Системи лінійних нерівностей. Основні поняття, розв'язання систем лінійних нерівностей

Системою нерівностейприйнято називати будь-яку сукупність двох або більше нерівностей, що містять невідому величину.

Наочно це формулювання ілюструють, наприклад, такі системи нерівностей:

Розв'язати систему нерівностей - означає знайти всі значення невідомої змінної, у яких реалізується кожна нерівність системи, чи довести, що таких немає .

Значить, для кожного окремого нерівності системиобчислюємо невідому змінну. Далі з значень вибирає тільки ті, які вірні і для першої і для другої нерівності. Отже, під час встановлення обраного значення обидві нерівності системи стають правильними.

Розберемо розв'язання кількох нерівностей:

Розмістимо одну під іншою пару числових прямих; на верхню нанесемо величину x, при яких перша нерівність ( x> 1) ставати вірним, але в нижньої—величину х, які є рішенням другої нерівності ( х> 4).

Зіставивши дані на числових прямих, відзначимо, що рішенням для обох нерівностейбуде х> 4. Відповідь, х> 4.

приклад 2.

Обчислюючи перше нерівністьотримуємо -3 х< -6, или x> 2, друге - х> -8, або х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х, за яких реалізується перше нерівність системи, а на нижню числову пряму, всі ті значення х, у яких реалізується друга нерівність системи.

Зіставивши дані, отримуємо, що обидва нерівностіреалізовуватимуться при всіх значеннях х, Розміщених від 2 до 8. Безліч значень хпозначаємо подвійною нерівністю 2 < х< 8.

приклад 3.Знайдемо

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шокомдля всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорятьі дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номерикупюр, отже їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри – це графічні символи, За допомогою яких ми записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї ж величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" в шістнадцятковій системіобчислення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Нерівності та системи нерівностей - це одна з тем, яка проходить у середній школіз алгебри. За рівнем складності вона є не найважчою, тому що має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, розв'язання систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще й з тим, що вчителі просто "натягують" своїх учнів на цю тему. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і надалі із застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОГЕ та ЄДІ. У шкільних підручникахтема, присвячена нерівностям і системам нерівностей, розкрита дуже докладно, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то найкраще вдатися саме до них. Ця стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівностей

Якщо звернутися до наукової мови, можна дати визначення поняття " система нерівностей " . Це така математична модель, яка є кілька нерівностей. Від даної моделі, звичайно ж, потрібно рішення, і в його якості виступатиме спільна відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай у ньому так і пишуть, наприклад: "Розв'яжіть систему нерівностей 4 x + 1 > 2 і 30 - x > 6...”). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще дещо розібратися.

Системи нерівностей та системи рівнянь

У процесі вивчення нової темидуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і скоріше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в "тіні", не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже здобутих знань можуть переплітатися з новими. Внаслідок такого "накладення" найчастіше трапляються помилки.

Тому перед тим як розпочати розбір нашої теми, слід згадати про відмінності рівнянь та нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що являють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чомусь рівне (в математиці це слово позначається знаком "="). Нерівність ж є такою моделлю, в якій одна величина або більша, або менша за іншу, або містить у собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, у першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало із самої назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей одна від одної практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність у тому, що у першому випадку використовуються рівності, тоді як у другому застосовуються нерівності.

Види нерівностей

Виділяють два види нерівностей: числові та з невідомою змінною. Перший тип є надані величини (цифри), нерівні один одному, наприклад, 8 > 10. Другий - це нерівності, що містять у собі невідому змінну (позначається будь-якою буквою латинського алфавіту, найчастіше X). Ця змінна вимагає свого знаходження. Залежно від того, скільки їх, у математичній моделі розрізняють нерівності з однією (складають систему нерівностей з однією змінною) або декількома змінними (складають систему нерівностей з кількома змінними).

Два останні види за рівнем своєї побудови та рівнем складності рішення діляться на прості та складні. Прості називають ще лінійними нерівностями. Вони, у свою чергу, поділяються на суворі та несуворі. Суворі конкретно "говорять", що одна величина обов'язково повинна бути або меншою, або більшою, тому це в чистому вигляді нерівність. Можна навести кілька прикладів: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 і т. д. Нестрогі включають ще й рівність. Тобто одна величина може бути більшою або дорівнює іншій величині (знак "≥") або менше або дорівнює іншій величині (знак "≤"). Ще в лінійних нерівностейах змінна не стоїть у корені, квадраті, не ділиться на що-небудь, через що вони називаються "простими". Складні включають невідомі змінні, знаходження яких вимагає виконання більшої кількостіматематичних операцій. Вони часто знаходяться у квадраті, кубі або під коренем, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими та ін. Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися у вирішенні систем нерівностей, ми поговоримо про систему лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати кілька слів про їхні властивості.

Властивості нерівностей

До властивостей нерівностей відносяться такі положення:

1. Знак нерівності змінюється на зворотний, якщо застосовується операція зі зміни сторін (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 2 ≥ t 1).
2. Обидві частини нерівності дозволяють додати себе одне й те число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 1 + число ≤ t 2 + число).
3. Дві та більше нерівностей, що мають знак одного напрямку, дозволяють складати їх ліві та праві частини (наприклад, якщо t 1 ≥ t 2 , t 3 ≥ t 4 , то t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
4. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме позитивне число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
5. Дві і більше нерівностей, що мають позитивні члени і знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 то t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме негативне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
7. Всі нерівності мають властивість транзитивності (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і t 2 ≤ t 3 , то t 1 ≤ t 3).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що стосується нерівностей, можна приступити безпосередньо до розгляду правил розв'язання їх систем.

Вирішення систем нерівностей. Загальні відомості. Способи вирішення

Як мовилося раніше вище, рішенням виступають значення змінної, відповідні всім нерівностей цієї системи. Рішення систем нерівностей - це здійснення математичних процесів, які в результаті призводять до вирішення всієї системи або доводять, що в неї рішень немає. У такому разі кажуть, що змінна відноситься до порожньої числової множини (записується так: літера, що позначає змінну∈ (знак "належить") ø (знак "порожнє безліч"), наприклад, x ∈ ø (читається так: "Змінна "ікс" належить порожній множині"). Вирізняють кілька способів розв'язання систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони відносяться до тих математичним моделямякі мають кілька невідомих змінних. У разі, коли є лише одна, підійде метод інтервалів.

Графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із кількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки цьому методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і почати подальші дії з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликого розмаїття. Однак даний методдеякі недолюблюють через те, що доводиться відриватися від завдання та перемикати свою розумову діяльність на малювання. Проте це дуже дієвий спосіб.

Щоб виконати розв'язання системи нерівностей за допомогою графічного способу, необхідно всі члени кожної нерівності перенести до їхньої лівої частини. Знаки зміняться на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожну нерівність окремо. У результаті нерівностей вийдуть функції. Після цього можна діставати олівець та лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Все безліч чисел, яке опиниться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

Алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із двома невідомими змінними. Також нерівності повинні мати однаковий знак нерівності (тобто зобов'язані містити або тільки знак "більше", або тільки знак "менше" тощо) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб до того ж і складніший. Він застосовується у двох етапах.

Перший включає себе дії з позбавлення однієї з невідомих змінних. Спочатку потрібно її вибрати, потім перевірити наявність чисел перед цієї змінної. Якщо їх немає (тоді змінна виглядатиме, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вигляд змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб у кожній нерівності число перед обраною змінною було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множник, наприклад, якщо в першій нерівності записано 3y, а в другій 5y, то необхідно всі члени першої нерівності помножити на 5, а другої - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно.

Другий етап розв'язання. Потрібно ліву частину кожної нерівності перенести до їхніх правих частин зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: порятунок від обраної змінної (по-іншому це називається "скорочення") під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яку необхідно вирішити. Після цього слід зробити те саме, тільки з іншою невідомою змінною. Отримані результати будуть рішенням системи.

Спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей за наявності можливості ввести нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна одному члені нерівності зведена в четверту ступінь, а іншому члені має квадрат. Таким чином, даний спосіб спрямований на зниження ступеня нерівностей у системі. Нерівність зразка х 4 - х 2 - 1 ≤ 0 даним способом вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х 2", далі модель переписують у новому вигляді. У нашому випадку вийде t 2 - t - 1 ≤0. Цю нерівність потрібно вирішити методом інтервалів (про неї трохи пізніше), потім повернутися до змінної X, потім виконати те саме з іншим нерівністю. Отримані відповіді будуть рішення системи.

Метод інтервалів

Це найпростіший спосіб розв'язання систем нерівностей, і водночас є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числовій прямій, що малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, є рішення системи. Щоб використати метод інтервалів, необхідно виконати такі кроки:

1. Усі члени кожної нерівності переносяться до лівої частини зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).
2. Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.
3. Знаходяться перетину нерівностей на числовій прямій. Усі числа, що знаходяться на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використати?

Очевидно той, який здається найлегшим та зручнішим, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати за допомогою графіка, або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або взагалі не використовуються, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовуються для вирішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків та інтервалів. Вони привносять наочність, яка може сприяти ефективному і швидкому проведенню математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми з алгебри, звісно, ​​можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний усвідомити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою вирішення типових завдань. У нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Розв'яжіть систему нерівностей 3 x + 1 ≥ 0 і 2 x - 1 > 3". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей та практика допомагають у розумінні будь-якої складної теми.

Решник?

А ще дуже добре підійде ґедзь, тільки не для списування домашніх завдань, а для самодопомоги. У них можна знайти системи нерівностей із рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався із поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

Висновки

Алгебра – це один із найскладніших предметів у школі. Ну що ж тут вдієш? Математика завжди була такою: комусь вона дається легко, а комусь важко. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програма побудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них були згадані вище.

Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги та посидючості, це вирішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно відрізняються від них. Тому що до їхнього вирішення потрібен особливий підхід.

Властивості, які потрібні для знаходження відповіді

Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявний запис рівносильним. Більшість їх схожа на те, що було в рівняннях. Але є й відмінності.

• Функцію, визначену в ОДЗ, або будь-яке число можна додати до обох частин вихідної нерівності.
• Аналогічним чином можливе множення, але тільки позитивну функцію чи число.
• Якщо це дію виконується з негативними функцією чи числом, то знак нерівності слід замінити протилежний.
• Функції, які є невід'ємними, можна зводити на позитивний ступінь.

Іноді вирішення нерівностей супроводжується діями, що дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши область ОДЗ та безліч рішень.

Використання методу інтервалів

Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.

1. Визначити область, де лежать допустимі значення змінних, тобто ОДЗ.
2. Перетворити нерівність з допомогою математичних операцій те щоб його правої частини стояв нуль.
3. Знак нерівності замінити на "=" і розв'язати відповідне рівняння.
4. На числовій осі відзначити всі відповіді, які вийшли під час рішення, а також інтервали ОДЗ. При суворій нерівності точки потрібно намалювати виколотими. Якщо є знак рівності, їх потрібно зафарбувати.
5. Визначити знак вихідної функції на кожному інтервалі, що вийшов з точок ОДЗ і відповідей, що ділять його. Якщо під час переходу через точку знак функції не змінюється, вона входить у відповідь. Інакше виключається.
6. Граничні для ОДЗ точки потрібно додатково перевірити і потім вмикати чи ні у відповідь.
7. Відповідь, яку виходить, потрібно записати у вигляді об'єднаних множин.

Трохи про подвійні нерівності

Вони використовують у записі одразу два знаки нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами одразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система із двох, коли вихідне розбито на частини. І методі інтервалів вказуються відповіді рішення обох рівнянь.

Для їх вирішення також можна використовувати властивості, зазначені вище. З їхньою допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.

Як справи з нерівностями, в яких є модуль?

І тут рішення нерівностей використовує такі властивості, причому вони справедливі для позитивного значення «а».

Якщо «х» приймає вираз алгебри, то справедливі такі заміни:

• |х|< a на -a < х < a;
• |х| > a на х< -a или х >a.

Якщо нерівності несуворі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з'являється "=".

Як здійснюється розв'язання системи нерівностей?

Це знання знадобиться у випадках, коли дано таке завдання чи є запис подвійного нерівності чи запису з'явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які б задовольняли всім нерівностям, що є в записі. Якщо таких чисел немає, система рішень немає.

План, яким виконується розв'язання системи нерівностей:

• вирішити кожне з них окремо;
• зобразити на числовій осі всі інтервали та визначити їх перетин;
• записати відповідь системи, яка і буде об'єднанням того, що вийшло у другому пункті.

Як бути з дрібними нерівностями?

Оскільки під час їх розв'язання може знадобитися зміна знака нерівності, потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежна відповідь.

Рішення дробових нерівностейтакож використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:

• Використовуючи описані властивості, надати дробу такий вигляд, щоб праворуч від знака залишився лише нуль.
• Замінити нерівність на «=» і визначити точки, в яких функція дорівнюватиме нулю.
• Відзначити їх на координатній осі. При цьому числа, що вийшли в результаті розрахунків у знаменнику, завжди виколоти. Усі інші — з умови нерівності.
• Визначити інтервали знаковості.
• У відповідь записати об'єднання тих проміжків, знак яких відповідає тому, що був у вихідній нерівності.

Ситуації, коли у нерівності з'являється ірраціональність

Іншими словами, в записі є математичний корінь. Оскільки в шкільному курсі алгебри більша частина завдань йде для квадратного кореня, саме він і буде розглянутий.

Вирішення ірраціональних нерівностей зводиться до того, щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильними вихідному.

Приклади розв'язання різних видів нерівностей

Для того щоб додати наочності в теорію для розв'язання нерівностей, наведені нижче приклади.

Перший приклад. 2х - 4> 1 + х

Рішення: щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Воно утворено з лінійних функційтому визначено при всіх значеннях змінної.

Тепер із обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х) > 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні складові нерівність набуде такого вигляду: х - 5 > 0.

Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: x = 5.

Тепер цю точку з цифрою 5 потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшла після перетворень. Після розрахунків виходить -7> 0. під дугою інтервалу слід підписати знак мінуса.

На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1 > 0. Під дугою підписано знак +. Цей другий інтервал буде відповіддю нерівності.

Відповідь: x лежить в інтервалі (5; ∞).

Другий приклад. Потрібно вирішити систему двох рівнянь: 3х + 3 ≤ 2х + 1 та 3х - 2 ≤ 4х + 2.

Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить у сфері будь-яких чисел, оскільки дано лінійні функції.

Друга нерівність набуде вигляду такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 =0. З нього виходить значення для змінної, що дорівнює -4.

Ці два числа слід відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність несувора, то всі точки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде обрано число -5. Перша нерівність дасть значення -3, а друга 1. Отже, цей проміжок не входить у відповідь.

Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому та у другому виходить значення -1. Значить, під дугою "-".

На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і слід підставити і знайти значення нерівностей. У першому виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок також потрібно виключити з відповіді.

Із трьох інтервалів розв'язанням нерівності є лише один.

Відповідь: x належить [-4; -2].

Третій приклад. |1 - x| > 2 | x - 1 |.

Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, у яких функції звертаються у нуль. Для лівого цим числом буде 2, для правого — 1. їх слід зазначити на промені та визначити проміжки знакопостійності.

На першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності приймає позитивні значення, та якщо з правої — негативні. Під дугою потрібно записати поруч два знаки "+" та "-".

Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції набувають позитивних значень. Значить, під дугою два плюси.

Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція – негативна, права – позитивна.

З урахуванням отриманих знаків необхідно обчислити значення нерівності всім проміжків.

У першому виходить така нерівність: 2 - х > - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою у другій нерівності вийшов через те, що ця функція є негативною.

Після перетворення нерівність виглядає так: х > 0. Воно відразу дає значення змінної. Тобто із цього інтервалу у відповідь піде лише проміжок від 0 до 1.

На другому: 2 – х > 2 (х – 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше за нуль. Його нулем буде значення x = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що їх має бути менше цього числа. Це інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.

Останній дає такий запис нерівності: - (2 – х) > 2 (х – 1). Його перетворення призводить до такого: -х > 0. Тобто рівняння вірно при меншому нуля. Це означає, що на проміжку, що шукається, нерівність не дає рішень.

На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідну нерівність. Виходить: | 2 - 1 | > 2 |1 - 1|. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.

Відповідь: x лежить у проміжку (0; 4/3).

У цій статті зібрано початкову інформацію про системи нерівностей. Тут дано визначення системи нерівностей та визначення розв'язання системи нерівностей. А також перераховані основні види систем, з якими найчастіше доводиться працювати на уроках алгебри у школі, та наведено приклади.

Навігація на сторінці.

Що таке система нерівностей?

Системи нерівностей зручно визначити аналогічно тому, як ми вводили визначення системи рівнянь , тобто, за записом і змістом, вкладеним у неї.

Визначення.

Система нерівностей- Це запис, що представляє собою деяке число записаних один під одним нерівностей, об'єднаних зліва фігурною дужкою, і позначає безліч всіх рішень, що є одночасно рішеннями кожної нерівності системи.

Наведемо приклад системи нерівностей. Візьмемо два довільні , наприклад, 2·x−3>0 і 5−x≥4·x−11 , запишемо їх одне під іншим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
і об'єднаємо знаком системи - фігурною дужкою, в результаті отримаємо систему нерівностей такого виду:

Аналогічно дається уявлення про системи нерівностей у шкільних підручниках. Варто зазначити, що в них визначення даються більш вузько: для нерівностей з однією змінною або з двома змінними.

Основні види систем нерівностей

Зрозуміло, що можна скласти нескінченно багато різних системнерівностей. Щоб не заблукати в цьому різноманітті, їх доцільно розглядати за групами, які мають свої відмінні ознаки. Усі системи нерівностей можна розбити на групи за такими критеріями:

• за кількістю нерівностей у системі;
• за кількістю змінних, що у записи;
• на вигляд самих нерівностей.

За кількістю нерівностей, що входять до запису, розрізняють системи двох, трьох, чотирьох і т.д. нерівностей. У попередньому пункті ми навели приклад системи, яка є системою двох нерівностей. Покажемо ще приклад системи чотирьох нерівностей .

Окремо скажемо, що немає сенсу говорити про систему однієї нерівності, в цьому випадку насправді мова йдепро саму нерівність, а не про систему.

Якщо дивитися на кількість змінних, то мають місце системи нерівностей з однією, двома, трьома тощо. змінними (або, як ще кажуть, невідомими). Подивіться на останню систему нерівностей, записану двома абзацами вище. Це система з трьома змінними x, y та z. Зверніть увагу, що її дві перші нерівності містять не всі три змінні, а лише по одній із них. У контексті цієї системи їх варто розуміти як нерівності з трьома змінними видами x+0·y+0·z≥−2 та 0·x+y+0·z≤5 відповідно. Зауважимо, що у школі основна увага приділяється нерівностям з однією змінною.

Залишилося обговорити, які види нерівностей беруть участь у записі систем. У школі в основному розглядають системи двох нерівностей (рідше - трьох, ще рідше - чотирьох і більше) з однією або двома змінними, причому самі нерівності зазвичай є цілими нерівностямипершого або другого ступеня (рідше – більше високих ступенівабо дрібно раціональними). Але не дивуйтеся, якщо в матеріалах з підготовки до ОДЕ зіткнетеся з системами нерівностей, що містять ірраціональні, логарифмічні, показові та інші нерівності. Як приклад наведемо систему нерівностей , Вона взята з .

Що називається розв'язанням системи нерівностей?

Введемо ще одне визначення, пов'язане із системами нерівностей, - визначення розв'язання системи нерівностей:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей з однією змінноюназивається таке значення змінної, що звертає кожну з нерівностей системи у вірне, іншими словами, є рішенням кожної нерівності системи.

Пояснимо на прикладі. Візьмемо систему двох нерівностей з однією змінною. Візьмемо значення змінної x , що дорівнює 8 , воно є рішенням нашої системи нерівностей за визначенням, так як його підстановка в нерівності системи дає дві вірні числові нерівності 8>7 і 2-3·8≤0 . Навпаки, одиниця не є рішенням системи, тому що при її підстановці замість змінної x перша нерівність звернеться в неправильну числову нерівність 1>7.

Аналогічно можна запровадити визначення розв'язання системи нерівностей із двома, трьома та більшою кількістю змінних:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей із двома, трьома тощо. змінниминазивається пара, трійка і т.д. значень цих змінних, яка одночасно є розв'язком кожної нерівності системи, тобто, звертає кожну нерівність системи у правильну числову нерівність.

Наприклад, пара значень x=1 , y=2 чи іншого запису (1, 2) є рішенням системи нерівностей з двома змінними , оскільки 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системи нерівностей можуть мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, а можуть мати і безліч рішень. Часто говорять про безліч розв'язків системи нерівностей. Коли система немає рішень, має місце порожня безліч її рішень. Коли рішень кінцеве число, безліч рішень містить кінцеве число елементів, а коли рішень нескінченно багато, то і безліч рішень складається з нескінченного числа елементів.

У деяких джерелах вводяться визначення приватного та загального розв'язання системи нерівностей, як, наприклад, у підручниках Мордковича. Під приватним розв'язанням системи нерівностейрозуміють її одне окремо взяте рішення. В свою чергу загальне рішення системи нерівностей- це її приватні рішення. Однак у цих термінах є сенс лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, про яке рішення йдеться, але зазвичай це і так зрозуміло з контексту, тому набагато частіше говорять просто «вирішення системи нерівностей».

З введених у цій статті визначень системи нерівностей та її рішень випливає, що розв'язання системи нерівностей є перетином безлічі рішень усіх нерівностей цієї системи.

Список літератури.

1. Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЄДІ-2013. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 30 варіантів/за ред. А. Л. Семенова, І. В. Ященко. - М.: Видавництво «Національна освіта», 2012. - 192 с. – (ЄДІ-2013. ФІПД – школі).