У фізиці та інших науках часто доводиться проводити вимірювання різних величин (наприклад, довжини, маси, часу, температури, електричного опоруі т.д.).

Вимірювання- Процес знаходження значення фізичної величини за допомогою спеціальних технічних засобів - вимірювальних приладів.

Вимірювальним приладом називають пристрій, за допомогою якого здійснюється порівняння вимірюваної величини з фізичною величиною того ж таки роду, прийнятої за одиницю виміру.

Розрізняють прямі та непрямі методивимірів.

Прямі методи вимірів – методи, у яких значення визначених величин перебувають безпосереднім порівнянням об'єкта, що вимірюється, з одиницею вимірювання (еталоном). Наприклад, вимірювана лінійкою довжина будь-якого тіла порівнюється з одиницею довжини - метром, маса тіла, що вимірюється вагами, порівнюється з одиницею маси - кілограмом і т. д. Таким чином, в результаті прямого вимірювання визначається величина виходить відразу, безпосередньо.

Непрямі методи вимірів– методи, у яких значення обумовлених величин обчислюються за результатами прямих вимірів інших величин, із якими пов'язані відомої функціональної залежністю. Наприклад, визначення довжини кола за результатами вимірювання діаметра чи визначення об'єму тіла за результатами вимірювання його лінійних розмірів.

Зважаючи на недосконалість вимірювальних приладів, наших органів чуття, вплив зовнішніх впливів на вимірювальну апаратуру та об'єкт вимірювання, а також інших факторів всі вимірювання можна проводити тільки з певним ступенем точності; тому результати вимірів дають не справжнє значення вимірюваної величини, лише наближене. Якщо, наприклад, вага тіла визначена з точністю до 0,1 мг, це означає, що знайдена вага відрізняється від справжньої ваги тіла менш ніж на 0,1 мг.

Точність вимірів - Характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань до справжнього значення вимірюваної величини.

Чим менша похибка вимірювань, тим більша точність вимірювань. Точність вимірювань залежить від використовуваних при вимірюваннях приладів та від загальних методіввимірів. Цілком марно прагнути при вимірах у даних умовах перейти за цю межу точності. Можна звести до мінімуму вплив причин, що зменшують точність вимірювань, але повністю позбутися їх неможливо, тобто при вимірюваннях завжди відбуваються більш менш значні помилки (похибки). Для збільшення точності остаточного результату будь-який фізичний вимір необхідно робити не один, а кілька разів за однакових умов досвіду.

У результаті i-го виміру (i – номер виміру) величини "Х", виходить наближене число Х i , що відрізняється від істинного значення Хіст на деяку величину ∆Х i = | Х i - Х |, яка є допущеною помилкою або, іншими словами Справжня похибка нам не відома, тому що ми не знаємо справжнього значення вимірюваної величини.

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

де Х i - значення величини Х, отримане при вимірі (тобто вимірюване значення); ∆Х – абсолютна похибка визначення величини Х.

Абсолютна помилка (похибка) виміру ∆Х – це абсолютна величина різниці між істинним значенням вимірюваної величини Хіст і результатом виміру X i: ∆Х = | Х іст – X i |.

Відносна помилка (похибка) виміру δ (характеризує точність виміру) чисельно дорівнює відношенню абсолютної похибки виміру ∆Х до справжнього значення вимірюваної величини Х іст (часто виражається у відсотках): δ = (∆Х / Х іст) 100% .

Похибки чи помилки вимірів можна поділити на три класи: систематичні, випадкові та грубі (промахи).

Систематичноїназивають таку похибку, яка залишається постійною чи закономірно (відповідно до певної функціональної залежності) змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж величини. Такі похибки виникають у результаті конструктивних особливостей вимірювальних приладів, недоліків прийнятого методу вимірювань, будь-яких упущень експериментатора, впливу зовнішніх умов або дефекту самого об'єкта вимірювання.

У будь-якому вимірювальному приладі закладено ту чи іншу систематичну похибку, яку неможливо усунути, але порядок якої можна врахувати. p align="justify"> Систематичні похибки або збільшують, або зменшують результати вимірювання, тобто ці похибки характеризуються постійним знаком. Наприклад, якщо при зважуванні одна з гир має масу на 0,01 г більшу, ніж зазначено на ній, то знайдене значення маси тіла буде завищеним на цю величину, хоч би скільки вимірювань вироблялося. Іноді систематичні помилки можна врахувати чи усунути, іноді цього не можна. Наприклад, до непереборних помилок відносяться помилки приладів, про які ми можемо лише сказати, що вони не перевищують певної величини.

Випадковими помилками називають помилки, які непередбачуваним чином змінюють свою величину та знак від досвіду до досвіду. Поява випадкових помилок зумовлено дією багатьох різноманітних та неконтрольованих причин.

Наприклад, при зважуванні вагами цими причинами можуть бути коливання повітря, осілі порошини, різне тертя в лівому і правому підвісі чашок та ін. різних значень: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , де Х i – результат i-го виміру. Встановити якусь закономірність між результатами не вдається, тому результат i - го виміру Х вважається випадковою величиною. Випадкові помилки можуть вплинути на окремий вимір, але при багаторазових вимірах вони підпорядковуються статистичним законам і їх вплив на результати вимірів можна врахувати або значно зменшити.

Промахи та грубі похибки- Надмірно великі помилки, що явно спотворюють результат вимірювання. Цей клас похибок викликаний найчастіше неправильними діями експериментатора (наприклад, через неуважність замість показання приладу "212" записується зовсім інше число - "221"). Вимірювання, що містять промахи та грубі похибки, слід відкидати.

Вимірювання можуть бути проведені з точки зору їх точності технічним та лабораторним методами.

При використанні технічних методів вимір проводиться один раз. В цьому випадку задовольняються такою точністю, при якій похибка не перевищує певного певного, заздалегідь заданого значення, що визначається похибкою застосованої вимірювальною апаратурою.

При лабораторних методах вимірювань потрібно точніше вказати значення вимірюваної величини, ніж допускає її одноразове вимірювання технічним методом. У цьому випадку роблять кілька вимірювань і обчислюють середнє арифметичне отриманих значень, яке приймають за достовірне значення величини. Потім проводять оцінку точності результату вимірів (облік випадкових похибок).

З можливості проведення вимірювань двома методами випливає існування двох методів оцінки точності вимірювань: технічного і лабораторного.

Відносна помилка

Помилки середня квадратична т,А А називаються абсолютними помилками.

У деяких випадках абсолютна помилка недостатньо показова, зокрема, при лінійних вимірах. Наприклад, лінія виміряна з помилкою ±5 см. Для довжини лінії 1 метр ця точність, очевидно, низька, а довжини лінії 1 кілометр точність безумовно вища. Тому наочніше точність виміру буде характеризуватись ставленням абсолютної помилки до отриманого значення виміряної величини. Таке ставлення називається відносною помилкою. Відносна помилка виражається дробом, причому дріб перетворюється так, щоб чисельник її дорівнював одиниці.

Відносну помилку визначають за відповідною абсолютною

помилки. Нехай X- Отримане значення деякої величини, тоді - середня квадратична відносна помилка цієї величини; - Справжня відносна помилка.

Знаменник відносної помилки доцільно округлювати до двох значущих цифр із нулями.

приклад. У наведеному випадку середня квадратична відносна помилка вимірювання лінії дорівнюватиме

Гранична помилка

Граничною помилкою називається найбільше значеннявипадкової помилки, яка може з'явитися за умов рівноточних вимірювань.

Теорією ймовірності доведено, що випадкові помилки лише у трьох випадках із 1000 можуть перевершити величину Зт; 5 помилок зі 100 можуть перевершити 2ті 32 помилки зі 100 можуть перевершити т.

Виходячи з цього, в геодезичній практиці результати вимірювань, що містять помилки 0>3т, відносять до вимірювань, що містять грубі помилки, та в обробку не приймають.

Значення помилок 0 = 2 твикористовують як граничні при складанні технічних вимогдля даного виду робіт, тобто всі випадкові помилки вимірів, що перевищують за своєю величиною ці значення, вважають неприпустимими. При отриманні розбіжностей, що перевищують величину 2т,вживають заходів щодо поліпшення умов вимірів, а самі виміри повторюють.

Контрольні питання та вправи:

• 1. Перерахувати види вимірювань та дати їх визначення.
• 2. Перерахувати види помилок вимірів та дати їх визначення.
• 3. Перелічити критерії, які застосовуються для оцінки точності вимірів.
• 4. Знайти середню квадратичну помилку низки вимірів, якщо найімовірніші помилки рівні: - 2,3; + 1,6; - 0,2; + 1,9; - 1,1.
• 5. Знайти відносну помилку вимірювання довжини лінії за результатами: 487,23 м та 486,91 м.

Фізичні величини характеризуються поняттям "точність похибки". Є висловлювання, що шляхом проведення вимірів можна дійти пізнання. Так вдасться дізнатися, якою є висота будинку чи довжина вулиці, як і багато інших.

Вступ

Розберемося у значенні поняття «виміряти величину». Процес виміру полягає в тому, щоб порівняти її з однорідними величинами, які приймають як одиницю.

Для визначення обсягу використовують літри, для обчислення маси застосовуються грами. Щоб було зручніше робити розрахунки, запровадили систему СІ міжнародної класифікації одиниць.

За вимірювання довжини грузли метри, маси – кілограми, об'єму – кубічні літри, часу – секунди, швидкості – метри за секунду.

При обчисленні фізичних величин який завжди потрібно користуватися традиційним способом, досить застосувати обчислення з допомогою формули. Наприклад, для обчислення таких показників, як середня швидкість, необхідно поділити пройдену відстань на час, проведений у дорозі. Так виробляються обчислення середньої швидкості.

Застосовуючи одиниці виміру, які у десять, сто, тисячу разів перевищують показники прийнятих вимірювальних одиниць, їх називають кратними.

Найменування кожної приставки відповідає своєму числу множника:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кіло.
4. Мега.
5. Гіга.
6. Тера.

У фізичній науці для запису таких множників використовується рівень числа 10. Наприклад, мільйон позначається як 10 6 .

У простій лінійці довжина має одиницю виміру – сантиметр. Вона у 100 разів менша за метр. 15-сантиметрова лінійка має довжину 0,15 м-коду.

Лінійка є найпростішим видом вимірювальних приладів для вимірювання показників довжини. Більш складні прилади представлені термометром – щоб гігрометром – щоб визначати вологість, амперметром – заміряти рівень сили, з якою поширюється електричний струм.

Наскільки точними будуть показники проведених вимірів?

Візьмемо лінійку та простий олівець. Наше завдання полягає у вимірі довжини цієї канцелярської приналежності.

Спочатку потрібно визначити, яка ціна поділу, вказана на шкалі вимірювального приладу. На двох поділках, які є найближчими штрихами шкали, написано цифри, наприклад, «1» та «2».

Необхідно підрахувати, скільки поділів укладено у проміжку цих цифр. За правильного підрахунку вийде «10». Віднімемо від числа, яке є більшим, число, яке буде меншим, і поділимо на число, яке становлять поділки між цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так визначаємо, що ціною, що визначає розподіл канцелярської власності, є число 0,1 см або 1 мм. Наочно показано, як визначається показник ціни для поділу із застосуванням будь-якого вимірювального приладу.

Вимірюючи олівець із довжиною, яка трохи менше, ніж 10 см, скористаємося отриманими знаннями. За відсутності на лінійці дрібного поділу слід було б висновок, що предмет має довжину 10 см. Це приблизне значення названо вимірювальною похибкою. Вона свідчить про той рівень неточності, що може допускатися під час проведення вимірів.

Визначаючи параметри довжини олівця з більш високим рівнемточності, більшою ціною поділу досягається більша вимірювальна точність, що забезпечує меншу похибку.

У цьому абсолютно точного виконання вимірів може бути. А показники не повинні перевищувати розмірів ціни поділу.

Встановлено, що розміри вимірювальної похибки становлять ½ ціни, яка вказана на поділах приладу, що застосовується для визначення розмірів.

Після виконання вимірів олівця 9,7 см визначимо показники його похибки. Це проміжок 9,65 – 9,85 см.

Формулою, що вимірює таку похибку, є обчислення:

А = а ± D (а)

А - як величини для вимірювальних процесів;

а – значення результату вимірів;

D – позначення абсолютної похибки.

При відніманні чи складання величин з похибкою результат буде дорівнює суміпоказників похибки, що становить кожна окрема величина.

Знайомство з поняттям

Якщо розглядати в залежності від способу її вираження, можна виділити такі різновиди:

• Абсолютну.
• Відносну.
• Наведену.

Абсолютна похибка вимірювань позначається буквою «Дельта» великою. Це поняття визначається у вигляді різниці між виміряними та дійсними значеннями тієї фізичної величини, яка вимірюється.

Виразом абсолютної похибки вимірів є одиниці тієї величини, яку необхідно виміряти.

При вимірі маси вона виражатиметься, наприклад, у кілограмах. Це не зразок точності вимірювань.

Як розрахувати похибку прямих вимірів?

Є способи зображення та їх обчислення. Для цього важливо вміти визначати фізичну величинуз необхідною точністю знати, що таке абсолютна похибка вимірювань, що її ніхто ніколи не зможе знайти. Можна обчислити лише її граничне значення.

Навіть якщо умовно вживається цей термін, він вказує на граничні дані. Абсолютна та відносна похибка вимірів позначаються однаковими літерами, різниця в їх написанні.

При вимірі довжини абсолютна похибка вимірюватиметься у тих одиницях, у яких обчислюватиметься довжина. А відносна похибка обчислюється без розмірів, оскільки є відношенням абсолютної похибки до результату виміру. Таку величину часто виражають у відсотках чи частках.

Абсолютна та відносна похибка вимірювань мають декілька різних способівобчислення в залежності від того, які фізичні величини.

Поняття прямого виміру

Абсолютна та відносна похибка прямих вимірювань залежить від класу точності приладу та вміння визначати похибку зважування.

Перш ніж говорити, як обчислюється похибка, необхідно уточнити визначення. Прямим називається вимір, у якому відбувається безпосереднє зчитування результату з приладової шкали.

Коли ми користуємося термометром, лінійкою, вольтметром або амперметром, то завжди проводимо саме прямі виміри, оскільки застосовуємо прилад безпосередньо зі шкалою.

Є два фактори, які впливають на результативність показань:

• Похибка приладів.
• Похибка системи відліку.

Кордон абсолютної похибки при прямих вимірах дорівнюватиме сумі похибки, яку показує прилад, і похибки, що відбувається в процесі відліку.

D = D (пр.) + D (відс.)

Приклад із медичним термометром

Показники похибки вказані на приладі. На медичному термометрі прописано похибку 0,1 градусів за Цельсієм. Похибка відліку становить половину ціни поділу.

D відс. = С/2

Якщо ціна розподілу 0,1 градуса, то для медичного термометра можна зробити обчислення:

D = 0,1 o З + 0,1 o З / 2 = 0,15 o З

На тильній стороні шкали іншого термометра є ТУ і зазначено, що для правильності вимірювань необхідно занурювати термометр тильною частиною. Точність виміру не вказана. Залишається лише похибка відліку.

Якщо ціна поділу шкали цього термометра дорівнює 2 o С, то можна вимірювати температуру з точністю до 1 o С. Такі межі абсолютної похибки вимірювань, що допускається, і обчислення абсолютної похибки вимірювань.

Особливу систему обчислення точності використовують у електровимірювальних приладах.

Точність електровимірювальних приладів

Щоб задати точність таких пристроїв, використовується величина, яка називається класом точності. Для її позначення застосовують букву Гамма. Щоб точно визначити визначення абсолютної та відносної похибки вимірювань, потрібно знати клас точності приладу, який вказаний на шкалі.

Візьмемо, наприклад, амперметр. На його шкалі вказано клас точності, що вказує число 0,5. Він придатний для вимірювань на постійному та змінному струмі, відноситься до пристроїв електромагнітної системи.

Це досить точний прилад. Якщо порівняти його зі шкільним вольтметром, видно, що він має клас точності - 4. Цю величину обов'язково знати для подальших обчислень.

Застосування знань

Таким чином, D c = c (max) Х γ /100

Цією формулою і користуватимемося для конкретних прикладів. Скористаємося вольтметром та знайдемо похибку вимірювання напруги, яку дає батарейка.

Підключимо батарейку безпосередньо до вольтметра, попередньо перевіривши, чи стрілка стоїть на нулі. При підключенні приладу стрілка відхилилася на 4,2 розподілу. Цей стан можна охарактеризувати так:

1. Видно, що максимальне значення U даного предмета дорівнює 6.
2. Клас точності -(?) = 4.
3. U(о) = 4,2 Ст.
4. С=0,2

Користуючись цими даними формули, абсолютна та відносна похибка вимірювань обчислюється так:

DU = DU (пр.) + С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Це похибка приладу.

Розрахунок абсолютної похибки вимірювань у разі буде виконано так:

D U = 0,24 + 0,1 В = 0,34 В

За розглянутою формулою легко можна дізнатися, як розрахувати абсолютну похибку вимірювань.

Існує правило округлення похибок. Воно дозволяє знайти середній показник між межею абсолютної похибки та відносною.

Вчимося визначати похибку зважування

Це один із прикладів прямих вимірів. На особливому місці стоїть зважування. Адже важельні ваги не мають шкали. Навчимося визначати похибку такого процесу. На точність вимірювання маси впливає точність гир та досконалість самих ваг.

Ми користуємося важелями з набором гирь, які необхідно класти саме на праву чашу терезів. Для зважування візьмемо лінійку.

Перед початком досвіду потрібно врівноважити ваги. Лінійку кладемо на ліву чашу.

Маса дорівнюватиме сумі встановлених гир. Визначимо похибку виміру цієї величини.

D m = D m (ваг) + D m (гір)

Похибка вимірювання маси складається з двох доданків, пов'язаних з вагами та гирями. Щоб дізнатися кожну з цих величин, на заводах з випуску ваг та гирь продукція забезпечується спеціальними документами, які дозволяють обчислити точність.

Застосування таблиць

Скористайтеся стандартною таблицею. Похибка терезів залежить від того, яку масу поклали на ваги. Чим вона більша, тим, відповідно, більша і похибка.

Навіть якщо покласти дуже легке тіло, буде похибка. Цей пов'язаний із процесом тертя, що відбувається в осях.

Друга таблиця відноситься до набору гирь. На ній зазначено, кожна з них має свою похибку маси. 10-грамова має похибку 1 мг, як і 20-грамова. Прорахуємо суму похибок кожної з цих гирек, взятої з таблиці.

Зручно писати масу та похибку маси у двох рядках, які розташовані одна під одною. Чим менше гирі, тим точніше вимір.

Підсумки

У результаті розглянутого матеріалу встановлено, що визначити абсолютну похибку неможливо. Можна лише встановити її граничні показники. Для цього використовуються формули, описані вище у обчисленнях. Даний матеріал запропонований для вивчення у школі для учнів 8-9 класів. На основі отриманих знань можна вирішувати задачі на визначення абсолютної та відносної похибки.

Як було сказано вище, результат виміру будь-якої величини відрізняється від справжнього значення. Ця відмінність, рівна різниці між показанням приладу і істинним значенням, називається абсолютною похибкою вимірювання, яка виражається в тих же одиницях, що і сама величина, що вимірюється:

де х- Абсолютна похибка.

Під час проведення комплексного контролю, коли вимірюються показники різної розмірності, доцільніше користуватися абсолютної, а відносної похибкою. Вона визначається за такою формулою:

Доцільність застосування хотн пов'язана з такими обставинами. Припустимо, що ми вимірюємо час із точністю до 0,1 с (абсолютна похибка). При цьому якщо йдеться про біг на 10 000 м, то точність цілком прийнятна. Але вимірювати з такою точністю час реакції не можна, так як величина помилки майже дорівнює величині, що вимірюється (час простої реакції дорівнює 0,12-0,20 с). У зв'язку з цим потрібно зіставити величину помилки і саму величину, що вимірюється, і визначити відносну похибку.

Розглянемо приклад визначення абсолютної та відносної похибок виміру. Припустимо, що вимірювання частоти серцевих скорочень після бігу за допомогою високоточного приладу дає нам величину, близьку до істинної і дорівнює 150 уд/хв. Одночасний пальпаторний вимір дає величину, що дорівнює 162 уд/хв. Підставивши ці значення у наведені вище формули, отримаємо:

x=150-162=12 уд/хв - абсолютна похибка;

х=(12: 150) Х100% = 8% -відносна похибка.

Завдання №3 Індекси оцінки фізичного розвитку

Абсолютні та відносні помилки

Такі помилки, як середня (J), середня квадратична ( m), ймовірна ( r), справжня (D) та гранична (D пр), є абсолютними помилками. Вони завжди виражені у одиницях вимірюваної величини, тобто. мають однакову з вимірюваною величиною розмірність.
Часто виникають випадки, коли різні за величиною об'єкти вимірюють з абсолютними однаковими помилками. Наприклад, середня квадратична помилкавимірювання ліній завдовжки: l 1 = 100 м та l 2 = 1000 м, склала m= 5 див. Виникає питання: яка лінія вимірювалася точніше? Щоб уникнути невизначеності, точність вимірів низки величин оцінюють як відношення абсолютної помилки до значення вимірюваної величини. Отримане відношення називається відносною помилкою, яку зазвичай виражають дробом з чисельником, що дорівнює одиниці.
Найменування абсолютної помилки визначає і назву відповідної їй відносної помилки виміру [1].

Нехай x- результат виміру деякої величини. Тоді
- Середня квадратична відносна помилка;

Середня відносна помилка;

Ймовірна відносна помилка;

Справжня відносна помилка;

Гранична відносна помилка.

Знаменник Nвідносної помилки необхідно округлювати до двох значущих цифр із нулями:

m x= 0,3 м; x= 152,0 м;

m x= 0,25 м; x= 643,00 м; .

m x= 0,033 м; x= 795,000 м;

Як видно з прикладу, чим більший знаменник дробу, тим точніше виконані виміри.

Помилки округлення

При обробці результатів вимірювань важливу роль відіграють помилки округлення, які за своїми властивостями можна віднести до випадкових величин [2]:

1) гранична помилкаодного округлення становить 0,5 одиниці утримуваного знака;

2) великі та менші за абсолютною величиною помилки округлення рівноможливі;
3) позитивні та негативні помилки округлення рівноможливі;
4) математичне очікування помилок округлення дорівнює нулю.
Ці властивості дозволяють віднести помилки округлення до випадкових величин, що мають рівномірний розподіл. Безперервна випадкова величина Xмає рівномірний розподіл на інтервалі [ a, b], якщо на цьому інтервалі щільність розподілу випадкової величинипостійна, а поза ним дорівнює нулю (рис. 2), тобто.

j (x) . (1.32)

Функція розподілу F(x)

a b x(1.33)

Мал. 2 Математичне очікування

(1.34)

Дисперсія
(1.35)

Середнє квадратичне відхилення

(1.36)

Для помилок округлення