Перетин паралелепіпеда за трьома точками приклади. Завдання на побудову перерізів

Цілі уроку:розглянути розв'язання задач на побудову перерізів, якщо дві точки перерізу належать до однієї грані.

Хід уроку

Вивчення нових понять
Визначення 1. Січна площина багатогранника - будь-яка площина, по обидва боки якої є точки даного багатогранника.
Визначення 2. Перетин багатогранника - це багатокутник, сторонами якого є відрізки, якими січна площина перетинає грані багатогранника.
Завдання. Назвіть відрізки, за якими січна площина перетинає грані паралелепіпеда (рис. 1). Назвіть перетин паралелепіпеда.

Основні дії при побудові перерізів

Розв'язання задач

Завдання 1.Який із чотирикутників, EFKM чи EFKL, може бути перетином даного багатогранника (рис. 2)? Чому?

Завдання 2.Учень зобразив перетин тетраедра (рис. 3). Чи можливий такий перетин?

Рішення. Потрібно довести, що N, M та H, L лежать в одній площині. Нехай точки N і M належать задній грані, H і L - нижній грані, тобто точка перетину NM і HL повинна лежати на прямій, що належить обом граням, тобто AC. Продовжимо прямі NM та HL і знайдемо точку їх перетину. Ця точка не належатиме прямій AC. Значить точки N, M, L, H не утворюють плоский багатокутник. Неможливо.

Завдання 3.Побудувати перетин тетраедра ABCS площиною, що проходить через точки K, L, N, де K та N – середини ребер SA та SB відповідно (рис. 4).

1. У якій грані можна збудувати сторони перерізу?

2. Вибираємо одну з точок, на якій обірвався перетин.
Рішення. Спосіб I.Вибираємо точку L.
Визначаємо грань, в якій лежить обрана точка і в якій треба збудувати перетин.

Визначаємо грань, у якій лежить пряма KN, що не проходить через обрану точку L.

Знаходимо лінію перетину граней ABC та ASB.

Яке взаємне розташування прямих KN та AB (рис. 5)?
[Паралельні.]

Що потрібно побудувати, якщо січна площина проходить через пряму, паралельну лінії перетину площин?
[Через точку L провести пряму, паралельну AB. Ця пряма перетинає ребро CB у точці P.]
З'єднуємо точки, що належать до однієї грані. KLPN - шуканий переріз.
Спосіб II. Вибираємо точку N (рис. 6).

Визначаємо грані, у яких лежать точка N та пряма KL.

Лінією перетину цих площин буде пряма SC. Знаходимо точку перетину прямих KL та SC. Позначимо її Y.
З'єднуємо точки N та Y. Пряма NY перетинає ребро CB у точці P.
З'єднуємо точки, що належать до однієї грані.
KLNP - шуканий переріз.
Поясніть це рішення.
Один учень працює біля дошки, інші у зошитах.

Завдання 4. Побудувати перетин паралелепіпеда, що проходить через точки M, P і H, H` (A1B1C1) (рис. 7).

Рішення. 1. З'єднайте точки, що належать до однієї грані.
2. Яку пряму та точку вибираємо для побудови перерізу?
3. Що визначаємо далі?
4. Яке взаємне розташуванняобраної прямої та лінії перетину граней (рис. 8)?

5. Як побудувати слід січої площини на межі B1C1D1A1, що проходить через точку H?
6. З'єднайте точки, що належать до однієї грані.
7. Яку пряму та точку потрібно вибрати для побудови сліду січної площини на межі AA1D1D?
8. Яке взаємне розташування граней BB1C1C та AA1D1D?
9. Якою властивістю необхідно скористатися для побудови сліду січної площини на межі AA1D1D?
10. Назвіть перетин, що шукається.

Завдання 5.Побудувати переріз піраміди SABCD, що проходить через точки M, P і H,
H`(ABC) (рис. 9).

Відповідь: див. рисунок 10.

Завдання додому

Завдання. Як зміняться побудови, якщо точ-
ка H змінить своє становище? Побудувати перерізи, використовуючи різні варіанти(Рис. 11).

Завдання на побудову перерізів багатогранників займають значне місце як шкільному курсі геометрії для старших класів, так і на іспитах різного рівня. Вирішення цього виду завдань сприяє засвоєнню аксіом стереометрії, систематизації знань та умінь, розвитку просторового уявлення та конструктивних навичок. Загальновідомі проблеми, що виникають під час вирішення завдань побудова перерізів.

З самого раннього дитинствами стикаємося з перерізами. Ріжемо хліб, ковбасу та інші продукти, обстругуємо паличку чи олівець ножем. Сікучою площиною у всіх цих випадках є площина ножа. Перерізи (зрізи шматочків) виявляються різними.

Перетин опуклого багатогранника є опуклий багатокутник, вершини якого в загальному випадкує точками перетину січної площини з ребрами багатокутника, а сторонами - лініями перетину січної площини з гранями.

Для побудови прямої перетину двох площин досить знайти дві загальні точки цих площин і провести пряму. Це ґрунтується на таких твердженнях:

1.якщо дві точки прямої належать площині, те й вся пряма належить цій площині;

2.якщо дві різні площини мають загальну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Як я вже сказав про побудову перерізів багатогранників можна здійснювати на підставі аксіом стереометрії і теорем про паралельність прямих і площин. Разом з тим існують певні методи побудови плоских перерізів багатогранників. Найбільш ефективними є такі три методи:

Метод слідів

Метод внутрішнього проектування

Комбінований метод.

У вивченні геометрії і особливо тих її розділів, де розглядаються зображення геометричних фігур, зображення геометричних фігур допомагають використання комп'ютерних презентацій. За допомогою комп'ютера багато уроків геометрії стають наочнішими і динамічнішими. Аксіоми, теореми, докази, завдання побудови, завдання побудови перерізів можна супроводжувати послідовними побудовами на екрані монітора. Зроблені за допомогою комп'ютера креслення можна зберігати та вставляти в інші документи.

Хочу показати кілька слайдів на тему: «Побудови перерізів у геометричних тілах»

Для побудови точки перетину прямої та площини знаходять у площині пряму, що перетинає цю пряму. Тоді шукана точка є точкою перетину знайденої прямої з цією. Простежимо це на наступних слайдах.

Завдання 1.

На ребрах тетраедра DABC відзначено дві точки М та N; М GAD, N б DC. Вкажіть точку перетину прямої MN з площиною основи.

Рішення: для того, щоб знайти точку перетину прямої MN з площиною

основи ми продовжимо АС та відрізок MN. Зазначимо точку перетину цих прямих через X. Точка X належить прямий MN і межі АС, а АС лежить у площині основи, отже, точка X теж лежить у площині основи. Отже, точка X є точка перетину прямої MN з площиною основи.

Розглянемо друге завдання. Трохи ускладнимо його.

Завдання 2.

Даний тетраедр DABC точки М та N, де М € DA, N С (DBC). Знайти точку перетину прямої MN з площиною ABC.

Рішення: точка перетину прямої MN з площиною ABC повинна лежати у площині, що містить пряму MN та у площині основи. Продовжимо відрізок DN до точки перетину з ребром DC. Точку перетину відзначимо через Е. Продовжимо пряму АЕ та MN до точки їх перетину. Зазначимо X. Точка X належить MN, отже вона лежить на площині, що містить пряму MN і X належить АЕ, а АЕ лежить на площині ABC. Значить, X теж лежить у площині ABC. Отже, X і є точка перетину прямої MN і площини ABC.

Ускладнимо завдання. Розглянемо перетин геометричних постатей площинами, що проходять через три дані точки.

Завдання 3

На ребрах AC, AD та DB тетраедра DABC відзначені точки М, N та Р. Побудувати перетин тетраедра площиною MNP.

Рішення: побудуємо пряму, якою площину MNP. Перетинається із площиною грані ABC. Точка М є спільною точкоюцих площин. Для побудови ще однієї загальної точки продовжимо відрізок АВ та NP. Точку перетину відзначимо через X, яка буде другою загальною точкою площини MNP і ABC. Значить ці площини перетинаються прямою MX . MX перетинає ребро ВС у певній точці Е. Оскільки Е лежить на MX, а MX пряма площині MNP, що належить, значить РЕ належить MNP. Чотирьохкутник MNPE шуканий переріз.

Завдання 4

Побудуємо переріз прямої призми АВСА1В1С1 площиною, що проходить через точки P , Q,R, де R належить ( AA 1C 1C), Рналежить У 1З 1,

Q належить АВ

Рішення:Усі три точки P, Q, Rлежать у різних гранях, тому побудувати лінію перетину січної площини з будь-якою гранню призми ми поки що не можемо. Знайдемо точку перетину PR з ABC. Знайдемо проекції точок Р та R на площину основи PP1 перпендикулярно ВС та RR1 перпендикулярна АС. Пряма P1R1 перетинається з прямої PR у точці X. X точка перетину прямої PR з площиною ABC. Вона лежить в площині К і в площині основи, як і точка Q. XQ- пряма перетинає К з площиною основи. XQ перетинає АС у точці К. Отже, KQ відрізок перетину площини Х з гранню ABC. До R лежать у площині Х і в площині грані АА1С1С. Проведемо пряму KR та точку перетину з A1Q відзначимо Е. КЕ є лінією перетину площини Х з цією гранню. Знайдемо лінію перетину площини Х із площиною граней BB1A1A. КЕ перетинається з А1А у точці У. Пряма QY є лінія перетину січної площини з площиною AA1B1B. FPEKQ - шуканий переріз.

Завдання на побудову перерізів куба площиною, як правило, простіше, ніж, наприклад, завдання на перерізи піраміди.

Провести пряму можемо через дві точки, якщо вони лежать у одній площині. При побудові перерізів куба можливий ще один варіант побудови сліду площини, що січе. Оскільки дві паралельні площини третя площина перетинає паралельним прямим, то, якщо в одній з граней вже побудована пряма, а в іншій є точка, через яку проходить перетин, то можемо провести через цю точку пряму, паралельну даній.

Розглянемо на конкретних прикладах, як побудувати переріз куба площиною.

1) Побудувати перетин куба площиною, що проходить через точки A, C та M.

Завдання такого виду – найпростіші з усіх завдань на побудову перерізів куба. Оскільки точки A та C лежать в одній площині (ABC), то через них можемо провести пряму. Її слід – відрізок AC. Він невидимий, тому зображуємо AC штрихом. Аналогічно з'єднуємо точки M та C, що лежать в одній площині (CDD1), і точки A та M, які лежать в одній площині (ADD1). Трикутник ACM - шуканий переріз.

2) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Тут тільки точки M і N лежать в одній площині (ADD1), тому проводимо через них пряму та отримуємо слід MN (невидимий). Оскільки протилежні грані куба лежать у паралельних площинах, то січна площина перетинає паралельні площини (ADD1) і (BCC1) паралельними прямими. Одну з паралельних прямих ми вже збудували — це MN.

Через точку P проводимо пряму, паралельну MN. Вона перетинає ребро BB1 у точці S. PS — слід січної площини в грані (BCC1).

Проводимо пряму через точки M та S, що лежать в одній площині (ABB1). Отримали слід MS (видимий).

Площини (ABB1) та (CDD1) паралельні. У площині (ABB1) вже є пряма MS, тому через точку N площині (CDD1) проводимо пряму, паралельну MS. Ця пряма перетинає ребро D1C1 у точці L. Її слід - NL (невидимий). Точки P та L лежать в одній площині (A1B1C1), тому проводимо через них пряму.

П'ятикутник MNLPS - перетин, що шукається.

3) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Точки M та N лежать в одній площині (ВСС1), тому через них можна провести пряму. Отримуємо слід MN (видимий). Площина (BCC1) паралельна площині (ADD1), тому через точку P, що лежить (ADD1), проводимо пряму, паралельну MN. Вона перетинає ребро AD у точці E. Отримали слід PE (невидимий).

Більше немає точок, що лежить в одній площині, або прямої та точки в паралельних площинах. Тому треба продовжити одну з наявних прямих, щоб отримати додаткову точку.

Якщо продовжувати пряму MN, то оскільки вона лежить у площині (BCC1), потрібно шукати точку перетину MN з однією з прямих цієї площини. З CC1 та B1C1 точки перетину вже є – це M та N. Залишаються прямі BC та BB1. Продовжимо BC і MN до перетину в точці K. Точка K лежить на прямій BC, отже, вона належить площині (ABC), тому через неї і точку E, що лежить у цій площині, можемо провести пряму. Вона перетинає ребро CD у точці H. EH -її слід (невидимий). Оскільки H та N лежать в одній площині (CDD1), через них можна провести пряму. Отримуємо слід HN (невидимий).

Площини (ABC) та (A1B1C1) паралельні. В одній з них є пряма EH, в іншій – точка M. Можемо провести через M пряму, паралельну EH. Отримуємо слід MF (видимий). Проводимо пряму через точки M та F.

Шестикутник MNHEPF - шуканий переріз.

Якби ми продовжили пряму MN до перетину з іншої прямої площини (BCC1), BB1, то отримали б точку G, що належить площині (ABB1). Отже, через G і P можна провести пряму, слід якої PF. Далі - проводимо прямі через точки, що лежать у паралельних площинах, і приходимо до того ж результату.

Робота з прямою PE дає той же переріз MNHEPF.

4) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точку M, N, P.

Тут можемо провести пряму через точки M та N, що лежать в одній площині (A1B1C1). Її слід – MN (видимий). Більше немає точок, що у однієї площині чи паралельних площинах.

Продовжимо пряму MN. Вона лежить у площині (A1B1C1), тому перетнутися може лише з однією з прямих цієї площини. З A1D1 і C1D1 точки перетину вже є N і M. Ще дві прямі цієї площини A1B1 і B1C1. Точка перетину A1B1 і MN - S. Оскільки вона лежить на прямій A1B1, то належить площині (ABB1), а значить, через неї і точку P, що лежить у цій площині, можна провести пряму. Пряма PS перетинає ребро AA1 у точці E. PE – її слід (видимий). Через точки N і E, що лежать в одній площині (ADD1), можна провести пряму, слід якої NE (невидимий). У площині (ADD1) є пряма NE, у паралельній площині (BCC1) — точка P. Через точку P можемо провести пряму PL, паралельну NE. Вона перетинає ребро CC1 у точці L. PL — слід цієї прямої (видимий). Точки M та L лежать в одній площині (CDD1), отже, через них можна провести пряму. Її слід – ML (невидимий). П'ятикутник MLPEN - шуканий переріз.

Можна було продовжувати пряму NM в обидві сторони і шукати її точки перетину не тільки з прямої A1B1, але і прямої B1C1, що також лежить в площині (A1B1C1). У цьому випадку через точку P проводимо відразу дві прямі: одну - в площині (ABB1) через точки P і S, а другу - в площині (BCC1), через точки P і R. Після чого залишається з'єднати точки, що лежать в одній площині: M c L, E - з N.

Розберемо, як збудувати перетин піраміди, на конкретних прикладах. Оскільки в піраміді немає паралельних площин, побудова лінії перетину (сліду) січної площини з площиною грані найчастіше передбачає проведення прямої через дві точки, що лежать у площині цієї грані.

У найпростіших завданнях потрібно побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через ці точки, що вже лежать в одній грані.

приклад.

Побудувати переріз площиною (MNP)

Трикутник MNP - переріз піраміди

Точки M та N лежать в одній площині ABS, отже, через них можемо провести пряму. Слід цієї прямої - відрізок MN. Він видимий, отже, з'єднуємо M та N суцільною лінією.

Точки M та P лежать в одній площині ACS, тому через них проведемо пряму. Слід – відрізок MP. Ми не бачимо, тому відрізок MP проводимо штрихом. Аналогічно будуємо слід PN.

Трикутник MNP - шуканий переріз.

Якщо точка, якою потрібно провести перетин, лежить не так на ребре, але в грані, вона буде кінцем сліду-отрезка.

приклад. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точки B, M та N, де точки M та N належать, відповідно, граням ABS та BCS.

Тут точки B та M лежать в одній грані ABS, тому можемо через них провести пряму.

Аналогічно проводимо пряму через точки B та P. Отримали, відповідно, сліди BK та BL.

Точки K та L лежать в одній грані ACS, тому через них можемо провести пряму. Її слід – відрізок KL.

Трикутник BKL - шуканий переріз.

Однак не завжди через дані за умови точки вдається провести пряму. У цьому випадку потрібно знайти точку, що лежить на прямій перетину площин, що містять грані.

приклад. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Точки M та N лежать в одній площині ABS, тому через них можна провести пряму. Отримуємо слід MN. Аналогічно – NP. Обидва сліди видимі, тому з'єднуємо їх суцільною лінією.

Точки M та P лежать у різних площинах. Тому з'єднати їх прямо не можемо.

Продовжимо пряму NP.

Вона лежить у площині грані BCS. NP перетинається тільки з прямими, що лежать у цій самій площині. Таких прямих у нас три: BS, CS та BC. З прямими BS і CS вже є точки перетину - це якраз N і P. Отже, шукаємо перетин NP з прямою BC.

Точку перетину (назвемо її H), отримуємо, продовжуючи прямі NP та BC до перетину.

Ця точка H належить як площині (BCS), оскільки лежить на прямій NP, і площині (ABC), оскільки лежить на прямий BC.

Таким чином, ми отримали ще одну точку січної площини, що лежить у площині (ABC).

Через H і точку M, що лежить у цій площині, можемо провести пряму.

Отримаємо слід MT.

T — точка перетину прямих MH та AC.

Так як T належить прямий AC, через неї і точку P можемо провести пряму, оскільки вони обидві лежать в одній площині (ACS).

4-кутник MNPT - шуканий переріз піраміди площиною, що проходить через дані точки M, N, P.

Ми працювали з прямою NP, продовжуючи її для відшукання точки перетину січної площини з площиною (ABC). Якщо працювати з прямою MN, приходимо до того ж результату.

Розмірковуємо так: пряма MN лежить у площині (ABS), тому може перетинатися тільки з прямими, що лежать у цій же площині. У нас таких прямих три: AB, BS та AS. Але з прямими AB та BS вже є точки перетину: M та N.

Отже, продовжуючи MN, шукаємо точку перетину її з прямою AS. Назвемо цю точку R.

Точка R лежить на прямий AS, отже вона лежить і в площині (ACS), якій належить пряма AS.

Оскільки точка P лежить у площині (ACS), через R та P можемо провести пряму. Отримуємо слід PT.

Точка T лежить у площині (ABC), тому через неї та точку M можемо провести пряму.

Таким чином, отримали все той же переріз MNPT.

Розглянемо ще один приклад такого роду.

Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Через точки M та N, що лежать в одній площині (BCS), проводимо пряму. Отримуємо слід MN (видимий).

Через точки N та P, що лежать в одній площині (ACS), проводимо пряму. Отримуємо слід PN (невидимий).

Через точки M та P пряму провести не можемо.

1) Пряма MN лежить у площині (BCS), де є ще три прямі: BC, SC та SB. З прямими SB і SC є точки перетину: M і N. Тому шукаємо точку перетину MN з BC. Продовживши ці прямі, одержуємо точку L.

Точка L належить прямий BC, отже, лежить у площині (ABC). Тому через L та P, яка також лежить у площині (ABC) можемо провести пряму. Її слід – PF.

F лежить на прямій AB, отже, й у площині (ABS). Тому через F та точку M, яка також лежить у площині (ABS), проводимо пряму. Її слід - FM. Чотирьохкутник MNPF - шуканий переріз.

2) Інший шлях – продовжити пряму PN. Вона лежить у площині (ACS) і перетинається з прямими AC і CS, що у цій площині, у точках P і N.

Отже, шукаємо точку перетину PN із третьою прямою цією площиною — з AS. Продовжуємо AS та PN, на перетині отримуємо точку E. Оскільки точка E лежить на прямій AS, що належить площині (ABS), то через E та точку M, яка також лежить у (ABS), можемо провести пряму. Її слід - FM. Точки P і F лежать у водній площині (ABC), проводимо через них пряму і отримуємо слід PF (невидимий).

У цьому методі ми першою дією (після знаходження вторинних проекцій даних точок) будуємо слід січної площини на площині верхнього або нижньої основипризми або усіченої пірамідиабо на підставі піраміди

Зад 2. Дано зображення трикутної призми ABCA 1 B 1 C 1 та трьох точокM, N, P, які лежать відповідно на ребері СС 1 та гранях ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Побудувати переріз призми площиною, проходить через M, N, P.

Рішення. Ми вже маємо одну точку на верхній підставі призми, тому й слід будуватимемо на верхній підставі. Будуємо вторинні проекції крапок Nі P на верхню основу. Потім: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=p-Слід; 3 .pB 1 C 1 =D.

Подальші події вже були показані вище на кресленні.

Зад 3. Виріш. Ми будуватимемо слід сіючої площини на нижній підставі призми.

Будуємо:1. MNED=X, MPEP 3 =Y;

2. p=XY- Слід;3. pBC=G, pDC=H.

Нам потрібно знайти точку на ребрі BB 1 або на ребрі AA 1 .

У грані ABB 1 A 1 ми вже маємо одну точку P. Тому нижнє ребро цієї грані, тобто. AB, ми продовжуємо до перетину зі слідом.

4. ABp=Z.

5. PZAA 1 =F; PZBB 1 =K. Подальші дії вже показані вище.

Якщо виявиться, що лінія AB не перетинається зі слідом, то шукана FK теж буде паралельна сліду. Зад 4. Виріш. 1. PNP o N o = X;

2. MNCN o = Y;3. p=XY- Слід;

3. CBp=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. GEMF- Позов перетин.

17. Побудова перерізу циліндра.

Якщо січна площина задана трьома точками, ми завжди можемо знайти її слід на площині основи циліндра чи конуса і точку ( P, O) з його осі. Тому вважаємо, що січна площина задана саме цими елементами.

З почала рас-им випадок, коли площина перетинає тільки бічну поверхнюциліндра. Тоді перетином циліндра буде еліпс (; і його зображення – теж еліпс. Ми знаємо спосіб побудови еліпса, якщо відомі два його сполучених діаметра. Ми зараз покажемо, як можна знайти зображення головних діаметрів еліпса (; ¯).

Нехай  і  1 – еліпси, що зображають нижню та верхню основи циліндра, O і O 1 – їхні центри. Проведемо діаметр A 3 B 3 нижньої основи, паралельний сліду та сполучений йому діаметр C 3 D 3 . Для побудови C 3 D 3 ми використовуємо хорду K 3 L 3 один кінець якої належить контурної утворює. Нагадаємо, що A 3 B 3 та C 3 D 3 зображують перпендикулярні діаметри. Продовжимо C 3 D 3 до перетину зі слідом. Отримаємо точ X. Прям. PX зв-ем віссю перерізу.

Піднімемо крапки C 3 та D 3 до осі перерізу. Отримаємо Cі D. Відрізок CDє зображенням великого діаметра перерізу. Піднімемо відрізок A 3 B 3 на висоту OP. Отримаємо відрізок ABщо є зображенням малого діаметра перерізу. Отр-і AB і CD -сопряж-ие діам. еліпса .

Н айти ще точки, в яких еліпс переходить з видимого бокуциліндра на невидиму, а значить, суцільна лініяперетворюється на пунктир. Це точки перетину січної площини з утворюючими контурними. Нехай Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3 . Піднімемо Y 3 до осі перерізу. Отримаємо точку Y. Піднімемо хорду K 3 L 3 на висоту YY 3 . Отримаємо відрізок KL. Ми знайшли потрібну точку K, а принагідно, ще одну додаткову точку L. Крапка M, изобр-ща перетинання січної плоско-і з другою контурною утворюючою симетричною точкою Kщодо точки P.Додатково побудуємо точ N, симетричну L віднос-нточки P

Покажемо спосіб, як можна знайти будь-яку кількість точок на перерізі без використання цих діаметрів.

вибираємо люб. точку V 3 на еліпсі . Проводимо діаметр V 3 T 3 і продовжуємо його до перетину зі слідом. Отримаємо точку U. Піднімаємо крапки V 3 та T 3 до прямої UP. Отримуємо дві точки Vі Tна перетині. Вибираючи замість V 3 іншу точку, отримаємо ін. 2 точки на сеч. Якщо вибрати точку K 3 , що лежить на контурно утворює, ми знайдемо точки K і M, в яких суцільна лінія на перерізі повинна перейти до пунктирної.