Розв'язання тригонометричних рівнянь формули. Як вирішувати тригонометричні рівняння

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Вступ 2

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь 5

Алгебраїчний 5

Розв'язання рівнянь за допомогою умови рівності однойменних тригонометричних функцій 7

Розкладання на множники 8

Приведення до однорідного рівняння 10

Введення допоміжного кута 11

Перетворення твору на суму 14

Універсальна підстановка 14

Висновок 17

Вступ

До десятого класу порядок дій багатьох вправ, що веде до мети, зазвичай однозначно визначений. Наприклад, лінійні та квадратні рівняння та нерівності, дробові рівняннята рівняння, що наводяться до квадратних, тощо. Не розбираючи докладно принципу вирішення кожного зі згаданих прикладів, відзначимо те загальне, що необхідне їх успішного рішення.

Найчастіше треба встановити, якого типу належить завдання, згадати послідовність дій, які ведуть мети, і здійснити ці действия. Очевидно, що успіх чи неуспіх учня в оволодінні прийомами розв'язання рівнянь залежить головним чином від того, наскільки він зуміє правильно визначити тип рівняння та згадати послідовність усіх етапів його розв'язання. Вочевидь, у своїй передбачається, що учень має навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Зовсім інша ситуація виходить, коли школяр зустрічається із тригонометричними рівняннями. При цьому встановити факт, що рівняння є тригонометричним, неважко. Складнощі виникають при знаходженні порядку дій, які б призвели до позитивного результату. І тут перед учнем постають дві проблеми. за зовнішньому виглядурівняння важко визначити тип. А не знаючи типу, майже неможливо вибрати потрібну формулу з кількох десятків, що є у розпорядженні.

Щоб допомогти учням знайти вірну дорогу у складному лабіринті тригонометричних рівнянь, їх спочатку знайомлять із рівняннями, які після введення нової змінної наводяться до квадратних. Потім вирішують однорідні рівняння та приведені до них. Все закінчується, зазвичай, рівняннями, на вирішення яких треба розкласти на множники ліву частину, прирівнявши потім кожен із множників нанівець.

Розуміючи, що розібраних на уроках півтора десятка рівнянь явно недостатньо, щоб пустити учня в самостійне плавання тригонометричним "морем", вчитель додає від себе ще кілька рекомендацій.

Щоб вирішити тригонометричне рівняння, Треба спробувати:

Привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;

Привести рівняння до "однакових функцій";

Розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Але, незважаючи на знання основних типів тригонометричних рівнянь і кількох принципів пошуку їх вирішення, багато учнів, як і раніше, опиняються в глухому куті перед кожним рівнянням, що незначно відрізняється від тих, що вирішувалися раніше. Залишається незрозумілим, чого слід прагнути, маючи те чи інше рівняння, чому в одному випадку треба застосовувати формули подвійного кута, в іншому - половинного, а в третьому - формули додавання і т.д.

Визначення 1.Тригонометричним називається рівняння, в якому невідоме міститься під знаком тригонометричних функцій.

Визначення 2.Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові кути, якщо всі тригонометричні функції, що входять до нього, мають рівні аргументи. Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові функції, якщо воно містить лише одну з тригонометричних функцій.

Визначення 3.Ступенем одночлена, що містить тригонометричні функції, називається сума показників ступенів тригонометричних функцій, що входять до нього.

Визначення 4.Рівняння називається однорідним, якщо всі одночлени, що входять до нього, мають один і той самий ступінь. Цей ступінь називається порядком рівняння.

Визначення 5.Тригонометричне рівняння, що містить лише функції sinі cos, називається однорідним, якщо всі одночлени щодо тригонометричних функцій мають однаковий ступінь, а самі тригонометричні функції мають рівні кути та число одночленів на 1 більше за порядок рівняння.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь.

I. Алгебраїчний метод.Цей метод добре відомий із алгебри. (Метод заміни змінний та підстановки).

Розв'язати рівняння.

Введемо позначення x=2 sin3 t, отримаємо

Вирішуючи це рівняння, отримуємо:
або

тобто. можна записати

При записі отриманого рішення через наявність знаків ступінь
записувати немає сенсу.

Відповідь:

Позначимо

Отримуємо квадратне рівняння
. Його корінням є числа
і
. Тому дане рівняння зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь.
і
. Вирішуючи їх, знаходимо, що
або
.

Відповідь:
;
.

Позначимо

не задовольняє умову

Значить

Відповідь:

Перетворимо ліву частину рівняння:

Таким чином, це вихідне рівняння можна записати у вигляді:

, тобто.

Позначивши
, отримаємо
Вирішивши дане квадратне рівняння маємо:

не задовольняє умову

Записуємо рішення вихідного рівняння:

Відповідь:

Підстановка
зводить дане рівняння до квадратного рівняння
. Його корінням є числа
і
. Так як
то задане рівняння коренів не має.

Відповідь: коріння немає.

II. Розв'язання рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

а)
, якщо

б)
, якщо

в)
, якщо

Використовуючи ці умови, розглянемо рішення наступних рівнянь:

Користуючись сказаним у п. а) отримуємо, що рівняння має рішення в тому і лише в тому випадку, коли
.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо
.

Маємо дві групи рішень:

.

7) Розв'язати рівняння:
.

Користуючись умовою п. б) виводимо, що
.

Вирішуючи ці квадратні рівняння, отримуємо:

8) Розв'язати рівняння
.

З цього рівняння виводимо, що . Вирішуючи це квадратне рівняння, знаходимо, що

.

III. Розкладання на множники.

Цей метод розглядаємо на прикладах.

9) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Перенесемо всі члени рівняння вліво: .

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у лівій частині рівняння:
.

1)
2)

Т.к.
і
не набувають значення нуль

одночасно, то розділимо обидві частини

рівняння на
,

Відповідь:

10) Розв'язати рівняння:

Рішення.

або

Відповідь:

11) Розв'язати рівняння

Рішення:

1)
2)
3)

Відповідь:

IV. Приведення до однорідного рівняння.

Щоб вирішити однорідне рівняннятреба:

Перенести всі його члени до лівої частини;

Винести всі спільні множники за дужки;

Прирівняти всі множники та дужки до нуля;

Дужки, прирівняні до нуля, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке слід розділити на
(або
) у старшому ступені;

Вирішити отримане алгебраїчне рівняннящодо
.

Розглянемо приклади:

12) Розв'язати рівняння:

Рішення.

Розділимо обидві частини рівняння на
,

Вводячи позначення
, ім'ям

коріння цього рівняння:

звідси 1)
2)

Відповідь:

13) Розв'язати рівняння:

Рішення. Використовуючи формули подвійного кута та основне тригонометричне тотожність, наводимо дане рівняння до половинного аргументу:

Після приведення подібних доданків маємо:

Розділивши однорідне останнє рівняння на
, отримаємо

Позначу
, отримаємо квадратне рівняння
, корінням якого є числа

Таким чином

Вираз
звертається в нуль при
, тобто. при
,
.

Отримане нами рішення рівняння не включає дані числа.

Відповідь:
, .

V. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду

Де a, b, c- Коефіцієнти, x- Невідоме.

Розділимо обидві частини цього рівняння на

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, саме: модуль кожного їх вбирається у одиниці, а сума їх квадратів дорівнює 1.

Тоді можна позначити їх відповідно
(тут - Допоміжний кут) і наше рівняння набуває вигляду: .

Тоді

І його рішення

Зауважимо, що введені позначення взаємозамінні.

14) Розв'язати рівняння:

Рішення. Тут
тому ділимо обидві частини рівняння на

Відповідь:

15) Розв'язати рівняння

Рішення. Так як
, то дане рівняння рівносильне рівнянню

Так як
, то існує такий кут, що
,
(Тобто.
).

Маємо

Так як
, то остаточно отримуємо:

Зауважимо, що рівняння виду мають рішення тоді і лише тоді, коли

16) Розв'язати рівняння:

Для розв'язання цього рівняння згрупуємо тригонометричні функції з однаковими аргументами

Розділимо обидві частини рівняння на два

Перетворимо суму тригонометричних функцій на твір:

Відповідь:

VI. Перетворення твору на суму.

Тут застосовуються відповідні формули.

17) Розв'язати рівняння:

Рішення. Перетворимо ліву частину на суму:

VII.Універсальна підстановка.

ці формули вірні всім

Підстановка
називається універсальною.

18) Розв'язати рівняння:

Рішення: Замінимо та
на їх вираз через
і позначимо
.

Отримуємо раціональне рівняння
, яке перетворюється на квадратне
.

Корінням цього рівняння є числа
.

Тому завдання звелося до розв'язання двох рівнянь
.

Знаходимо, що
.

Значення виду
вихідного рівняння не задовольняє, що перевіряється перевіркою - підстановкою даного значення tу вихідне рівняння.

Відповідь:
.

Зауваження. Рівняння можна було вирішити іншим способом.

Розділимо обидві частини цього рівняння на 5 (тобто на
):
.

Так як
, то існує таке число
, що
і
. Тому рівняння набуває вигляду:
або
. Звідси знаходимо, що
де
.

19) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Оскільки функції
і
мають найбільше значення, що дорівнює 1, то їх сума дорівнює 2, якщо
і
одночасно, тобто
.

Відповідь:
.

При вирішенні цього рівняння застосовувалася обмеженість функцій та .

Висновок.

Працюючи над темою «Рішення тригонометричних рівнянь» кожному вчителю корисно виконувати такі рекомендації:

Систематизувати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Вибрати собі кроки з виконання аналізу рівняння та ознаки доцільності використання тієї чи іншої метод решения.

Продумати способи самоконтролю своєї діяльності щодо реалізації методу.

Навчитися складати «свої» рівняння на кожен із методів, що вивчаються.

Додаток №1

Розв'яжіть однорідні або приведені до однорідним рівняння.

1.	Відп.
	Відп.

	Відп.
5.	Відп.
	Відп.
7.	Відп.
	Відп.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності зрештою зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсциса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лініюпаралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсциса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з основної повний круг, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією і відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Так як точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Зазначимо на лінії котангенсів крапку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої та продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан:

Оскільки ці точки відстоять одна від одної на відстань, рівну , то спільне рішенняцього рівняння ми можемо записати так:

У наведених прикладах, що ілюструють рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, були використані табличні значення тригонометричних функцій.

Однак, якщо в правій частині рівняння стоїть не табличного значення, то ми в загальне рішення рівняння підставляємо значення:

ОСОБЛИВІ РІШЕННЯ:

Зазначимо на колі точки, ордината яких дорівнює 0:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює -1:

Оскільки прийнято вказувати значення, найближчі до нуля, рішення запишемо так:

Зазначимо на колі точки, абсцис яких дорівнює 0:

5.
Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює -1:

І трохи складніші приклади:

Синус дорівнює одиниці, якщо аргумент дорівнює

Аргумент у нашого синуса дорівнює, тому отримаємо:

Розділимо обидві частини рівності на 3:

Відповідь:

Косинус дорівнює нулю, якщо аргумент косинуса дорівнює

Аргумент у нашого косинуса дорівнює, тому отримаємо:

Висловимо, для цього спочатку перенесемо вправо з протилежним знаком:

Спростимо праву частину:

Розділимо обидві частини на -2:

Зауважимо, що перед доданком знак не змінюється, оскільки k може приймати будь-які цілі значення.

Відповідь:

І насамкінець подивіться відеоурок "Відбір коренів у тригонометричному рівнянні за допомогою тригонометричного кола"

На цьому розмову про вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь ми закінчимо. Наступного разу ми з вами поговоримо про те, як вирішувати.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тригонометричні рівняння – тема не найпростіша. Аж надто вони різноманітні.) Наприклад, такі:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

І тому подібне...

Але в цих (і всіх інших) тригонометричних монстрів є дві загальні та обов'язкові ознаки. Перший - ви не повірите - в рівняннях присутні тригонометричні функції. Другий: всі вирази з іксом знаходяться всередині цих функцій.І лише там! Якщо ікс з'явиться десь зовні,наприклад, sin2x + 3x = 3,це вже буде рівняння змішаного типу. Такі рівняння потребують індивідуального підходу. Тут ми їх не розглядатимемо.

Злі рівняння в цьому уроці ми теж вирішувати не будемо.) Тут ми розбиратимемося з найпростішими тригонометричними рівняннями.Чому? Та тому, що рішення будь-якихТригонометричних рівнянь складається з двох етапів. На першому етапі зле рівняння шляхом різних перетворень зводиться до простого. З другого краю - вирішується це найпростіше рівняння. Інакше ніяк.

Так що, якщо на другому етапі у вас проблеми – перший етап особливого сенсу не має.)

Як виглядають елементарні тригонометричні рівняння?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Тут а позначає будь-яке число. Будь-яке.

До речі, всередині функції може бути не чистий ікс, а якийсь вираз, типу:

cos(3x+π /3) = 1/2

і тому подібне. Це ускладнює життя, але на методі розв'язання тригонометричного рівняння ніяк не позначається.

Як розв'язувати тригонометричні рівняння?

Тригонометричні рівняння можна вирішувати двома шляхами. Перший шлях: з використанням логіки та тригонометричного кола. Цей шлях ми розглянемо тут. Другий шлях – з використанням пам'яті та формул – розглянемо у наступному уроці.

Перший шлях зрозумілий, надійний, і його важко забути.) Він хороший для розв'язання і тригонометричних рівнянь, і нерівностей, і будь-яких хитрих нестандартних прикладів. Логіка сильніша за пам'ять!)

Вирішуємо рівняння за допомогою тригонометричного кола.

Включаємо елементарну логіку та вміння користуватися тригонометричним колом. Чи не вмієте!? Однак... Важко вам у тригонометрії доведеться...) Але не біда. Загляньте в уроки "Тригонометричне коло...... Що це таке?" та "Відлік кутів на тригонометричному колі". Там просто все. На відміну від підручників...)

Ах, ви в курсі!? І навіть освоїли "Практичну роботу з тригонометричним колом"!? Прийміть вітання. Ця тема буде вам близька і зрозуміла.) Що особливо тішить, тригонометричному колу байдуже, яке рівняння ви вирішуєте. Синус, косинус, тангенс, котангенс - йому все одно. Принцип рішення один.

Ось і беремо будь-яке елементарне тригонометричне рівняння. Хоча б це:

cosx = 0,5

Потрібно знайти ікс. Якщо говорити людською мовою, потрібно знайти кут (ікс), косинус якого дорівнює 0,5.

Як ми використовували коло раніше? Ми малювали на ньому ріг. У градусах чи радіанах. І відразу бачили тригонометричні функції цього кута. Зараз вчинимо навпаки. Намалюємо на колі косинус, що дорівнює 0,5 і відразу побачимо кут. Залишиться лише записати відповідь.) Так-так!

Малюємо коло і відзначаємо косинус, що дорівнює 0,5. На осі косинусів, зрозуміло. Ось так:

Тепер намалюємо кут, який дає нам косинус. Наведіть курсор мишки на малюнок (або торкніться картинки на планшеті), та побачитецей самий кут х.

Косинус якого кута дорівнює 0,5?

х = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Дехто скептично хмикне, так... Мовляв, чи варто було коло городити, коли і так все ясно... Можна, звичайно, хмикати...) Але річ у тому, що це помилкова відповідь. Точніше, недостатній. Знавці кола розуміють, що тут ще ціла купа кутів, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5.

Якщо провернути рухливий бік ОА на повний обіг, точка А потрапить у вихідне становище. З тим же косинус, рівним 0,5. Тобто. кут змінитьсяна 360° або 2π радіан, а косинус – ні.Новий кут 60 ° + 360 ° = 420 ° також буде рішенням нашого рівняння, т.к.

Таких повних оборотівможна накрутити безліч… І всі ці нові кути будуть рішеннями нашого тригонометричного рівняння. І їх треба якось записати у відповідь. Всі.Інакше рішення не вважається, так...)

Математика вміє це робити просто та елегантно. В одній короткій відповіді записувати нескінченна безлічрішень. Ось як це виглядає для нашого рівняння:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Розшифрую. Все-таки писати осмисленоприємніше, ніж тупо малювати якісь загадкові літери, правда?)

π /3 - це той самий кут, який ми побачилина колі та визначилиза таблицею косінусів.

2π - Це один повний оборот у радіанах.

n - це повних, тобто. цілихоборотів. Зрозуміло, що n може бути 0, ±1, ±2, ±3.... і так далі. Що й вказано коротким записом:

n ∈ Z

n належить ( ∈ ) безлічі цілих чисел ( Z ). До речі, замість літери n цілком можуть вживатися літери k, m, t і т.д.

Цей запис означає, що ви можете взяти будь-яке ціле n . Хоч -3, хоч 0, хоч +55. Яке бажаєте. Якщо підставіть це число в запис відповіді, отримайте конкретний кут, який обов'язково буде вирішенням нашого суворого рівняння.

Або, іншими словами, х = π /3 - це єдиний корінь із нескінченної множини. Щоб отримати все інше коріння, достатньо до π /3 додати будь-яку кількість повних оборотів ( n ) у радіанах. Тобто. 2π n радіан.

Всі? Ні. Я спеціально насолоду розтягую. Щоб запам'яталося краще.) Ми отримали лише частину відповідей до нашого рівняння. Цю першу частину рішення я запишу ось як:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не один корінь, це ціла серія коренів, записана у короткій формі.

Але є ще кути, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5!

Повернемося до нашої картинки, за якою записували відповідь. Ось вона:

Наводимо мишку на картинку та бачимоще один кут, який також дає косинус 0,5.Як ви вважаєте, чому він дорівнює? Трикутнички однакові... Так! Він дорівнює куту х , Тільки відкладений у негативному напрямку. Це кут -х. Але ікс ми вже вирахували. π /3 або 60 °. Отже, можна сміливо записати:

х 2 = - π /3

Ну і, зрозуміло, додаємо всі кути, які виходять через повні оберти:

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ось тепер все.) По тригонометричному колі ми побачили(хто розуміє, звичайно) всікути, що дають косинус, рівний 0,5. І записали ці кути в короткій математичної форми. У відповіді вийшло дві нескінченні серії коренів:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Це правильна відповідь.

Сподіваюся, загальний принцип розв'язання тригонометричних рівняньза допомогою кола зрозумілий. Відзначаємо на колі косинус (синус, тангенс, котангенс) з заданого рівняння, малюємо відповідні йому кути та записуємо відповідь.Звичайно, треба збагнути, що за кути ми побачилина колі. Іноді це не так очевидно. Ну так я й казав, що тут логіка потрібна.)

Наприклад розберемо ще одне тригонометричне рівняння:

Прошу врахувати, що число 0,5 - це не єдине можливе число в рівняннях!) Просто мені його писати зручніше, ніж коріння та дроби.

Працюємо за загальним принципом. Малюємо коло, відзначаємо (на осі синусів, звичайно!) 0,5. Малюємо відразу всі кути, що відповідають цьому синусу. Отримаємо таку картину:

Спочатку знаємося з кутом х у першій чверті. Згадуємо таблицю синусів та визначаємо величину цього кута. Справа нехитра:

х = π /6

Згадуємо про повні оберти і з чистою совістю записуємо першу серію відповідей:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина справи зроблено. А ось тепер треба визначити другий кут...Це хитріші, ніж у косинусах, так... Але логіка нас врятує! Як визначити другий кут через х? Так легко! Трикутнички на картинці однакові, і червоний кут х дорівнює куту х . Тільки відрахований він від кута в негативному напрямку. Тому і червоний.) А нам відповіді потрібен кут, відрахований правильно, від позитивної півосі ОХ, тобто. від кута 0 градусів.

Наводимо курсор на малюнок і все бачимо. Перший кут я прибрав, щоб не ускладнював картинку. Цікавий нас кут (намальований зеленим) дорівнюватиме:

π - х

Ікс ми знаємо, це π /6 . Отже, другий кут буде:

π - π /6 = 5π /6

Знову згадуємо про добавку повних обертів та записуємо другу серію відповідей:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

От і все. Повноцінна відповідь складається з двох серій коріння:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Рівняння з тангенсом і котангенсом можна легко вирішувати за тим самим загальним принципом розв'язання тригонометричних рівнянь. Якщо, звичайно, знаєте, як намалювати тангенс та котангенс на тригонометричному колі.

У наведених вище прикладах я використовував табличне значення синуса та косинуса: 0,5. Тобто. одне з тих значень, які учень знати зобов'язаний.А тепер розширимо наші можливості на всі інші значення.Вирішувати, так вирішувати!)

Отже, нехай нам треба вирішити таке тригонометричне рівняння:

Такого значення косинуса в коротких таблицяхні. Холоднокровно ігноруємо цей страшний факт. Малюємо коло, відзначаємо на осі косінусів 2/3 і малюємо відповідні кути. Отримуємо таку картинку.

Розбираємось, для початку, з кутом у першій чверті. Знати б, чому дорівнює ікс, одразу відповідь записали б! Не знаємо... Провал!? Спокій! Математика своїх у біді не кидає! Вона на цей випадок вигадала арккосинуси. Не в курсі? Даремно. З'ясуйте, Це набагато простіше, ніж ви думаєте. За цим посиланням жодного складного заклинання щодо "зворотних тригонометричних функцій" немає... Зайве це в цій темі.

Якщо ви знаєте, досить сказати собі: "Ікс - це кут, косинус якого дорівнює 2/3". І відразу, чисто за визначенням арккосинусу, можна записати:

Згадуємо про додаткові звороти та спокійно записуємо першу серію коренів нашого тригонометричного рівняння:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Фактично автоматично записується і друга серія коренів, для другого кута. Все те саме, тільки ікс (arccos 2/3) буде з мінусом:

х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

І всі справи! Це правильна відповідь. Навіть простіше, ніж із табличними значеннями. До речі, найуважніші помітять, що ця картинка з рішенням через арккосинус нічим, по суті, не відрізняється від картинки рівняння cosx = 0,5.

Саме так! Загальний принцип на те й загальний! Я спеціально намалював дві майже однакові картинки. Коло показує нам кут х за його косинус. Табличний це косинус, чи ні – колу невідомо. Що це за кут, π /3, або арккосинус який - це вже вирішувати.

З синусом та сама пісня. Наприклад:

Знову малюємо коло, відзначаємо синус, що дорівнює 1/3, малюємо кути. Виходить така картина:

І знову картинка майже та сама, що й для рівняння sinx = 0,5.Знову починаємо з кута у першій чверті. Чому дорівнює ікс, якщо його синус дорівнює 1/3? Не питання!

Ось і готова перша пачка коренів:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Розбираємось з другим кутом. У прикладі з табличним значенням 0,5 він дорівнював:

π - х

Так і тут він буде такий самий! Тільки ікс інший, arcsin 1/3. Ну і що!? Можна сміливо записувати другу пачку коренів:

х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Це абсолютно правильна відповідь. Хоча й не дуже звично. Зате зрозуміло, сподіваюся.)

Ось так вирішуються тригонометричні рівняння за допомогою кола. Цей шлях наочний і зрозумілий. Саме він рятує у тригонометричних рівняннях з відбором коренів на заданому інтервалі, у тригонометричних нерівностях – ті взагалі вирішуються практично завжди по колу. Коротше, в будь-яких завданнях, які трохи складніші за стандартні.

Чи застосуємо знання на практиці?)

Розв'язати тригонометричні рівняння:

Спочатку простіше, прямо з цього уроку.

Тепер складніше.

Підказка: тут доведеться поміркувати над колом. Особисто.)

А тепер зовні прості... Їх ще окремими випадками називають.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Підказка: тут треба збагнути по колу, де дві серії відповідей, а де одна... І як замість двох серій відповідей записати одну. Та так, щоб жоден корінь із нескінченної кількості не загубився!)

Ну і зовсім прості):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Підказка: тут треба знати, що таке арксінус, арккосинус? Що таке Арктангенс, Арккотангенс? Найпростіші визначення. Зате згадувати жодних табличних значень не треба!)

Відповіді, зрозуміло, безладно):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Чи не все виходить? Буває. Прочитайте урок ще раз. Тільки вдумливо(є таке застаріле слово...) І за посиланнями походьте. Основні посилання - про світ. Без нього в тригонометрії – як дорогу переходити із зав'язаними очима. Іноді виходить.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Що таке тригонометричні рівняння?

3. Два основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
4. Однорідні тригонометричні рівняння.
5. Приклади.

Що таке тригонометричні рівняння?

Хлопці, ми з вами вивчили вже арксинуса, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Тепер давайте подивимося на тригонометричні рівняння загалом.

Тригонометричні рівняння – рівняння у якому змінна міститься під знаком тригонометричної функції.

Повторимо вид розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

1) Якщо |а|≤ 1, то рівняння cos(x) = a має розв'язок:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Якщо |а|≤ 1, то рівняння sin(x) = a має розв'язок:

3) Якщо |а| > 1, то рівняння sin(x) = a і cos(x) = a немає рішень 4) Рівняння tg(x)=a має розв'язання: x=arctg(a)+ πk

5) Рівняння ctg(x)=a має рішення: x=arcctg(a)+ πk

Для всіх формул k-ціле число

Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд: Т(kx+m)=a, T-яка чи тригонометрична функція.

приклад.

Розв'язати рівняння: а) sin(3x)= √3/2

Рішення:

А) Позначимо 3x=t, тоді наше рівняння перепишемо як:

Розв'язання цього рівняння буде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

З таблиці значень отримуємо: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Повернімося до нашої змінної: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тоді x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Відповідь: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, де n-ціле число. (-1) ^ n – мінус один у ступені n.

Ще приклади тригонометричних рівнянь.

Розв'язати рівняння: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Рішення:

А) На цей раз перейдемо безпосередньо до обчислення коренів рівняння відразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тоді x/5= πk => x=5πk

Відповідь: x=5πk, де k – ціле число.

Б) Запишемо як: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ми знаємо що: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Відповідь: x=2π/9 + πk/3, де k – ціле число.

Розв'язати рівняння: cos(4x)= √2/2. І знайти все коріння на відрізку.

Рішення:

Вирішимо в загальному виглядінаше рівняння: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Тепер давайте подивимося яке коріння потраплять на наш відрізок. При k При k=0, x= π/16 ми потрапили в заданий відрізок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, знову потрапили.
При k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, а тут ось вже не потрапили, а значить при великих k теж свідомо не потраплятимемо.

Відповідь: x= π/16, x= 9π/16

Два основні методи вирішення.

Ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння, але є й складніші. Для їх вирішення застосовують метод введення нової змінної та метод розкладання на множники. Давайте розглянемо приклади.

Розв'яжемо рівняння:

Рішення:
Для вирішення нашого рівняння скористаємося методом уведення нової змінної, позначимо: t=tg(x).

В результаті заміни отримаємо: t 2 + 2t -1 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-1 та t=1/3

Тоді tg(x)=-1 і tg(x)=1/3, отримали найпростіше тригонометричне рівняння, знайдемо його коріння.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Відповідь: x=-π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Приклад вирішення рівняння

Розв'язати рівнянь: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Рішення:

Скористаємося тотожністю: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Наше рівняння набуде вигляду:2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 cos 2(x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введемо заміну t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння є коріння: t=2 та t=-1/2

Тоді cos(x)=2 та cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не може набувати значення більше одиниці, то cos(x)=2 не має коріння.

Для cos(x)=-1/2: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Відповідь: x= ±2π/3 + 2πk

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: Рівняння виду a sin(x)+b cos(x) називаються однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня.

Рівняння виду

однорідними тригонометричними рівняннями другого ступеня.

Для вирішення однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня розділимо його на cos(x): Ділити на косинус не можна якщо він дорівнює нулю, давайте переконаємося, що це не так:
Нехай cos(x)=0, тоді asin(x)+0=0 => sin(x)=0, але синус і косинус одночасно не дорівнюють нулю, отримали протиріччя, тому можна сміливо ділити на нуль.

Вирішити рівняння:
Приклад: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Рішення:

Винесемо загальний множник: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Тоді нам треба вирішити два рівняння:

Cos(x)=0 та cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Розглянемо рівняння cos(x)+sin(x)=0 Розділимо наше рівняння cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Відповідь: x= π/2 + πk і x=-π/4+πk

Як розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння другого ступеня?
Діти, дотримуйтесь цих правил завжди!

1. Подивитися чому дорівнює коефіцієнт а, якщо а=0 то тоді наше рівняння набуде вигляду cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), приклад розв'язання якого на попередньому слайді

2. Якщо a≠0, потрібно поділити обидві частини рівняння на косинус у квадраті, отримаємо:

Робимо заміну змінної t=tg(x) отримуємо рівняння: