Використовуючи властивості показової функції, визначити знак виразу. Показова функція, її властивості та графік - Гіпермаркет знань

1.Показова функція– це функція виду у(х) =а х, яка від показника ступеня х, при постійному значенні основи ступеня a , де а > 0, a ≠ 0, x R (R – безліч дійсних чисел).

Розглянемо графік функції, якщо основа не задовольнятиме умові: а>0
a) a< 0
Якщо a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Якщо а = 0 - функція у = визначена та має постійне значення 0

в) а = 1
Якщо а = 1 – функція у = визначена та має постійне значення 1

2. Розглянемо докладніше показову функцію:

0

Область визначення функції (ООФ)

Область допустимих значень функції (ОДЗ)

3. Нулі функції (у = 0)

4. Точки перетину з віссю ординат oy (x = 0)

5. Зростання, зменшення функції

Якщо , то функція f(x) зростає
Якщо , то функція f(x) зменшується
Функція y= при 0 Функція у = при a> 1 монотонно зростає
Це випливає з властивостей монотонності ступеня із дійсним показником.

6. парність, непарність функції

Функція у = не симетрична щодо осі 0у і щодо початку координат, отже не є ні парною, ні непарною. (Функція загального вигляду)

7. Функція у = екстремумів не має

8. Властивості ступеня із дійсним показником:

Нехай > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тоді для xR; yϵR:

Властивості монотонності ступеня:

якщо то
Наприклад:

Якщо a> 0, то .
Показова функція безперервна у будь-якій точці ϵ R.

9. Відносне розташування функції

Чим більша основа а, тим ближче до осей ох і оу

a > 1, a = 20

Якщо а0, то показова функція набуває вигляду близького до y = 0.
Якщо а1, то далі від осей ох і оу і графік набуває вигляду близького до функції у = 1.

приклад 1.
Побудувати графік у =

Урок №2

Тема: Показова функція, її властивості та графік.

Ціль:Перевірити якість засвоєння поняття «показова функція»; сформувати вміння та навички щодо розпізнавання показової функції, щодо використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції; забезпечити робочу обстановку під час уроку.

Обладнання:дошка, плакати

Форма уроку: класно-урочна

Вигляд уроку: практичне заняття

Тип уроку: урок навчання вмінням та навичкам

План уроку

1. Організаційний момент

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання

3. Розв'язання задач

4. Підбиття підсумків

5. Завдання додому

Хід уроку.

1. Організаційний момент :

Добрий день. Відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку «Показова функція». Сьогодні продовжуватимемо вивчати показову функцію, її властивості та графік.

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання .

Ціль:перевірити якість засвоєння поняття «показова функція» та перевірити виконання теоретичної частини домашнього завдання

Метод:тестове завдання, фронтальне опитування

Як домашнє завдання вам були задані номери із задачника та параграф із підручника. Виконання номерів із підручника перевіряти зараз не будемо, але ви здасте зошити наприкінці уроку. Зараз же буде проведено перевірку теорії у вигляді невеликого тесту. Завдання у всіх однакове: вам дано перелік функцій, ви повинні дізнатися, які з них є показовими (підкреслити їх). І поруч із показовою функцією необхідно написати є вона зростаючою, чи спадною.

Варіант 1

Відповідь

Б)

Д) - показова, спадна

Варіант 2

Відповідь

Г) - показова, спадна

Д) - показова, зростаюча

Варіант 3

Відповідь

а) - показова, зростаюча

Б) - показова, спадна

Варіант 4

Відповідь

а) - показова, спадна

в) - показова, зростаюча

Тепер разом пригадаємо, яка функція називається показовою?

Функція виду , де і називається показовою функцією.

Яка область визначення цієї функції?

Усі дійсні числа.

Яка область значень показової функції?

Усі позитивні дійсні числа.

Убуває якщо основа ступеня більше нуля, але менше одиниці.

У якому разі показова функція зменшується у своїй області визначення?

Зростає, якщо основа ступеня більше одиниці.

3. Розв'язання задач

Ціль: сформувати вміння та навички з розпізнавання показової функції, використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції

Метод: демонстрація вчителем розв'язання типових завдань, усна робота, робота біля дошки, робота у зошит, бесіда вчителя з учнями.

Властивості показової функції можна використовувати при порівнянні 2-х чи більше чисел. Наприклад: № 000. Порівняйте значення і , якщо а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то це досить складна робота: нам би довелося витягувати кубічний корінь з 3 і з 9, і порівнювати їх. Але ми знаємо, що зростає, це в свою черга означає, що при збільшенні аргументу збільшується значення функції, тобто нам достатньо порівняти між собою значення аргументу і очевидно, що (можна продемонструвати на плакаті із зображеною зростаючою показовою функцією). І завжди при вирішенні таких прикладів спочатку визначаєте основу показової функції, порівнюєте з 1, визначаєте монотонність і переходите до порівняння аргументів. У випадку зменшення функції: при збільшенні аргументу зменшується значення функції, отже, знак нерівності змінюємо при переході від нерівності аргументів до нерівності функцій. Далі вирішуємо усно: б)

в)

г)

- № 000. Порівняйте числа: а) та

Отже, функція зростає, тоді

Чому?

Зростаюча функція та

Отже, функція зменшується, тоді

Обидві функції зростають по всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з основою ступеня більшим одиниці.

Який сенс у ній закладено?

Будуємо графіки:

Яка функція швидше зростає при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

Яка функція швидше зменшується, за бажання https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Г) http://www.pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif.

Так, область визначення цих функцій усі дійсні числа.

Назвіть область значення кожної з цих опцій.

Області значень цих функцій збігаються: усі позитивні дійсні числа.

Визначте тип монотонності кожної функції.

Всі три функції спадають на всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з підставою ступеня меншими одиниці і більшими за нуль.

Яка особлива точка існує у графіка показової функції?

Який сенс у ній закладено?

Яке б не було підстави ступеня показової функції, якщо в показнику стоїть 0, то значення цієї функції 1.

Будуємо графіки:

Давайте проаналізуємо графіки. Скільки точок перетину графіків функцій?

Яка функція швидше зменшується, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

Яка функція швидше зростає, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Чому показові функції з різними основами мають лише одну точку перетину?

Показові функції є строго монотонними по всій своїй області визначення, тому можуть перетинатися лише у одній точці.

Наступне завдання буде спрямоване використання цієї властивості. № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Згадаймо, що строго монотонна функція набуває найменшого і найбільшого значення на кінцях заданого відрізка. І якщо функція зростаюча, її найбільше значення буде правому кінці відрізка, а найменше лівому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Якщо функція спадна, її найбільше значення буде у лівому кінці відрізка, а найменше правому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Функція зростаюча, т. к., отже, найменше значення функції буде в точці. ) , в) г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Учні вирішують завдання у зошити

Знижена функція

найбільше значення функції на відрізку

найменше значення функції на відрізку

Зростаюча функція

найменше значення функції на відрізку

найбільше значення функції на відрізку

- № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Це завдання практично таке саме, як і попереднє. Але тут дано не відрізок, а промінь. Ми знаємо, що функція - зростаюча, при чому вона не має ні найбільшого, ні найменшого свого значення на всій числовій прямій width="68" height ="20">, і прагне до при , тобто на промені функція при прагне до 0, але не має свого найменшого значення, але у неї існує найбільше значення в точці . Пункти б) , в) , г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Показова функція

Функція виду y = a x , Де a більше нуля і а не одно одиниці називається показовою функцією. Основні властивості показової функції:

1. Областю визначення показової функції буде безліч речових чисел.

2. Область значень показової функції буде безліч всіх позитивних дійсних чисел. Іноді це безліч для стислості запису позначають як R+.

3. Якщо в показовій функції основа a більше одиниці, то функція буде зростаючою по всій області визначення. Якщо в показовій функції для основи а виконано таку умову 0

4. Справедливими будуть всі основні властивості ступенів. Основні властивості ступенів представлені наступними рівностями:

a x *a y = a (x + y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x * y) .

Дані рівності будуть справедливі для всіх дійсних значень х і у.

5. Графік показової функції завжди проходить через точку з координатами (0; 1)

6. Залежно від цього зростає чи зменшується показова функція, її графік матиме одне із двох видів.

На наступному малюнку представлений графік зростаючої показової функції: a>0.

На наступному малюнку представлений графік спадної показової функції: 0

І графік зростаючої показової функції та графік спадної показової функції згідно з властивістю, описаною в п'ятому пункті, проходять через точку (0;1).

7. Показова функція не має точок екстремуму, тобто іншими словами, вона не має точок мінімуму та максимуму функції. Якщо розглядати функцію на якомусь конкретному відрізку, то мінімальне та максимальне значення функція прийматиме на кінцях цього проміжку.

8. Функція не є парною чи непарною. Показова функція – це функція загального виду. Це видно і з графіків, жоден з них не симетричний щодо осі Оу, ні щодо початку координат.

Логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темою у шкільному курсі математики. Існує багато різних визначень логарифму, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші та найневдаліші з них.

Ми ж визначимо логарифм просто та наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

Визначення

Логарифмна підставі a від аргументу x - це ступінь, у який треба звести число a , щоб отримати число x.

Позначення

log a x = b
де a - основа, x - аргумент, b - Власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називаютьлогарифмуванням . Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь , В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент.Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.

Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею.Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеженняназиваються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифма виглядає так: a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = -1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів Вона складається із трьох кроків:

Уявити основу a та аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, великою одиниці. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;

Вирішити щодо змінної b рівняння: x = a b;

Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Обчисліть логарифм: log 5 25

Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Отримали відповідь: 2.

Обчисліть логарифм:

Представимо основу та аргумент як ступінь трійки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

Складемо і розв'яжемо рівняння:

Отримали відповідь: −4.

−4

Обчисліть логарифм: log 4 64

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Отримали відповідь: 3.

Обчисліть логарифм: log 16 1

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Отримали відповідь: 0.

Обчисліть логарифм: log 7 14

Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;

З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;

Відповідь – без змін: log 7 14.

log 7 14

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

8, 81 - точний ступінь; 48, 35, 14 – ні.

Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Визначення

Десятковий логарифмвід аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, в який треба звести число 10, щоб одержати число x.

Позначення

lg x

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

Визначення

Натуральний логарифмвід аргументу x - це логарифм на основі e , тобто. ступінь, в який треба звести число e , щоб отримати число x.

Позначення

ln x

Багато хто спитає: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати – без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a x та log a y . Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

log a x + log a y = log a ( x · y );

log a x − log a y = log a ( x : y ).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різницю - логарифму приватного.Зверніть увагу: ключовий момент тут – однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок « »). Погляньте на приклади – і переконайтесь:

Знайдіть значення виразу: log 6 4 + log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні – подібні висловлювання на повному серйозі (іноді – практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Теорема

Нехай дано логарифм log a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 та c ≠ 1, вірна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм виявляється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму – точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається:основне логарифмічне тотожність.

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз – багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання

Знайдіть значення виразу:

Рішення

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 - просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

200

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями - швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

log a a = 1 - це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від цього підстави дорівнює одиниці.

log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Підстава a може бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці!

Гіпермаркет знань >>Математика >>Математика 10 клас >>

Показова функція, її властивості та графік

Розглянемо вираз 2х і знайдемо його значення за різних раціональних значеннях змінної х, наприклад, при х=2;

Взагалі, хоч би яке раціональне значення ми надали змінної х, завжди можна обчислити відповідне числове значення виразу 2 х. Таким чином, можна говорити про показову функціїу=2 х, визначеної на множині Q раціональних чисел:

Розглянемо деякі властивості цієї функції.

Властивість 1.- Зростаюча функція. Доказ здійснимо у два етапи.
Перший етап.Доведемо, якщо r - позитивне раціональне число, то 2 r >1.
Можливі два випадки: 1) r - натуральне число, R = n; 2) звичайна нескоротна дріб,

У лівій частині останньої нерівності маємо , а в правій 1. Значить, останню нерівність можна переписати у вигляді

Отже, у разі виконується нерівність 2 р > 1, що й потрібно довести.

Другий етап.Нехай x 1 та x 2 - числа, причому x 1 та x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(Ми позначили різницю х 2 -х 1 літерою r).

Оскільки r- позитивне раціональне число, то з доведеному першому етапі 2 r > 1, тобто. 2 r -1 >0. Число2х" також позитивно, отже, позитивним є і добуток 2 x-1 (2 Г -1). Тим самим ми довели, що справедливо нерівність 2 Хг -2х ">0.

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Властивість 2.обмежена знизу та не обмежена зверху.
Обмеженість функції знизу випливає з нерівності 2 х >0, справедливого для будь-яких значень х області визначення функції. У той самий час яке б позитивне число М взяти, завжди можна підібрати такий показник х, що виконуватиметься нерівність 2 х >М - що й характеризує необмеженість функції зверху. Наведемо низку прикладів.

Властивість 3.немає ні найменшого, ні найбільшого значень.

Те, що дана функціяне має найбільшого значення, очевидно, оскільки вона, як ми щойно бачили, не обмежена зверху. Але знизу вона обмежена, чому ж вона не має найменшого значення?

Припустимо, що 2 г - найменше значенняфункції (r – деякий раціональний показник). Візьмемо раціональне число q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Все це добре, скажете ви, але чому ми розглядаємо функцію у-2 х тільки на безлічі раціональних чисел, чому ми не розглядаємо її, як інші відомі функції на всій числовій прямій або на якомусь суцільному проміжку числової прямої? Що нам заважає? Обміркуємо ситуацію.

Числова пряма містить як раціональні, а й ірраціональні числа. Для вивчених раніше функцій це нас не бентежило. Наприклад, значення функції у = х 2 ми однаково легко знаходили як за раціональних, і при ірраціональних значеннях х: досить було задане значення х звести у квадрат.

А ось з функцією у = 2 x справа складніше. Якщо аргументу х надати раціональне значення, то у принципі x обчислити можна (поверніться ще раз до початку параграфа, де саме це й робили). А якщо аргументу х надати ірраціональне значення? Як, наприклад, вирахувати? Цього ми поки що не знаємо.
Математики знайшли вихід із становища; ось як вони міркували.

Відомо що Розглянемо послідовність раціональних чисел - десяткових наближень числа за нестачею:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Зрозуміло, що 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Щоб уникнути подібних повторів, відкинемо ті члени послідовності, які закінчуються цифрою 0.

Тоді отримаємо зростаючу послідовність:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Відповідно зростає і послідовність

Усі члени цієї послідовності - позитивні числа, менші, ніж 22, тобто. ця послідовність - обмежена. А по теоремі Вейєрштраса (див. § 30), якщо послідовність зростає і обмежена, вона сходиться. Крім того, з § 30 нам відомо, що якщо послідовність сходиться, то лише до однієї межі. Цю єдину межу домовилися вважати значенням числового виразу. І неважливо, що знайти навіть приближене значення числового виразу 2 дуже важко; важливо, що це - конкретне число (врешті-решт ми ж не боялися говорити, що, наприклад, - корінь раціонального рівняння, корінь тригонометричного рівняння, не особливо замислюючись над тим, а що це саме за числа:
Отже, ми з'ясували, який сенс вкладають математики у символ 2^. Аналогічно можна визначити, що таке і взагалі, що таке а a де а - ірраціональне число і а > 1.
А як бути у випадку, коли 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Тепер ми можемо говорити не тільки про ступеня з довільними раціональними показниками, а й про ступеня з довільними дійсними показниками. Доведено, що ступеня з будь-якими дійсними показниками мають всі звичні властивості ступенів: при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, при розподілі - віднімаються, при зведенні ступеня в ступінь - перемножуються і т.д. Але найголовніше, що тепер ми можемо говорити про функцію у-ах, визначену на багатьох всіх дійсних чисел.
Повернемося до функції у = 2 х, збудуємо її графік. І тому складемо таблицю значень функції у=2 x:

Зазначимо точки на координатній площині (рис. 194), вони намічають деяку лінію, проведемо її (рис. 195).

Властивості функції у - 2 х:
1)
2) не є ні парною, ні непарною; 248
3) зростає;

5) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз.

Суворі докази перерахованих властивостей функції у-2х наводять у курсі вищої математики. Частина цих властивостей ми тією чи іншою мірою обговорили раніше, частина їх наочно демонструє побудований графік (див. рис. 195). Наприклад, відсутність парності або непарності функції геометрично пов'язана з відсутністю симетрії графіка відповідно щодо осі або щодо початку координат.

Аналогічні властивості має будь-яка функція виду у = а х, де а > 1. На рис. 196 в одній системі координат побудовані, графіки функцій у = 2х, у = 3х, у = 5х.

Розглянемо тепер функцію , складемо нею таблицю значень:

Зазначимо точки на координатній площині (рис. 197), вони намічають деяку лінію, проведемо її (рис. 198).

Властивості функції

1)
2) не є ні парною, ні непарною;
3) зменшується;
4) не обмежена згори, обмежена знизу;
5) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз.
Аналогічними властивостями має будь-яка функція виду у = а х, де<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Зверніть увагу: графіки функцій тобто. у=2 х, симетричні щодо осі у (рис. 201). Це - наслідок загального затвердження (див. § 13): графіки функцій у = f(х) та у = f(-х) симетричні щодо осі у. Аналогічно будуть симетричні щодо осі у графіки функцій у = 3 х

Підсумовуючи сказане, дамо визначення показової функції і виділимо найважливіші її характеристики.

Визначення.Функцію виду називають показовою функцією.
Основні властивості показової функції у = x

Графік функції у = х для а> 1 зображено на рис. 201, а для 0<а < 1 - на рис. 202.

Криву, зображену на рис. 201 або 202 називають експонентою. Насправді математики експонентою зазвичай. називають саму показову функцію у = а х. Отже термін " експонента " використовується у двох сенсах: і найменування показової функції, й у назви графіка показової функції. Зазвичай за змістом буває ясно, йдеться про показову функцію або її графік.

Зверніть увагу на геометричну особливість графіка показової функції у = ах: вісь х є горизонтальною асимптотою графіка. Щоправда, зазвичай це твердження уточнюють в такий спосіб.
Вісь х є горизонтальною асимптотою графіка функції

Іншими словами

Перше важливе зауваження. Школярі часто плутають терміни: статечна функція, показова функція. Порівняйте:

Це приклади статечних функцій;

- Це приклади показових функцій.

Взагалі, у = х г, де г - конкретне число, - статечна функція (аргумент х міститься на підставі ступеня);
у = а", де а - конкретне число (позитивне та відмінне від 1), - показова функція (аргумент х міститься в показнику ступеня).

Атаку «екзотичну» функцію, як у = х", не вважають ні показовою, ні статечною (її іноді називають показово-статечною).

Друге важливе зауваження. Зазвичай не розглядають показову функцію з основою а = 1 або з основою а, що задовольняє нерівність а<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0і а Справа в тому, що якщо а = 1, то для будь-якого значення х виконується рівність Iх = 1. Таким чином, показова функція у = а" при а = 1 "вироджується" в постійну функцію у = 1 - це нецікаво. а = 0, то 0х = 0 для будь-якого позитивного значення х, тобто ми отримуємо функцію у = 0, визначену при х > 0, - це теж нецікаво.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Перш ніж переходити до рішення прикладів, зауважимо, що показова функція суттєво відрізняється від усіх функцій, які ви вивчали досі. Щоб ґрунтовно вивчити новий об'єкт, треба розглянути його з різних сторін, у різних ситуаціях, тому прикладів буде багато.
приклад 1.

Рішення, а) Побудувавши в одній системі координат графіки функцій у = 2 х та у = 1, помічаємо (рис. 203), що вони мають одну загальну точку (0; 1). Отже, рівняння 2х = 1 має єдине коріння х =0.

Отже, із рівняння 2х = 2° ми отримали х = 0.

б) Побудувавши в одній системі координат графіки функцій у = 2 х та у = 4, помічаємо (рис. 203), що вони мають одну загальну точку (2; 4). Значить, рівняння 2х = 4 має єдиний корінь x = 2.

Отже, з рівняння 2 х = 22 ми отримали х = 2.

в) і г) Виходячи з тих же міркувань, робимо висновок, що рівняння 2 х = 8 має єдиний корінь, причому для відшукання графіки відповідних функцій можна і не будувати;

ясно, що х=3, оскільки 23=8. Аналогічно знаходимо єдиний корінь рівняння

Отже, з рівняння 2х = 23 ми отримали х = 3, а з рівняння 2х = 2x ми отримали х = -4.
д) Графік функції у = 2 х розташований вище за графік функції у = 1 при x >0 - це добре читається за рис. 203. Отже, розв'язанням нерівності 2х > 1 є проміжок
е) Графік функції у = 2 x розташований нижче за графік функції у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Ви помітили, напевно, що в основі всіх висновків, зроблених за рішенням прикладу 1, лежала властивість монотонності (зростання) функції у = 2 х. Аналогічні міркування дозволяють переконатися у справедливості наступних двох теорем.

Рішення.Можна діяти так: побудувати графік функції у-3 х, потім здійснити розтяг від осі х з коефіцієнтом 3, а потім отриманий графік підняти вгору на 2 одиниці масштабу. Але зручніше користуватися тим, що 3- 3* =3 *+1, і, отже, будувати графік функції у=З х*1 + 2.

Перейдемо, як неодноразово вже робили у таких випадках, до допоміжної системи координат з початком у точці (-1; 2) – пунктирні прямі х = – 1 та 1x = 2 на рис. 207. «Прив'яжемо» функцію у=3* до нової системи координат. Для цього виберемо контрольні точки для функції , але будувати їх будемо не в старій, а в новій системі координат (ці точки відзначені на рис. 207). Потім по точках побудуємо експоненту - це буде необхідний графік (див. рис. 207).
Щоб знайти найбільше та найменше значення заданої функціїна відрізку [-2, 2], скористаємося тим, що задана функція зростає, а тому свої найменше та найбільше значення вона набуває відповідно у лівому та правому кінцях відрізка.
Отже:

приклад 4.Розв'язати рівняння та нерівності:

Рішення, а) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = 5 * і у = 6-х (рис. 208). Вони перетинаються лише у точці; судячи з креслення, це - точка (1; 5). Перевірка показує, що насправді точка (1; 5) задовольняє і рівняння у = 5 *, і рівняння у = 6-х. Абсцис цієї точки служить єдиним коренем заданого рівняння.

Отже, рівняння 5 х = 6 х має єдиний корінь х = 1.

б) і в) Експонента у-5х лежить вище за пряму у=6-х, якщо х>1, - це добре видно на рис. 208. Отже, розв'язання нерівності5*>6-х можна записати так: х>1. А розв'язання нерівності 5х<6 - х можно записать так: х < 1.
Відповідь: а) х = 1; б) х> 1; в) х<1.

Приклад 5.Дана функція Довести, що
Рішення.За умовою Маємо.

ПОКАЗНА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ VIII

§ 179 Основні властивості показової функції

У цьому параграфі ми вивчимо основні властивості показової функції

у = а x (1)

Нагадаємо, що під а у формулі (1) ми маємо на увазі будь-яке фіксоване позитивне число, відмінне від 1.

Властивість 1. Область визначення показової функції є сукупність всіх дійсних чисел.

Справді, за позитивного а вираз а x визначено для будь-якого дійсного числа х .

Властивість 2. Показова функція набуває лише позитивних значень.

Справді, якщо х > 0, те, як було доведено у § 176,

а x > 0.

Якщо ж х <. 0, то

а x =

де - х вже більше за нуль. Тому а - x > 0. Але тоді й

а x = > 0.

Нарешті, при х = 0

а x = 1.

2-ге властивість показової функції має просте графічне тлумачення. Воно полягає в тому, що графік цієї функції (див. рис. 246 і 247) розташовується повністю вище за осі абсцис.

Властивість 3. Якщо а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Якщо ж а < 1, то, навпаки, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.

Ця властивість показової функції також припускає просту геометричну інтерпретацію. При а > 1 (рис. 246) криві у = а x розташовуються вище прямої у = 1 при х > 0 і нижче за пряму у = 1 при х < 0.

Якщо ж а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x розташовуються нижче прямої у = 1 при х > 0 і вище цієї прямої при х < 0.

Наведемо суворий доказ 3-го якості. Нехай а > 1 та х - Довільне позитивне число. Покажемо, що

а x > 1.

Якщо число х раціонально ( х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .

Оскільки а > 1, то й а m > 1, Але корінь у складі, більшої одиниці, очевидно, також більше 1.

Якщо х ірраціонально, тобто позитивні раціональні числа х" і х" , які є десятковими наближеннями числа x :

х"< х < х" .

Але тоді за визначенням ступеня з ірраціональним показником

а x" < а x < а x"" .

Як показано вище, число а x" більше одиниці. Тому і число а x більше, ніж а x" , також має бути більше 1,

Отже, ми показали, що за a >1 і довільному позитивному х

а x > 1.

Якби число х було негативним, то ми мали б

а x =

де число - х було б позитивним. Тому а - x > 1. Отже,

а x = < 1.

Таким чином, при а > 1 і довільному негативному x

а x < 1.

Випадок, коли 0< а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Властивість 4. Якщо х = 0, то незалежно від а а x =1.

Це випливає із визначення нульового ступеня; нульова ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює 1. Графічно це властивість виявляється у тому, що з будь-якому а крива у = а x (див. рис. 246 та 247) перетинає вісь у у точці з ординатою 1.

Властивість 5. При а >1 показова функція у = а x є монотонно зростаючою, а при < 1 - монотонно спадаючою.

Ця властивість також припускає просту геометричну інтерпретацію.

При а > 1 (рис. 246) крива у = а x зі зростанням х піднімається все вище і вище, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Наведемо суворий доказ 5-го властивості.

Нехай а > 1 та х 2 > х 1 . Покажемо, що

а x 2 > а x 1

Оскільки х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , де d - деяке позитивне число. Тому

а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)

За 2-ою властивістю показової функції а x 1 > 0. Оскільки d > 0, то з 3-го властивості показової функції а d > 1. Обидва множники у творі а x 1 (а d - 1) позитивні, тому саме цей твір позитивно. Значить, а x 2 - а x 1 > 0, або а x 2 > а x 1 , що потрібно було довести.

Отже, за a > 1 функція у = а x є монотонно зростаючою. Аналогічно доводиться, що за а < 1 функция у = а x є монотонно спадаючою.

Слідство. Якщо два ступеня однієї й тієї ж позитивного числа, відмінного від 1, рівні, то рівні та його показники.

Іншими словами, якщо

а b = а c (а > 0 та а =/= 1),

b = с .

Справді, якби числа b і з були не рівні, то через монотонність функції у = а x більшому з них відповідало б при а >1 більше, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , або а b < а c . І те й інше суперечить умові а b = а c . Залишається визнати, що b = с .

Властивість 6. Якщо а > 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞ ) значення функції у = а x також необмежено зростають (у -> ∞ ). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції прагнуть нуля, залишаючись у своїй позитивними (у->0; у > 0).

Беручи до уваги доведену вище монотонність функції у = а x , можна сказати, що в даному випадку функція у = а x монотонно зростає від 0 до ∞ .

Якщо 0 <а < 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞) значення функції у = а x прагнуть нуля, залишаючись при цьому позитивними (у->0; у > 0). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції необмежено зростають (у -> ∞ ).

В силу монотонності функції у = а x можна сказати, що в цьому випадку функція у = а x монотонно убуває від ∞ до 0.

6-те властивість показової функції наочно відбито на малюнках 246 і 247. Строго доводити його ми будемо.

Нам залишилося лише встановити область зміни показової функції у = а x (а > 0, а =/= 1).

Вище ми довели, що функція у = а x набуває тільки позитивних значень і або монотонно зростає від 0 до ∞ (при а > 1), або монотонно убуває від ∞ до 0 (при 0< а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своїй зміні якихось стрибків? Чи будь-які позитивні значення вона набуває? Питання це вирішується позитивно. Якщо а > 0 та а =/= 1, то, яке б не було позитивне число у 0 обов'язково знайдеться х 0 , таке, що

а x 0 = у 0 .

(В силу монотонності функції у = а x вказане значення х 0 буде, звичайно, єдиним.)

Доказ цього факту виходить за межі нашої програми. Геометрична інтерпретація його полягає в тому, що за будь-якого позитивне значення у 0 графік функції у = а x обов'язково перетнеться з прямою у = у 0 і до того лише в одній точці (рис. 248).