Чисельне інтегрування методу трапецій c. Обчислення інтегралів за формулами прямокутників та трапецій

Обчислення інтегралів зустрічається під час моделювання досить часто. Чисельні методи зазвичай застосовуються при взятті інтегралів, що не беруться, від достатньо складних функцій, які попередньо табулюються, або при інтегруванні таблично заданих функцій, що у економічних додатках зустрічається значно частіше.

Концепція чисельного інтегрування.

всі Чисельні методибудуються на тому, що підінтегральна функція приблизно замінюється більш простою (горизонтальною або похилою прямою, параболою 2-го, 3-го або вищого порядку), від якої інтеграл легко береться. В результаті виходять формули інтегрування, звані квадратурними, у вигляді виваженої суми ординат підінтегральної функції в окремих точках:

Чим менше інтервали, на яких здійснюють заміну, тим точніше обчислюється інтеграл. Тому вихідний відрізок [а, b]для підвищення точності ділять на кілька рівних або нерівних інтервалів, на кожному з яких застосовують формулу інтегрування, а потім складають результати.

Найчастіше похибка чисельного інтегрування визначається шляхом подвійного інтегрування: з вихідним кроком (крок визначається шляхом рівномірного поділу відрізка b-ана число відрізків n = (b-a) / n)u з кроком, збільшеним у 2 рази. Різниця обчислених значень інтегралів визначає похибку.

Порівняння ефективності різних методівпроводиться за рівнем полінома, який даним методом інтегрується точно без помилки. Чим вищий ступінь такого полінома, тим вища точність методу, тим ефективніший.

До найпростіших методів можна віднести методи прямокутників(лівих та правих) та трапецій.У першому випадку підінтегральна функція замінюється горизонтальною прямою (у = с0) із значенням ординати, тобто. значення функції відповідно ліворуч або праворуч ділянки, у другому випадку - похилої прямої (у = с 1 х + с 0). Формули інтегрування при розбитті відрізка [а, b] на n частин з рівномірним кроком h відповідно набувають вигляду:

Для однієї ділянки інтегрування:

для пділянок інтегрування:

Неважко помітити, що в методі прямокутників інтеграл обчислиться точно тільки при f (х) = з(Const), а в методі трапецій - при f(x) лінійної або шматково-лінійної.

На рис. 4 для порівняння наведено приклади прямокутників при різній кількості ділянок. Наочно видно, що площа прямокутників на правому малюнку менше відрізняється від площі під кривою f(x),ніж на лівому.

Рис. 4. Ілюстрація методу лівих прямокутників:

а- з 3 ділянками розбиття відрізка інтегрування [а, b];

б- з 6 ділянками розбиття відрізка інтегрування [а, b]

Метод прямокутників не знаходить практичного застосуваннячерез значні похибки, що теж видно з рис. 4.

На рис. 5 наведено приклад обчислення інтеграла методом трапецій. У порівнянні з методом прямокутників метод трапецій більш точний, тому що трапеція точніше замінює відповідну криволінійну трапецію, ніж прямокутник. Рис. 5.

Похибка Rобчислення інтеграла методом трапецій під час використання подвійного прорахунку практично може бути визначено з наступного співвідношення:

де I nі I п/2- відповідно значення інтеграла при числі розбиття пі п/2.Існують і аналітичні висловлювання для визначення похибки, але вони вимагають знання другої похідної підінтегральної функції, тому мають лише теоретичне значення. З використанням подвійного прорахунку можна організувати автоматичний підбір кроку інтегрування (тобто числа розбиття n) задля забезпечення заданої похибки інтегрування (послідовно подвоюючи крок і контролюючи похибку).

Отримаємо методом лівих прямокутників:

Отримаємо методом правих прямокутників:

Отримаємо методом трапецій:

Метод трапеційє одним із методів чисельного інтегрування. Він дозволяє обчислювати певні інтеграли із заздалегідь заданим ступенем точності.

Спочатку опишемо суть методу трапецій та виведемо формулу трапецій. Далі запишемо оцінку абсолютної похибкиметоду та докладно розберемо рішення характерних прикладів. Наприкінці порівняємо метод трапецій із методом прямокутників.

Навігація на сторінці.

Суть методу трапецій.

Поставимо собі наступне завдання: нехай нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл , де підінтегральна функція y=f(x) безперервна на відрізку .

Розіб'ємо відрізок на n рівних інтервалів довжини h точками. І тут крок розбиття знаходимо як і вузли визначаємо з рівності .

Розглянемо підінтегральну функцію на елементарних відрізках .

Можливі чотири випадки (на малюнку показані найпростіші з них, до яких все зводиться при нескінченному збільшенні n):

На кожному відрізку замінимо функцію y=f(x) відрізком прямої, що проходить через точки з координатами і . Зобразимо їх на малюнку синіми лініями:

Як наближене значення інтеграла візьмемо вираз тобто приймемо .

Давайте з'ясуємо, що означає в геометричному сенсізаписана наближена рівність. Це дозволить зрозуміти, чому метод чисельного інтегрування, що розглядається, називається методом трапецій.

Ми знаємо, що площа трапеції знаходиться як добуток підлоги суми підстав на висоту. Отже, у першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі трапеції з основами і висотою h , у разі певний інтеграл наближено дорівнює площітрапеції з основами і висотою h взятої зі знаком мінус. У другому та третьому випадках наближене значення певного інтегралудорівнює різниці площ червоної та синьої областей, зображених на малюнку нижче.

Таким чином, ми підійшли до суті методу трапецій, яка полягає у поданні певного інтеграла у вигляді суми інтегралів виду на кожному елементарному відрізку та у наступній наближеній заміні .

Формула методу трапеції.

В силу п'ятої властивості певного інтегралу .

Якщо замість інтегралів підставити їх наближені значення, то вийде:

Оцінка абсолютної похибки способу трапецій.

Абсолютна похибка методу трапеційоцінюється як
.

Графічна ілюстрація методу трапецій.

Наведемо графічну ілюстрацію методу трапецій:

Приклади наближеного обчислення певних інтегралів шляхом трапецій.

Розберемо з прикладів застосування методу трапецій при наближеному обчисленні певних інтегралів.

В основному зустрічаються два різновиди завдань:

або обчислити певний інтеграл шляхом трапецій для цього числа розбиття відрізка n ,
або визначити наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю.

Слід зауважити, що при заданому n проміжні обчислення слід проводити з достатнім ступенем точності, причому чим більше n тим вище повинна бути точність обчислень.

Якщо потрібно обчислити певний інтеграл із заданою точністю, наприклад, до 0.01, то проміжні обчислення рекомендуємо проводити на два-три порядки точніше, тобто до 0.0001 - 0.00001. Якщо зазначена точність досягається при великих n, то проміжні обчислення слід проводити з більш високою точністю.

Для прикладу візьмемо певний інтеграл, значення якого ми можемо обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца, щоб можна було порівнювати цей результат з наближеним значенням, отриманим методом трапецій.

Отже, .

приклад.

Обчислити певний інтеграл методом трапецій n = 10 .

Рішення.

Формула методу трапецій має вигляд . Тобто, для її застосування нам достатньо обчислити крок h за формулою, визначити вузли та обчислити відповідні значення підінтегральної функції.

Обчислимо крок розбиття: .

Визначаємо вузли та обчислюємо значення підінтегральної функції в них (братимемо чотири знаки після коми):

Результати обчислень для зручності подаємо у вигляді таблиці:

Підставляємо їх у формулу методу трапецій:

Отримане значення збігається до сотих із значенням, обчисленим за формулою Ньютона-Лейбніца.

приклад.

Обчисліть певний інтеграл методом трапецій з точністю до 0.01.

Рішення.

Що ми маємо з умови: a = 1; b = 2; .

У цьому випадку насамперед знаходимо кількість точок розбиття відрізка інтегрування, тобто n . Ми можемо це зробити, використовуючи нерівність для оцінки абсолютної похибки . Таким чином, якщо ми знайдемо n для яких буде виконуватися нерівність , то формула трапецій за даних n дасть нам наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю.

Знайдемо спочатку найбільше значеннямодуля другої похідної функції на відрізку.

Друга похідна функції є квадратичною параболою, ми знаємо з її властивостей, що вона позитивна і зростаюча на відрізку, тому . Як бачите, у нашому прикладі процес знаходження досить простий. У більш складних випадках звертайтеся до розділу. Якщо знайти дуже складно, то після цього прикладу ми наведемо альтернативний метод дій.

Повернемося до нашої нерівності і підставимо в нього отримане значення:

Так як n – число натуральне (n - кількість елементарних інтервалів, куди розбивається відрізок інтегрування), можна брати n = 6, 7, 8, ... Візьмемо n = 6 . Це дозволить нам досягти необхідної точності методу трапецій при мінімумі розрахунків (хоча для нашого випадку при n = 10 робити обчислення вручну зручніше).

Отже, n знайдено, тепер діємо як у попередньому прикладі.

Обчислюємо крок: .

Знаходимо вузли сітки та значення підінтегральної функції у них:

Занесемо до таблиці результати розрахунків:

Підставляємо отримані результати у формулу трапецій:

Обчислимо вихідний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца, щоб порівняти значення:

Отже, необхідної точності досягнуто.

Слід зазначити, що знаходження числа n з нерівності для оцінки абсолютної похибки є не дуже простою процедурою, особливо для підінтегральних функцій складного вигляду. Тому логічно вдатися до наступного методу.

Наближене значення певного інтеграла, отримане методом трапецій для n вузлів, будемо позначати .

Вибираємо довільне число n, наприклад n = 10. Обчислюємо за формулою методу трапецій вихідний інтеграл для n = 10 і подвоєного числа вузлів, тобто, для n = 20 . Знаходимо абсолютну величину різниці двох отриманих наближених значень. Якщо вона менша за потрібну точність , то припиняємо обчислення і як наближеного значення певного інтеграла беремо значення , попередньо округливши його до необхідного порядку точності. В іншому випадку подвоїмо кількість вузлів (беремо n = 40) і повторюємо дії.

Метод трапецій одна із методів чисельного інтегрування. Він дозволяє обчислювати певні інтеграли із заздалегідь заданим ступенем точності.

Поставимо перед собою таке завдання: нехай нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл , де підінтегральна функція y=f(x)безперервна на

відрізку .

Розіб'ємо відрізок на nрівних інтервалів довжини hточками. В цьому випадку крок розбиття знаходимо які вузли визначаємо з рівності.

Розглянемо підінтегральну функцію на елементарних відрізках .

На кожному відрізку замінимо функцію y=f(x)відрізком прямий, що проходить через точки з координатами і. Зобразимо їх на малюнку синіми лініями:

Як наближене значення інтеграла візьмемо вираз тобто приймемо .

Давайте з'ясуємо, що означає у геометричному сенсі записана наближена рівність. Це дозволить зрозуміти, чому метод чисельного інтегрування, що розглядається, називається методом трапецій.

Ми знаємо, що площа трапеції знаходиться як добуток підлоги суми підстав на висоту. Отже, у першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі трапеції з основами та заввишки h, в останньому випадку певний інтеграл приблизно дорівнює площі трапеції з основами та заввишки h, узятий зі знаком мінус. У другому та третьому випадках наближене значення певного інтеграла дорівнює різниці площ червоної та синьої областей, зображених на малюнку нижче.

Таким чином, ми підійшли до суті методу трапецій, яка полягає у поданні певного інтеграла у вигляді суми інтегралів видана кожному елементарному відрізку та у наступній наближеній заміні .

Формула методу трапеції.

В силу п'ятої властивості певного інтегралу .

Якщо замість інтегралів підставити їх наближені значення, то вийде формула методу трапецій:

Оцінка абсолютної похибки способу трапецій.

Абсолютна похибка методу трапеційоцінюється як.

Графічна ілюстрація методу трапецій.

3. Метод Сімпсона (парабол)

Це досконаліший спосіб – графік підінтегральної функції наближається не ламаною лінією, а дрібними параболками. Скільки проміжних відрізків – стільки й невеликих парабол. Якщо взяти самі три відрізка, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або метод трапецій.

Нехай функція y = f(x)безперервна на відрізку і нам потрібно обчислити певний інтеграл.

Розіб'ємо відрізок на nелементарних відрізків довжини крапками. Нехай точки є серединами відрізків відповідно. І тут всі " вузли " визначаються з рівності.

Суть методу парабол.

На кожному інтервалі підінтегральна функція наближається квадратичною параболою , що проходить через точки. Звідси і назва методу – метод парабол.

Це робиться для того, щоб як наближене значення певного інтеграла взяти , що ми можемо обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца. У цьому полягає суть методу парабол.

Геометрично це виглядає так:

Графічна ілюстрація методу парабол (Сімпсона).

Червоною лінією зображено графік функції y=f(x), синій лінією показано наближення графіка функції y=f(x)квадратичними параболами на кожному елементарному відрізку розбиття.

Виведення формули методу Сімпсона (парабол).

У силу п'ятої властивості певного інтегралу маємо.

Для отримання формули методу парабол (Сімпсону) нам залишилося обчислити .

Нехай (ми завжди можемо до цього прийти, провівши відповідне геометричне перетворення зсуву для будь-якого i = 1, 2, ..., n).

Зробимо креслення.

Покажемо, що через точки проходить лише одна квадратична парабола . Іншими словами, доведемо, що коефіцієнти визначаються єдиним чином.

Обчислення інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та формулою Сімпсона. Оцінка похибок.

Методичні вказівкина тему 4.1:

Обчислення інтегралів за формулами прямокутників. Оцінка похибки:

Рішення багатьох технічних завдань зводиться до обчислення певних інтегралів, точне вираз яких складно, вимагає тривалих обчислень і завжди виправдано практично. Тут буває цілком достатньо їхнього наближеного значення. Наприклад, необхідно обчислити площу, обмежену лінією, рівняння якої невідоме, віссю хта двома ординатами. У цьому випадку можна замінити цю лінію більш простою, для якої відоме рівняння. Площа отриманої в такий спосіб криволінійної трапеції приймається за наближене значення шуканого інтеграла. Геометрично ідея способу обчислень певного інтеграла за формулою прямокутників полягає в тому, що площа криволінійної трапеції А 1 АВВ 1замінюється площею рівновеликого прямокутника А 1 А 2 В 1 В 2, яка за теоремою про середнє дорівнює

Де f(c) --- висотапрямокутника А 1 А 2 В 1 В 2являє собою значення підінтегральної функції в деякій проміжній точці c(a< c

Практично важко знайти таке значення з, за якого (b-a) f (c)в точності дорівнювало б. Для отримання більш точного значення площу криволінійної трапеції розбивають на nпрямокутників, висоти яких рівні y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1та підстави .

Якщо підсумовувати площі прямокутників, які покривають площу криволінійної трапеції з недоліком, функція --- неубутня, то замість формули використовують формулу

Якщо з надлишком, то

Значення знаходять із рівностей. Ці формули називаються формулами прямокутниківта дають наближений результат. Зі збільшенням nрезультат стає точнішим.

Приклад 1 . Обчислити за формулою прямокутників

Розділимо проміжок інтегрування на 5 частин. Тоді. За допомогою калькулятора або таблиці знайдемо значення підінтегральної функції (з точністю до 4 знаків після коми):

За формулою прямокутників (з нестачею)

З іншого боку, за формулою Ньютона-Лейбніца

Знайдемо відносну похибку обчислення за формулою прямокутників:

Обчислення інтегралів за формулами трапецій. Оцінка похибки:

Геометричний зміст наступного способу наближеного обчислення інтегралів у тому, що перебування площі приблизно рівновеликої «прямолінійної» трапеції.

Нехай необхідно обчислити площу А 1 АmBB 1криволінійної трапеції, що виражається формулою .

Замінимо дугу AmBхордий ABі замість площі криволінійної трапеції А 1 АmBB 1обчислимо площу трапеції А 1 АBB 1: , де AA 1і ВВ 1 - основи трапеції, а A 1 В 1 її висота.

Позначимо f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.висота трапеції A 1 B 1 =b-a,площа . Отже, або

Це так звана мала формула трапецій.

Сьогодні ми познайомимося із ще одним методом чисельного інтегрування, методом трапецій. З його допомогою ми обчислюватимемо певні інтеграли із заданим ступенем точності. У статті опишемо суть методу трапецій, розберемо, як виводиться формула, порівняємо метод трапеції з методом прямокутника, запишемо оцінку абсолютної похибки методу. Кожен із розділів ми проілюструємо прикладами для глибшого розуміння матеріалу.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Припустимо, що нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x , підінтегральна функція якого y = f (x) безперервна на відрізку [ a ; b]. Для цього розділимо відрізок [a; b] на кілька рівних інтервалів довжини h точками a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Знайдемо крок розбиття: h = b - a n. Визначимо вузли з рівності x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . , n.

На елементарних відрізках розглянемо підінтегральну функцію x i - 1; x i, i = 1, 2,. . , n.

При нескінченному збільшенні n зведемо всі випадки до чотирьох найпростіших варіантів:

Виділимо відрізки x i - 1; x i, i = 1, 2,. . . , n. Замінимо на кожному з графіків функцію y = f(x) відрізком прямої, який проходить через точки з координатами xi - 1; f x i - 1 і x i; f x i. Зазначимо їх на малюнках синім кольором.

Візьмемо вираз f (xi - 1) + f (xi) 2 · h як наближеного значення інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Тобто. приймемо ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (xi - 1) + f (xi) 2 · h .

Давайте подивимося, чому метод чисельного інтегрування, який ми вивчаємо, зветься методом трапецій. Для цього нам потрібно з'ясувати, що з погляду геометрії означає записану наближену рівність.

Для того щоб обчислити площу трапеції, необхідно помножити півсуми її підстав на висоту. У першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює трапеції з основами f (xi - 1), f (xi) висотою h . У четвертому з наведених випадків заданий інтеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приблизно дорівнює площі трапеції з основами - f (xi - 1) , - f (xi) і висотою h , яку необхідно взяти зі знаком « - ». Для того, щоб обчислити наближене значення певного інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x у другому та третьому з розглянутих випадків, нам необхідно знайти різницю площ червоної та синьої областей, які ми відзначили штрихуванням на малюнку, що знаходиться нижче.

Підведемо підсумки. Суть методу трапецій полягає в наступному: ми можемо представити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x у вигляді суми інтегралів виду ∫ x i - 1 x i f (x) d x на кожному елементарному відрізку та в наступній наближеній заміні ∫ x i - 1 x i f (x) ≈ f(xi - 1) + f(xi) 2 · h .

Формула методу трапецій

Згадаймо п'яту властивість певного інтеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, щоб отримати формулу методу трапецій, замість інтегралів ∫ x i - 1 x i f (x) d x підставити їх наближені значення: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2 ) + f (x 3) + .. . x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Визначення 1
Формула методу трапецій:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Оцінка абсолютної похибки методу трапецій

Оцінимо абсолютну похибку методу трапецій наступним чином:
Визначення 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2

Графічна ілюстрація методу трапецій наведена малюнку:

Приклади обчислень

Розберемо приклади використання методу трапецій наближеного обчислення певних інтегралів. Особливу увагу приділимо двом різновидам завдань:

обчислення певного інтеграла методом трапецій даного числа розбиття відрізка n;

знаходження наближеного значення певного інтеграла з обумовленою точністю.

При заданому n усі проміжні обчислення необхідно проводити з досить високим ступенем точності. Точність обчислень має бути вище, ніж більше n .

Якщо ми маємо задану точність обчислення певного інтеграла, всі проміжні обчислення необхідно проводити на два і більше порядків точніше. Наприклад, якщо задана точність до 0 01 то проміжні обчислення ми проводимо з точністю до 0 0001 або 0 00001 . При великих n проміжні обчислення необхідно проводити ще більш високої точністю.

Розглянемо наведене вище правило з прикладу. Для цього порівняємо значення певного інтеграла, обчисленого за формулою Ньютона-Лейбніца та отриманого за методом трапецій.

Отже, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 r c t g (x) 0 5 = 7 r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
Приклад 1
Обчислимо за методом трапецій певний інтеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n 10 .

Рішення

Формула методу трапецій має вигляд ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Для того, щоб застосувати формулу, нам необхідно обчислити крок h за формулою h = b - a n, Визначити вузли x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n обчислити значення підінтегральної функції f (x) = 7 x 2 + 1 .

Крок розбиття обчислюється так: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для обчислення підінтегральної функції у вузлах x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . n будемо брати чотири знаки після коми:

i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f(x1) = f(0.5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесемо результати обчислень до таблиці:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x i 0 0 . 5 1 1 , 5 2 2 , 5 3 3 , 5 4 4 , 5 5
f (x i) 7 5 , 6 3 , 5 2 , 1538 1 , 4 0 , 9655 0 , 7 0 , 5283 0 , 4117 0 , 3294 0 , 2692
Підставимо отримані значення у формулу методу трапецій: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 2692 = 9,

Порівняємо наші результати з результатами, обчисленими за формулою Ньютона-Лейбніца. Отримані значення збігаються до сотих.

Відповідь:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9, 6117
Приклад 2
Обчислимо методом трапецій значення певного інтеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x з точністю до 0,01 .

Рішення

Відповідно до умови задачі a = 1; b = 2, f(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δ n ≤ 0,01.

Знайдемо n , яка дорівнює кількості точок розбиття відрізка інтегрування, за допомогою нерівності для оцінки абсолютної похибки n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Зробимо ми це в такий спосіб: ми знайдемо значення n , котрим буде виконуватися нерівність m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . За даними n формула трапецій дасть нам наближене значення певного інтеграла із заданою точністю.

Для початку знайдемо найбільше значення модуля другої похідної функції на відрізку [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Друга похідна функція є квадратичною параболою f""(x) = x2. З її властивостей ми знаємо, що вона позитивна та зростає на відрізку [1; 2]. У зв'язку з цим m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) = f " " (2) = 2 2 = 4 .

У наведеному прикладі процес знаходження m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) виявився досить простим. У складних випадках щодо обчислень можна звернутися до найбільшим і найменшим значенням функції. Після розгляду цього прикладу ми наведемо альтернативний метод знаходження m a x x ∈ [a; b] f "" (x).

Підставимо отримане значення в нерівність m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Кількість елементарних інтервалів, на які розбивається відрізок інтегрування є натуральним числом. Для поведінки обчислень візьмемо n рівну шести. Таке значення n дозволить нам досягти заданої точності методу трапецій за мінімум розрахунків.

Обчислимо крок: h = b - a n = 2 - 16 = 16.

Знайдемо вузли x i = a + i · h, i = 1, 0,. . . , n , визначимо значення підінтегральної функції цих вузлах:

i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833

Результати обчислень запишемо у вигляді таблиці:

i 0 1 2 3 4 5 6
x i 1 7 6 4 3 3 2 5 3 11 6 2
f x i 0 , 4 0 , 5266 0 , 6911 0 , 9052 1 , 1819 1 , 5359 1 , 9833
Підставимо отримані результати у формулу трапецій:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для порівняння обчислимо вихідний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Як бачимо, отриманої точності обчислень ми досягли.

Відповідь: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для підінтегральних функцій складного виду перебування числа n з нерівності з метою оцінки абсолютної похибки який завжди просто. У цьому випадку буде доречним такий метод.

Позначимо наближене значення певного інтеграла, яке було отримано методом трапецій для n вузлів, як I n . Виберемо довільне число n. За формулою методу трапецій обчислимо вихідний інтеграл при одинарному (n = 10) та подвоєному (n = 20) числі вузлів та знайдемо абсолютну величину різниці двох отриманих наближених значень I 20 - I 10 .

Якщо абсолютна величина різниці двох отриманих наближених значень менша за потрібну точність I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Якщо абсолютна величина різниці двох отриманих наближених значень більше необхідної точності, необхідно повторити дії з подвоєним кількістю вузлів (n = 40) .

Такий метод вимагає проведення великого обсягу обчислень, тому розумно використовувати обчислювальну техніку задля економії часу.

Вирішимо за допомогою наведеного вище алгоритму завдання. З метою економії часу опустимо проміжні обчислення методом трапецій.
Приклад 3
Необхідно обчислити певний інтеграл ∫ 0 2 x e x d x за методом трапецій з точністю до 0,001.

Рішення

Візьмемо n 10 і 20 . За формулою трапецій отримаємо I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8,4595380 = 0,0528474> 0,001, що вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 40: I 40 = 8,3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0,013225>0,001, що також вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 80: I 80 = 8 3901585 .

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8,3934656 = 0,0033071>0,001, що вимагає проведення ще одного подвоєння числа вузлів.

Візьмемо n рівне 160: I 160 = 8,3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Отримати наближене значення вихідного інтеграла можна округлити I 160 = 8 , 3893317 до тисячних: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для порівняння обчислимо вихідний певний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 3890561 . Необхідна точність досягнуто.

Відповідь: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Похибки

Проміжні обчислення для визначення значення певного інтеграла проводять здебільшого приблизно. Це означає, що зі збільшенням n починає накопичуватися обчислювальна похибка.

Порівняємо оцінки абсолютних похибок методу трапецій та методу середніх прямокутників:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Метод прямокутників для заданого n за однакового обсягу обчислювальної роботи дає вдвічі меншу похибку. Це робить метод кращим у тих випадках, коли відомі значення функції в середніх відрізках елементарних відрізків.

У тих випадках, коли функції, що інтегруються, задаються не аналітично, а у вигляді безлічі значень у вузлах, ми можемо використовувати метод трапецій.

Якщо порівнювати точність методу трапецій та методу правих та лівих прямокутників, то перший метод перевершує другий у точності результату.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833