Як вирішувати дробові нерівності із модулем. Вирішення нерівностей з модулями

додаток

Вирішення нерівностей онлайн на Math24.biz для закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу. І тренування своїх практичних навичок. Нерівність в математиці - твердження про відносну величину або порядок двох об'єктів (один з об'єктів менший або не більший за інший), або про те, що два об'єкти не однакові (заперечення рівності). В елементарній математиці вивчають числові нерівності, у загальній алгебрі, аналізі, геометрії розглядаються нерівності також між об'єктами нечислової природи. Для вирішення нерівності обов'язково мають бути визначені обидві її частини з одним із знаків нерівності між ними. Суворі нерівності мають на увазі нерівність двох об'єктів. На відміну від суворих, несуворі нерівності допускають рівність об'єктів, що до нього входять. Лінійні нерівності є найпростішими з точки зору початку вивчення виразу, і для вирішення таких нерівностей використовуються прості методики. Головна помилкаучнів у вирішенні нерівностей онлайн у тому, що вони не розрізняють особливість суворої та не суворої нерівності, від чого залежить чи увійдуть граничні значення у кінцеву відповідь. Декілька нерівностей, пов'язаних між собою кількома невідомими, називають системою нерівностей. Розв'язанням нерівностей із системи є певна область на площині, або об'ємна фігурау тривимірному просторі. Поряд із цим абстрагуються n-мірними просторами, проте при вирішенні таких нерівностей часто не обійтися без спеціальних обчислювальних машин. Для кожної нерівності окремо необхідно визначити значення невідомого на межах області рішення. Багато рішень нерівності і є його відповіддю. Заміна однієї нерівності рівносильною йому іншою нерівністю називається рівносильним переходом від однієї нерівності до іншої. Аналогічний підхід зустрічається і в інших дисциплінах, тому що допомагає привести вираз до стандартного вигляду. Ви гідно оціните всі переваги вирішення нерівностей онлайн на нашому сайті. Нерівність - це вираз, що містить один із знаків =>. По суті, це логічний вираз. Воно може бути або вірним, або ні - залежно від того, що стоїть праворуч і ліворуч у цій нерівності. Роз'яснення сенсу нерівності та основні прийоми розв'язання нерівностей вивчаються на різних курсах, а також у школі. Вирішення будь-яких нерівностей онлайн - нерівності з модулем, алгебраїчні, тригонометричні, трансцендентні нерівності онлайн. Тотожна нерівність, як суворі та нестрогі нерівності, спрощують процес досягнення кінцевого результату, є допоміжним інструментомдля вирішення поставленого завдання. Розв'язання будь-яких нерівностей і систем нерівностей, будь то логарифмічні, показові, тригонометричні або квадратних нерівностей, забезпечується за допомогою спочатку правильного підходудо цього важливого процесу. Вирішення нерівностей онлайн на сайті сайт завжди доступне всім користувачам і абсолютно безкоштовно. Розв'язаннями нерівності з однією змінною називаються значення змінної, які перетворюють їх у правильне числове вираз. Рівняння та нерівності з модулем: модуль дійсного числа – це абсолютна величина цього числа. Стандартний спосіб розв'язання цих нерівностей полягає у зведенні обох частин нерівності в необхідний ступінь. Нерівності – це вирази, що вказують на порівняння чисел, тому грамотне розв'язання нерівностей забезпечує точність таких порівнянь. Вони бувають строгими (більше, менше) і нестрогими (більше або одно, менше або одно). Розв'язати нерівність – отже знайти всі значення змінних, які за підстановці у вихідне вираз перетворюють їх у правильне числове уявлення. Основні властивості числових нерівностей, які застосовуються до всіх об'єктів даного класу, обов'язково повинні бути вивчені учнями початковому етапі ознайомлення з цією темою. Нерівності та проміжки числової прямої дуже тісно пов'язані, коли йдеться про розв'язання нерівностей онлайн. Графічне позначення розв'язання нерівності наочно показує суть такого виразу, стає зрозуміло чого слід прагнути при вирішенні будь-якої поставленої задачі. В основу поняття нерівності входить порівняння двох чи кількох об'єктів. Нерівності, що містять змінну, вирішуються як аналогічно складені рівняння, після чого проводиться вибірка інтервалів, які будуть прийняті за відповідь. Будь-яку алгебраїчну нерівність, тригонометричну нерівність або нерівності, що містять трансцендентні функції, ви з легкістю і миттєво зможете вирішити, використовуючи наш безкоштовний сервіс. Число є рішенням нерівності, якщо при підстановці цього числа замість змінної отримуємо вірний вираз, тобто знак нерівності показує справжнє поняття. Вирішення нерівностей онлайн на сайт щодня для повноцінного вивчення студентами пройденого матеріалу та закріплення своїх практичних навичок. Найчастіше тема нерівності онлайн у математиці вивчається школярами після проходження розділу рівнянь. Як і належить застосовуються всі принципи при вирішенні, щоб визначити інтервали рішень. Знайти в аналітичному вигляді відповідь буває складніше, ніж зробити те саме, але в числовому вигляді. Однак такий підхід дає більш наочне та повне уявлення про цілісність розв'язання нерівності. Складність може виникнути на етапі побудови лінії абсцис та нанесення точок розв'язання однотипного рівняння. Після цього рішення нерівностей зводиться до визначення знака функції на кожному виявленому інтервалі з метою визначення зростання або зменшення функції. Для цього необхідно по черзі підставляти до значень, укладених усередині кожного інтервалу, у вихідну функцію та перевіряти її значення на позитивність чи негативність. У цьому є суть знаходження всіх рішень, зокрема інтервалів рішень. Коли ви вирішите нерівність і побачите всі інтервали з рішеннями, то зрозумієте, наскільки застосуємо такий підхід для подальших дій. Сайт сайт пропонує вам перевіряти свої результати обчислень за допомогою потужного сучасного калькулятора на цій сторінці. Ви зможете з легкістю виявити неточності та недоліки у своїх розрахунках, використовуючи унікальний ґрат нерівностей. Студенти часто запитують, де знайти такий корисний ресурс? Завдяки інноваційному підходу до можливості визначення потреб інженерів, калькулятор створено на базі потужних обчислювальних серверів з використанням нових технологій. По суті рішення нерівностей онлайн полягає у вирішенні рівняння з обчисленням усіх можливих коренів. Отримані рішення відзначаються на прямий, а далі проводиться стандартна операція визначення значення функції на кожному проміжку. А що ж робити, якщо коріння рівняння виходить комплексним, як у цьому випадку вирішити нерівність у повній формі, яке б задовольняло всі правила написання результату? Відповідь на це та багато інших питань легко дасть наш сервіс сайт, для якого немає нічого неможливого у вирішенні математичних завданьонлайн. На користь вищесказаного додамо таке: кожен, хто всерйоз займається вивченням такою дисципліною як математика, має вивчити тему нерівностей. Нерівності бувають різних типів і вирішити нерівність онлайн часом зробити непросто, оскільки необхідно знати принципи підходів до кожного з них. На цьому базується основа успіху та стабільності. Наприклад, можна розглянути такі типи, як логарифмічні нерівностічи трансцендентні нерівності. Це взагалі особливий вид таких складних на перший погляд завдань для студентів, тим більше для школярів. Викладачі інститутів приділяють чимало часу з підготовки практикантів задля досягнення професійних навичок у роботі. До таких же типів віднесемо тригонометричні нерівності та позначимо загальний підхід при вирішенні множини практичних прикладівіз постановочної задачі. У ряді випадків спочатку потрібно привести все до рівняння, спростити його, розкласти на різні множники, привести до цілком наочного вигляду. За всіх часів людство прагнуло знайти оптимальний підхід у будь-яких починаннях. Завдяки сучасним технологіям, людство зробило просто величезний прорив у майбутнє свого розвитку. Інновації все частіше і частіше, щодня вливаються в наше життя. В основу обчислювальної технікилягла, зрозуміло, математика зі своїми принципами та суворим підходом до справи. сайт є загальним математичним ресурсом, в якому є розроблений калькулятор нерівностей і багато інших корисних сервісів. Використовуйте наш сайт і у вас буде впевненість у правильності вирішених завдань. З теорії відомо, що об'єкти нечислової природи також вивчаються нерівностями онлайн, тільки цей підхід є особливий спосібвивчення даного розділу в алгебрі, геометрії та інших напрямках математики Вирішувати нерівності можна по-різному, незмінним залишається кінцева перевірка рішень і найкраще це робити прямою підстановкою значень у саму нерівність. У багатьох випадках отримана відповідь очевидна і її легко перевірити в умі. Припустимо нам задано вирішити дробову нерівність, в якій присутні шукані змінні в знаменниках дробових виразів. Тоді розв'язання нерівностей зведеться до приведення всіх доданків до спільного знаменника, попередньо перемістивши все в ліву і праву частинунерівності. Далі потрібно вирішити однорідне рівняння, отриманий у знаменнику дробу. Ці числові коріння будуть точками, не включеними в інтервали загального рішення нерівності, або їх ще називають - проколоті точки, в яких функція звертається в нескінченність, тобто функція не визначена, а можна тільки отримати її граничне значення в цій точці. Вирішивши отримане в чисельнику рівняння, усі крапки нанесемо на числову вісь. Заштрихуємо ті точки, в яких чисельник дробу звертаємось у нуль. Відповідно всі інші точки залишаємо порожніми або проколотими. Знайдемо знак дробу кожному інтервалі і після цього випишемо остаточну відповідь. Якщо на межах інтервалу будуть заштриховані точки, тоді включаємо ці значення в рішення. Якщо на межі інтервалу будуть проколоті точки - ці значення до рішення не включаємо. Після того, як вирішите нерівність, вам потрібно буде обов'язково перевірити отриманий результат. Можна це зробити руками, кожне значення з інтервалів відповіді по черзі підставити у початковий вираз і виявити помилки. Сайт сайт з легкістю видасть вам усі рішення нерівності, і ви відразу порівняєте отримані вами та калькулятором відповіді. Якщо все-таки помилка буде мати місце, то на нашому ресурсі вирішення нерівностей онлайн виявиться вам дуже корисним. Рекомендуємо всім студентам спочатку приступати не до вирішення безпосередньо нерівності, а спочатку отримати результат на сайт, тому що надалі буде набагато простіше зробити правильний розрахунок. У текстових завданнях завжди рішення зводиться до складання системи нерівностей з кількома невідомими. Вирішити нерівність онлайн за лічені секунди допоможе наш ресурс. При цьому рішення буде вироблено потужною обчислювальною програмою з високою точністю і без жодних похибок у кінцевій відповіді. Тим самим ви зможете заощадити колосальну кількість часу на розв'язанні калькулятором прикладів. У ряді випадків школярі відчувають труднощі, коли на практиці чи в лабораторні роботизустрічають логарифмічні нерівності, а ще гірше, коли бачать перед собою тригонометричні нерівності зі складними дробовими виразами із синусами, косинусами або взагалі із зворотними тригонометричними функціями. Як не крути, але без допомоги калькулятора нерівностей впоратися буде дуже складно і не виключені помилки на будь-якому етапі розв'язання задачі. Користуйтеся сайтом абсолютно безкоштовно, він доступний кожному користувачеві щодня. Починати діяти з нашого сервісу-помічника дуже хороша ідеяОскільки аналогів існує безліч, а по-справжньому якісних сервісів одиниці. Ми гарантуємо точність обчислень при тривалості пошуку відповіді за кілька секунд. Від вас потрібно лише записати нерівності онлайн, а ми, у свою чергу, відразу надамо вам точний результат вирішення нерівності. Шукати подібний ресурс може виявитися безглуздим заняттям, оскільки навряд чи ви зустрінете такий самий якісний сервіс, як у нас. Можна обійтися без теорії про вирішення нерівностей онлайн, але без якісного та швидкого калькулятора вам не обійтись. Бажаємо вам успіхів у навчанні! По-справжньому вибрати оптимальне рішення нерівності онлайн часто пов'язане з логічним підходом випадкової величини. Якщо знехтувати малим відхиленням замкнутого поля, то вектор наростаючого значення пропорційний найменшому значеннюна проміжку зменшення лінії ординат. Інваріант пропорційний дворазовому збільшенню функцій, що відображаються поряд з вихідним ненульовим вектором. Найкраща відповідь завжди містить точність обчислень. Наше вирішення нерівностей набуде вигляду однорідної функції послідовно пов'язаних числових підмножин головного напряму. За перший інтервал візьмемо якраз найгірше значення нашого уявлення змінної. Обчислимо на максимальне відхилення попередній вираз. Будемо користуватися сервісом на розсуд запропонованих варіантів у міру потреби. Чи буде знайдено рішення нерівностей онлайн за допомогою гарного у своєму класі калькулятора - це риторичне питання, зрозуміло, студентам такий інструмент піде тільки на користь і принесе величезний успіх у математиці. Накладемо обмеження область з безліччю, яке зведемо до елементів із сприйняттям імпульсів по напрузі. Фізичні значення таких екстремумів математично описують зростання та спадання шматково-безперервних функцій. На протязі всього шляху вчені знаходили докази існування елементів на різних рівняхвивчення. Розташуємо всі послідовно підмножини одного комплексного простору в один ряд з такими об'єктами, як куля, куб або циліндр. З нашого результату можна зробити однозначний висновок і коли вирішите нерівність, то на виході, безумовно, проллється світло на математичне припущення про інтеграцію методу на практиці. У поточному стані речей необхідна умова буде також і достатньою умовою. Критерії невизначеності найчастіше викликають у студентів розбіжності через недостовірні дані. Це недогляд мають взяти він викладачі ВНЗ, і навіть вчителі у школах, оскільки на початковому етапі навчання необхідно це теж враховувати. Зі сказаного вище висновку з погляду досвідчених людей можна робити висновки, що вирішити нерівність онлайн дуже складне завдання при входженні в нерівність невідомих різного типуданих. Про це сказано на науковій конференції у західному окрузі, на якій висували різні обґрунтування з приводу наукових відкриттів у галузі математики та фізики, а також молекулярного аналізу біологічно влаштованих систем. У знаходженні оптимального рішення абсолютно всі логарифмічні нерівності є науковою цінністю для всього людства. Досліджуємо даний підхід щодо логічних висновків з низки розбіжностей на вищому рівніпонять про існуючий об'єкт. Логіка нагадує інше, ніж видно на перший погляд недосвідченому студенту. Через виникнення масштабних аналогій, раціонально спочатку прирівняти відносини до різниці предметів досліджуваної області, та був показати практично наявність загального аналітичного результату. Вирішення нерівностей абсолютним чином зав'язане на застосуванні теорії і буде важливо для кожного вивчити такий необхідний для подальших досліджень розділ математики. Однак, при розв'язанні нерівностей вам потрібно знайти все коріння складеного рівняння, а потім нанести всі точки на вісь ординат. Деякі точки будуть проколоті, а решта увійдуть в інтервали з загальним рішенням. Почнемо вивчати розділ математики з азів найважливішої дисципліни шкільної програми. Якщо тригонометричні нерівності є невід'ємною частиною текстового завдання, то застосовувати ресурс для обчислення відповіді просто необхідно. Введіть ліву та праву частини нерівності коректно, натисніть на кнопку та отримайте результат протягом кількох секунд. Для швидких і точних математичних обчислень з числовими чи символьними коефіцієнтами перед невідомими вам як завжди знадобиться універсальний калькулятор нерівностей і рівнянь, який зможе за лічені секунди надати відповідь на поставлене вами завдання. Якщо у вас немає часу на написання цілого ряду письмових вправ, то обґрунтованість сервісу незаперечна навіть неозброєним оком. Для студентів такий підхід є більш оптимальним та виправданим з погляду економії матеріальних ресурсів та часу. Навпроти катета лежить кут, а для його вимірювання необхідний циркуль, але ви зможете будь-якої миті скористатися підказками і вирішите нерівність не застосовуючи жодних формул приведення. Чи означає це успішне завершення розпочатої дії? Однозначно відповідь буде позитивною.

Модулем числаназивається саме це число, якщо воно не негативне, або це число з протилежним знаком, якщо воно негативне.

Наприклад, модулем числа 6 є 6, модулем числа -6 також 6.

Тобто, під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.

Позначається так: |6|, | х|, |а| і т.д.

(Докладніше - у розділі «Модуль числа»).

Рівняння із модулем.

Приклад 1 . Вирішити рівняння|10 х - 5| = 15.

Рішення.

Відповідно до правила, рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

10х - 5 = 15
10х - 5 = -15

Вирішуємо:

10х = 15 + 5 = 20
10х = -15 + 5 = -10

х = 20: 10
х = -10: 10

х = 2
х = -1

Відповідь: х 1 = 2, х 2 = -1.

Приклад 2 . Вирішити рівняння|2 х + 1| = х + 2.

Рішення.

Оскільки модуль – число невід'ємне, то х+ 2 ≥ 0. Відповідно:

х ≥ -2.

Складаємо два рівняння:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -(х + 2)

Вирішуємо:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -х - 2

2х - х = 2 - 1
2х + х = -2 - 1

х = 1
х = -1

Обидва числа більші за -2. Отже, обидва є корінням рівняння.

Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1.

Приклад 3 . Вирішити рівняння

|х + 3| - 1
————— = 4
х - 1

Рішення.

Рівняння має сенс, якщо знаменник не дорівнює нулю - отже, якщо х≠ 1. Врахуємо цю умову. Наша перша дія проста - не просто звільняємося від дробу, а перетворюємо її так, щоб отримати модуль у чистому вигляді:

|х+ 3 | - 1 = 4 · ( х - 1),

|х + 3| - 1 = 4х - 4,

|х + 3| = 4х - 4 + 1,

|х + 3| = 4х - 3.

Тепер у нас у лівій частині рівняння лише вираз під модулем. Йдемо далі.
Модуль числа є невід'ємним числом - тобто він повинен бути більше нуля або дорівнює нулю. Відповідно, вирішуємо нерівність:

4х - 3 ≥ 0

4х ≥ 3

х ≥ 3/4

Таким чином, у нас з'явилася друга умова: корінь рівняння має бути не меншим за 3/4.

Відповідно до правила, складаємо сукупність двох рівнянь та вирішуємо їх:

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -(4х - 3)

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -4х + 3

х - 4х = -3 - 3
х + 4х = 3 - 3

х = 2
х = 0

Ми отримали дві відповіді. Перевіримо, чи є вони корінням вихідного рівняння.

У нас було дві умови: корінь рівняння не може дорівнювати 1, і він повинен бути не менше 3/4. Тобто х ≠ 1, х≥ 3/4. Обом цим умовам відповідає лише одна з двох отриманих відповідей - число 2. Отже, тільки воно і є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: х = 2.

Нерівності із модулем.

Приклад 1 . Розв'язати нерівність| х - 3| < 4

Рішення.

Правило модуля свідчить:

|а| = а, якщо а ≥ 0.

|а| = -а, якщо а < 0.

Модуль може мати і негативне, і негативне число. Отже, ми повинні розглянути обидва випадки: х- 3 ≥ 0 та х - 3 < 0.

1) При х- 3 ≥ 0 наша вихідна нерівність залишається як є, тільки без знаку модуля:
х - 3 < 4.

2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(х - 3) < 4.

Розкривши дужки, отримуємо:

-х + 3 < 4.

Таким чином, від цих двох умов ми дійшли об'єднання двох систем нерівностей:

х - 3 ≥ 0
х - 3 < 4

х - 3 < 0
-х + 3 < 4

Вирішимо їх:

х ≥ 3
х < 7

х < 3
х > -1

Отже, у нас у відповіді об'єднання двох множин:

3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.

Визначаємо найменше та найбільше значення. Це -1 та 7. При цьому хбільше -1 але менше 7.
Крім того, х≥ 3. Отже, розв'язанням нерівності є вся множина чисел від -1 до 7, виключаючи ці крайні числа.

Відповідь: -1 < х < 7.

Або: х ∈ (-1; 7).

Доповнення.

1) Є більш простий та короткий спосіб розв'язання нашої нерівності – графічний. Для цього треба намалювати горизонтальну вісь (рис.1).

Вираз | х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки хдо точки 3 менше чотирьох одиниць. Відзначаємо на осі число 3 і відраховуємо вліво та вправо від нього 4 поділу. Зліва ми прийдемо до точки -1, праворуч - до точки 7. Таким чином, точки хми просто побачили, не рахуючи їх.

При цьому, згідно з умовою нерівності, самі -1 ​​і 7 не включені до множини рішень. Таким чином, отримуємо відповідь:

1 < х < 7.

2) Але є ще одне рішення, яке простіше навіть графічного способу. Для цього нашу нерівність треба представити у такому вигляді:

4 < х - 3 < 4.

Адже так воно і є за правилом модуля. Невід'ємне число 4 та аналогічне від'ємне число -4 є межами розв'язання нерівності.

4 + 3 < х < 4 + 3

1 < х < 7.

Приклад 2 . Розв'язати нерівність| х - 2| ≥ 5

Рішення.

Цей приклад суттєво відрізняється від попереднього. Ліва частина більше 5 або дорівнює 5. геометричної точкизору, рішенням нерівності є всі числа, які від точки 2 відстоять з відривом 5 одиниць і більше (рис.2). За графіком видно, що це всі числа, які менші або рівні -3 і більше або рівні 7. Отже, ми вже отримали відповідь.

Відповідь: -3 ≥ х ≥ 7.

Принагідно вирішимо це нерівність способом перестановки вільного члена вліво і вправо з протилежним знаком:

5 ≥ х - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2

Відповідь та сама: -3 ≥ х ≥ 7.

Або: х ∈ [-3; 7]

Приклад вирішено.

Приклад 3 . Розв'язати нерівність 6 х 2 - | х| - 2 ≤ 0

Рішення.

Число хможе бути і позитивним числом, і негативним, і банкрутом. Тому нам треба врахувати усі три обставини. Як ви знаєте, вони враховуються у двох нерівностях: х≥ 0 та х < 0. При х≥ 0 ми просто переписуємо нашу вихідну нерівність як є тільки без знака модуля:

6х 2 - х - 2 ≤ 0.

Тепер про другий випадок: якщо х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6х 2 - (-х) - 2 ≤ 0.

Розкриваємо дужки:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Таким чином, ми отримали дві системи рівнянь:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х < 0

Потрібно вирішити нерівності в системах - а це означає, треба знайти коріння двох квадратних рівнянь. Для цього прирівняємо ліві частини нерівностей до нуля.

Почнемо з першого:

6х 2 - х - 2 = 0.

Як вирішується квадратне рівняння- див. розділ "Квадратне рівняння". Ми ж одразу назвемо відповідь:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

З першої системи нерівностей ми отримуємо, що рішенням вихідної нерівності є безліч чисел від -1/2 до 2/3. Пишемо об'єднання рішень при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Тепер вирішимо друге квадратне рівняння:

6х 2 + х - 2 = 0.

Його коріння:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Висновок: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Об'єднаємо дві відповіді і отримаємо підсумкову відповідь: рішенням є безліч чисел від -2/3 до 2/3, включаючи і ці крайні числа.

Відповідь: -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Або: х ∈ [-2/3; 2/3].

Сьогодні, друзі, не буде жодних соплів та сентиментів. Замість них я без зайвих питань відправлю вас у бій з одним із найгрізніших супротивників у курсі алгебри 8—9 класу.

Так, ви все правильно зрозуміли: йдеться про нерівності з модулем. Ми розглянемо чотири основні прийоми, за допомогою яких ви навчитеся вирішувати близько 90% таких завдань. А що з рештою 10%? Що ж, про них ми поговоримо в окремому уроці.

Однак перед тим, як розбирати якісь там прийоми, хотілося б нагадати два факти, які потрібно знати. Інакше ви ризикуєте взагалі зрозуміти матеріал сьогоднішнього уроку.

Що вже треба знати

Капітан Очевидність хіба що натякає, що з розв'язання нерівностей з модулем необхідно знати дві речі:

1. Як вирішуються нерівності;
2. Що таке модуль |

Почнемо із другого пункту.

Визначення модуля

Тут все просто. Є два визначення: алгебраїчне та графічне. Для початку - алгебраїчне:

Визначення. Модуль числа $x$ - це або саме це число, якщо воно невід'ємне, або число, йому протилежне, якщо вихідний $x$ - все-таки негативний.

Записується це так:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Говорячи простою мовою, модуль це «число без мінуса». І саме в цій двоїстості (десь із вихідним числом нічого не треба робити, а десь доведеться прибрати якийсь там мінус) і полягає вся складність для учнів-початківців.

Є ще геометричне визначення. Його теж корисно знати, але звертатися до нього ми будемо лише у складних і якихось спеціальних випадках, де геометричний підхід зручніший за алгебраїчну (спойлер: не сьогодні).

Визначення. Нехай на числовій прямій відзначено точку $a$. Тоді модулем $ \ left | x-a \right|$ називається відстань від точки $x$ до точки $a$ на цій прямій.

Якщо накреслити картинку, то вийде щось на кшталт цього:

Графічне визначення модуля

Так чи інакше, з визначення модуля відразу випливає його ключова властивість: модуль числа завжди є величиною невід'ємною. Цей факт буде червоною ниткою йти через всю нашу сьогоднішню розповідь.

Розв'язання нерівностей. Метод інтервалів

Тепер розберемося з нерівностями. Їх існує безліч, але наше завдання зараз — вміти вирішувати хоча б найпростіші з них. Ті, які зводяться до лінійним нерівностям, і навіть до методу інтервалів.

На цю тему у мене є два великі уроки (між іншим, дуже, ДУЖЕ корисних — рекомендую вивчити):

1. Метод інтервалів для нерівностей (особливо подивіться відео);
2. Дробно-раціональні нерівності - дуже об'ємний урок, але після нього у вас взагалі не залишиться будь-яких питань.

Якщо ви все це знаєте, якщо фраза «перейдемо від нерівності до рівняння» не викликає у вас невиразне бажання убитися об стіну, то ви готові: ласкаво просимо до пекла до основної теми уроку.:)

1. Нерівності виду «Модуль менше функції»

Це одне з найпоширеніших завдань з модулями. Потрібно вирішити нерівність виду:

\[\left| f \right| \lt g\]

У ролі функцій $f$ і $g$ може бути будь-що, але зазвичай це многочлены. Приклади таких нерівностей:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x) ^ (2))-2 \ left | x \right|-3 \right| \lt 2. \\end(align)\]

Всі вони вирішуються буквально в один рядок за схемою:

\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \& f \gt -g \\end(align) \right.\right)\]

Неважко помітити, що позбавляємося від модуля, але натомість отримуємо подвійну нерівність (або, що теж саме, систему з двох нерівностей). Проте цей перехід враховує абсолютно всі можливі проблеми: якщо число під модулем позитивне, метод працює; якщо негативно - все одно працює; і навіть за самої неадекватної функції дома $f$ чи $g$ метод все одно спрацює.

Звичайно, виникає питання: а простіше не можна? На жаль, не можна. У цьому вся фішка модуля.

Втім, вистачить філософствувати. Давайте вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Рішення. Отже, маємо класичну нерівність виду «модуль менше» — навіть перетворювати нічого. Працюємо за алгоритмом:

\[\begin(align) & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Не поспішайте розкривати дужки, перед якими стоїть «мінус»: цілком можливо, що через поспіху ви припуститеся образливої ​​помилки.

\-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\\end(align) \right.\]

Завдання звелося до двох елементарних нерівностей. Зазначимо їх рішення на паралельних числових прямих:

Перетин множин

Перетином цих множин і буде відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Рішення. Це завдання вже трохи складніше. Для початку усамітнимо модуль, перенісши друге доданок вправо:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Очевидно, перед нами знову нерівність виду «модуль менший», тому позбавляємося модуля за вже відомим алгоритмом:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ось зараз увага: хтось скаже, що я трохи збоченець із усіма цими дужками. Але ще раз нагадаю, що наша ключова мета грамотно вирішити нерівність та отримати відповідь. Пізніше, коли ви досконало освоїте все, про що розказано в цьому уроці, можете самі перекручуватись як хочете: розкривати дужки, вносити мінуси і т.д.

А ми для початку просто позбудемося подвійного мінусу зліва:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Тепер розкриємо всі дужки у подвійній нерівності:

Переходимо до подвійної нерівності. На цей раз викладки будуть серйознішими:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align) \right.\]

Обидві нерівності є квадратними і вирішуються методом інтервалів (бо й кажу: якщо не знаєте, що це таке, краще поки не братися за модулі). Переходимо до рівняння у першій нерівності:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \ & x \ left (x + 5 \ right) = 0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(align)\]

Як бачимо, на виході вийшло неповне квадратне рівняння, яке вирішується елементарно. Тепер розберемося з другою нерівністю системи. Там доведеться застосувати теорему Вієта:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(align)\]

Зазначаємо отримані числа на двох паралельних прямих (окрема для першої нерівності та окрема для другої):

Знову ж таки, оскільки ми вирішуємо систему нерівностей, нас цікавить перетин заштрихованих множин: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Думаю, після цих прикладів схема рішення гранично зрозуміла:

1. Усамітнити модуль, перенісши всі інші доданки в протилежну частину нерівності. Таким чином, ми отримаємо нерівність виду $\left| f \right| \lt g$.
2. Вирішити цю нерівність, позбавившись модуля за описаною вище схемою. У якийсь момент потрібно перейти від подвійної нерівності до системи з двох самостійних виразів, кожне з яких можна вирішувати окремо.
3. Зрештою, залишиться лише перетнути рішення цих двох самостійних висловів — і все, ми отримаємо остаточну відповідь.

Аналогічний алгоритм існує й у нерівностей наступного типу, коли модуль більше функції. Однак там є кілька серйозних «але». Про ці «але» ми зараз і поговоримо.

2. Нерівності виду «Модуль більше функції»

Виглядають вони так:

\[\left| f \right| \gt g\]

Схоже на попереднє? Схоже. Проте вирішуються такі завдання зовсім по-іншому. Формально схема наступна:

\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \end(align) \right.\]

Іншими словами, ми розглядаємо два випадки:

1. Спочатку просто ігноруємо модуль - вирішуємо нормальну нерівність;
2. Потім по суті розкриваємо модуль зі знаком мінус, а потім множимо обидві частини нерівності на −1, мене при цьому знак.

У цьому варіанти об'єднані квадратною дужкою, тобто. маємо сукупність двох вимог.

Зверніть увагу ще раз: перед нами не система, а сукупність, тому у відповіді безлічі об'єднуються, а не перетинаються. Це принципова відмінністьвід попереднього пункту!

Взагалі, з об'єднаннями та перетинами у багатьох учнів суцільна плутанина, тому давайте розберемося в цьому питанні раз і назавжди:

• "∪" - це знак об'єднання. По суті, це стилізована літера «U», яка прийшла до нас із англійської мовиє абревіатурою від «Union», тобто. "Об'єднання".
• "∩" - це знак перетину. Ця хрень звідки не прийшла, а просто виникла як протиставлення до «∪».

Щоб ще простіше було запам'ятати, просто прималюйте до цих знаків ніжки, щоб вийшли келихи (ось тільки не треба зараз звинувачувати мене в пропаганді наркоманії та алкоголізму: якщо ви всерйоз вивчаєте цей урок, то вже наркоман):

Різниця між перетином та об'єднанням множин

У перекладі російською це означає таке: об'єднання (сукупність) включає у собі елементи з обох множин, тому не менше кожного їх; а ось перетин (система) включає лише ті елементи, які одночасно знаходяться і в першій множині, і в другій. Тому перетин множин ніколи не буває більше множин-вихідників.

Так стало зрозуміліше? От і відмінно. Переходимо до практики.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Рішення. Діємо за схемою:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right.\]

Вирішуємо кожну нерівність сукупності:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\\end(align) \right.\]

Відзначаємо кожну отриману множину на числовій прямій, а потім об'єднуємо їх:

Об'єднання множин

Очевидно, що відповіддю буде $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Відповідь: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Рішення. Ну що? Та нічого — все те саме. Переходимо від нерівності з модулем до сукупності двох нерівностей:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Вирішуємо кожну нерівність. На жаль, коріння там буде не оч:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \& D=1+12=13; \ \ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\end(align)\]

У другій нерівності теж трохи дичини:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \ & D = 9 + 12 = 21; \ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\end(align)\]

Тепер треба відзначити ці числа на двох осях — по одній осі кожної нерівності. Однак відзначати крапки потрібно у правильному порядку: чим більше число, тим далі зрушити точку вправо.

І ось тут на нас чекає підстава. Якщо з числами $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ все ясно (доданки в чисельнику першого дробу менше доданків у чисельнику другого , Тому сума теж менше), з числами $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ теж не виникне труднощів (позитивне число свідомо більше негативного), то ось з останньою парочкою все не так однозначно. Що більше: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ або $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Від відповіді це питання залежатиме розстановка точок на числових прямих і, власне, відповідь.

Тому давайте порівнювати:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \- -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ми усамітнили корінь, отримали невід'ємні числа з обох сторін нерівності, тому вправі звести обидві сторони квадрат:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\end(matrix)\]

Думаю, тут і їжу зрозуміло, що $4\sqrt(13) \gt 3$, тому $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2)$, остаточно точки на осях будуть розставлені так:

Випадок негарного коріння

Нагадаю, ми вирішуємо сукупність, тому у відповідь піде об'єднання, а не перетин заштрихованих множин.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Як бачите, наша схема чудово працює як для простих завдань, і для вельми жорстких. Єдине «слабке місце» у такому підході — треба грамотно порівнювати ірраціональні числа (і повірте: це не лише коріння). Але питанням порівняння буде присвячено окремий (і дуже серйозний урок). А ми йдемо далі.

3. Нерівності з невід'ємними «хвістами»

От ми й дісталися найцікавішого. Це нерівності виду:

\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]

Взагалі кажучи, алгоритм, про який ми зараз поговоримо, вірний лише для модуля. Він працює у всіх нерівностях, де ліворуч і праворуч стоять гарантовано невід'ємні вирази:

Що робити із цими завданнями? Просто пам'ятайте:

У нерівностях з невід'ємними «хвістами» можна зводити обидві частини у будь-який натуральний ступінь. Жодних додаткових обмежень при цьому не виникне.

Насамперед нас цікавитиме зведення у квадрат — він спалює модулі та коріння:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \& ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(align)\]

Ось тільки не треба плутати це із вилученням кореня з квадрата:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Безліч помилок було допущено в той момент, коли учень забував ставити модуль! Але це зовсім інша історія (це як би ірраціональні рівняння), тому не будемо зараз у це заглиблюватись. Давайте краще вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Рішення. Відразу зауважимо дві речі:

1. Це несувора нерівність. Крапки на числовій прямій будуть виколоті.
2. Обидві сторони нерівності явно невід'ємні (ця властивість модуля: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

Отже, можемо звести обидві частини нерівності у квадрат, щоб позбавитися модуля і вирішувати завдання звичайним методомінтервалів:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(align)\]

на останньому кроція трохи схитрив: змінив послідовність доданків, скориставшись парністю модуля (по суті, помножив вираз $1-2x$ на −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\end(align)\]

Вирішуємо методом інтервалів. Переходимо від нерівності до рівняння:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(align)\]

Зазначаємо знайдене коріння на числовій прямій. Ще раз: усі крапки зафарбовані, оскільки вихідна нерівність — не сувора!

Звільнення від знаку модуля

Нагадаю для особливо затятих: знаки ми беремо з останньої нерівності, яка була записана перед переходом до рівняння. І зафарбовуємо області, які потрібні в тій же нерівності. У нашому випадку це $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ну от і все. Завдання вирішено.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Рішення. Робимо все те саме. Я не коментуватиму — просто подивіться на послідовність дій.

Зводимо у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)) ^ (2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \) right))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Всього один корінь на числовій прямій:

Відповідь - цілий інтервал

Відповідь: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Невелике зауваження щодо останнього завдання. Як точно зауважив один мій учень, обидва підмодульні вирази в даній нерівності свідомо позитивні, тому знак модуля можна без шкоди для здоров'я опустити.

Але це вже зовсім інший рівень роздумів та інший підхід його умовно можна назвати методом слідств. Про нього – в окремому уроці. А зараз перейдемо до фінальної частини сьогоднішнього уроку та розглянемо універсальний алгоритм, який працює завжди. Навіть тоді, коли всі попередні підходи виявилися безсилими.

4. Метод перебору варіантів

А якщо всі ці прийоми не допоможуть? Якщо нерівність не зводиться невід'ємним хвостам, якщо усамітнити модуль не виходить, якщо взагалі біль-сум сум?

Тоді на сцену виходить «важка артилерія» всієї математики метод перебору. Стосовно нерівностей з модулем він виглядає так:

1. Виписати всі підмодульні вирази та прирівняти їх до нуля;
2. Розв'язати отримані рівняння і відзначити знайдене коріння на одній числовій прямій;
3. Пряма розіб'ється на кілька ділянок, усередині якого кожен модуль має фіксований знак і тому однозначно розкривається;
4. Вирішити нерівність на кожній такій ділянці (можна окремо розглянути корені-кордони, отримані в пункті 2 для надійності). Результати об'єднати – це і буде відповідь.

Ну як? Слабко? Легко! Лише довго. Подивимося практично:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Рішення. Ця хрень не зводиться до нерівностей виду $ \ left | f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ або $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, тому діємо напролом.

Виписуємо підмодульні вирази, прирівнюємо їх до нуля і знаходимо коріння:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\end(align)\]

Разом у нас два корені, які розбивають числову пряму на три ділянки, всередині яких кожен модуль розкривається однозначно:

Розбиття числової прямої нулями підмодульних функцій

Розглянемо кожну ділянку окремо.

1. Нехай $x \lt -2$. Тоді обидва підмодульні вирази негативні, і вихідна нерівність перепишеться так:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]

Здобули досить просте обмеження. Перетнемо його з вихідним припущенням, що $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Очевидно, що змінна $x$ не може одночасно бути меншою за −2, але більше за 1,5. Рішень на цій ділянці немає.

1.1. Окремо розглянемо прикордонний випадок $x=-2$. Просто підставимо це число у вихідну нерівність і перевіримо: чи виконується вона?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Очевидно, що ланцюжок обчислень привів нас до невірної нерівності. Отже, вихідна нерівність теж неправильна, і $x=-2$ не входить у відповідь.

2. Нехай тепер $-2 \lt x \lt 1$. Лівий модуль вже розкриється з плюсом, але правий все ще з мінусом. Маємо:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\end(align)\]

Знову перетинаємо з вихідною вимогою:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

І знову порожня безліч рішень, оскільки немає таких чисел, які одночасно менші за −2,5, але більші за −2.

2.1. І знову окремий випадок: $ x = 1 $. Підставляємо у вихідну нерівність:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Аналогічно попередньому «приватному випадку» число $x=1$ явно не входить у відповідь.

3. Останній шматок прямий: $x \gt 1$. Тут усі модулі розкриваються зі знаком «плюс»:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\]

І знову перетинаємо знайдену множину з вихідним обмеженням:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \right)\]

Ну нарешті то! Ми знайшли інтервал, який і буде відповіддю.

Відповідь: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Насамкінець — одне зауваження, яке, можливо, убереже вас від дурних помилок під час вирішення реальних завдань:

Розв'язання нерівностей з модулями зазвичай є суцільні множини на числовій прямій - інтервали та відрізки. Набагато рідше трапляються ізольовані точки. І ще рідше трапляється так, що меж рішення (кінець відрізка) збігається з межею діапазону, що розглядається.

Отже, якщо кордони (ті самі «приватні випадки») не входять у відповідь, то майже напевно не увійдуть у відповідь і області зліва-праворуч від цих кордонів. І навпаки: кордон увійшов у відповідь — отже, і якісь області навколо неї також будуть відповідями.

Пам'ятайте про це, коли ви перевіряєте свої рішення.

Математика є символом мудрості науки,

зразком наукової суворості та простоти,

еталоном досконалості та краси в науці.

Російський філософ, професор О.В. Волошинів

Нерівності з модулем

Найбільш складними завданнями шкільної математики є нерівності, що містять змінні під знаком модуля. Для успішного вирішення таких нерівностей необхідно добре знати властивості модуля та мати навички їх використання.

Основні поняття та властивості

Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:

До простим властивостяммодуля відносяться такі співвідношення:

І.

Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.

Крім того, якщо, де, то і

Більш складні властивості модуля, які можна ефективно використовувати при вирішенні рівнянь та нерівностей із модулями, формулюються за допомогою наступних теорем:

Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність.

Теорема 2.Рівність рівносильно нерівності.

Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.

Найбільш поширеними у шкільній математиці нерівностями, містять невідомі змінні під знаком модуля, є нерівності видуі де деяка позитивна константа.

Теорема 4.Нерівність рівносильно подвійній нерівності, а розв'язання нерівностізводиться до розв'язання сукупності нерівностейта .

Ця теорема є окремим випадком теорем 6 і 7.

Більш складними нерівностями, містять модуль, є нерівності виду, та .

Методи вирішення таких нерівностей можна сформулювати у вигляді наступних трьох теорем.

Теорема 5.Нерівність рівносильно сукупності двох систем нерівностей

І (1)

Доведення.Оскільки , то

Звідси випливає справедливість (1).

Теорема 6.Нерівність рівносильно системі нерівностей

Доведення.Так як , то з нерівностівипливає, що . За такої умови нерівністьі при цьому друга система нерівностей (1) виявиться несумісною.

Теорему доведено.

Теорема 7.Нерівність рівносильно сукупності однієї нерівності та двох систем нерівностей

І (3)

Доведення.Оскільки , то нерівність завжди виконуєтьсяякщо .

Нехай тоді нерівністьбуде рівносильно нерівності, з якого випливає сукупність двох нерівностейта .

Теорему доведено.

Розглянемо типові прикладирозв'язання задач на тему «Нерівності, що містять змінні під знаком модуля».

Вирішення нерівностей з модулем

Найбільш простим методомвирішення нерівностей з модулем є метод, заснований на розкритті модулів. Цей метод є універсальним, однак у загальному випадкуйого застосування може призвести до дуже громіздких обчислень. Тому учні повинні знати й інші (ефективніші) методи та прийоми розв'язання таких нерівностей. Зокрема, необхідно мати навички застосування теорем, наведених у цій статті.

приклад 1.Розв'язати нерівність

. (4)

Рішення.Нерівність (4) вирішуватимемо «класичним» методом – методом розкриття модулів. З цією метою розіб'ємо числову вісьточками та на інтервали та розглянемо три випадки.

1. Якщо , то , , , і нерівність (4) набуває виглядуабо .

Оскільки тут розглядається випадок , є рішенням нерівності (4).

2. Якщо , то з нерівності (4) отримуємоабо . Оскільки перетин інтерваліві є порожнім, то на розглянутому інтервалі розв'язків нерівності (4) немає.

3. Якщо , та нерівність (4) набуває виглядуабо . Очевидно, що також є розв'язком нерівності (4).

Відповідь: , .

приклад 2.Розв'язати нерівність.

Рішення.Припустимо, що. Так як , то задана нерівність набуває виглядуабо . Оскільки , то і звідси випливаєабо .

Однак , тому чи .

приклад 3.Розв'язати нерівність

. (5)

Рішення.Так як , та нерівність (5) рівнозначна нерівностямабо . Звідси, згідно з теоремою 4, маємо сукупність нерівностейта .

Відповідь: , .

приклад 4.Розв'язати нерівність

. (6)

Рішення.Позначимо. Тоді з нерівності (6) отримуємо нерівності , , або .

Звідси, використовуючи метод інтервалів, Отримуємо . Так як , то тут маємо систему нерівностей

Рішенням першої нерівності системи (7) є об'єднання двох інтерваліві , а рішенням другої нерівності – подвійна нерівність. Звідси випливає , що розв'язання системи нерівностей (7) є об'єднанням двох інтервалівта .

Відповідь: ,

Приклад 5.Розв'язати нерівність

. (8)

Рішення. Перетворимо нерівність (8) таким чином:

Або.

Застосовуючи метод інтервалів, отримуємо розв'язання нерівності (8).

Відповідь: .

Примітка. Якщо за умови теореми 5 покласти і , отримаємо .

Приклад 6.Розв'язати нерівність

. (9)

Рішення. З нерівності (9) випливає. Перетворимо нерівність (9) таким чином:

Або

Так як , то чи .

Відповідь: .

Приклад 7.Розв'язати нерівність

. (10)

Рішення.Так як і , то чи .

В зв'язку з цим і нерівність (10) набуває вигляду

Або

. (11)

Звідси випливає, що або . Оскільки , те й з нерівності (11) витікає або .

Відповідь: .

Примітка. Якщо до лівої частини нерівності (10) застосувати теорему 1, то отримаємо . Звідси і з нерівності (10) випливаєщо або . Так як , та нерівність (10) набуває виглядуабо .

Приклад 8.Розв'язати нерівність

. (12)

Рішення.Оскільки , то і з нерівності (12) випливаєабо . Однак , тому чи . Звідси отримуємо або .

Відповідь: .

Приклад 9.Розв'язати нерівність

. (13)

Рішення.Відповідно до теореми 7 рішенням нерівності (13) є або .

Нехай тепер. В такому випадку і нерівність (13) набуває виглядуабо .

Якщо об'єднати інтервалиі , то отримаємо розв'язання нерівності (13) виду.

приклад 10.Розв'язати нерівність

. (14)

Рішення.Перепишемо нерівність (14) у рівносильному вигляді: . Якщо до лівої частини цієї нерівності застосувати теорему 1, то отримаємо нерівність .

Звідси і з теореми 1 випливає, що нерівність (14) виконується для будь-яких значень.

Відповідь: будь-яке число.

Приклад 11.Розв'язати нерівність

. (15)

Рішення. Застосовуючи теорему 1 до лівої частини нерівності (15), отримуємо . Звідси і з нерівності (15) випливає рівняння, яке має вигляд.

Відповідно до теореми 3, рівняння рівносильно нерівності. Звідси отримуємо.

приклад 12.Розв'язати нерівність

. (16)

Рішення. З нерівності (16), згідно з теореми 4, отримуємо систему нерівностей

При розв'язанні нерівностіскористаємося теоремою 6 і отримаємо систему нерівностейз якої випливає.

Розглянемо нерівність. Відповідно до теореми 7, отримуємо сукупність нерівностейта . Друга нерівність сукупності справедлива для будь-якого дійсного.

Отже, рішенням нерівності (16) є.

приклад 13.Розв'язати нерівність

. (17)

Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати

(18)

Беручи до уваги нерівність (17), робимо висновок у тому, що обидві нерівності (18) звертаються до рівності, тобто. має місце система рівнянь

За теоремою 3 дана система рівнянь рівносильна системі нерівностей

або

приклад 14.Розв'язати нерівність

. (19)

Рішення.Так як, то. Помножимо обидві частини нерівності (19) на вираз, який для будь-яких значень приймає тільки позитивні значення. Тоді отримаємо нерівність, яка рівнозначна нерівності (19), виду

Звідси отримуємо або де. Так як і , то рішенням нерівності (19) єта .

Відповідь: , .

Для більш глибокого вивчення методів вирішення нерівностей з модулем можна порадити звернутися до навчальних посібників, наведених у списку рекомендованої літератури.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: методи розв'язання та докази нерівностей. - М.: Ленанд / URSS, 2018. - 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи розв'язання задач. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 296 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Існує кілька способів розв'язання нерівностей, що містять модуль. Розглянемо деякі з них.

1) Вирішення нерівності за допомогою геометричної властивості модуля.

Нагадаю, що таке геометрична властивістьмодуль: модуль числа x – це відстань від початку координат до точки з координатою x.

У ході розв'язання нерівностей цим способом може виникнути 2 випадки:

1. |x| ≤ b,

І нерівність із модулем очевидно зводиться до системи двох нерівностей. Тут знак може бути і суворим, у цьому випадку крапки на картинці будуть «виколоти».

2. |x| ≥ b,тоді картинка рішення виглядає так:

І нерівність із модулем очевидно зводиться до сукупності двох нерівностей. Тут знак може бути і суворим, у цьому випадку крапки на картинці будуть «виколоти».

приклад 1.

Розв'язати нерівність |4 – |x|| ≥ 3.

Рішення.

Ця нерівність дорівнює наступній сукупності:

U [-1;1] U

приклад 2.

Розв'язати нерівність ||x+2| - 3 | ≤ 2.

Рішення.

Ця нерівність дорівнює наступній системі.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5).

Вирішимо окремо першу нерівність системи. Воно еквівалентне наступній сукупності:

U [-1; 3].

2) Розв'язання нерівностей, використовуючи визначення модуля.

Нагадаю для початку визначення модуля.

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0.

Наприклад, |34| = 34, |-21 | = -(-21) = 21.

приклад 1.

Вирішити нерівність 3 | x - 1 | ≤ x+3.

Рішення.

Використовуючи визначення модуля, отримаємо дві системи:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3).

Вирішуючи першу другу системи окремо, отримаємо:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x≥0.

Рішенням вихідної нерівності будуть всі рішення першої системи та всі рішення другої системи.

Відповідь: x €.

3) Розв'язання нерівностей шляхом спорудження квадрат.

приклад 1.

Вирішити нерівність | x 2 – 1 |< | x 2 – x + 1|.

Рішення.

Зведемо обидві частини нерівності у квадрат. Зауважу, що зводити обидві частини нерівності у квадрат можна лише у тому випадку, коли вони обидві позитивні. В даному випадку у нас і ліворуч і праворуч стоять модулі, тому ми можемо це зробити.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Тепер скористаємося такою властивістю модуля: (|x|)2 = x2.

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Вирішуємо методом інтервалів.

Відповідь: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Розв'язання нерівностей шляхом заміни змінних.

приклад.

Вирішити нерівність (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Рішення.

Зауважимо, що (2x + 3) 2 = (| 2x + 3|) 2 . Тоді отримаємо нерівність

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Зробимо заміну y = | 2x + 3 |

Перепишемо нашу нерівність з урахуванням заміни.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Розкладемо квадратний тричлен, що стоїть ліворуч, на множники.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Вирішимо методом інтервалів та отримаємо:

Повернемося до заміни:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ця подвійна нерівність дорівнює системі нерівностей:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3|≥-5.

Вирішимо кожну з нерівностей окремо.

Перше рівносильне системі

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6).

Вирішимо її.

(x ≤ 1.5
(x≥-4.5.

Друга нерівність очевидно виконується всім x, оскільки модуль за визначенням число позитивне. Так як рішення системи – це всі x, які задовольняють одночасно і першій і другій нерівності системи, то рішенням вихідної системи буде вирішення її першої подвійної нерівності (адже друге правильне для всіх x).

Відповідь: x € [-4,5; 1,5].

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.