Рішення логарифмічних виразів. Натуральний логарифм, функція ln x

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Наведено основні властивості логарифму, графік логарифму, область визначення, безліч значень, основні формули, зростання та спадання. Розглянуто знаходження похідної логарифму. А також інтеграл, розкладання в статечний рядта подання за допомогою комплексних чисел.

Визначення логарифму

Логарифм із основою a- це функція y (x) = log a x, обернена до показової функції з основою a: x (y) = a y.

Десятковий логарифм- це логарифм на основі числа 10 : lg x ≡ log 10 x.

Натуральний логарифм- це логарифм на підставі числа e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Графік логарифму виходить із графіка показової функції дзеркальним відображеннямщодо прямої y = x. Ліворуч зображено графіки функції y (x) = log a xдля чотирьох значень основи логарифму: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . На графіку видно, що за a > 1 логарифм монотонно зростає. Зі збільшенням x зростання суттєво уповільнюється. При 0 < a < 1 логарифм монотонно зменшується.

Властивості логарифму

Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Логарифм є монотонною функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості логарифму представлені у таблиці.

Область визначення	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значень	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	x = 1	x = 1
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	ні	ні
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Приватні значення

Логарифм на підставі 10 називається десятковим логарифмомі позначається так:

Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом:

Основні формули логарифмів

Властивості логарифму, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Логарифмування- це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників перетворюються на суми членів.

Потенціювання- це математична операція зворотна до логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів перетворюються на твори співмножників.

Доказ основних формул логарифмів

Формули, пов'язані з логарифмами випливають із формул для показових функцій та визначення зворотної функції.

Розглянемо властивість показової функції
.
Тоді
.
Застосуємо властивість показової функції
:
.

Доведемо формулу заміни основи.
;
.
Вважаючи c = b маємо:

Зворотня функція

Зворотним для логарифму на основі a є показова функціяз показником ступеня a.

Якщо то

Якщо то

Похідна логарифма

Похідна логарифма від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Для знаходження похідної логарифму його потрібно призвести до основи e.
;
.

Інтеграл

Інтеграл від логарифму обчислюється інтегруванням частинами: .
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
.
Висловимо комплексне число zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Тоді, використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або

Проте, аргумент φ визначено не однозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде одним і тим же числом за різних n.

Тому логарифм, як функція від комплексного змінного, не є однозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Заключні відео з довгої серії уроків про рішення логарифмічних рівнянь. Цього разу ми працюватимемо насамперед із ОДЗ логарифму — саме через неправильний облік (або взагалі ігнорування) області визначення виникає більшість помилок при вирішенні подібних завдань.

У цьому короткому відеоуроці ми розберемо застосування формул додавання та віднімання логарифмів, а також розберемося з дрібно-раціональними рівняннями, з якими у багатьох учнів також виникають проблеми.

Про що йтиметься? Головна формула, з якою я хотів би розібратися, виглядає так:

log a (f g ) = log a f + log a g

Це стандартний перехідвід твору до суми логарифмів та назад. Ви напевно знаєте цю формулу від початку вивчення логарифмів. Однак тут є одна затримка.

До тих пір, поки у вигляді змінних a, f і g виступають звичайні числа, жодних проблем не виникає. Ця формула працює чудово.

Однак, як тільки замість f і g з'являються функції, виникає проблема розширення або звуження області визначення залежно від того, яку сторону перетворювати. Судіть самі: у логарифмі, записаному зліва, область визначення така:

fg > 0

А ось у сумі, записаній праворуч, область визначення вже дещо інша:

f > 0

g > 0

Даний набір вимог є жорсткішим, ніж вихідний. У першому випадку нас влаштує варіант f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 виконується).

Отже, під час переходу від лівої конструкції до правої виникає звуження області визначення. Якщо ж спочатку ми мали суму, а ми переписуємо її у вигляді твору, то відбувається розширення області визначення.

Іншими словами, у першому випадку ми могли втратити коріння, а в другому отримати зайві. Це необхідно враховувати під час вирішення реальних логарифмічних рівнянь.

Отже, перше завдання:

[Підпис до малюнка]

Зліва ми бачимо суму логарифмів з тієї ж підставі. Отже, ці логарифми можна скласти:

[Підпис до малюнка]

Як бачите, праворуч ми замінив нуль за формулою:

a = log b b a

Давайте ще трохи перетворимо наше рівняння:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння ми можемо закреслити знак log і прирівняти аргументи:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Зверніть увагу: звідки взявся модуль? Нагадаю, що корінь із точного квадрата дорівнює саме модулю:

[Підпис до малюнка]

Потім розв'язуємо класичне рівняння з модулем:

|f | = g (g > 0) ⇒ f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Ось два кандидати на відповідь. Чи є вони вирішенням вихідного логарифмічного рівняння? Ні, ні в якому випадку!

Залишити все просто так і записати відповідь ми не маємо права. Подивіться той крок, коли ми замінюємо суму логарифмів одним логарифмом від добутку аргументів. Проблема в тому, що у вихідних висловлюваннях у нас стоять функції. Отже, слід вимагати:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Коли ми перетворили твір, отримавши точний квадрат, вимоги змінилися:

(x − 5) 2 > 0

Коли ця вимога виконується? Так практично завжди! За винятком того випадку, коли х − 5 = 0. Тобто. нерівність зведеться до однієї виколотий точці:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Як бачимо, відбулося розширення області визначення, про що ми й говорили на початку уроку. Отже, може виникнути і зайве коріння.

Як же не допустити виникнення цього зайвого коріння? Дуже просто: дивимося на наше отримане коріння і порівнюємо його з областю визначення вихідного рівняння. Давайте порахуємо:

х (х − 5) > 0

Вирішуватимемо за допомогою методу інтервалів:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Зазначаємо отримані числа на прямій. Всі точки виколоті, тому що нерівність сувора. Беремо будь-яке число, більше 5 і підставляємо:

[Підпис до малюнка]

На цікаві проміжки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Якщо ми відзначимо наше коріння на відрізку, то побачимо, що х = 4 нас не влаштовує, тому що це коріння лежить за межами області визначення вихідного логарифмічного рівняння.

Повертаємося до сукупності, викреслюємо корінь х = 4 та записуємо відповідь: х = 6. Це вже остаточна відповідь до вихідного логарифмічного рівняння. Все, завдання вирішено.

Переходимо до другого логарифмічного рівняння:

[Підпис до малюнка]

Вирішуємо його. Зауважимо, що перший доданок є дріб, а другий — той самий дріб, але перевернутий. Не лякайтеся виразу lgx - це просто десятковий логарифм, ми можемо записати:

lgx = log 10 x

Оскільки перед нами два перевернуті дроби, пропоную ввести нову змінну:

[Підпис до малюнка]

Отже, наше рівняння може бути переписано таким чином:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Як бачимо, у чисельнику дробу стоїть точний квадрат. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Вирішуємо перше рівняння:

t − 1 = 0;

t = 1.

Це значення задовольняє другу вимогу. Отже, можна стверджувати, що ми повністю вирішили наше рівняння, але щодо змінної t . А тепер згадуємо, що таке t:

[Підпис до малюнка]

Отримали пропорцію:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

lgx = −1

Наводимо це рівняння до канонічної форми:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

У результаті ми отримали єдине коріння, яке, за ідеєю, є рішенням вихідного рівняння. Однак давайте таки підстрахуємося і випишемо область визначення вихідного рівняння:

[Підпис до малюнка]

Отже, наш корінь відповідає всім вимогам. Ми виявили рішення вихідного логарифмічного рівняння. Відповідь: x = 0,1. Завдання вирішено.

Ключовий момент у сьогоднішньому уроці один: з використанням формули переходу від твору до суми і навпаки обов'язково враховуйте, що область визначення може звужуватися чи розширюватися залежно від цього, у який бік виконується перехід.

Як зрозуміти, що відбувається: звуження чи розширення? Дуже просто. Якщо раніше функції були разом, а тепер стали окремо, то сталося звуження області визначення (бо вимог стало більше). Якщо спочатку функції стояли окремо, тепер — разом, відбувається розширення області визначення (на твір накладається менше вимог, ніж окремі множники).

З урахуванням цього зауваження хотів би відзначити, що друге логарифмічне рівняння взагалі не вимагає даних перетворень, тобто ми ніде не складаємо і не перемножуємо аргументи. Однак тут я хотів би звернути вашу увагу на інший чудовий прийом, який дозволяє суттєво спростити рішення. Мова йдепро заміну змінної.

Однак пам'ятайте, що жодні заміни не звільняють нас від області визначення. Саме тому після того було знайдено все коріння, ми не полінувалися і повернулися до вихідного рівняння, щоб знайти його ОДЗ.

Часто при заміні змінної виникає образлива помилка, коли учні знаходять значення t і гадають, що на цьому рішення закінчено. Ні, ні в якому випадку!

Коли ви знайшли значення t, необхідно повернутися до початкового рівняння і подивитися, що саме ми означали цією літерою. В результаті нам належить вирішити ще одне рівняння, яке, втім, буде значно простіше за вихідне.

Саме в цьому полягає сенс запровадження нової змінної. Ми розбиваємо вихідне рівняння на два проміжні, кожне з яких вирішується суттєво простіше.

Як вирішувати «вкладені» логарифмічні рівняння

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого логарифму. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми.

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми. Нагадаю, якщо у нас є найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f (x) = b, то для вирішення такого рівняння ми виконуємо такі кроки. Насамперед, нам потрібно замінити число b :

b = log a a b

Зауважте: a b це аргумент. Так само у вихідному рівнянні аргументом є функція f(x). Потім ми переписуємо рівняння і отримуємо таку конструкцію:

log a f(x) = log a a b

Вже потім ми можемо виконати третій крок — позбудеться знаку логарифму і просто записати:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо нове рівняння. При цьому жодних обмежень на функцію f(x) не накладається. Наприклад, на її місці може стояти логарифмічна функція. І тоді ми знову отримаємо логарифмічне рівняння, яке зведемо знову до найпростішого і вирішимо через канонічну форму.

Втім, вистачить лірики. Давайте вирішимо справжнє завдання. Отже, завдання № 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = 2

Як бачимо, перед нами найпростіше логарифмічне рівняння. У ролі f (x ) виступає конструкція 1 + 3 log 2 x , а ролі числа b виступає число 2 (у ролі a також виступає двійка). Давайте перепишемо цю двійку так:

Важливо розуміти, що перші дві двійки прийшли до нас із основи логарифму, тобто якби у вихідному рівнянні стояла 5, то ми отримали б, що 2 = log 5 5 2 . Загалом, основа залежить виключно від логарифму, який спочатку дано у завданні. І у нашому випадку це число 2.

Отже, переписуємо наше логарифмічне рівняння з урахуванням того, що двійка, яка стоїть праворуч, насправді є логарифмом. Отримаємо:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = log 2 4

Переходимо до останньому крокунашої схеми — позбавляємося канонічної форми. Можна сказати, просто закреслюємо знаки log. Проте з погляду математики «закреслити log» неможливо — правильніше сказати, що ми просто прирівнюємо аргументи:

1 + 3 log 2 x = 4

Звідси легко знаходиться 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ми знову отримали найпростіше логарифмічне рівняння, знову приведемо його до канонічної форми. Для цього нам необхідно провести такі зміни:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Чому в основі саме двійка? Тому що в нашому канонічному рівнянніліворуч стоїть логарифм саме на підставі 2. Переписуємо завдання з урахуванням цього факту:

log 2 x = log 2 2

Знову позбавляємося знаку логарифму, тобто просто прирівнюємо аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що підстави однакові, і більше жодних додаткових дій ні праворуч, ні ліворуч не виконувалося:

От і все! Завдання вирішено. Ми знайшли розв'язання логарифмічного рівняння.

Зверніть увагу! Хоча змінна х і стоїть у аргументі (тобто виникають вимоги до області визначення), ми жодних додаткових вимог пред'являти не будемо.

Як я вже говорив вище, ця перевірка є надмірною, якщо змінна зустрічається лише в одному аргументі лише одного логарифму. У нашому випадку х справді стоїть лише в аргументі і лише під одним знаком log. Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно.

Тим не менш, якщо ви не довіряєте даним методом, легко можете переконатися, що х = 2 дійсно є коренем. Достатньо підставити це число у вихідне рівняння.

Давайте перейдемо до другого рівняння, воно трохи цікавіше:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Якщо позначити вираз усередині великого логарифму функцією f(x), отримаємо найпростіше логарифмічне рівняння, з якого ми розпочинали сьогоднішній відеоурок. Отже, можна застосувати канонічну форму, навіщо доведеться уявити одиницю як log 2 2 1 = log 2 2.

Переписуємо наше велике рівняння:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Викидаємося від знака логарифму, прирівнюючи аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що і ліворуч, і праворуч підстави однакові. Крім того, зауважимо, що log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Перед нами знову найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f(x) = b. Переходимо до канонічної форми, тобто представляємо нуль як log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Переписуємо наше рівняння та позбавляємося знаку log, прирівнюючи аргументи:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Знову ж таки ми відразу отримали відповідь. Жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному рівнянні лише один логарифм містить функцію аргументу.

Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно. Ми можемо сміливо стверджувати, що х = 1 є єдиним коренем цього рівняння.

А от якби в другому логарифмі замість четвірки стояла б якась функція від х (або 2х стояло б не в аргументі, а в підставі) — тоді потрібно було б перевіряти область визначення. Інакше великий шанс нарватися на зайве коріння.

Звідки виникає таке зайве коріння? Цей момент треба чітко розуміти. Погляньте на вихідні рівняння: скрізь функція x стоїть під знаком логарифму. Отже, оскільки ми записали log 2 x , то автоматично виставляємо вимогу х > 0. Інакше цей запис просто не має сенсу.

Однак у міру вирішення логарифмічного рівняння ми позбавляємося всіх знаків log і отримуємо прості конструкції. Тут уже жодних обмежень не виставляється, бо лінійна функціявизначена за будь-якого значення х.

Саме ця проблема, коли підсумкова функція визначена скрізь і завжди, а вихідна — аж ніяк не скрізь і не завжди, і є причиною, через яку у вирішенні логарифмічних рівнянь дуже часто виникає зайве коріння.

Але повторю ще раз: таке відбуватися лише в ситуації, коли функція стоїть або в кількох логарифмах, або на підставі одного з них. У тих завданнях, які ми розглядаємо сьогодні, проблем із розширенням сфери визначення в принципі не існує.

Випадки різної основи

Цей урок присвячений вже складнішим конструкціям. Логарифми в сьогоднішніх рівняннях вже не вирішуватимуться «напролом» — спочатку потрібно буде виконати деякі перетворення.

Починаємо розв'язання логарифмічних рівнянь із зовсім різними підставами, які не є точними ступенями один одного. Нехай вас не лякають подібні завдання - вирішуються вони нітрохи не складніше, ніж найпростіші конструкції, які ми розбирали вище.

Але перш ніж переходити безпосередньо до завдань, нагадаю про формулу розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь за допомогою канонічної форми. Розглянемо завдання такого вигляду:

log a f(x) = b

Важливо, що функція f (x ) є саме функцією, а ролі чисел а і b повинні виступати саме числа (без будь-яких змінних x ). Зрозуміло, буквально за хвилину ми розглянемо й такі випадки, коли замість змінних а та b стоять функції, але зараз не про це.

Як ми пам'ятаємо, число b потрібно замінити логарифмом на тій самій підставі а, яка стоїть зліва. Це робиться дуже просто:

b = log a a b

Зрозуміло, під словом «будь-яке число b» і «будь-яке число а» маються на увазі такі значення, які задовольняють області визначення. Зокрема, у цьому рівнянні йдеться лише основа a > 0 і a ≠ 1.

Однак ця вимога виконується автоматично, тому що у вихідному завданні вже присутній логарифм на підставі а - воно свідомо буде більше 0 і не дорівнює 1. Тому продовжуємо вирішення логарифмічного рівняння:

log a f(x) = log a a b

Подібний запис називається канонічною формою. Її зручність полягає в тому, що ми відразу можемо позбутися знаку log, прирівнявши аргументи:

f(x) = a b

Саме цей прийом ми зараз використовуватимемо для вирішення логарифмічних рівнянь зі змінною основою. Тож поїхали!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Що далі? Хтось зараз скаже, що потрібно обчислити правий логарифм, або звести їх до однієї основи, або ще щось. Зараз потрібно привести обидві підстави до одного виду — або 2, або 0,5. Але давайте раз і назавжди засвоїмо наступне правило:

Якщо в логарифмічному рівнянні є десяткові дроби, обов'язково переведіть ці дроби з десяткового запису до звичайного. Таке перетворення може значно спростити рішення.

Подібний перехід потрібно виконувати відразу, ще до виконання будь-яких дій та перетворень. Давайте подивимося:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Що нам дає такий запис? Ми можемо 1/2 та 1/8 представити як ступінь з негативним показником:

[Підпис до малюнка]

Перед нами канонічна форма. Прирівнюємо аргументи та отримуємо класичне квадратне рівняння:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами наведене квадратне рівняння, яке легко вирішується за допомогою формул Вієта. Подібні викладки у старших класах ви повинні бачити буквально усно:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

От і все! Вихідне логарифмічне рівняння вирішено. Ми отримали два корені.

Нагадаю, що визначати область визначення в цьому випадку не потрібно, оскільки функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Тому область визначення виконується автоматично.

Отже, перше рівняння вирішено. Переходимо до другого:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

А тепер зауважимо, що аргумент першого логарифму також можна записати у вигляді ступеня з негативним показником: 1/2 = 2 −1 . Потім можна винести ступеня з обох сторін рівняння та розділити все на −1:

[Підпис до малюнка]

І ось зараз ми виконали дуже важливий крок у вирішенні логарифмічного рівняння. Можливо, хтось щось не помітив, тож давайте я поясню.

Погляньте на наше рівняння: і ліворуч, і праворуч стоїть знак log, але ліворуч стоїть логарифм з основи 2, а праворуч стоїть логарифм з основи 3. Трійка не є цілим ступенем двійки і, навпаки: не можна записати, що 2 — це 3 в цілому ступеня.

Отже, це логарифми з різними підставами, які зводяться друг до друга простим винесенням ступенів. Єдиний шлях вирішення таких завдань — позбавитися одного з цих логарифмів. В даному випадку, оскільки ми поки що розглядаємо досить прості завдання, логарифм справа просто порахувався, і ми отримали найпростіше рівняння - саме таке, про яке ми говорили на початку сьогоднішнього уроку.

Давайте представимо число 2, яке стоїть праворуч у вигляді log 2 2 2 = log 2 4. А потім позбавимося знака логарифму, після чого у нас залишається просто квадратне рівняння:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Перед нами звичайне квадратне рівняння, проте воно не наведене, тому що коефіцієнт при x 2 відмінний від одиниці. Отже, вирішувати ми його за допомогою дискримінанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

От і все! Ми знайшли обидва корені, а отже отримали рішення вихідного логарифмічного рівняння. Адже у вихідному завданні функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Отже, жодних додаткових перевірок на область визначення не потрібно — обидва корені, які ми знайшли, свідомо відповідають усім можливим обмеженням.

На цьому можна було б закінчити сьогоднішній відеоурок, але на завершення я хотів би сказати ще раз: обов'язково переводьте всі десяткові дроби у звичайні при вирішенні логарифмічних рівнянь. Найчастіше це значно полегшує їх вирішення.

Рідко, дуже рідко трапляються завдання, у яких звільнення від десяткових дробів лише ускладнює викладки. Однак у таких рівняннях, як правило, спочатку видно, що позбавлятися десяткових дробів не треба.

У більшості інших випадків (особливо якщо ви тільки починаєте тренуватися у вирішенні логарифмічних рівнянь) сміливо позбавляйтеся десяткових дробів і переводите їх у звичайні. Тому що практика показує, що таким чином ви значно спростите подальше рішення та викладення.

Тонкощі та хитрощі рішення

Сьогодні ми переходимо до складніших завдань і вирішуватимемо логарифмічне рівняння, в основі якого стоїть не число, а функція.

І нехай навіть ця функція лінійна — до схеми рішення доведеться внести невеликі зміни, зміст яких зводиться до додаткових вимог, що накладаються на область визначення логарифму.

Складні завдання

Цей урок буде досить довгим. У ньому ми розберемо два досить серйозні логарифмічні рівняння, при вирішенні яких багато учнів припускаються помилок. За свою практику роботи репетитором з математики я постійно стикався з двома видами помилок:

1. Виникнення зайвого коріння через розширення області визначення логарифмів. Щоб не допускати таких образливих помилок, просто уважно стежте за кожним перетворенням;
2. Втрата коріння через те, що учень забув розглянути деякі «тонкі» випадки — саме на таких ситуаціях ми сьогодні й зосередимося.

Це останній урок, присвячений логарифмічним рівнянням. Він буде довгим, ми розберемо складні логарифмічні рівняння. Влаштовуйтесь зручніше, заваріть собі чай, і ми починаємо.

Перше рівняння виглядає цілком стандартно:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Відразу зауважимо, що обидва логарифми є перевернутими копіями один одного. Згадуємо чудову формулу:

log a b = 1/log b a

Однак ця формула має ряд обмежень, які виникають у тому випадку, якщо замість чисел а і b стоять функції від змінної х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ці вимоги накладаються на основу логарифму. З іншого боку, дроби від нас вимагається 1 ≠ a > 0, оскільки не тільки змінна a стоїть в аргументі логарифму (отже, a > 0), а й сам логарифм знаходиться в знаменнику дробу. Але log b 1 = 0, а знаменник має бути відмінним від нуля, тому a ≠ 1.

Отже, обмеження змінну a зберігається. Але що відбувається зі змінною b? З одного боку, з основи випливає b > 0, з іншого — змінна b ≠ 1, тому що основа логарифму має бути відмінною від 1. Разом із правої частини формули випливає, що 1 ≠ b > 0.

Але біда: друга вимога (b ≠ 1) відсутня в першому нерівності, присвяченому лівому логарифму. Іншими словами, при виконанні даного перетворення ми повинні окремо перевірити, що аргумент b відмінний від одиниці!

Ось давайте й перевіримо. Застосуємо нашу формулу:

[Підпис до малюнка]

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Ось ми й отримали, що вже з вихідного логарифмічного рівняння випливає, що і а, і b повинні бути більшими за 0 і не дорівнюють 1. Отже, ми спокійно можемо перевертати логарифмічне рівняння:

Пропоную ввести нову змінну:

log x + 1 (x − 0,5) = t

У цьому випадку наша конструкція перепишеться так:

(t 2 − 1)/t = 0

Зауважимо, що у чисельнику у нас стоїть різниця квадратів. Розкриваємо різницю квадратів за формулою скороченого множення:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Але в чисельнику стоїть твір, тому прирівнюємо до нуля кожен множник:

t1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

Як бачимо, обидва значення змінної t нас влаштовують. Однак на цьому рішення не закінчується, адже нам потрібно знайти не t, а значення x. Повертаємося до логарифму та отримуємо:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Давайте наведемо кожне з цих рівнянь до канонічної форми:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Позбавляємося знаку логарифму в першому випадку і прирівнюємо аргументи:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

Таке рівняння немає коренів, отже, перше логарифмическое рівняння також має коренів. А ось з другим рівнянням все набагато цікавіше:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Вирішуємо пропорцію - отримаємо:

(х - 0,5) (х + 1) = 1

Нагадую, що при вирішенні логарифмічних рівнянь набагато зручніше наводити всі десяткові дроби звичайні, тому перепишемо наше рівняння наступним чином:

(х - 1/2) (х + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Перед нами наведене квадратне рівняння, воно легко вирішується за формулами Вієта:

(х + 3/2) (х - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x2=1.

Отримали два корені – вони є кандидатами на вирішення вихідного логарифмічного рівняння. Для того щоб зрозуміти, яке коріння дійсно піде у відповідь, давайте повернемося до вихідного завдання. Зараз ми перевіримо кожне з наших коренів на предмет відповідності області визначення:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Ці вимоги рівносильні подвійній нерівності:

1 ≠ х > 0,5

Звідси відразу бачимо, що корінь х = −1,5 нас не влаштовує, а ось х = 1 цілком влаштовує. Тому х = 1 — остаточне розв'язання логарифмічного рівняння.

Переходимо до другого завдання:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

На перший погляд може здатися, що у всіх логарифмів різні підставита різні аргументи. Що робити з такими конструкціями? Насамперед зауважимо, що числа 25, 5 та 625 — це ступеня 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

А тепер скористаємося чудовою властивістю логарифму. Справа в тому, що можна виносити міри з аргументу у вигляді множників:

log a b n = n ∙ log a b

На це перетворення також накладаються обмеження у разі, коли дома b стоїть функція. Але у нас b – це просто число, і жодних додаткових обмежень не виникає. Перепишемо наше рівняння:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Отримали рівняння з трьома доданками, що містять знак log. Причому аргументи всіх трьох логарифмів дорівнюють.

Саме час перевернути логарифми, щоб привести їх до однієї основи - 5. Оскільки в ролі змінної b виступає константа, жодних змін області визначення не виникає. Просто переписуємо:

[Підпис до малюнка]

Як і передбачалося, у знаменнику «вилізли» ті самі логарифми. Пропоную виконати заміну змінної:

log 5 x = t

У цьому випадку наше рівняння буде переписано таким чином:

Випишемо чисельник і розкриємо дужки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Повертаємось до нашого дробу. Чисельник повинен дорівнювати нулю:

[Підпис до малюнка]

А знаменник - відмінний від нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Останні вимоги виконуються автоматично, оскільки вони «зав'язані» на цілі числа, проте відповіді — ірраціональні.

Отже, дробово-раціональне рівняннявирішено, значення змінної t знайдено. Повертаємося до розв'язання логарифмічного рівняння та згадуємо, що таке t :

[Підпис до малюнка]

Наводимо це рівняння до канонічної форми, отримаємо число з ірраціональним ступенем. Нехай вас це не бентежить — навіть такі аргументи можна прирівняти:

[Підпис до малюнка]

У нас вийшло два корені. Точніше, два кандидати у відповіді — перевіримо їх на відповідність галузі визначення. Оскільки в основі логарифму стоїть змінна х, вимагатимемо наступне:

1 ≠ х > 0;

З тим самим успіхом стверджуємо, що х ≠ 1/125, інакше підстава другого логарифму обернеться в одиницю. Нарешті, х ≠ 1/25 для третього логарифму.

Разом ми отримали чотири обмеження:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А тепер питання: чи задовольняють наше коріння зазначеним вимогам? Звісно задовольняють! Тому що 5 у будь-якій мірі буде більшим за нуль, і вимога х > 0 виконується автоматично.

З іншого боку, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , а це означає, що ці обмеження для наших коренів (у яких, нагадаю, у показнику стоїть ірраціональне число) також виконані, та обидві відповіді є рішеннями задачі.

Отже, ми отримали остаточну відповідь. Ключових моментів у цій задачі два:

1. Будьте уважні при перевороті логарифму, коли аргумент та основа змінюються місцями. Подібні перетворення накладають зайві обмеження область визначення.
2. Не бійтеся перетворювати логарифми: їх можна не тільки перевертати, а й розкривати за формулою суми та взагалі міняти за будь-якими формулами, які ви вивчали при вирішенні логарифмічних виразів. Однак при цьому завжди пам'ятайте: деякі перетворення розширюють область визначення, а деякі звужують.

Логарифм числа b (b > 0) на підставі a (a > 0, a ≠ 1)- Показник ступеня, в який потрібно звести число a, щоб отримати b.

Логарифм числа b на підставі 10 можна записати як lg(b), а логарифм на основі e (натуральний логарифм) – ln(b).

Часто використовується при вирішенні задач з логарифмами:

Властивості логарифмів

Існує чотири основні властивості логарифмів.

Нехай a > 0, a ≠ 1, x > 0 та y > 0.

Властивість 1. Логарифм твору

Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Властивість 2. Логарифм приватного

Логарифм приватногодорівнює різниці логарифмів:

log a (x / y) = log a x - log a y

Властивість 3. Логарифм ступеня

Логарифм ступенядорівнює добутку ступеня на логарифм:

Якщо ступеня знаходиться основа логарифму, то діє інша формула:

Властивість 4. Логарифм кореня

Даною властивість можна отримати з властивості логарифм ступеня, так як корінь n-го ступеня дорівнює ступеню 1/n:

Формула переходу від логарифму в одній підставі до логарифму при іншій основі

Ця формула також часто застосовується при вирішенні різних завдань на логарифми:

Окремий випадок:

Порівняння логарифмів (нерівності)

Нехай у нас є 2 функції f(x) та g(x) під логарифмами з однаковими основами і між ними стоїть знак нерівності:

Щоб їх порівняти, потрібно спочатку подивитися на основу логарифмів a:

• Якщо a > 0, то f(x) > g(x) > 0
• Якщо 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Як вирішувати задачі з логарифмами: приклади

Завдання з логарифмамивключені до складу ЄДІ з математики для 11 класу у завданні 5 та завданні 7, ви можете знайти завдання з рішеннями на нашому сайті у відповідних розділах. Також завдання з логарифмами зустрічаються у банку завдань з математики. Всі приклади можна знайти через пошук по сайту.

Що таке логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темою у шкільному курсі математики. Існує багато різних визначень логарифму, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші та найневдаліші з них.

Ми ж визначимо логарифм просто та наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, маємо ступеня двійки.

Логарифми – властивості, формули, як вирішувати

Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

на підставі a від аргументу x - це ступінь, у якому треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x = b, де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

Як рахувати логарифми

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь – без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що самі прості числазавжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у який треба звести число 10, щоб одержати число x. Позначення lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, у якому треба звести число e, щоб одержати число x. Позначення: ln x.

Багато хто спитає: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значеннязнайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459 ...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Дивіться також:

Логарифм. Властивості логарифму (ступінь логарифму).

Як уявити число у вигляді логарифму?

Використовуємо визначення логарифму.

Логарифм - це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифму.

Таким чином, щоб уявити деяке число c у вигляді логарифму на підставі a, треба під знак логарифму поставити ступінь з тією самою основою, що й основа логарифму, а в показник ступеня записати це число c:

У вигляді логарифму можна представити абсолютно будь-яке число - позитивне, негативне, ціле, дробове, раціональне, ірраціональне:

Щоб у стресових умовах контрольної або іспиту не переплутати a та c, можна скористатися таким правилом для запам'ятовування:

те, що внизу йде вниз, те, що вгорі, йде вгору.

Наприклад, потрібно подати число 2 у вигляді логарифму на підставі 3.

У нас є два числа – 2 і 3. Ці числа – основа та показник ступеня, який ми запишемо під знак логарифму. Залишається визначити, яке з цих чисел потрібно записати вниз, в основу ступеня, а яке вгору, в показник.

Основа 3 в записі логарифму стоїть внизу, значить, коли ми будемо представляти двійку у вигляді логарифму на підставі 3, 3 також запишемо вниз, в основу.

2 стоїть вище за трійку. І в записі ступеня двійку запишемо вище за трійку, тобто, в показник ступеня:

Логарифми. Початковий рівень.

Логарифми

Логарифмомпозитивного числа bна підставі a, де a > 0, a ≠ 1, називається показник ступеня, в який треба звести число a, Щоб отримати b.

Визначення логарифмуможна коротко записати так:

Ця рівність справедлива за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Його зазвичай називають логарифмічним тотожністю.
Дія знаходження логарифму числа називають логарифмування.

Властивості логарифмів:

Логарифм твору:

Логарифм приватного від поділу:

Заміна основи логарифму:

Логарифм ступеня:

Логарифм кореня:

Логарифм зі статечним підґрунтям:

Десяткові та натуральні логарифми.

Десятичним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі 10 і пишуть   lg b
Натуральним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі e, де e- Ірраціональне число, приблизно дорівнює 2,7. При цьому пишуть ln b.

Інші нотатки з алгебри та геометрії

Основні властивості логарифмів

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими основами: log a x та log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. log a x + log a y = log a (x · y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями підставу та аргумент логарифму, але при цьому весь вираз «перевертається», тобто основний аргумент. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто у процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу.

У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул початку нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log a a = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. log a 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.