Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів. Перехід до стандартної форми злп

Поняття багаточлена

Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:

тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.

Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.

Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадок багаточлена, він складається з одного члена.

Число нуль - це нульовий багаточлен.

Стандартний вид багаточлену

Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.

Приклад багаточлена у стандартному вигляді:

тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.

Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:

тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Потрібно їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:

Ще приклад:

Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:

Ступінь багаточлена

Що таке ступінь багаточлену?

Ступінь багаточлена визначення:

Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного виду.

приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.

Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступінь має перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а його ступінь дорівнює 9-ти.

Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.

Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.

Багаточленом називають суму одночленів. Якщо всі члени багаточлена записати в стандартному вигляді (див. п. 51) і виконати приведення таких членів, то вийде багаточлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду - у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

Розглянемо приклади, у яких цілий вираз слід призвести до стандартного виду многочлена.

Рішення. Спочатку наведемо до стандартного вигляду члени багаточлена. Отримаємо Після приведення подібних членів отримаємо багаточлен стандартного вигляду

Рішення. Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

Рішення. Якщо перед дужками стоїть зіак «мінус», то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків ув'язнених у дужки. Скориставшись цим правилом паскриття дужок, отримаємо:

Рішення. Добуток одночлена та багаточлена згідно з розподільчим законом дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного члена багаточлена. Отримуємо

Рішення. Маємо

Рішення. Маємо

Залишилося навести таких членів (вони підкреслені). Отримаємо:

53. Формули скороченого множення.

У деяких випадках приведення цілого виразу до стандартного виду багаточлена здійснюється з використанням тотожностей:

Ці тотожності називають формулами скороченого множення,

Розглянемо приклади, у яких необхідно перетворити заданий вираз у миогочлеи стандартного виду.

приклад 1. .

Рішення. Скориставшись формулою (1), отримаємо:

Приклад 2. .

Рішення.

Приклад 3. .

Рішення. Скориставшись формулою (3), отримаємо:

приклад 4.

Рішення. Скориставшись формулою (4), отримаємо:

54. Розкладання багаточленів на множники.

Іноді можна перетворити багаточлен на твір кількох співмножників - багаточленів або одпочленів. Таке тотожне перетворення називається розкладанням многочлена на множники. І тут кажуть, що многочлен ділиться кожен із цих множників.

Розглянемо деякі способи розкладання багаточленів на множники,

1) Винесення загального множника за дужку. Це перетворення є безпосереднім наслідком розподільчого закону (для наочності потрібно лише переписати цей закон «праворуч наліво»):

Приклад 1. Розкласти на множники багаточленів

Рішення. .

Зазвичай при винесенні загального множника за дужки кожну змінну, що входить у всі члени многочлена, виносять з найменшим показником, який вона має у цьому багаточлені. Якщо всі коефіцієнти многочлена - цілі числа, то як коефіцієнт загального множника беруть найбільший за модулем спільний дільниквсіх коефіцієнтів многочлена.

2) Використання формул скороченого множення. Формули (1) - (7) з п. 53, будучи прочитаними «праворуч наліво, у багатьох випадках виявляються корисними для розкладання багаточленів на множники.

Приклад 2. Розкласти на множники.

Рішення. Маємо. Застосувавши формулу (1) (різницю квадратів), отримаємо . Застосувавши

тепер формули (4) і (5) (сума кубів, різницю кубів), отримаємо:

Приклад 3. .

Рішення. Спочатку винесемо за дужку загальний множник. Для цього знайдемо найбільший загальний дільник коефіцієнтів 4, 16, 16 та найменші показники ступенів, з якими змінні а та b входять до складових даний багаточлен одночлени. Отримаємо:

3) Спосіб угруповання. Він заснований на тому, що переміщувальний та сполучний закони складання дозволяють групувати члени багаточлена. у різний спосіб. Іноді вдається таке угруповання, що після винесення за дужки загальних множників у кожній групі в дужках залишається один і той самий багаточлен, який у свою чергу як загальний множник може бути винесений за дужки. Розглянемо приклади розкладання многочлена на множники.

приклад 4. .

Рішення. Зробимо угруповання наступним чином:

У першій групі винесемо за дужку загальний множник у другій – загальний множник 5. Отримаємо Тепер багаточлен як загальний множник винесемо за дужку: Таким чином, отримуємо:

Приклад 5.

Рішення. .

Приклад 6.

Рішення. Тут ніяке угруповання не призведе до появи у всіх групах одного й того ж багаточлена. У таких випадках іноді виявляється корисним уявити якийсь член багаточлена у вигляді деякої суми, після чого знову спробувати застосувати спосіб угруповання. У нашому прикладі доцільно подати у вигляді суми.

Приклад 7.

Рішення. Додамо та віднімемо одночлен Отримаємо

55. Багаточлени від однієї змінної.

Багаточлен, де a, b - числа змінна, називається многочленом першого ступеня; багаточлен де а, b, с - числа змінна, називається багаточленом другого ступеня або квадратним тричленом; многочлен де а, b, з, d - числа змінна називається многочленом третього ступеня.

Взагалі якщо о, змінна, то багаточлен

називається лсмогочленол ступеня (щодо х); , m-члени многочлена, коефіцієнти, старший член многочлена, а - коефіцієнт при старшому члені, вільний член многочлена. Зазвичай многочлен записують по спадних ступенях змінної, т. е. ступеня змінної поступово зменшуються, зокрема, першому місці стоїть старший член, останньому - вільний член. Ступінь многочлена – це ступінь старшого члена.

Наприклад, багаточлен п'ятого ступеня, у якому старший член, 1 - вільний член багаточлена.

Коренем багаточлена називають таке значення при якому багаточлен перетворюється на нуль. Наприклад, число 2 є коренем багаточлена, оскільки

СЗЛП- Завдання лінійного програмування виду ax ≥ b або ax ≤ b . де a – матриця коефіцієнтів, b – вектор обмежень.
Математична модель ЗЛП називається стандартноюякщо обмеження в ній представлені у вигляді лінійних нерівностей, а цільова функціямінімізується чи максимізується.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для приведення КЗЛП до СЗЛП шляхом перетворення матриці a до одиничної. При цьому можливі дві стандартні форми:

1. Перша стандартна форма ax b , F(X) → min.
2. Друга стандартна форма ax b , F(X) → max.

Інструкція. Виберіть кількість змінних та кількість рядків (кількість обмежень). Отримане рішення зберігається у файлі Word.

Як привести канонічне завдання лінійного програмування до стандартної форми
Привести до канонічної форми

Приклад. Дано основне завдання лінійного програмування. За допомогою елементарних перетвореньматриці коефіцієнтів системи обмежень привести завдання до стандартного вигляду та вирішити її геометричним методом або довести, що вона не має оптимального плану.

Розширена матриця системи обмежень-рівностей даного завдання:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

Наведемо систему до одиничної матриці методом жорданівських перетворень.
1. Як базову змінну вибираємо x 1 .
Роздільний елемент РЕ=1.
Рядок, що відповідає змінній x 1 отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x 1 на роздільний елемент РЕ=1

В інших клітинах стовпця х 1 записуємо нулі.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
СТЕ - елемент старого плану, РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. Як базову змінну вибираємо x 2 .
Роздільний елемент РЕ=-42.
Рядок, що відповідає змінній x 2 отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x 2 на дозвільний елемент РЕ=-42
На місці роздільного елемента отримуємо 1.
В інших клітинах стовпця x 2 записуємо нулі.
Решта елементів визначаються за правилом прямокутника.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Отримуємо нову матрицю:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. Як базову змінну вибираємо x 3 .
Роздільний елемент РЕ = -17/21.
Рядок, що відповідає змінній x 3 отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x 3 на роздільний елемент РЕ= -17 / 21
На місці роздільного елемента отримуємо 1.
В інших клітинах стовпця x 3 записуємо нулі.
Решта елементів визначаються за правилом прямокутника.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Отримуємо нову матрицю:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Оскільки в системі є одинична матриця, то як базові змінні приймаємо X = (1,2,3).
Відповідні рівняння мають вигляд:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Виразимо базисні змінні через інші:
x 1 = - 3/34 x 4+5/34 x 5+3 9/17
x 2 = 5/34 x 4+3/34 x 5+1 2/17
x 3 = - 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17
Підставимо їх у цільову функцію:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
або

Система нерівностей:
- 3/34 x 4+5/34 x 5+3 9/17 ≥ 0
5/34 x 4+3/34 x 5+1 2/17 ≥ 0
- 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17 ≥ 0
Наводимо систему нерівностей до такого виду:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Спростити систему.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x 1 + 11x 2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max

У вивченні теми про багаточлени окремо варто згадати, що багаточлени зустрічаються як стандартного, і не стандартного виду. При цьому багаточлен нестандартного виглядуможна привести до стандартного вигляду. Власне, це питання і розбиратимемо в цій статті. Закріпимо роз'яснення прикладами з докладним покроковим описом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сенс приведення багаточлена до стандартного вигляду

Трохи заглибимося в поняття, дія – «приведення багаточлена до стандартного вигляду».

Багаточлени, подібно до будь-яких інших виразів, можна тотожно перетворювати. Як підсумок, ми отримуємо у разі висловлювання, які тотожно рівні вихідному выражению.

Визначення 1

Привести багаточлен до стандартного вигляду– означає заміну вихідного многочлена на рівний йому багаточлен стандартного виду, отриманий вихідного многочлена з допомогою тотожних перетворень.

Спосіб приведення багаточлена до стандартного вигляду

Поміркуємо про те, які саме тотожні перетворення приведуть многочлен до стандартного виду.

Визначення 2

Згідно з визначенням, кожен багаточлен стандартного виду складається з одночленів стандартного виду і не має у своєму складі таких членів. Багаточлен ж нестандартного виду може включати одночлени нестандартного виду і подібні члени. Зі сказаного закономірно виводиться правило, що говорить про те, як привести багаточлен до стандартного вигляду:

• в першу чергу до стандартного виду наводяться одночлени, що становлять заданий багаточлен;
• потім проводиться приведення таких членів.

Приклади та рішення

Докладно розберемо приклади, в яких наведемо багаточлен до стандартного вигляду. Дотримуватимемося правила, виведеного вище.

Зазначимо, що іноді члени багаточлена у вихідному стані вже мають стандартний вигляд, і залишається лише навести таких членів. Трапляється, що після першого кроку дій не виявляється подібних членів, тоді другий крок пропускаємо. У загальних випадкахнеобхідно вчиняти обидві дії із правила вище.

Приклад 1

Задані багаточлени:

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,

0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 ,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Необхідно навести їх до стандартного вигляду.

Рішення

розглянемо спочатку багаточлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : його члени мають стандартний вигляд, подібні члени відсутні, отже багаточлен заданий у стандартному вигляді, і жодних додаткових дій не потрібно.

Тепер розберемо многочлен 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 . До його складу входять нестандартні одночлени: 2 · a 3 · 0 , 6 і − b · a · b 4 · b 5 , тобто. маємо необхідність привести багаточлен до стандартного вигляду, для чого першою дією перетворимо одночлени на стандартний вигляд:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , таким чином отримуємо наступний багаточлен:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 - a · b 10 .

В отриманому багаточлені всі члени – стандартні, подібних членів немає, отже наші дії щодо приведення багаточлена до стандартного вигляду завершені.

Розглянемо третій заданий багаточлен: 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8

Наведемо його члени до стандартного вигляду та отримаємо:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Ми, що у складі многочлена є такі члени, зробимо приведення таких членов:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = = 2 3 7 · x 2 - 1 6 7 · x 2 - 4 7 · x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 0 - x · y + 1 = x · y + 1

Таким чином, заданий багаточлен 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 набув стандартного вигляду − x · y + 1 .

Відповідь:

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1- багаточлен заданий стандартним;

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 - a · b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

У багатьох завданнях дія приведення багаточлена до стандартного виду – проміжна під час пошуку відповіді на задане питання. Розглянемо такий приклад.

Приклад 2

Заданий багаточлен 11-2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 · z 2 + z 3 . Необхідно привести його до стандартного вигляду, вказати його ступінь і розташувати члени заданого многочлена по спадних ступенях змінної.

Рішення

Наведемо члени заданого багаточлена до стандартного виду:

11-2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Наступним кроком наведемо такі члени:

11-2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 · z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2 = = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2

Ми отримали багаточлен стандартного виду, що дає нам можливість позначити ступінь багаточлена (рівна найбільшою мірою його одночленів). Очевидно, що ступінь, що шукається, дорівнює 5 .

Залишається тільки розмістити члени по спадних ступенях змінних. З цією метою ми просто переставимо місцями члени в отриманому багаточлен стандартного виду з урахуванням вимоги. Таким чином, отримаємо:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 .

Відповідь:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 , 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 , при цьому ступінь многочлена - 5; в результаті розташування членів багаточлена по спадних ступенях змінних многочлен набуде вигляду: z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter