Як побудувати параболу? Існує кілька способів побудови графіка квадратичної функції. Кожен із них має свої плюси та мінуси. Розглянемо два способи.

Почнемо з побудови графіка квадратичної функції виду y=x²+bx+c та y=-x²+bx+c.

приклад.

Побудувати графік функції y=x2+2x-3.

Рішення:

y=x²+2x-3 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

Від вершини (-1;-4) будуємо графік параболи y=x²(як від початку координат. Замість (0;0) — вершина (-1;-4). Від (-1;-4) йдемо вправо на 1 одиницю і вгору на 1 одиницю, потім ліворуч на 1 і вгору на 1; цих 7 точок недостатньо, далі - 4 вправо, 16 - вгору і т. д.).

Графік квадратичної функції y = -x² + bx + c парабола, гілки якої спрямовані вниз. Для побудови графіка шукаємо координати вершини та від неї будуємо параболу y = -x².

приклад.

Побудувати графік функції y=-x²+2x+8.

Рішення:

y=-x²+2x+8 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Від вершини будуємо параболу y = -x² (1 - вправо, 1 вниз; 1 - вліво, 1 - вниз; 2 - вправо, 4 - вниз; 2 - вліво, 4 - вниз і т. Д.):

Цей спосіб дозволяє побудувати параболу швидко і не викликає труднощів, якщо ви вмієте будувати графіки функцій y=x² та y=-x². Недолік: якщо координати вершини – дробові числа, будувати графік не дуже зручно. Якщо потрібно знати точні значенняточок перетину графіка з віссю Ох, доведеться додатково розв'язати рівняння x²+bx+c=0 (або -x²+bx+c=0), навіть якщо ці точки безпосередньо можна визначити за малюнком.

Інший спосіб побудови параболи - за точками, тобто можна знайти кілька точок графіка і через них провести параболу (з урахуванням того, що пряма x = хₒ є її віссю симетрії). Зазвичай беруть вершину параболи, точки перетину графіка з осями координат і 1-2 додаткові точки.

Побудувати графік функції y=x2+5x+4.

Рішення:

y=x²+5x+4 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

тобто вершина параболи - точка (-2,5; -2,25).

Шукаємо. У точці перетину із віссю Ох y=0: x²+5x+4=0. Коріння квадратного рівняннях1=-1, х2=-4, тобто отримали дві точки графіці (-1; 0) та (-4; 0).

У точці перетину графіка із віссю Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Отримали точку (0; 4).

Для уточнення графіка можна знайти додаткову точку. Візьмемо х=1, тоді y=1²+5∙1+4=10, тобто ще одна точка графіка – (1; 10). Зазначаємо ці точки на координатній площині. З урахуванням симетрії параболи щодо прямої, що проходить через її вершину, відзначимо ще дві точки: (-5; 6) і (-6; 10) і проведемо через них параболу:

Побудувати графік функції y=-x²-3x.

Рішення:

y=-x²-3x - квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Вершина (-1,5; 2,25) - перша точка параболи.

У точках перетину графіка з віссю абсцис y=0, тобто розв'язуємо рівняння -x²-3x=0. Його коріння - х = 0 і х = -3, тобто (0; 0) і (-3; 0) - ще дві точки графіка. Точка (о; 0) є також точкою перетину параболи з віссю ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, тобто (1; -4) — додаткова точка для побудови графіка.

Побудова параболи по точках — трудомісткіший, порівняно з першим, спосіб. Якщо парабола не перетинає вісь Oх, додаткових точок потрібно більше.

Перш ніж продовжити побудову графіків квадратичних функцій виду y=ax²+bx+c, розглянемо побудову графіків функцій з допомогою геометричних перетворень. Графіки функцій виду y=x²+c також найзручніше будувати, використовуючи одне з таких перетворень — паралельне перенесення.

Рубрика: |

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Даний методичний матеріалносить довідковий характер і відноситься до широкому колутим. У статті наведено огляд графіків основних елементарних функцій та розглянуто найважливіше питання – як правильно і ШВИДКО побудувати графік. У ході вивчення вищої математики без знання графіків основних елементарних функцій доведеться важко, тому дуже важливо згадати, як виглядають графіки параболи, гіперболи, синуси, косинуси і т.д., запам'ятати деякі значення функцій. Також мова піде про деякі властивості основних функцій.

Я не претендую на повноту та наукову обґрунтованість матеріалів, наголос буде зроблено, перш за все, на практиці – тих речах, з якими доводиться стикатися буквально на кожному кроці, у будь-якій темі вищої математики. Графіки для чайників? Можна сказати і так.

за численним проханнямчитачів клікабельний зміст:

Крім того, є надкороткий конспект на тему
– освойте 16 видів графіків, вивчивши шість сторінок!

Серйозно, шість, здивувався навіть сам. Даний конспект містить покращену графіку і доступний за символічну плату, демо-версію можна подивитися. Файл зручно надрукувати, щоб графіки завжди були під рукою. Дякуємо за підтримку проекту!

І одразу починаємо:

Як правильно збудувати координатні осі?

На практиці контрольні роботи майже завжди оформлюються студентами в окремих зошитах, розлинених у клітку. Навіщо потрібна картата розмітка? Адже роботу, загалом, можна зробити і на листах А4. А клітина необхідна саме для якісного та точного оформлення креслень.

Будь-яке креслення графіка функції починається з координатних осей.

Креслення бувають двомірними та тривимірними.

Спочатку розглянемо двовимірний випадок декартової прямокутної системи координат:

1) Чортимо координатні осі. Вісь називається віссю абсцис , а вісь – віссю ординат . Рисувати їх завжди намагаємося акуратно і не криво. Стрілки теж не повинні нагадувати бороду Папи Карло.

2) Підписуємо осі великими літерами «ікс» та «ігрок». Не забуваємо підписувати осі.

3) Задаємо масштаб по осях: малюємо нуль і дві одиниці. При виконанні креслення найзручніший і найпоширеніший масштаб: 1 одиниця = 2 клітинки (креслення зліва) – по можливості дотримуйтеся саме його. Однак іноді трапляється так, що креслення не вміщається на зошит - тоді масштаб зменшуємо: 1 одиниця = 1 клітинка (креслення праворуч). Рідко, але буває, що масштаб креслення доводиться зменшувати (чи збільшувати) ще більше

НЕ ТРЕБА «строчити з кулемету» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Бо координатна площина– не пам'ятник Декарту, а студент – не голуб. Ставимо нульі дві одиниці по осях. Іноді замістьодиниць зручно "засікти" інші значення, наприклад, "двійку" на осі абсцис і "трійку" на осі ординат - і ця система (0, 2 і 3) теж однозначно задасть координатну сітку.

Передбачувані розміри креслення краще оцінити ще до побудови креслення. Так, наприклад, якщо в завданні потрібно накреслити трикутник з вершинами , , , то зрозуміло, що популярний масштаб 1 одиниця = 2 клітинки не підійде. Чому? Подивимося на точку - тут доведеться відміряти п'ятнадцять сантиметрів вниз, і, очевидно, що креслення не вмоститься (або вмоститься ледве) на зошит. Тому одночасно вибираємо дрібніший масштаб 1 одиниця = 1 клітинка.

До речі, про сантиметри і зошити. Чи правда, що у 30 зошитових клітинах міститься 15 сантиметрів? Відміряйте у зошиті для інтересу 15 сантиметрів лінійкою. У СРСР, можливо, це було правдою… Цікаво відзначити, що якщо відміряти ці сантиметри по горизонталі та вертикалі, то результати (у клітинах) будуть різними! Строго кажучи, сучасні зошити не картаті, а прямокутні. Можливо, це здасться нісенітницею, але, креслити, наприклад, коло циркулем при таких розкладах дуже незручно. Якщо чесно, в такі моменти починаєш замислюватися про правоту товариша Сталіна, який відправляв у табори за халтуру на виробництві, не кажучи вже про вітчизняне автомобілебудування, літаки, що вибухають, або вибухові електростанції.

До речі про якість, або коротка рекомендація щодо канцтоварів. На сьогоднішній день більшість зошитів у продажу, поганих слів не кажучи, повне гомно. Тому, що вони промокають, причому не тільки від гелевих, а й від кулькових ручок! На папері заощаджують. Для оформлення контрольних робітрекомендую використовувати зошити Архангельського ЦПК (18 аркушів, клітинка) або «П'ятірочка», щоправда, вона дорожча. Ручку бажано вибрати гелеву, навіть найдешевший китайський гелевий стрижень набагато краще, ніж кулькова ручка, яка маже, то б'є папір. Єдиною «конкурентоспроможною» кульковою ручкою на моїй пам'яті є «Еріх Краузе». Вона пише чітко, красиво та стабільно – що з повним стрижнем, що із практично порожнім.

Додатково: бачення прямокутної системи координат очима аналітичної геометрії висвітлюється у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів, детальну інформаціюпро координатні чверті можна знайти у другому параграфі уроку Лінійні нерівності.

Тривимірний випадок

Тут майже так само.

1) Чортимо координатні осі. Стандарт: вісь аплікат – спрямована вгору, вісь – спрямована вправо, вісь – ліворуч вниз суворопід кутом 45 градусів.

2) Підписуємо осі.

3) Задаємо масштаб по осях. Масштаб по осі – вдвічі менше, ніж масштаб по інших осях. Також зверніть увагу, що на правому кресленні я використав нестандартну «засічку» по осі (про таку можливість вже згадано вище). На мій погляд, так точніше, швидше і естетичніше – не потрібно під мікроскопом вишукувати середину клітини і «ліпити» одиницю впритул до початку координат.

При виконанні тривимірного креслення знову ж таки – віддавайте пріоритет масштабу
1 одиниця = 2 клітини (креслення зліва).

Навіщо потрібні всі ці правила? Правила існують у тому, щоб їх порушувати. Чим я зараз і займусь. Справа в тому, що наступні креслення статті будуть виконані мною в Екселі, і координатні осі будуть виглядати некоректно з погляду правильного оформлення. Я б міг накреслити всі графіки від руки, але креслити їх насправді жах як небажання Ексель їх накреслить набагато точніше.

Графіки та основні властивості елементарних функцій

Лінійна функціязадається рівнянням. Графік лінійної функцій є пряму. Для того, щоб побудувати пряму, достатньо знати дві точки.

Приклад 1

Побудувати графік функції. Знайдемо дві точки. Як одна з точок вигідно вибрати нуль.

Якщо то

Беремо ще якусь точку, наприклад, 1.

Якщо то

При оформленні завдань координати точок зазвичай зводяться до таблиці:

А самі значення розраховуються усно чи на чернетці, калькуляторі.

Дві точки знайдені, виконаємо креслення:

При оформленні креслення завжди підписуємо графіки.

Не зайвим буде згадати окремі випадки лінійної функції:

Зверніть увагу, як я розташував підписи, підписи не повинні допускати різночитань щодо креслення. В даному випадку вкрай небажано було поставити підпис поруч із точкою перетину прямих або праворуч внизу між графіками.

1) Лінійна функція виду () називається прямою пропорційністю. Наприклад, . Графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат. Таким чином, побудова прямої спрощується - достатньо знайти лише одну точку.

2) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції будується відразу, без будь-яких точок. Тобто запис слід розуміти так: «гравець завжди дорівнює -4, при будь-якому значенні ікс».

3) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції також будується одразу. Запис слід розуміти так: «ікс завжди, за будь-якого значення ігор, дорівнює 1».

Дехто запитає, ну навіщо згадувати 6 клас?! Так-то воно, може і так, тільки за роки практики я зустрів добрий десяток студентів, яких ставило в глухий кут завдання побудови графіка на кшталт або .

Побудова прямий – найпоширеніша дія у виконанні креслень.

Пряма лінія детально розглядається в курсі аналітичної геометрії, і бажаючі можуть звернутись до статті Рівняння прямої на площині.

Графік квадратичної, кубічної функції, графік багаточлена

Парабола. Графік квадратичної функції () являє собою параболу. Розглянемо знаменитий випадок:

Згадуємо деякі властивості функції.

Отже, рішення нашого рівняння: - Саме в цій точці і знаходиться вершина параболи. Чому це так, можна дізнатися з теоретичної статті про похідну та уроку про екстремуми функції . А поки що розраховуємо відповідне значення «гравець»:

Таким чином, вершина знаходиться в точці

Тепер знаходимо інші точки, при цьому нахабно користуємося симетричністю параболи. Слід зауважити, що функція – не є парноюПроте, симетричність параболи ніхто не скасовував.

В якому порядку знаходити інші точки, гадаю, буде зрозуміло з підсумкової таблиці:

Даний алгоритм побудови образно можна назвати "човником" або принципом "туди-сюди" з Анфісою Чеховою.

Виконаємо креслення:

З розглянутих графіків згадується ще одна корисна ознака:

Для квадратичної функції () справедливо наступне:

Якщо , то гілки параболи спрямовані нагору.

Якщо , то гілки параболи спрямовані вниз.

Поглиблені знання про криву можна отримати на уроці гіпербола і парабола.

Кубічна парабола задається функцією. Ось знайоме зі школи креслення:

Перерахуємо основні властивості функції

Графік функції

Він є однією з гілок параболи. Виконаємо креслення:

Основні властивості функції:

В даному випадку вісь є вертикальною асимптотою для графіка гіперболи при .

Буде ГРУБИЙ помилкою, якщо при оформленні креслення з недбалості допустити перетин графіка з асимптотою .

Також односторонні межі говорять нам про те, що гіпербола не обмежена зверхуі не обмежена знизу.

Досліджуємо функцію на нескінченності: тобто якщо ми почнемо йти по осі вліво (або вправо) на нескінченність, то «ігреки» струнким кроком будуть нескінченно близьконаближатися до нуля, і, відповідно, гілки гіперболи нескінченно близьконаближатися до осі.

Таким чином, вісь є горизонтальною асимптотою для графіка функції, якщо «ікс» прагне плюс або мінус нескінченності.

Функція є непарний, отже, гіпербола симетрична щодо початку координат. Цей факточевидний з креслення, крім того, легко перевіряється аналітично: .

Графік функції виду () являє собою дві гілки гіперболи.

Якщо , то гіпербола розташована в першій та третій координатних чвертях(Див. малюнок вище).

Якщо , то гіпербола розташована у другій та четвертій координатних чвертях..

Зазначену закономірність місця проживання гіперболи неважко проаналізувати з погляду геометричних перетворень графіків.

Приклад 3

Побудувати праву гілку гіперболи

Використовуємо поточковий метод побудови, при цьому значення вигідно підбирати так, щоб ділилося націло:

Виконаємо креслення:

Не важко побудувати і ліву гілку гіперболи, тут якраз допоможе непарність функції. Грубо кажучи, в таблиці поточкового побудови подумки додаємо до кожного мінус, ставимо відповідні точки і прокреслюємо другу гілку.

Детальну геометричну інформацію про розглянуту лінію можна знайти у статті Гіперболу та параболу.

Графік показової функції

У цьому параграфі я одразу розгляну експоненційну функцію, оскільки в завданнях вищої математики у 95% випадків зустрічається саме експонента.

Нагадую, що – це ірраціональне число: це буде потрібно при побудові графіка, який, власне, я без церемоній і побудую. Трьох точок, мабуть, вистачить:

Графік функції поки дамо спокій, про нього пізніше.

Основні властивості функції:

Принципово так само виглядають графіки функцій, і т.д.

Повинен сказати, що другий випадок зустрічається на практиці рідше, але він зустрічається, тому я вважав за потрібне включити його до цієї статті.

Графік логарифмічної функції

Розглянемо функцію з натуральним логарифмом.
Виконаємо крапковий креслення:

Якщо забули, що таке логарифм, будь ласка, зверніться до шкільних підручників.

Основні властивості функції:

Область визначення:

Область значень: .

Функція не обмежена зверху: , Нехай і повільно, але гілка логарифму йде на нескінченність.
Досліджуємо поведінку функції поблизу нуля праворуч: . Таким чином, вісь є вертикальною асимптотою для графіка функції при «ікс», що прагне до нуля праворуч.

Обов'язково потрібно знати та пам'ятати типове значення логарифму: .

Принципово так само виглядає графік логарифму на підставі: , , (десятковий логарифм на підставі 10) і т.д. При цьому, що більша підстава, то більш пологім буде графік.

Випадок розглядати не будемо, щось я не пригадаю, коли останній разбудував графік із такою підставою. Та й логарифм начебто в завданнях вищої математики дуже рідкісний гість.

На закінчення параграфа скажу ще про один факт: Експоненційна функція та логарифмічна функція – це дві взаємно зворотні функції. Якщо придивитися до графіка логарифму, то можна побачити, що це – та сама експонента, просто вона розташована трохи по-іншому.

Графіки тригонометричних функцій

З чого починаються тригонометричні муки у школі? Правильно. З синуса

Побудуємо графік функції

Ця лінія називається синусоїдою.

Нагадую, що «пі» – це ірраціональне число: і в тригонометрії від нього в очах рябить.

Основні властивості функції:

Ця функціяє періодичноїз періодом. Що це означає? Подивимося на відрізок. Зліва і праворуч від нього нескінченно повторюється такий самий шматок графіка.

Область визначення: , тобто для будь-якого значення ікс існує значення синуса.

Область значень: . Функція є обмеженою: тобто всі «ігреки» сидять строго у відрізку .
Такого немає: чи , точніше кажучи, буває, але зазначені рівняння немає рішення.