Побудова функцій із модулем. Графіки лінійної функції із модулями

Ерднігоряєва Марина

Ця робота є результатом вивчення теми на факультативі у 8 класі. Тут показуються геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вводиться поняття модуля та його властивості. Показано як будувати графіки з модулями різними способами: за допомогою перетворень і на основі поняття модуля. Тим не менш, такі завдання даються в другій частині ДПА, в ЄДІ. Ця робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями як лінійних, а й інших функцій (квадратичних, обратно- пропорційних та інших.) Робота допоможе під час підготовки до ГИА і ЕГЭ.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Графіки лінійної функціїз модулями Робота Ерднігоряєвої Марини, учениці 8 класу МКОУ «Камишівська ЗОШ» Керівник Горяєва Зоя Ерднігоріївна, вчитель математики МКОУ «Камишівська ЗОШ» с. Камишово, 2013р.

Мета проекту: Відповісти питанням як будувати графіки лінійних функцій з модулями. Завдання проекту: Вивчити літературу з цього питання. Вивчити геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вивчити поняття модуля та його властивості. Навчитися будувати графіки з модулями у різний спосіб.

Пряма пропорційність Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx, де x -незалежна змінна, k -не рівне нулю число.

Побудуємо графік функції y = x x 0 2 y 0 2

Геометричне перетворення графіків Правило №1 Графік функції y = f (x) + k - лінійна функція - виходить паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) на + k одиниць вгору по осі О y при k> 0 або на | - k| одиниць вниз по осі Y при k

Побудуємо графіки y=x+3 y=x-2

Правило № 2 Графік функції y=kf(x) виходить розтягуванням графіка функції y = f (x) уздовж осі О y в a раз при a>1 і стисненням уздовж осі О y в a раз при 0Слайд 9

Побудуємо графік y = x y = 2 x

Правило № 3 Графік функції y = f (x) виходить симетричним відображенням графіка y = f (x) щодо осі Про x

Правило № 4 Графік функції y=f(- x) виходить симетричним відображенням графіка функції y = f(x) щодо осі О y

Правило № 5 Графік функції y=f(x+c) виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) вздовж осі x вправо, якщо c 0 .

Побудуємо графіки y=f(x) y=f(x+2)

Визначення модуля Модуль невід'ємного числа а дорівнює самому числу а; модуль від'ємного числа а дорівнює протилежному йому позитивному числу -а. Або, |а|=а, якщо а ≥0 |а|=-а, якщо а

Графіки лінійних функцій з модулями будуються: з допомогою геометричних перетворень з допомогою розкриття визначення модуля.

Правило № 6 Графік функції y = | f (x) | виходить так: частина графіка y=f(x) , що лежить над віссю Про x , зберігається; частина, що лежить під віссю О x , відображається симетрично щодо осі О x .

Побудувати графік функції y = -2 | x-3|+4 Будуємо y ₁=| x | Будуємо y₂= |x - 3 | → паралельне перенесення на +3 одиниці вздовж осі Ох (зсув вправо) Будуємо y ₃ =+2|x-3| → розтягуємо вздовж осі О y у 2 рази = 2 y₂ Будуємо у ₄ =-2|x-3| → симетрія щодо осі абсцис = - y₃ Будуємо y₅ =-2|x-3|+4 → паралельне перенесення на +4 одиниці вздовж осі О y (зсув вгору) = y ₄ +4

Графік функції y=-2|x-3|+4

Графік функції у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → розтягування в 3 рази y₃=3|x| +2= y₄+2 → зрушення вгору на 2 одиниці

Правило № 7 Графік функції y=f(| x |) виходить з графіка функції y=f(x) наступним чином: При x > 0 графік функції зберігається, і ця частина графіка симетрично відображається щодо осі О y

Побудувати графік функції y = | x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм побудови графіка функції y=│f(│x│)│ побудувати графік функції y=f(│x│). далі залишити без змін усі частини побудованого графіка, які лежать вище за осі x . частини, розташовані нижче осі x відобразити симетрично щодо цієї осі.

У = | 2 | х | -3 | Побудова: а) у = 2х-3 для х> 0, б) у = -2х-3 для х Слайд 26

Правило №8 Графік залежності | y|=f(x) виходить із графіка функції y=f(x) якщо всі точки, для яких f(x) > 0 зберігаються і вони ж симетрично переносяться щодо осі абсцис.

Побудувати безліч точок на площині, декартові координати яких х і задовольняють рівнянню |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1 | будуємо два графіки 1) у=||х-1|-1| та 2) у =-|| х-1 |-1 | y₁=|x| y₂=| x-1 | → зсув осі Ох вправо на 1 одиницю y₃ = | x -1 |- 1= → зрушення на 1 одиницю вниз y ₄ = || x-1 | - 1 | → симетрія точок графіка для яких y₃ 0 щодо x

Графік рівняння |y|=||x-1|-1| отримуємо наступним чином: 1)будуємо графік функції y=f(x) і становимо без змін ту його частину, де y≥0 2) за допомогою симетрії щодо осі Оx побудуємо іншу частину графіка, відповідну y

Побудувати графік функції y = | x | − | 2 − x | . Рішення. Тут знак модуля входить у два різних доданків і його потрібно знімати. 1) Знайдемо коріння підмодульних виразів: х=0, 2-х=0, х=2 2) Встановимо знаки на інтервалах:

Графік функції

Висновок Тема проекту є однією з найважчих у курсі математики, що відноситься до питань, що розглядаються на факультативах, вивчається в класах з поглибленого вивчення курсу математики. Проте такі завдання даються у другій частині ДПА. Дана робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями не тільки лінійних функцій, але й інших функцій (квадратичних, обернено пропорційних та ін). Робота допоможе при підготовці до ГІА та ЄДІ та дозволить отримати високі бали з математики.

Література Віленкін Н.Я. , Жохов В.І.. Математика”. Підручник 6 клас. Видавництво “Менемозіна”, 2010р Віленкін Н.Я., Віленкін Л.М., Сурвілло Г.С. та ін Алгебра. 8 клас: навч. Посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - Москва. Освіта, 2009 р. Гайдуков І.І. "Абсолютна величина". Москва. Освіта, 1968. Гурський І.П. "Функції та побудова графіків". Москва. Освіта, 1968. Ящина Н.В. Прийоми побудови графіків, які містять модулі. Ж/л «Математика у шкільництві»,№3,1994г Дитяча енциклопедія. Москва. "Педагогіка", 1990. Динкін ​​Є.Б., Молчанова С.А. Математичні задачі. М., "Наука", 1993. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8-10 класах. М., «Освіта», 1987 . Галицький М.Л. та ін. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів: Навчальний посібникдля учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - 12-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 301 с. Макричев Ю.М., Міндюк Н.Г. Алгебра: Додаткові розділи до шкільному підручнику 9 кл.: Навчальний посібник для учнів школи та класів з поглибленим вивченням математики / За редакцією Г.В.Дорофєєва. - М.: Просвітництво, 1997. - 224 с. Садикіна Н. Побудова графіків та залежностей, що містять знак модуля / Математика. - №33. - 2004. - С.19-21.. Кострикіна Н.П "Завдання підвищеної проблеми в курсі алгебри для 7-9 класів" ... Москва.: Просвітництво, 2008р.

Транскрипт

1 Крайова науково-практична конференція навчально-дослідницьких робіт учнів 6-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» Методичні аспекти вивчення математики Побудова графіків функцій, що містять модуль Габова Анжела Юріївна, 10 клас, МОБУ «Гімназія 3» м. Кудимкар Іванівна, вчитель математики МОБУ «Гімназія 3» м. Кудимкар Перм, 2016

2 Зміст: Вступ...3 стор. I. Основна частина... 6 стор. 1.1 Історична довідка.. 6 стор. 2.Основні визначення та властивості функцій стор. 2.1 Квадратична функція..7 стор. 2.2 Лінійна функція...8 стор. 2.3 Дробно-раціональна функція 8 стор. 3. Алгоритми побудови графіків з модулем 9 стор. 3.1 Визначення модуля.. 9 стор. 3.2 Алгоритм побудови графіка лінійної функції. .9 стор. 3.3 Побудова графіків функцій, що містять у формулі «вкладені модулі».10 стор. квадратичної функції з модулем.14 стор. 3.6 Алгоритм побудови графіка дробово раціональної функції з модулем. 15стор. 4. Зміни графіка квадратичної функції залежно від знаку абсолютної величини..17стр. ІІ. Заключение...26 стор. III. Список литературы и источников...27 стор. IV. Додаток....28стор. 2

3 Вступ Побудова графіків функцій - одна їх найцікавіших тему шкільній математиці. Найбільший математик нашого часу Ізраїль Мойсейович Гельфанд писав: «Процес побудови графіків є способом перетворення формул та описів на геометричні образи. Ця побудова графіків є засобом побачити формули та функції та простежити, яким чином ці функції змінюються. Наприклад, якщо написано у = x 2, ви відразу бачите параболу; якщо у = x 2-4 ви бачите параболу, опущену на чотири одиниці; якщо ж у =-(x 2 4), то ви бачите попередню параболу, перевернуту вниз. Таке вміння бачити відразу формулу, та її геометричну інтерпретацію є важливим як вивчення математики, але й інших предметів. Це вміння, яке залишається з вами на все життя, подібно до вміння їздити на велосипеді, друкувати на машинці або водити машину». Ази рішення рівнянь з модулями були отримані в 6-му 7-му класах. Я вибрала саме цю тему, бо вважаю, що вона потребує глибшого та досконалішого дослідження. Я хочу отримати більш широкі знання про модуль числа, різних способахпобудови графіків, що містять знак абсолютної величини. Коли «стандартні» рівняння прямих, парабол, гіпербол включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними і навіть красивими. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба мати прийоми побудови базових постатей, і навіть твердо знати і усвідомлювати визначення модуля числа. У шкільному курсі математики графіки з модулем розглядаються недостатньо поглиблено, саме тому мені захотілося розширити свої знання на цю тему, провести власні дослідження. Не знаючи визначення модуля, неможливо побудувати навіть найпростішого графіка, що містить абсолютну величину. Характерною особливістюграфіків функцій, що містять вирази зі знаком модуля, 3

4 є наявність зламів у тих точках, у яких вираз, що стоїть під знаком модуля, змінює знак. Мета роботи: розглянути побудову графіка лінійної, квадратичної та дробово-раціональної функцій, що містять змінну під знаком модуля. Завдання: 1) Вивчити літературу про властивості абсолютної величини лінійної, квадратичної та дробно-раціональноїфункцій. 2) Дослідити зміни графіків функцій залежно від знаку абсолютної величини. 3) Навчитися коштувати графіки рівнянь. Об'єкт дослідження: графіки лінійної, квадратичної та дрібно раціональних функцій. Предмет дослідження: зміни графіка лінійної, квадратичної та дробово-раціональної функцій залежно від розташування знака абсолютної величини. Практична значимістьмоєї роботи полягає: 1) у використанні набутих знань з даної теми, а також поглиблення їх та застосування до інших функцій та рівнянь; 2) у використанні навичок дослідницької роботинадалі навчальної діяльності. Актуальність: Завдання на побудову графіків традиційно – це одна з найважчих тем математики. Перед нами випускниками стоїть проблема вдало здати ДІА та ЄДІ. Проблема дослідження: побудова графіків функцій, що містять знак модуля, із другої частини ГІА. Гіпотеза дослідження: застосування розробленої на основі загальних способівпобудови графіків функцій, що містять знак модуля, методики вирішення завдань другої частини ДПА дозволить учням вирішувати ці завдання 4

5 на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод рішення, застосовувати різні методи вирішення та успішніше здати ГІА. Методи дослідження, використовувані у роботі: 1.Аналіз математичної літератури та ресурсів мережі Інтернет на цю тему. 2. Репродуктивне відтворення вивченого матеріалу. 3.Пізнавально- пошукова діяльність. 4.Аналіз та порівняння даних у пошуку розв'язання задач. 5. Постановка гіпотез та їх перевірка. 6.Порівняння та узагальнення математичних фактів. 7. Аналіз одержаних результатів. При написанні цієї роботи використовувалися такі джерела: Інтернет ресурси, тести ОДЕ, математична література 5

6 I. Основна частина 1.1 Історична довідка. У першій половині ХVII століття починає складатися уявлення про функцію як про залежність однієї змінної величинивід іншого. Так, французькі математики П'єр Ферма () та Рене Декарт () уявляли собі функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси. А англійська вчений ІсаакНьютон () розумів функцію як змінюється залежно від часу координату точки, що рухається. Термін "функція" (від латинського function виконання, вчинення) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц(). У нього функція пов'язувалась з геометричним чином (графіком функції). Надалі швейцарський математик Йоганн Бернуллі() та член Петербурзької Академії наук знаменитий математик XVIII століття Леонард Ейлер() розглядали функцію як аналітичний вираз. Ейлер має і загальне розуміння функції як залежності однієї змінної величини від іншої. Слово "модуль" походить від латинського слова "modulus", що в перекладі означає "захід". Це багатозначне слово (омонім), яке має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, а й в архітектурі, фізиці, техніці, програмуванні та інших наукових науках. В архітектурі - це вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даної архітектурної споруди та служить для вираження кратних співвідношень його складових елементів. У техніці - це термін, що застосовується в різних галузях техніки, що не має універсального значенняі службовець позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад модуль зачеплення, модуль пружності тощо. 6

7 Модуль об'ємного стиснення(у фізиці)-відношення нормальної напруги у матеріалі до відносного подовження. 2.Основні визначення та характеристики функцій Функція одне з найважливіших математичних понять. Функцією називають таку залежність змінної y від змінної x, за якої кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної у. Методи завдання функції: 1) аналітичний метод (функція задається за допомогою математичної формули); 2) табличний метод (функція задається з допомогою таблиці); 3) описовий спосіб (функція задається словесним описом); 4) графічний спосіб(функція визначається за допомогою графіка). Графіком функції називають безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значення аргументу, а ординати відповідним значенням функції. 2.1 Квадратична функція Функція, яка визначається формулою у=ах 2 +вх+с, де х і у змінні, а параметри а, в і з будь-які дійсні числа, причому а = 0, називається квадратичною. Графік функції у=ах 2 +вх+з парабола; віссю симетрії параболи у=ах 2 +вх+с є пряма, при а>0 «гілки» параболи спрямовані вгору, при а<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (для функцій однієї змінної). Основна властивість лінійних функцій: збільшення функції пропорційно до збільшення аргументу. Тобто функція є узагальненням прямої пропорційності. Графіком лінійної функції є пряма лінія, з чим пов'язана її назва. Це стосується речової функції однієї речової змінної. 1) При, пряма утворює гострий кут з позитивним напрямом осі абсцис. 2) При, пряма утворює тупий кут з позитивним напрямом осі абсцис. 3) є показником ординати точки перетину прямої з віссю ординат. 4)Прі, пряма проходить через початок координат. , 2.3Дробно-раціональна функція це дріб, чисельником і знаменником якої є багаточлени. Вона має вигляд де, багаточлени від будь-якої кількості змінних. Окремим випадком є ​​раціональні функції одного змінного: де і багаточлени. 1) Будь-який вираз, який можна отримати зі змінних за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією. 8

9 2) Безліч раціональних функцій замкнено щодо арифметичних дій та операції композиції. 3) Будь-яка раціональна функція може бути представлена ​​у вигляді суми найпростіших дробів - це застосовується при аналітичному інтегруванні. якщо ж негативне. а = 3.2 Алгоритм побудови графіка лінійної функції з модулем Щоб побудувати графіки функцій y= x потрібно знати, при позитивних x маємо x =x. Значить, для позитивних значень аргументу графік y = x збігається з графіком y = x, тобто ця частина графіка є променем, що виходить із початку координат під кутом 45 градусів до осі абсцис. При x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Для побудови беремо точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Тепер побудуємо графік y = x-1. якщо А точка графіка у = x з координатами (a; a), то точкою графіка y = x-1 з тим самим значенням ординати Y буде точка A1 (a + 1; a). Цю точку другого графіка можна отримати з точки А(a; a) першого графіка зсувом паралельно осі Ox вправо. Значить, і весь графік функції y = x-1 виходить з графіка функції y = x зрушенням паралельно осі Ox вправо на 1. Побудуємо графіки: y = x-1 Для побудови беремо точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі» Розглянемо алгоритм побудови конкретному прикладі Побудувати графік функції: 10

11 у = i-2-ix + 5ii 1. Будуємо графік функції. 2. Графік нижньої напівплощини відображаємо вгору симетрично щодо осі ОХ і отримуємо графік функції. 11

12 3. Графік функції відображаємо вниз симетрично щодо осі ОХ та отримуємо графік функції. 4. Графік функції відображаємо вниз симетрично щодо осі ОХ та отримуємо графік функції 5. Відображаємо графік функції щодо осі ОХ та отримуємо графік. 12

13 6. У результаті графік функції виглядає так 3.4. Алгоритм побудови графіків функцій виду y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції? Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхомми наблизилися до правила побудови таких графіків: Графіком функції виду y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому і правому нескінченних ланках. 13

14 Завдання. Побудувати графік функції y = x + x 1 + x + 1 і знайти найменше значення. Рішення: 1.Нулі підмодульних виразів: 0; -1; Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). (Нилі підмодульних виразів підставляємо в рівняння) 3Контрольна точка справа (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7), найменше значення функції дорівнює Алгоритм побудови графіка квадратичної функції з модулем Складання алгоритмів перетворення графіків функцій. 1. Побудова графіка функції y = f (x). За визначенням модуля ця функція розпадається на сукупність двох функцій. Отже, графік функції y=f(x) складається з двох графіків: y=f(x) у правій напівплощині, y=f(-x) у лівій напівплощині. Виходячи з цього можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції y= f(x) виходить із графіка функції y= f(x) наступним чином: при х 0 графік зберігається, а при х< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3.Щоб побудувати графік функції y=f(x), треба спочатку побудувати графік функції y=f(x) за х> 0, потім за х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Щоб отримати цей графік, достатньо лише зрушити отриманий раніше графік на три одиниці вправо. Зауважимо, що, якби в знаменнику дробу стояло б вираз х+3, то ми зрушили б графік вліво: Тепер необхідно помножити на два всі ординати, щоб отримати графік функції Нарешті зрушуємо графік вгору на дві одиниці: Останнє, що нам залишилося зробити , це побудувати графік цієї функції, якщо вона укладена під знак модуля. Для цього відображаємо симетрично вгору всю частину графіка, ординати якої негативні (ту частину, що лежить нижче за осі х): Рис.4 16

17 4.Зміни графіка квадратичної функції залежно від розташування знака абсолютної величини. Побудуйте графік функції у = х 2 - х -3 1) Оскільки х = х при х 0, необхідний графік збігається з параболою у = 0,25 х 2 - х - 3. Якщо х<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. б) Тому добудовую для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Мал. 4 Графік функції у = f(х) збігається з графіком функції у = f(х) на множині невід'ємних значень аргументу і симетричний йому щодо осі ОУ на множині негативних значень аргументу. Доказ: Якщо х 0, то f(х) = f(х), тобто. на множині невід'ємних значень аргументу графіки функції у = f(х) і у = f(х) збігаються. Оскільки у = f (х) - парна функція, її графік симетричний щодо ОУ. Таким чином, графік функції у = f(х) можна одержати з графіка функції у = f(х) наступним чином: 1. побудувати графік функції у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Якщо х 2 - х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 і симетрично відбитою частиною у = f(х) при у<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то f(х) = f(х), значить у цій частині графік функції у = f(х) збігається з графіком самої функції у = f(х). Якщо ж f(х)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Рис.5 Висновок: Для побудови графіка функції у = f (х) 1. Побудувати графік функції у = f (х); 2. На ділянках, де графік розташований у нижній напівплощині, тобто де f(х)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Дослідницька робота з побудови графіків функції у = f (х) Застосовуючи визначення абсолютної величини і раніше розглянуті приклади, побудуємо графіків функції: у = 2 х - 3 у = х 2-5 х у = х 2-2 і зробив висновки. Щоб побудувати графік функції у = f (х) треба: 1. Будувати графік функції у = f(х) для х>0. 2. Будувати другу частину графіка, т. е. побудований графік симетрично відбивати щодо ОУ, т.к. дана функція парна. 3. Ділянки графіка, що вийшов, розташовані в нижній напівплощині, перетворювати на верхню напівплощину симетрично осі ОХ. Побудувати графік функції у = 2 x - 3 (1-й спосіб визначення модуля) 1. Будуємо у = 2 x - 3, для 2 x - 3 > 0, x >1,5 тобто. х< -1,5 и х>1,5 а) у = 2х - 3, для х> 0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Будуємо пряму, симетричну побудованої щодо осі ОУ. 3) Ділянки графіка, розташовані в нижній напівплощині, відображаю симетрично щодо осі ОХ. Порівнюючи обидва графіки, бачимо, що вони однакові. 21

22 Приклади задач Приклад 1. Розглянемо графік функції у = х 2 6х +5. Оскільки х зводиться в квадрат, то незалежно від знака числа х після зведення в квадрат він буде позитивним. Звідси випливає, що графік функції у = х 2-6х +5 буде ідентичний графіку функції у = х 2-6х +5, тобто. графік функції, що не містить знака абсолютної величини (Рис.2). Рис.2 Приклад 2. Розглянемо графік функції у = х 2 6 х +5. Скориставшись визначенням модуля числа, замінимо формулу у = х 2 6 х +5 Тепер ми маємо справу з добре знайомим нам шматковим завданням залежності. Будувати графік будемо так: 1) побудуємо параболу у = х 2-6х +5 і обведемо ту її частину, яка 22

23 відповідає невід'ємним значенням x, тобто. частину, розташовану правіше осі Оу. 2) у тій самій координатній площині побудуємо параболу у = х 2 +6х +5 і обведемо ту її частину, що відповідає негативним значенням х, тобто. частину, розташовану ліворуч від осі Оу. Обведені частини параболу разом утворюють графік функції у = х 2-6 ​​х +5 (Рис.3). Рис.3 Приклад 3. Розглянемо графік функції у = х 2-6 ​​х +5. Т.к. графік рівняння у = х 2 6х +5 такий самий, як і графік функції без знака модуля (розглянуто в прикладі 2) слід, що графік функції у = х 2 6 х +5 ідентичний графіку функції у = х 2 6 х +5 , Розглянутому в прикладі 2 (Рис.3). Приклад 4. Побудуємо графік функції у = х 2 6х +5. Для цього збудуємо графік функції у = х 2-6х. Щоб отримати з неї графік функції у = х 2-6х, потрібно кожну точку параболи з негативною ординатою замінити крапкою з тією самою абсцисою, але з протилежною (позитивною) ординатою. Іншими словами, частину параболи, розташовану нижче за осі х, потрібно замінити лінією їй симетричною щодо осі х. Т.к. нам потрібно побудувати графік функції у = х 2-6х +5, то графік розглянутої нами функції у = х 2-6х потрібно просто підняти по осі у на 5 одиниць нагору (Рис.4). 23

24 Рис.4 Приклад 5. Побудуємо графік функції у = х 2-6х +5. Для цього скористаємося добре нам відомою шматковою функцією. Знайдемо нулі функції у = 6х +5 6х + 5 = 0 при. Розглянемо два випадки: 1) Якщо, то рівняння набуде вигляду = х 2 6х -5. Побудуємо цю параболу та обведемо ту її частину, де. 2) Якщо, то рівняння набуває вигляду = х 2 + 6х +5. Стоїмо цю параболу і обведемо ту її частину, яка розташована лівіше від точки з координатами (Рис.5). 24

25 Рис.5 Приклад6. Побудуємо графік функції у = х 2 6 х +5. І тому ми побудуємо графік функції у =х 2-6 ​​x +5. Побудову цього графіка ми проводили в прикладі 3. Оскільки наша функція повністю знаходиться під знаком модуля, то для того, щоб побудувати графік функції у = х 2 6 х +5, потрібно кожну точку графіка функції у = х 2 6 х + 5 з негативною ординатою замінити точкою з тією самою абсцисою, але з протилежною (позитивною) ординатою, тобто. частину параболи, розташовану нижче за осю Ох, потрібно замінити лінією їй симетричною щодо осі Ох (Рис.6). Рис.6 25

26 II.Висновок «Математичні відомості можуть застосовуватися вміло і з користю тільки в тому випадку, якщо вони засвоєні творчо, так що учень бачить сам, як можна було б прийти до них самостійно». О.М. Колмогори. Дані завдання становлять великий інтерес учнів дев'ятих класів, оскільки дуже часто зустрічаються у тестах ОГЭ. Вміння будувати дані графіки функцій дозволить успішніше скласти іспит. французькі математики П'єр Ферма () та Рене Декарт () уявляли собі функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси. А англійський учений Ісаак Ньютон () розумів функцію як координату рухомої точки, що змінюється в залежності від часу. 26

27 III. Список літератури та джерел 1. Галицький М. Л., Гольдман А. М., Звавіч Л. І. Збірник завдань з алгебредля 8 9 класів: Навч. посібник для учнів шк. і класів з поглибл. вивч. математики 2 е вид. М.: Просвітництво, Дорофєєв Г. В. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 9 кл.:м34 Навч. для загальноосвітніх навч. завідний 2-ге вид., стереотип. М.: Дрофа, Соломонік В.С.Збірник питань та завдань з математики М.: «Вища школа», ЯщенкоІ.В. ДІА. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с. 5. Ященко І.В. ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с. 6. Ященко І.В. ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: Про варіанти.м.: «Національна освіта», с

28 Додаток 28

29 Приклад 1. Побудувати графік функції y = x 2 8 x Рішення. Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 8x + 12 для x 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1). Приклад 2. Наступний графік виду y = x 2 8x Це означає, що графік функції одержують таким чином: будують графік функції y = x 2 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, яка лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (рис. 2). Приклад 3. Для побудови графіка функції y = x 2 8 x + 12 проводять комбінацію перетворень: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Відповідь: рисунок 3. Приклад 4 Вираз, що стоїть під знаком модуля змінює знак у точці х = 2/3. При х<2/3 функция запишется так: 29

30 При х>2/3 функція запишеться так: Тобто точка х=2/3 ділить нашу координатну площину на дві області, в одній з яких (правіше) ми будуємо функцію, а в іншій (ліворуч) графік функції Будуємо: Приклад 5 Наступний графік також ламана, але має дві точки зламу, оскільки містить два вирази під знаками модуля: Подивимося, у яких точках підмодульні вирази змінюють знак: Розставимо знаки для підмодульних виразів на координатній прямій: 30

31 Розкриваємо модулі на першому інтервалі: На другому інтервалі: На третьому інтервалі: Таким чином, на інтервалі (- ; 1.5] маємо графік, записаний першим рівнянням, на інтервалі графік, записаний другим рівнянням, та на інтервалі )