтегрування розбивають частини і застосовують чисельний метод з метою оцінки інтеграла кожної з них.

При прагненні кількості розбиття до нескінченності оцінка інтеграла прагне його справжнього значення для будь-якого чисельного методу.

Наведені вище методи допускають просту процедуру зменшення кроку в два рази, при цьому на кожному кроці потрібно обчислювати значення функції лише у доданих вузлах. Для оцінки похибки обчислень використовується.

Метод Гауса

Описані вище методи використовують фіксовані точки відрізка (кінці та середину) та мають низький (1, 1 та 3, відповідно). Якщо ми можемо вибирати точки, в яких обчислюємо значення функції f(x)\,\!, то можна за тієї ж кількості обчислень підінтегральної функції отримати методи більш високого порядкуточності. Так для двох (як у методі трапецій) обчислень значень підінтегральної функції можна отримати метод вже не 1-го, а 3-го порядку точності:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

У загальному випадку, використовуючи n,\!точок, можна отримати метод з порядком точності 2n-1 \, \!. Значення вузлів методу Гауса за n,\!точками є корінням полінома Лежандра ступеня n,\!.

Значення вузлів методу Гауса та їх терезів наводяться у довідниках спеціальних функцій. Найбільш відомий метод Гауса по п'яти точках.

Метод Гауса-Кронрода

Недолік методу Гаусса полягає в тому, що він не має легкого (з обчислювального погляду) шляху оцінки похибки отриманого значення інтеграла. Використання правила Рунге вимагає обчислення підінтегральної функції приблизно в такому числі точок, не даючи при цьому ніякого виграшу точності, на відміну від простих методівде точність збільшується в рази при кожному новому розбиття. Кронрод був запропонований наступний метод оцінки значення інтегралу

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

де x_i\,\!- вузли методу Гауса за n,\!точкам, а 3n +2 \, \!параметрів a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!підібрані таким чином, щоб порядок точності методу дорівнював 3n+1\,\!.

Тоді для оцінки похибки можна використати емпіричну формулу

\ Delta = \ left (200 | I - I_G | \ right) ^ (1.5),

де I_G,\!- значення інтеграла, оцінене методом Гауса за n,\!точкам. Бібліотеки [

чисельне інтегрування формула програмування

Вступ

2. Квадратурні формули

3. Автоматичний вибір кроку інтегрування

Висновок

бібліографічний список

Вступ

Мета реферату полягає у вивчення та порівняльний аналізметодів чисельного інтегрування функцій; реалізація цих методів у вигляді машинних програм мовою високого рівнята практичне вирішення завдань чисельного інтегрування на ЕОМ

При вирішенні інженерних завдань часто виникає потреба у обчисленнях значень певного інтегралу виду

Якщо функція неперервна на відрізку [ a, b] та її первісна може бути визначена через відому функцію, то обчислення такого інтегралу проводиться за формулою Ньютона – Лейбніца:

.

В інженерних завданнях отримати значення інтеграла в аналітичному вигляді вдається рідко. Крім того, функція f(x) може бути задана, наприклад, таблицею експериментальних даних. Тому на практиці для обчислення певного інтегралу використовують спеціальні методи, в основі яких лежить апарат інтерполювання.

Ідея таких методів полягає у наступному. Замість того, щоб обчислювати інтеграл за формулою (1), спочатку обчислюють значення функції f(x i) = y iу деяких вузлах x i Î[ a, b]. Потім вибирається інтерполяційний багаточлен P(x), що проходить через отримані точки ( x i, y i), який використовується для обчислення наближеного значення інтеграла (1):

.

При реалізації такого підходу формули чисельного інтегрування приймають наступний загальний вигляд:

, (2)

де - вузли інтерполювання, A і- Деякі коефіцієнти, R- Залишковий член, що характеризує похибку формули. Зауважимо, що формули виду (2) називають квадратурними формулами.

Геометричний зміст чисельного інтегрування полягає у обчисленні площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(х), віссю абсцис і двома прямими х = аі х = b.Наближене обчислення площі призводить до відкидання у квадратурних формулах залишкового члена R, Що характеризує похибку методу, яку додатково накладається обчислювальна похибка.

Методи чисельного інтегрування

У прикладних дослідженнях часто виникає необхідність обчислення значення певного інтегралу

Як відомо з курсу математики, аналітично обчислення інтегралу можна провести не завжди. І навіть у тому випадку, коли вдається знайти аналітичний вигляд цього інтеграла, процедура обчислення дає наближений результат, тому виникає завдання наближеного значення цього інтегралу.

Суть наближеного обчислення полягає у двох операціях: 1. у виборі кінцевого числа замість n; 2. у виборі точки у відповідному відрізку.

Залежно від вибору ми отримуємо різні формули для обчислення інтеграла: Формули лівих та правих прямокутників (5), (6)

(5)

(6)

Формула трапеції:

Формула Сімпсона

b, a - кінці розглянутого відрізка.

Для порівняння результатів обчислення вищевикладеними формулами чисельного інтегрування обчислимо трьома способами наступний інтеграл, розділивши відрізок на 6 рівних відрізків:

За формулою лівих прямокутників:

За формулою трапеції:

За формулою Сімпсона:

А отриманий результат аналітично дорівнює

Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що чисельний метод інтегрування за такою формулою Сімпсон є точнішим, але використовують у загальному разі при розподілі розсмоктуваного відрізка на парне число проміжків.

Квадратурні формули

Формули прямокутниківє найпростішими квадратурними формулами. Розіб'ємо відрізок інтегрування [ a, b] на прівних частин довжиною. Зауважимо, що величину hназивають кроком інтегрування. У точках розбиття х 0 = а,х 1 = a + h, ..., x n = bвідзначимо ординати y 0 ,y 1 ,…,y nкривий f(x), тобто. обчислимо у i = f(x i), x i = a + ih = x i -1 + h(i =). На кожному відрізку завдовжки hпобудуємо прямокутник зі сторонами hі y i, де i =, тобто. за значеннями ординат, обчислених у лівих кінцях відрізків. Тоді площу криволінійної трапеції, визначальну величину інтеграла (1), приблизно можна подати у вигляді суми площ прямокутників (рис. 1). Звідси отримаємо формулу прямокутників:

Якщо при обчисленні інтегральної суми брати значення функції f(x) над лівих, а правих кінцях відрізків довжиною h, Що показано на рис. 1 пунктирною лінією, то отримаємо другий варіант формули прямокутників:

Третій варіант формули прямокутників можна отримати при використанні значень функції f(x), обчислених у середній точці кожного відрізка довжини h(Рис. 2):

. (5)

Формули (3), (4) та (4) називають формулами лівих, правих та центральних прямокутників відповідно.

Рис. 2

Формула трапецій.Тут на кожному елементарному інтервалі [ x i -1 , x i] довжини hточки з координатами ( x i -1 , y i-1) та ( x i, y i) з'єднуються відрізком (рис. 3). Тоді площа трапеції, що побудована на цьому інтервалі, визначається твором 0,5 h(y i -1 + y i). Підсумовуючи площі елементарних трапецій для i= Отримаємо наближене значення інтеграла.

Чисельне інтегрування

Основні питання, що розглядаються на лекції:

2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса

3. Формули прямокутників

4. Формула трапецій

5. Формула Сімпсона

6. Квадратурні формули Гауса

7. Метод Монте-Карло

1. Постановка задач чисельного інтегрування

Потрібно обчислити певний інтеграл виду , причому функція може бути задана як формули, і у вигляді таблиці.

· Квадратурні формули Ньютона-Котеса

,
де - Коефіцієнти Котеса.
Ці формули дають одному ділянці інтегрування різні уявлення для різного числа n відрізків розбиття.

· Формули прямокутників

Нехай потрібно обчислити інтеграл.
Якщо відрізок інтегрування досить великий, потрібно розбити його більш дрібні відрізки рівної довжини , де n - число відрізків, і замінюючи кожному з відрізків криволінійну трапецію прямокутником, обчислити площі цих прямокутників. Потім отримані площі потрібно скласти, ця сума буде прийнята за наближене значення шуканого інтеграла.
Що ж до побудови прямокутників, їх можна будувати по-різному: можна проводити перпендикуляр до перетину з кривою f (x) з правого кінця кожного відрізка (Рис. 1), можна - з лівого кінця (Рис. 2)

Рис. 1

Рис. 2

Залежно від цього формули для обчислення дещо різні і звуться формули прямокутників з правими або лівими ординатами відповідно:

(Формула "правих" прямокутників)

(Формула "лівих" прямокутників)
Існує ще формула "середніх" прямокутників: , на яку побудова прямокутників здійснюється через середини кожного з відрізків розбиття:

· Формула трапецій

· Формула Сімпсона

Замінюючи на кожному відрізку розбиття частину кривої y = f(x)на параболічну криву, обчислюючи площі фігур і підсумовуючи їх, отримаємо формулу Сімпсона:

·

· Квадратурні формули Гауса

Традиційно при отриманні квадратурних формул Гауса у вихідному інтегралі виконується заміна змінної, що переводить інтеграл по відрізку в інтеграл по відрізку [-1; 1]:

.
Тоді.
Використовуватимемо лінійну інтерполяцію підінтегральної функції.
Якщо замість відрізка [-1; 1] взяти як вузли інтерполяції рухомі вузли t1, t2, то потрібно вибрати ці значення так, щоб площа трапеції, обмеженої зверху прямої, що проходить через точки A1 (t1, φ(t1)) і A2 (t2, φ(t2)) була рівною інтегралу від будь-якого багаточлена деякої найвищого ступеня.
Вважаючи, що це многочлен третього ступеня, обчислимо t1, t2, які виходять рівними і відрізняючись лише нумерацією значень.
Далі, розбиваючи відрізок інтегрування на n частин, застосовуючи до кожного з них описану вище ідею, можна отримати формулу Гауса:

Ідея чисельного інтегрування гранично проста і випливає з геометричного сенсу певного інтеграла – значення певного інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), віссю абсцис та прямими х = а, х = b. Знаходячи приблизно площа криволінійної трапеції, ми отримуємо значення інтеграла. Формально процедура чисельного інтегрування полягає в тому, що відрізок [а, b] розбивається на n часткових відрізків, а потім підінтегральна функція замінюється на ньому функцією, що легко інтегрується, за певною залежністю інтерполюючої значення підінтегральної функції в точках розбиття. Розглянемо тепер найпростіші з чисельних методівінтегрування.

Отже, функція у = f (x)інтегрована на сегменті і потрібно обчислити її інтеграл. Складемо інтегральну суму для f(x)на сегменті. Для цього розіб'ємо сегмент на n рівних між собою частин за допомогою точок: x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1.

Якщо довжину кожної частини ми позначимо через хтак що , то для кожної точки x kбудемо мати: (k = 0, 1, 2, …, n).

Позначимо тепер через y kзначення підінтегральної функції f(x)при тому покладемо (k = 0, 1, …, n).

Тоді суми будуть інтегральними для функції f(x)на відрізку . (При складанні першої суми ми розглядаємо значення функції y=f(x)у точках, що є лівими кінцями часткових сегментів, а при складанні другої суми – у точках, що є правими кінцями цих сегментів.

За визначенням інтегралу маємо:

і

Тому як наближене значення природно взяти інтегральну суму ,Тобто. покласти:

тобто (1)

і (1")

Ці наближені рівності називають формулами прямокутників.

У тому випадку, коли f(x) 0, формули (1) і (1') з геометричної точки зору означають, що площа криволінійної трапеції aABb, обмеженою дугою кривою y=f(x),віссю Охта прямими х = аі х = b, приймається приблизно рівної площіступінчастої фігури, утвореної з n прямокутників з основами та висотами: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1– у разі формули (1) (рис.8) та y 1 , y 2 , y 3 , …, y n- у разі формули (1") (рис.9).

Виходячи з наведеного вище геометричного змісту формул (1) і (1") спосіб наближеного обчислення певного інтеграла за цими формулами прийнято називати методом прямокутників.

Будь-яке наближене обчислення має певну цінність лише тоді, коли воно супроводжується оцінкою допущеної у своїй похибки. Тому формули прямокутників будуть практично придатні для наближеного обчислення інтегралів лише в тому випадку, якщо буде існувати зручний спосіб оцінки похибки (при заданому n), що дозволяє при цьому знаходити і число частин n розбиття сегмента, що гарантує необхідну ступінь точності наближеного обчислення.

Припускатимемо, що функція f(x)має обмежену похідну на сегменті, так що існує таке число М>0, що для всіх значень х виконується нерівність |f"(x)|M. Якісний зміст цієї нерівності полягає в тому, що швидкість зміни значення функції обмежена. У реальних природних системах цю вимогу практично завжди виконано. У умовах абсолютна величина похибки R n , яку ми допускаємо, обчислюючи інтеграл за формулою прямокутників може бути оцінена за формулою :

|R n | M(b-a) 2 /2n (2)

При необмеженому зростанні n вираз M(b-a) 2 /2n, отже, і абсолютна величина похибки R nпрагнутиме до нуля, тобто. точність наближення буде тим більшою, чим більша кількість рівних частин буде розділений сегмент . Абсолютна похибкарезультату буде свідомо менше заданої кількості >0 , якщо взяти

n > M(b-a) 2 /2 .

Отже, для обчислення інтеграла із зазначеним ступенем точності достатньо сегмент розбити на число частин, більше числа M(b-a) 2 /2 . .

Метод прямокутників - це найпростіший і водночас найбільш грубий метод наближеного інтегрування. Помітно меншу похибку дає інший метод – метод трапецій.

Очевидно, що чим більше буде число n відрізків розбиття, тим точніший результат дадуть формули (3а) та (3б). Однак збільшення кількості відрізків розбиття проміжку інтегрування не завжди можливе. Тому великий інтерес представляють формули, що дають точніші результати при тому числі точок розбиття.

Найпростіша з таких формул виходить як середнє арифметичне правих частин формул (1) та (1"):

(4)

Легко побачити геометричний змістцієї формули. Якщо на кожному відрізку розбиття дугу графіка підінтегральної функції y=f(x) замінити хордою, що стягує її ( лінійна інтерполяція), то ми отримаємо трапецію, площа якої дорівнює і отже, формула (4) є площа фігури, що складається з таких трапецій (рис.10) . З геометричних міркувань зрозуміло, що площа такої фігури, взагалі кажучи, більш точно виражатиме площу криволінійної трапеції, ніж площа ступінчастої фігури, що розглядається в методі прямокутників.

Навівши у формулі (4) подібні члени, остаточно отримаємо

Формулу (5) називають формулою трапецій.

Формулою трапецій часто використовують для практичних обчислень. Щодо оцінки похибки R n, що виникає при заміні лівої частини (5) правої, доводиться, що абсолютна величина її задовольняє нерівності:

(6)

де М 2- максимум модуля другої похідної підінтегральної функції на відрізку, тобто.

.

Отже, R nспадає принаймні так само швидко, як .

Абсолютна похибка R nбуде менше наперед заданого числа > 0 , якщо взяти .

Значне підвищення точності наближених формул може бути досягнуто рахунок підвищення порядку інтерполяції. Одним із таких методів наближеного інтегрування є метод парабол. Ідея способу виходить з того, що на частковому проміжку дуга деякої параболи в загальному випадку вже прилягає до кривої y=f(x),ніж хорда, що з'єднує кінці дуги цієї кривої, і тому значення площ відповідних елементарних трапецій, обмежених "згори" дугами парабол, є ближчими до значень площ відповідних часткових криволінійних трапецій, обмежених зверху дугою кривою y=f(x),ніж значення площ відповідних прямолінійних трапецій Сутність методу ось у чому. Відрізок поділяється на 2nрівних частин. Нехай точки поділу будуть

х 0 =а, x 1 , x 2 , …x 2n-2 , x 2n-1 , x 2n =b, а формули парабол – пропорційно величині , тобто. метод парабол сходиться значно швидше методу трапецій, тоді як з погляду техніки обчислень обидва методи однакові.