Побудова графіків лінійної функції, що містять модуль. Графіки лінійної функції із модулями

Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів виникає питання, як будувати графіки функцій, які містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому дана функціяпарна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують наступним чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 – 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомились із прикладами квадратичні функції, що містить модуль, а також загальними правиламипобудови графіків функцій виду y = f (| x |), y = | f (x) | та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

приклад 4.

Розглянемо функцію виду y = | 2 - | 1 - | x | | |. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення не є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завданняфункції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | X - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію символів підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 та x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали шматково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхомми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ерднігоряєва Марина

Ця робота є результатом вивчення теми на факультативі у 8 класі. Тут показуються геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вводиться поняття модуля та його властивості. Показано як розробляти графіки з модулями. у різний спосіб: за допомогою перетворень та на основі поняття модуля. Тим не менш, такі завдання даються в другій частині ДПА, в ЄДІ. Ця робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями як лінійних, а й інших функцій (квадратичних, обратно- пропорційних та інших.) Робота допоможе під час підготовки до ГИА і ЕГЭ.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Графіки лінійної функції з модулями Робота Ерднігоряєвої Марини, учениці 8 класу МКОУ «Камишівська ЗОШ» Керівник Горяєва Зоя Ерднігоріївна, вчитель математики МКОУ «Камишівська ЗОШ» с. Камишово, 2013р.

Ціль проекту: Відповісти на питання як будувати графіки лінійних функційіз модулями. Завдання проекту: Вивчити літературу з цього питання. Вивчити геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вивчити поняття модуля та його властивості. Навчитися будувати графіки з модулями у різний спосіб.

Пряма пропорційність Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx, де x -незалежна змінна, k -не рівне нулю число.

Побудуємо графік функції y = x x 0 2 y 0 2

Геометричне перетворення графіків Правило №1 Графік функції y = f (x) + k - лінійна функція - виходить паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) на + k одиниць вгору по осі О y при k> 0 або на | - k| одиниць вниз по осі Y при k

Побудуємо графіки y=x+3 y=x-2

Правило № 2 Графік функції y=kf(x) виходить розтягуванням графіка функції y = f (x) вздовж осі О y у a раз при a>1 і стисненням уздовж осі О y в a раз при 0Слайд 9

Побудуємо графік y = x y = 2 x

Правило № 3 Графік функції y = f (x) виходить симетричним відображенням графіка y = f (x) щодо осі Про x

Правило № 4 Графік функції y=f(- x) виходить симетричним відображенням графіка функції y = f(x) щодо осі О y

Правило № 5 Графік функції y=f(x+c) виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) вздовж осі x вправо, якщо c 0 .

Побудуємо графіки y=f(x) y=f(x+2)

Визначення модуля Модуль невід'ємного числа а дорівнює самому числу а; модуль від'ємного числа а дорівнює протилежному йому позитивному числу -а. Або, |а|=а, якщо а ≥0 |а|=-а, якщо а

Графіки лінійних функцій з модулями будуються: з допомогою геометричних перетворень з допомогою розкриття визначення модуля.

Правило № 6 Графік функції y = | f (x) | виходить так: частина графіка y=f(x) , що лежить над віссю Про x , зберігається; частина, що лежить під віссю О x , відображається симетрично щодо осі О x .

Побудувати графік функції y = -2 | x-3|+4 Будуємо y ₁=| x | Будуємо y₂= |x - 3 | → паралельне перенесення на +3 одиниці вздовж осі Ох (зсув вправо) Будуємо y ₃ =+2|x-3| → розтягуємо вздовж осі О y у 2 рази = 2 y₂ Будуємо у ₄ =-2|x-3| → симетрія щодо осі абсцис = - y₃ Будуємо y₅ =-2|x-3|+4 → паралельне перенесення на +4 одиниці вздовж осі О y (зсув вгору) = y ₄ +4

Графік функції y=-2|x-3|+4

Графік функції у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → розтягування в 3 рази y₃=3|x| +2= y₄+2 → зрушення вгору на 2 одиниці

Правило № 7 Графік функції y=f(| x |) виходить з графіка функції y=f(x) наступним чином: При x > 0 графік функції зберігається, і ця частина графіка симетрично відображається щодо осі О y

Побудувати графік функції y = | x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм побудови графіка функції y=│f(│x│)│ побудувати графік функції y=f(│x│). далі залишити без змін усі частини побудованого графіка, які лежать вище за осі x . частини, розташовані нижче осі x відобразити симетрично щодо цієї осі.

У = | 2 | х | -3 | Побудова: а) у = 2х-3 для х> 0, б) у = -2х-3 для х Слайд 26

Правило №8 Графік залежності | y|=f(x) виходить із графіка функції y=f(x) якщо всі точки, для яких f(x) > 0 зберігаються і вони ж симетрично переносяться щодо осі абсцис.

Побудувати безліч точок на площині, декартові координати яких х і задовольняють рівнянню |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1 | будуємо два графіки 1) у=||х-1|-1| та 2) у =-|| х-1 |-1 | y₁=|x| y₂=| x-1 | → зсув осі Ох вправо на 1 одиницю y₃ = | x -1 |- 1= → зрушення на 1 одиницю вниз y ₄ = || x-1 | - 1 | → симетрія точок графіка для яких y₃ 0 щодо x

Графік рівняння |y|=||x-1|-1| отримуємо наступним чином: 1)будуємо графік функції y=f(x) і становимо без змін ту його частину, де y≥0 2) за допомогою симетрії щодо осі Оx побудуємо іншу частину графіка, відповідну y

Побудувати графік функції y = | x | − | 2 − x | . Рішення. Тут знак модуля входить у два різних доданків і його потрібно знімати. 1) Знайдемо коріння підмодульних виразів: х=0, 2-х=0, х=2 2) Встановимо знаки на інтервалах:

Графік функції

Висновок Тема проекту є однією з найважчих у курсі математики, що відноситься до питань, що розглядаються на факультативах, вивчається в класах з поглибленого вивчення курсу математики. Проте такі завдання даються у другій частині ДПА. Дана робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями не тільки лінійних функцій, але й інших функцій (квадратичних, обернено пропорційних та ін). Робота допоможе при підготовці до ГІА та ЄДІ та дозволить отримати високі бали з математики.

Література Віленкін Н.Я. , Жохов В.І.. Математика”. Підручник 6 клас. Видавництво “Менемозіна”, 2010р Віленкін Н.Я., Віленкін Л.М., Сурвілло Г.С. та ін Алгебра. 8 клас: навч. Посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - Москва. Освіта, 2009 р. Гайдуков І.І. "Абсолютна величина". Москва. Освіта, 1968. Гурський І.П. "Функції та побудова графіків". Москва. Освіта, 1968. Ящина Н.В. Прийоми побудови графіків, які містять модулі. Ж/л «Математика у шкільництві»,№3,1994г Дитяча енциклопедія. Москва. "Педагогіка", 1990. Динкін ​​Є.Б., Молчанова С.А. Математичні задачі. М., "Наука", 1993. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8-10 класах. М., «Освіта», 1987 . Галицький М.Л. та ін. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів: Навчальний посібникдля учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - 12-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 301 с. Макричев Ю.М., Міндюк Н.Г. Алгебра: Додаткові розділи до шкільному підручнику 9 кл.: Навчальний посібник для учнів школи та класів з поглибленим вивченням математики / За редакцією Г.В.Дорофєєва. - М.: Просвітництво, 1997. - 224 с. Садикіна Н. Побудова графіків та залежностей, що містять знак модуля / Математика. - №33. - 2004. - С.19-21.. Кострикіна Н.П "Завдання підвищеної проблеми в курсі алгебри для 7-9 класів" ... Москва.: Просвітництво, 2008р.

Урок 5. Перетворення графіків із модулями (факультативне заняття)

Ціль: освоїти основні навички перетворення графіків із модулями.

I. Повідомлення теми та мети уроку

II . Повторення та закріплення пройденого матеріалу

1. Відповіді на запитання щодо домашнього завдання(Розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (письмовий опитування).

Варіант 1

f (х), побудувати графік функції у = f(-х) + 2?

2. Побудуйте графік функції:

Варіант 2

1. Як, знаючи графік функції у = f (х), побудувати графік функції у = - f(х) - 1?

2. Побудуйте графік функції:

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

З попереднього матеріалу уроку видно, що способи перетворення графіків надзвичайно корисні при їх побудові. Тому розглянемо основні способи перетворення графіків, що містять модулі. Ці способи є універсальними та придатні для будь-яких функцій. Для простоти побудови розглядатимемо шматково-лінійну функцію f (х) з областю визначення D (f ), графік якої представлений малюнку. Розглянемо три стандартні перетворення графіків з модулями.

1) Побудова графіка функції у = | f(x) |

f /(x), якщо Дх)>0,

За визначенням модуля отримаємо:Це означає, що з побудови графіка функції у = | f (x )| треба зберегти частину графіка функції у = f (x ), для якої у ≥ 0. Ту частину графіка функції у = f (х), для якої у< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Побудова графіка функції у = f(|x|)

Г/О), якщо Дх)>0,

Розкриємо модуль та отримаємо:Тому для побудови графіка функції у = f(|x |) треба зберегти частину графіка функції у = f (х), для якої х ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вліво щодо осі ординат.

3) Побудова графіка рівняння |у| = f(x)

За визначенням модуля маємо, що за f (х) ≥ 0 треба побудувати графіки двох функцій: у = f(х) і у = - f (х). Це означає, що з побудови графіка рівняння |у| = f (х) треба зберегти частину графіка функції у = f (х), для якої ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вниз щодо осі абсцис.

Зауважимо, залежність |у| = f (х) не задає функцію, тобто при х∈ (-2,6; 1,4) кожному значенню х відповідають два значення у. Тому малюнку представлений саме графік рівняння |у| = f(х).

Використовуємо розглянуті способи перетворення графіків з модулями для побудови графіків. складних функційта рівнянь.

Приклад 1

Побудуємо графік функції

Виділимо у цій функції цілу частинуТакий графік виходить при зміщенні графіка функції у = -1/ x на 2 одиниці вправо та на 1 одиницю вниз. Графіком цієї функції є гіпербола.

Приклад 2

Побудуємо графік функції

Відповідно до способу 1 збережемо частину графіка з прикладу 1, для якої у ≥ 0. Ту частину графіка, для якої у< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Приклад 3

Побудуємо графік функції

Використовуючи спосіб 2, збережемо частину графіка прикладу 1, для якої х ≥ 0. Цю збережену частину, крім того, дзеркально відобразимо вліво щодо осі ординат. Отримаємо графік функції, симетричний щодо осі ординат.

Приклад 4

Побудуємо графік рівняння

Відповідно до способу 3 збережемо частину графіка з прикладу 1, для якої ≥ 0. Крім того, цю збережену частину симетрично відобразимо вниз щодо осі абсцис. Отримаємо графік цього рівняння.

Зрозуміло, розглянуті методи перетворення графіків можна і разом.

Приклад 5

Побудуємо графік функції

Використовуємо графік функціїпобудований у прикладі 3. Щоб побудувати даний графік, збережемо частини графіка 3, для яких у ≥ 0. Ті частини графіка 3, для яких у< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

У тих випадках, коли модулі залежать іншим чином (ніж у способах 1-3), необхідно ці модулі розкрити.

Приклад 6

Побудуємо графік функції

Вирази х - 1 та x + 2, що входять під знаки модулів, змінюють свої знаки у точках х = 1 і x = -2 відповідно. Зазначимо ці точки на координатній прямій. Вони розбивають її на три інтервали. Використовуючи визначення модуля, розкриємо модулі у кожному проміжку.

Отримаємо:

1. При

2. При

3. При

Побудуємо графіки цих функцій, враховуючи інтервали для змінної x, у яких розкривалися знаки модуля. Отримаємо ламану пряму.

Досить часто при побудові графіків рівнянь із модулями для їх розкриття використовують координатну площину. Пояснимо це наступним прикладом.

Приклад 7

Побудуємо графік рівняння

Вираз у - х змінює свій знак на прямий у = х. Побудуємо цю пряму - бісектрису першого та третього координатних кутів. Ця пряма розбиває точки площини на дві області: 1 - точки, розташовані над прямою у - x; 2 - точки, розташовані під цією прямою. Розкриємо модуль у таких областях. В області 1 візьмемо, наприклад, контрольну точку (0; 5). Бачимо, що для цієї точки вираз у - х > 0. Розкриваючи модуль, отримаємо: у - х + у + х = 4 або y = 2. Будуємо таку пряму не більше першої області. Очевидно, в області 2 вираз у - х< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Побудуйте графік дробово-лінійної функції та рівняння:

4. Побудуйте графік функції, рівняння, нерівності:

VIII. Підбиття підсумків уроку

Побудова графіків функцій, що містять знак модуля.

Сподіваюся, що ви уважно вивчили пункт 23 і розумієте, чим відрізняється функція виду від функції . Тепер розберемо ще кілька прикладів, які повинні вам допомогти при побудові графіків.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Маємо функцію виду, де.

1. Побудуємо спочатку графік підмодульної функції, тобто функції. Для цього виділимо цілу частину цього дробу. Нагадую, що це можна зробити двома способами: розділивши чисельник на знаменник «у стовпчик» або розписавши чисельник так, щоб у ньому з'явився вираз, кратний знаменнику. Виконаємо виділення цілої частини другим способом.

Отже, підмодульна функція має вигляд . Значить, її графіком є ​​гіпербола виду, зміщена на 1 одиницю вправо та 3 одиниці вгору.

Збудуємо цей графік.

2. Щоб отримати графік шуканої функції , необхідно частину побудованого графіка функції , що лежить вище осі Ох, залишити без змін, а частину графіка, що лежить нижче осі Ох, відобразити симетрично верхню напівплощину. Виконаємо ці перетворення.

Графік збудований.

Абсцис точки перетину графіка з віссю Ох можна обчислити, вирішивши рівняння

y = 0, тобто. Отримуємо, що .

Тепер за графіком можна визначати всі властивості функції, знаходити найменше та найбільше значенняфункції на проміжку, розв'язувати задачі з параметром.

Наприклад, можна відповісти на таке запитання. «При яких значеннях параметра арівняння має одне рішення?»

Проведемо прямі y =aпри різних значенняхпараметра а. (Тонкі червоні прямі на наступному малюнку)

Видно, що якщо a<0 , то графік побудованої функції і пряма немає загальних точок, отже, рівняння немає жодного рішення.

Якщо 0< a<3 або a>3, то пряма y =aта побудований графік мають дві загальні точки, тобто рівняння має два рішення.

Якщо ж а = 0або а = 3, то рівняння має рівно одне рішення, тому що при цих значеннях апряма та графік функції мають рівно одну загальну точку.

приклад 2.Побудувати графік функції

Рішення

Побудуємо спочатку графік функції за невід'ємних значень х. Якщо, то й тоді наша функція набуває вигляду, а потрібна функція – це функція виду.

Графіком функції є гілка параболи «спрямована» вліво, зміщена на 4 одиниці праворуч. (Т. до. ми можемо уявити ).

Побудуємо графік цієї функції

і будемо розглядати тільки ту його частину, яка розташована правіше від осі Оy. Решта зітрьом.

Зверніть увагу, що ми вирахували значення ординати точки графіка, що лежить на осі ординат. Для цього достатньо обчислити значення функції за х = 0. У нашому випадку при х = 0отримали y = 2.

Тепер побудуємо графік функції при х< 0 . Для цього збудуємо лінію, симетричну тій, що ми вже збудували, щодо осі Оу.

Таким чином, ми побудували графік шуканої функції.

Приклад 3. Побудувати графік функції

Це завдання вже зовсім непросте. Бачимо, що тут є обидва види функцій з модулем: і , і . Будуватимемо по порядку:

Спочатку збудуємо графік функції без усіх модулів: Потім додамо модуль у кожного аргументу. Отримаємо функцію виду, тобто. Для побудови такого графіка необхідно застосувати симетрію щодо осі Оy. Додамо ще й зовнішній модуль. Отримаємо, нарешті, потрібну функцію . Оскільки ця функція отримана з попередньої застосуванням зовнішнього модуля, то ми маємо функцію виду , а значить, необхідно застосувати симетрію щодо Ох.

Тепер докладніше.

Це дрібно-лінійна функція, для побудови графіка потрібно виділити цілу частину, ніж ми й займемося.

Значить, графіком цієї функції є гіпербола виду, зміщена на 2 вправо та 4 вниз.

Обчислимо координати точок перетину з осями координат.

y = 0 при х = 0, отже графік пройде через початок координат.

2. Тепер побудуємо графік функції.

Для цього у вихідному графіку спочатку зітремо ту його частину, яка розташовується ліворуч від осі Оy:

, а потім відобразимо її симетрично щодо осі Оy. Зверніть увагу, асимптоти також симетрично відображаються!

Тепер побудуємо остаточний графік функції: . Для цього частину попереднього графіка, що лежить вище осі Ох, залишимо без зміни, а те, що знаходиться нижче за осю Ох, симетрично відобразимо у верхню півплощину. Знову-таки не забувайте, що асимптоти відображаються разом із графіком!

Графік збудований.

Приклад 4. Застосовуючи різні перетворення графіків, побудуйте графік функції

Щось зовсім накручене і складне! Купа модулів! А квадрат ікса модуля немає!!! Це неможливо збудувати!

Так чи приблизно так може міркувати середньостатистичний учень 8 класу, незнайомий із технікою побудови графіків.

Але ж не ми! Тому що ми знаємо різні способи перетворення графіків функцій і ще знаємо різні властивості модуля.

Отже, почнемо по порядку.

Перша проблема – відсутність модуля у ікса у квадраті. Не біда. Знаємо, що . Добре. Отже, наша функція може бути записана у вигляді . Це вже краще, тому що схоже на .

Далі. Функція має зовнішній модуль, тому, схоже, доведеться користуватися правилами побудови графіка функції . Подивимося тоді, що являє собою підмодульний вираз. Це функція виду . Якби не -2, то функція знову містила зовнішній модуль і ми знаємо, як побудувати графік функції за допомогою симетрії. Ага! Але якщо ми його побудуємо, то, змістивши його на 2 одиниці вниз, отримаємо шукане!

Отже, щось починає вимальовуватись. Спробуємо скласти алгоритм побудови графіка.

1.

5. І наостанок, . Все те, що лежить нижче за осю Ох, відобразимо симетрично у верхню напівплощину.

Ура! Графік готовий!

Успіхів вам у нелегкій справі побудови графіків!