Межі функції лім. Межа послідовності та функції

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функціяназивається обмеженоюякщо існує таке число M , що для всіх :
.

Верхньою граннюабо точним верхнім кордономНасправді функції називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня грань функції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точним нижнім кордономНасправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Визначення межі функції

Визначення межі функції по Коші

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Нехай функція визначена в околиці кінцевої точки за винятком, можливо, самої точки . у точці, якщо для будь-кого існує таке, що залежить від того, що для всіх x, для яких виконується нерівність
.
Межа функції позначається так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.

Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
; .

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках

Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.
Їх часто позначають так:
; ; .

Використання поняття околиці точки

Якщо ввести поняття проколотого околиці точки , можна дати єдине визначення кінцевої межі функції в кінцевих і нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
; ;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
; ; .

Нескінченні межі функції

Визначення
Нехай функція визначена в деякому проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Межа функції f (x)при x → x 0 дорівнює нескінченності, якщо для будь-кого, скільки завгодно великої кількості M > 0 існує таке число δ M > 0 , що залежить від M , що для всіх x , що належать проколоті M - околиці точки : , виконується нерівність:
.
Нескінченну межу позначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Також можна запровадити визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Універсальне визначення межі функції

Використовуючи поняття околиці точки, можна дати універсальне визначення кінцевої та нескінченної межі функції, що застосовується як для кінцевих (двосторонніх та односторонніх), так і для нескінченно віддалених точок:
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція визначена на деякій множині X: .
Число a називається межею функціїв точці:
,
якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать множині X : ,
.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

Якщо як безліч X взяти лівосторонню околицю точки x 0 , то отримаємо визначення лівої межі. Якщо правосторонню – то отримаємо визначення правої межі. Якщо як безліч X взяти околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі функції на нескінченності.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доведення

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.

Основні властивості

Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x 0 .

Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)обмежена:
.

Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0 , що для ,
, якщо;
якщо .

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості меж функції".

Арифметичні властивості межі функції

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості меж функції".

Критерій Коші існування межі функції

Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існувала така проколота околиця точки x 0 , Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.

Межа складної функції

Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.

Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.

Якщо функція безперервна в точці, то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.

Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (t)при t → t 0 , і він дорівнює x 0 :
.
Тут точка t 0 може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (x)безперервна в точці x 0 .
Тоді існує межа складної функції f (g(t)), і він дорівнює f (x 0):
.

Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».

Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції

Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума або різниця обмеженої функції, на деякій проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцієюпри .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями можна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Визначення
Функція , визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.

Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.

Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому зв'язку ми розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з більшим числомвгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняннята (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладуабо інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливо у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням та зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У поточному матеріалі буде розглянуто прості приклади, і навіть способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1

Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Рішення

а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3

Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще відповідь і продовжуємо обчислення. Так як у чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5

Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім скоротити його. Після цього межу спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

1. Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певна кількість, чи нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
2. Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
3. Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікса з-під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спершу необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, міри, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

Поняття меж послідовностей та функцій. Коли потрібно знайти межу послідовності, це записують так: lim xn=a. У такій послідовності послідовності xn прагне a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Послідовності поділяються на зростаючі та спадні. Наприклад:
xn=n^2 - зростаюча послідовність
yn=1/n - послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn=1/n^:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ця межа дорівнює нулю, оскільки n→∞, а послідовність 1/n^2 прагне нуля.

Зазвичай змінна величина x прагне кінцевої межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують так: limx =a, причому, n також може прагнути як до нуля, так і до нескінченності. Існують нескінченні функції, їм межа прагне нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією уповільнення ходу поїзда, можна про межу, що прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має лише одну межу. Це основна властивість межі. Інші їх перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумімеж:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Межа твору дорівнює твору меж:
lim(xy)=lim x*lim y
* Межа приватного дорівнює частки від меж:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim(Cx)=C lim x
Якщо дана функція 1 /x, в якій x →∞, її межа дорівнює нулю. Якщо ж x→0, межа такої функції дорівнює ∞.
Для тригонометричних функцій є такі правила. Так як функція sin x завжди прагне одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедлива тотожність:
lim sin x/x=1

У ряді зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, коли межу неможливо обчислити. Єдиним виходом із такої ситуації стає Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* невизначеність виду 0/0
* невизначеність виду ∞/∞
Наприклад, дано межу такого виду: lim f(x)/l(x), причому, f(x0)=l(x0)=0. У такому разі виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такої задачі обидві функції піддають диференціювання, після чого знаходять межу результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Це правило справедливо й у невизначеностей типу ∞/∞. Але в цьому випадку справедлива така рівність: f(x)=l(x)=∞
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, у яких фігурують невизначеності. Обов'язкова умовапри

том - відсутність помилок під час перебування похідних. Так, наприклад, похідна функції (x^2)" дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f"(x)=nx^(n-1)

Основні елементарні функції розібралися.

При переході до функцій складнішого виду ми обов'язково зіткнемося з появою виразів, значення яких не визначено. Такі вирази називають невизначеності.

Перерахуємо все основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль (0 на 0 ), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль в ступеня нуль , нескінченність у ступеня нуль .

ВСІ ІНШІ ВИРАЗИ НЕВИЗНАЧЕННЯМИ НЕ Є Й ПРИЙМАЮТЬ ЦІЛКОМ КОНКРЕТНЕ КІНЦЕВЕ АБО БЕЗКІНЦЕВЕ ЗНАЧЕННЯ.

Розкривати невизначеностідозволяє:

• спрощення виду функції (перетворення виразу з використанням формул скороченого множення, тригонометричних формул, домноженням на сполучені вирази з наступним скороченням тощо);
• використання чудових меж;
• застосування правила Лопіталя;
• використання заміни нескінченно малого виразу йому еквівалентним (використання таблиці еквівалентних нескінченно малих).

Згрупуємо невизначеності в таблицю невизначеностей. Кожному виду невизначеності поставимо у відповідність метод її розкриття (метод знаходження межі).

Ця таблиця разом із таблицею меж основних елементарних функцій будуть Вашими головними інструментами під час перебування будь-яких меж.

Наведемо кілька прикладів, коли все відразу виходить після підстановки значення і невизначеності не виникають.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

І одразу отримали відповідь.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення х=0 в основу нашої показово статечної функції:

Тобто межу можна переписати у вигляді

Тепер займемося показником. Це є статечна функція. Звернемося до таблиці меж для статечних функцій із негативним показником. Звідти маємо і , отже, можна записати .

Виходячи з цього, наша межа запишеться у вигляді:

Знову звертаємось до таблиці меж, але вже для показових функційз основою великої одиниці, звідки маємо:

Відповідь:

Розберемо на прикладах з докладними рішеннями розкриття невизначеностей перетворенням виразів.

Дуже часто вираз під знаком межі потрібно трохи перетворити, щоб позбавитися невизначеностей.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу розв'язання. Пробуємо спростити вираз.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності (0 на 0). Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Домножимо і чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з знаменником.

Для знаменника сполученим виразом буде

Знаменник ми примножували для того, щоб можна було застосувати формулу скороченого множення - різницю квадратів і потім скоротити отриманий вираз.

Після низки перетворень невизначеність зникла.

Відповідь:

ЗАУВАЖЕННЯ:Для меж подібного виду спосіб примноження на сполучені вирази є типовим, так що сміливо користуйтеся.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Так як і чисельник і знаменник звертаються в нуль при х = 1, якщо ці вирази, можна буде скоротити (х-1) і невизначеність зникне.

Розкладемо чисельник на множники:

Розкладемо знаменник на множники:

Наша межа набуде вигляду:

Після перетворення невизначеність розкрилася.

Відповідь:

Розглянемо межі на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники статечного вираження позитивні, то межа на нескінченності нескінченна. Причому основне значення має найбільший рівень, інші можна відкидати.

приклад.

приклад.

Якщо вираз під знаком межі є дріб, причому і чисельник і знаменник є статечні вирази (m - ступінь чисельника, а n - ступінь знаменника), то при виникає невизначеність виду нескінченність на нескінченність , в цьому випадку невизначеність розкриваєтьсярозподілом і чисельник і знаменник на

приклад.

Обчислити межу