Нехай функція задана неявно у вигляді рівняння
. Продиференціювавши це рівняння по хі дозволивши отримане рівняння щодо похідної знайдемо похідну першого порядку (першу похідну). Продиференціювавши по хпершу похідну отримаємо другу похідну від неявної функції. Підставляючи вже знайдене значення у вираз другої похідної, виразимо через хі у.Аналогічно надаємо для знаходження похідної третього порядку (і далі).

Знайти. , якщо
.

Рішення: диференціюємо рівняння по х:
. Звідси знаходимо
. Далі.

Похідні найвищих порядків від функцій заданих параметрично.

Нехай функція
задана параметричними рівняннями
.

Як відомо перша похідна знаходиться за формулою
. Знайдемо другу похідну
, тобто.
. Аналогічно
.

приклад. Знайти другу похідну
.

Рішення: знаходимо першу похідну
. Знаходимо другу похідну
.

Диференціал функції.

Нехай функція
диференційована на
. Похідна цієї функції у певній точці
визначається рівністю
. Ставлення
при
, отже відрізняється від похідної
на величину б.м., тобто. можна записати
(
). Помножимо все на
, отримаємо
. Збільшення функції
складається з двох доданків. перший доданок
- Головна частина збільшення, є диференціал функції.

Опр. Диференціалом функції
називається твір похідною на збільшення аргументу. Позначається
.

Диференціал незалежного змінного збігається з його збільшенням
.

(). Таким чином, формулу для диференціалу можна записати
. Диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал незалежної змінної. З цього співвідношення випливає, що похідну можна як ставлення диференціалів
.

Диференціал використовують у наближених обчисленнях. Бо у виразі
другий доданок
нескінченно мала величина користуються наближеною рівністю
або у розгорнутому вигляді

Приклад: обчислити наближене значення
.

Функція
має похідну
.

За формулою (*) : .

приклад: знайти диференціал функції

Геометричний зміст диференціала.

До графіку функції
у точці М( x;y) проведемо дотичну та розглянемо ординату цієї дотичної для точки x+∆ x. На малюнку АМ = ∆ хАМ 1 = ∆ уз ∆МАВ
, звідси
, але згідно з геометричним змістом щодо
. Тому
. Порівнюючи цю формулу з формулою диференціала отримуємо, що
, тобто. диференціал функції
у точці хдорівнює приросту ординати щодо графіку функції в цій точці, коли хотримує приріст ∆х.

Правила обчислення диференціалу.

Оскільки диференціал функції
відрізняється від похідної множником
, всі правила обчислення похідної використовуються і для обчислення диференціала (звідси і термін «диференціювання»).

Нехай дані дві функції, що диференціюються
і
тоді диференціал знаходиться за такими правилами:

1)

2)
с –const

3)

4)
(
)

5) для складної функції
, де

(Т.к.
).

Диференціал складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на диференціал цього проміжного аргументу.

Програми похідної.

Теореми про середнє значення.

Теорема Роля. Якщо функція
безперервна на відрізку
та диференційована у відкритому проміжку
і якщо на кінцях приймає відрізка рівні значення
, то в інтервалі
знайдеться, хоча б одна така точка з, у якій похідна перетворюється на нуль, тобто.
, a< c< b.

Геометрично теорема Роля означає, що на графіку функції
знайдеться точка, у якій дотична до графіка паралельна осі Ох.

Теорема Лагранжа. Якщо функція
безперервна на відрізку
та диференційована на інтервалі
, то знайдеться, хоча б одна точка
така, що виконується рівність.

Формулу називають формулою Лагранжа або формулою про кінцеве прирощення: збільшення диференційованої функції на відрізку
дорівнює прирощенню аргументу, помноженому на значення похідної у певній внутрішній точці цього відрізка.

Геометричний зміст теореми Лагранжа: на графіку функції
знайдеться крапка З(з;f(c)) , в якій стосується графіка функції паралельна січній АВ.

Теорема Коші. Якщо функції
і
безперервні на відрізку
, що диференціюються на інтервалі
, причому
для
, то знайдеться хоча б одна точка
така, що виконується рівність
.

Теорема Коші є основою нового правила обчислення меж.

Правило Лопіталя.

Теорема:(Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду ). Нехай функції
і
безперервні та диференційовані в околиці точки х 0 і звертаються в нуль у цій точці
. І нехай
на околиці точки х 0 . якщо існує межа
, то
.

Доказ: застосуємо до функцій
і
теорему Коші для відрізка

Точки, що лежить в околиці х 0 . Тоді
, де x 0 < c< x. Так як
отримуємо
. Перейдемо до межі при

. Т.к.
, то
тому
.

Отже межа відношення двох б. дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує
.

Теорема.(Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду
) Нехай функції
і
безперервні та диференційовані в околиці точки х 0 (крім, можливо, точки х 0 ), у цій околиці
,
. Якщо існує межа

, то
.

Невизначеності виду (
) зводяться до двох основних ( ),
шляхом тотожних перетворень.

Приклад:

Спочатку розглянемо неявну функцію одного змінного. Вона визначається рівнянням (1), яке кожному х із деякої області Х зіставляє певне у. Тоді Х визначається цим рівнянням функція у=f(х). Її називають неявнийабо неявно заданою. Якщо рівняння (1) вдається вирішити щодо, тобто. отримати вид у = f (х), то завдання неявної функції стає явним.Однак дозволити рівняння вдається не завжди і в цьому випадку не завжди ясно - чи існує взагалі неявна функція у = f (х), яка визначається рівнянням (1) в околиці точки (x 0, y 0).

Наприклад, рівняння
нерозв'язно відносно y і неясно - чи визначає воно неявну функцію в деякій околиці точки (1,0), наприклад. Зауважимо, що існують рівняння, що не визначають жодної функції (x2+y2+1=0).

Виявляється справедливою така теорема:

Теорема«Існування та диференціювання неявної функції» (без доказу)

Нехай дано рівняння
(1) та функція
, задовольняє умовам:

Тоді:

. (2)

Геометрично теорема стверджує, що на околиці точки
, де виконуються умови теореми, неявна функція, що визначається рівнянням (1), може бути задана у явному вигляді у = f (х), т.к. кожному значенню х відповідає єдине у. Якщо навіть ми не можемо знайти вираз функції в явному вигляді, ми впевнені, що в околицях точки М 0 це вже можливо в принципі.

Розглянемо той самий приклад:
. Перевіримо умови:

1)
,
- і функція та її похідні безперервні на околиці точки (1,0) (як сума і добуток безперервних).

2)
.

3)
. Значить, неявна функція у = f (х) існує на околиці точки (1,0). Ми не можемо її виписати в явному вигляді, але можемо все-таки знайти її похідну, яка буде навіть безперервною:

Розглянемо тепер неявну функцію від кількох змінних. Нехай задано рівняння

. (2)

Якщо кожній парі значень (х,у) із деякої області рівняння (2) зіставляє одне певне значення z, то кажуть, що це рівняння неявно визначає однозначну функцію від двох змінних
.

Справедлива та відповідна теорема існування та диференціювання неявної функції кількох змінних.

Теорема 2: Нехай дано рівняння
(2) та функція
задовольняє умовам:

приклад:
. Це рівняння задається як двозначну неявну функцію від х і у
. Якщо перевірити умови теореми на околиці точки, наприклад, (0,0,1), то бачимо виконання всіх умов:

Значить, неявна однозначна функція існує на околиці точки (0,0,1): Можна сказати відразу, що це
задає верхню півсферу.

Існують безперервні приватні похідні
Вони, до речі, виходять такими ж, якщо диференціювати неявну функцію, виражену у явному вигляді, безпосередньо.

Визначення та теорема існування та диференціювання неявної функції більшого числааргументів аналогічні.

Дуже часто при вирішенні практичних завдань (наприклад, у вищій геодезії чи аналітичній фотограмметрії) з'являються складні функції кількох змінних, тобто аргументи x, y, z однієї функції f (x, y, z) ) самі є функціями від нових змінних U, V, W ).

Так, наприклад, буває при переході від нерухомої системи координат Oxyz у рухому систему O 0 UVW і назад. При цьому важливо знати всі приватні похідні за "нерухомими" - "старими" і "рухомими" - "новими" змінними, оскільки ці приватні похідні зазвичай характеризують положення об'єкта в цих системах координат, і, зокрема, впливають на відповідність аерофотознімків реальному об'єкту . У таких випадках застосовуються такі формули:

Тобто задана складна функція T трьох "нових" змінних U, V, W за допомогою трьох "старих" змінних x, y, z, тоді:

Зауваження. Можливі варіації у кількості змінних. Наприклад: якщо

Зокрема, якщо z = f(xy), y = y(x) , то отримуємо так звану формулу "повної похідної":

Ця ж формула "повної похідної" у разі:

набуде вигляду:

Можливі й інші варіації формул (1.27) – (1.32).

Примітка: формула "повної похідної" використовується в курсі фізики, розділ "Гідродинаміка" під час виведення основної системи рівнянь руху рідини.

приклад 1.10. Дано:

Згідно (1.31):

§7 Приватні похідні неявно заданої функції кількох змінних

Як відомо, неявно задана функція однієї змінної визначається так: функція незалежної змінної x називається неявною, якщо вона задана рівнянням, не дозволеним щодо y :

приклад 1.11.

Рівняння

неявно ставить дві функції:

А рівняння

не ставить жодної функції.

Теорема 1.2 (існування неявної функції).

Нехай функція z = f (х, у) та її приватні похідні f" x і f" y визначені і безперервні в околиці U M0 крапки M 0 (x 0 y 0 ) . Крім того, f(x 0 ,y 0 )=0 і f"(x 0 ,y 0 )≠0 тоді рівняння (1.33) визначає в околиці U M0 неявну функцію y= y(x) , безперервну та диференційовану в деякому інтервалі D з центром у точці x 0 , причому y(x 0 )=y 0 .

Без підтвердження.

З теореми 1.2 слід, що у цьому інтервалі D :

тобто має місце тотожність по

де "повна" похідна знаходиться згідно (1.31)

Тобто (1.35) дає формулу знаходження похідної неявно заданої функціїоднією змінною x .

Аналогічно визначається і неявна функція двох і більше змінних.

Наприклад, якщо в деякій області V простору Oxyz виконується рівняння:

то за деяких умов на функцію F воно неявно задає функцію

При цьому за аналогією з (1.35) її похідні приватні знаходяться так.

Вчимося знаходити похідні функцій, заданих неявно, тобто заданих деякими рівняннями, що зв'язують між собою змінні xі y. Приклади функцій, заданих неявно:

,

,

Похідні функцій, заданих неявно, або похідні неявних функцій, досить просто. Зараз розберемо відповідне правило і приклад, а потім з'ясуємо, для чого взагалі це потрібно.

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно продиференціювати обидві частини рівняння по иксу. Ті доданки, в яких присутній тільки ікс, звернуться до звичайної похідної функції від іксу. А доданки з греком потрібно диференціювати, користуючись правилом диференціювання складної функції, оскільки ігрок - це функція від ікса. Якщо дуже просто, то в отриманій похідній доданку з іксом має вийти: похідна функції від ігрека, помножена на похідну від ігрека. Наприклад, похідна доданку запишеться як , похідна доданку запишеться як . Далі з цього потрібно висловити цей " гравець штрих " і буде отримана шукана похідна функції, заданої неявно. Розберемо це з прикладу.

приклад 1.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння по іксу, вважаючи, що гравець - функція від ікса:

Звідси отримуємо похідну, яка потребує завдання:

Тепер дещо про неоднозначну властивість функцій, заданих неявно, і чому потрібні особливі правила диференціювання. У частині випадків можна переконатися, що підстановка в задане рівняння(Див. Приклади вище) замість грека його виразу через ікс призводить до того, що це рівняння звертається в тотожність. Так. наведене вище рівняння неявно визначає такі функції:

Після підстановки висловлювання ігрека в квадраті через ікс початкове рівняння отримуємо тотожність:

.

Вирази, які ми підставляли, вийшли шляхом розв'язання рівняння щодо гравця.

Якби ми стали диференціювати відповідну явну функцію

то отримали відповідь як у прикладі 1 - від функції, заданої неявно:

Але не будь-яку функцію, задану неявно, можна уявити у вигляді y = f(x) . Так, наприклад, задані неявно функції

не виражаються через елементарні функції, тобто ці рівняння не можна дозволити щодо гравця. Тому і існує правило диференціювання функції, заданої неявно, яке ми вже вивчили і далі послідовно застосовуватимемо в інших прикладах.

приклад 2.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Виражаємо гравець штрих і - на виході - похідна функції, заданої неявно:

приклад 3.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

приклад 4.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

Виражаємо та отримуємо похідну:

.

Приклад 5.Знайти похідну функції, заданої неявно:

Рішення. Переносимо доданки в правій частині рівняння в ліву частину і праворуч залишаємо нуль. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса.

Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції

У цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються в контрольні роботиз вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових урокахі Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.

Похідна функції, заданої неявно

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:

Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.

Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією .

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини у частину зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Отже, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Добуток диференціюємо за звичайним правилом :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:


Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину– переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під фразою "неявна функція" розуміють "класичну" неявну функцію, коли "ігрок" висловити не можна.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналізта чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі складові в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішеннята зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». на координатної площиниможна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляємо знайдені похідні у формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу: