Графіки показової функції прикладів. Показова функція – властивості, графіки, формули

Урок №2

Тема: Показова функція, її властивості та графік.

Ціль:Перевірити якість засвоєння поняття «показова функція»; сформувати вміння та навички щодо розпізнавання показової функції, щодо використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції; забезпечити робочу обстановку під час уроку.

Обладнання:дошка, плакати

Форма уроку: класно-урочна

Вигляд уроку: практичне заняття

Тип уроку: урок навчання вмінням та навичкам

План уроку

1. Організаційний момент

2. Самостійна роботата перевірка домашнього завдання

3. Розв'язання задач

4. Підбиття підсумків

5. Завдання додому

Хід уроку.

1. Організаційний момент :

Вітаю. Відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку «Показова функція». Сьогодні продовжуватимемо вивчати показову функцію, її властивості та графік.

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання .

Ціль:перевірити якість засвоєння поняття «показова функція» та перевірити виконання теоретичної частини домашнього завдання

Метод:тестове завдання, фронтальне опитування

Як домашнє завдання вам були задані номери із задачника та параграф із підручника. Виконання номерів із підручника перевіряти зараз не будемо, але ви здасте зошити наприкінці уроку. Зараз же буде проведено перевірку теорії у вигляді невеликого тесту. Завдання у всіх однакове: вам дано перелік функцій, ви повинні дізнатися, які з них є показовими (підкреслити їх). І поруч із показовою функцією необхідно написати є вона зростаючою, чи спадною.

Тепер разом пригадаємо, яка функція називається показовою?

Функція виду , де і називається показовою функцією.

Яка область визначення цієї функції?

Усі дійсні числа.

Яка область значень показової функції?

Усі позитивні дійсні числа.

Убуває якщо основа ступеня більше нуля, але менше одиниці.

У якому разі показова функція зменшується у своїй області визначення?

Зростає, якщо основа ступеня більше одиниці.

3. Розв'язання задач

Ціль: сформувати вміння та навички з розпізнавання показової функції, використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції

Метод: демонстрація вчителем розв'язання типових завдань, усна робота, робота біля дошки, робота у зошит, бесіда вчителя з учнями.

Властивості показової функції можна використовувати при порівнянні 2-х чи більше чисел. Наприклад: № 000. Порівняйте значення і , якщо а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то це досить складна робота: нам би довелося витягувати кубічний корінь з 3 і з 9, і порівнювати їх. Але ми знаємо, що зростає, це в свою черга означає, що при збільшенні аргументу збільшується значення функції, тобто нам достатньо порівняти між собою значення аргументу і очевидно, що (можна продемонструвати на плакаті із зображеною зростаючою показовою функцією). І завжди при вирішенні таких прикладів спочатку визначаєте основу показової функції, порівнюєте з 1, визначаєте монотонність і переходите до порівняння аргументів. У випадку зменшення функції: при збільшенні аргументу зменшується значення функції, отже, знак нерівності змінюємо при переході від нерівності аргументів до нерівності функцій. Далі вирішуємо усно: б)

-

в)

-

г)

-

- № 000. Порівняйте числа: а) та

Отже, функція зростає, тоді

Чому?

Зростаюча функція та

Отже, функція зменшується, тоді

Обидві функції зростають по всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з основою ступеня більшим одиниці.

Який сенс у ній закладено?

Будуємо графіки:

Яка функція швидше зростає при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

Яка функція швидше зменшується, за бажання https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Г) http://www.pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif.

Так, область визначення цих функцій усі дійсні числа.

Назвіть область значення кожної з цих опцій.

Області значень цих функцій збігаються: усі позитивні дійсні числа.

Визначте тип монотонності кожної функції.

Всі три функції спадають на всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з підставою ступеня меншими одиниці і більшими за нуль.

Яка особлива точка існує у графіка показової функції?

Який сенс у ній закладено?

Яке б не було підстави ступеня показової функції, якщо в показнику стоїть 0, то значення цієї функції 1.

Будуємо графіки:

Давайте проаналізуємо графіки. Скільки точок перетину графіків функцій?

Яка функція швидше зменшується, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

Яка функція швидше зростає, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Чому показові функції з різними підставамимають лише одну точку перетину?

Показові функції є строго монотонними по всій своїй області визначення, тому можуть перетинатися лише у одній точці.

Наступне завдання буде спрямоване використання цієї властивості. № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функціїна заданому проміжку а). Згадаймо, що строго монотонна функція набуває найменшого і найбільшого значення на кінцях заданого відрізка. І якщо функція зростаюча, то її найбільше значеннябуде правому кінці відрізка, а найменше лівому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Якщо функція спадна, її найбільше значення буде у лівому кінці відрізка, а найменше правому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Функція зростаюча, т. к., отже, найменше значення функції буде в точці. ) , в) г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Учні вирішують завдання у зошити

- № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Це завдання практично таке саме, як і попереднє. Але тут дано не відрізок, а промінь. Ми знаємо, що функція - зростаюча, при чому вона не має ні найбільшого, ні найменшого свого значення на всій числовій прямій width="68" height ="20">, і прагне до при , тобто на промені функція при прагне до 0, але не має свого найменшого значення, але вона має найбільше значення у точці . Пункти б) , в) , г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання статечний рядта подання за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Показова функція- це узагальнення добутку n чисел, рівних a :
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x :
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції.
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.

Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,... , показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значенняхцілих чисел, показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межа послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .

Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим більше сильне спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e , застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді


.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Розкладання в ряд

.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Показова функція

Функція виду y = a x , Де a більше нуля і а не одно одиниці називається показовою функцією. Основні властивості показової функції:

1. Областю визначення показової функції буде безліч речових чисел.

2. Область значень показової функції буде безліч всіх позитивних дійсних чисел. Іноді це безліч для стислості запису позначають як R+.

3. Якщо в показовій функції основа a більше одиниці, то функція буде зростаючою по всій області визначення. Якщо в показовій функції для основи а виконано таку умову 0

4. Справедливими будуть всі основні властивості ступенів. Основні властивості ступенів представлені наступними рівностями:

a x *a y = a (x + y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x * y) .

Дані рівності будуть справедливі для всіх дійсних значень х і у.

5. Графік показової функції завжди проходить через точку з координатами (0; 1)

6. Залежно від цього зростає чи зменшується показова функція, її графік матиме одне із двох видів.

На наступному малюнку представлений графік зростаючої показової функції: a>0.

На наступному малюнку представлений графік спадної показової функції: 0

І графік зростаючої показової функції та графік спадної показової функції згідно з властивістю, описаною в п'ятому пункті, проходять через точку (0;1).

7. Показова функція не має точок екстремуму, тобто іншими словами, вона не має точок мінімуму та максимуму функції. Якщо розглядати функцію на якомусь конкретному відрізку, то мінімальне та максимальне значення функція прийматиме на кінцях цього проміжку.

8. Функція не є парною чи непарною. Показова функція – це функція загального вигляду. Це видно і з графіків, жоден з них не симетричний щодо осі Оу, ні щодо початку координат.

Логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темою у шкільному курсі математики. Існує багато різних визначень логарифму, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші та найневдаліші з них.

Ми ж визначимо логарифм просто та наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

Визначення

Логарифмна підставі a від аргументу x - це ступінь, у який треба звести число a , щоб отримати число x.

Позначення

log a x = b
де a - основа, x - аргумент, b - Власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називаютьлогарифмуванням . Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь , В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент.Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.

Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею.Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеженняназиваються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифма виглядає так: a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = -1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів Вона складається із трьох кроків:

Уявити основу a та аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, великою одиниці. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;

Вирішити щодо змінної b рівняння: x = a b;

Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Обчисліть логарифм: log 5 25

Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Отримали відповідь: 2.

Обчисліть логарифм:

Представимо основу та аргумент як ступінь трійки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

Складемо і розв'яжемо рівняння:

Отримали відповідь: −4.

−4

Обчисліть логарифм: log 4 64

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Отримали відповідь: 3.

Обчисліть логарифм: log 16 1

Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Отримали відповідь: 0.

Обчисліть логарифм: log 7 14

Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;

З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;

Відповідь – без змін: log 7 14.

log 7 14

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

8, 81 - точний ступінь; 48, 35, 14 – ні.

Зауважимо також, що самі прості числазавжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Визначення

Десятковий логарифмвід аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, в який треба звести число 10, щоб одержати число x.

Позначення

lg x

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Мова йдепро натуральний логарифм.

Визначення

Натуральний логарифмвід аргументу x - це логарифм на основі e , тобто. ступінь, в який треба звести число e , щоб отримати число x.

Позначення

ln x

Багато хто спитає: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значеннязнайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, зрозуміло, одиниці: ln1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати – без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a x та log a y . Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

log a x + log a y = log a ( x · y );

log a x − log a y = log a ( x : y ).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різницю - логарифму приватного.Зверніть увагу: ключовий момент тут – однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок « »). Погляньте на приклади – і переконайтесь:

Знайдіть значення виразу: log 6 4 + log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні – подібні висловлювання на повному серйозі (іноді – практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за наступним правилам:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Теорема

Нехай дано логарифм log a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 та c ≠ 1, вірна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм виявляється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише за рішенням логарифмічних рівняньта нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму – точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається:основне логарифмічне тотожність.

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз – багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання

Знайдіть значення виразу:

Рішення

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 - просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

200

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями - швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

log a a = 1 - це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від цього підстави дорівнює одиниці.

log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Підстава a може бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці!