Нехай зроблена вибірка з генеральної сукупності, підпорядкованої закону нормальногорозподілу XN( m;  ). Це основне припущення математичної статистики ґрунтується на центральній граничній теоремі. Нехай відоме генеральне середнє квадратичне відхилення  , але невідомо математичне очікування теоретичного розподілу m(середнє значення ).

У такому разі середнє вибіркове , отримане в ході експерименту (п.3.4.2), також буде випадковою величиною m;
). Тоді «нормалізоване» відхилення
N(0;1) – є стандартною нормальною випадковою величиною.

Завдання полягає у пошуку інтервальної оцінки для m. Побудуємо двосторонній довірчий інтервал для m так, щоб справжнє математичне очікування належало йому із заданою ймовірністю (надійністю)  .

Встановити такий інтервал для величини
- Це означає знайти максимальне значення цієї величини
та мінімальне
, які є межами критичної області:
.

Т.к. така ймовірність дорівнює
, то корінь цього рівняння
можна знайти за допомогою таблиць функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1).

Тоді з ймовірністю  можна стверджувати, що випадкова величина
, тобто шукане генеральне середнє належить інтервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

називають точністюоцінки.

Число
– квантиль нормального розподілу– можна знайти як аргумент функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1) з огляду на співвідношення 2Ф( u)=, тобто. Ф( u)=
.

Назад, за заданим значенням відхилення  можна знайти, з якою ймовірністю, невідоме генеральне середнє належить інтервалу
. Для цього потрібно обчислити

. (3.15)

Нехай із генеральної сукупностівилучено випадкову вибірку методом повторного відбору. З рівняння
можна знайти мінімальнийобсяг повторної вибірки n, необхідний для того, щоб довірчий інтервал із заданою надійністю не перевищував наперед заданого значення  . Оцінку необхідного обсягу вибірки роблять за такою формулою:

. (3.16)

Досліджуємо точність оцінки
:

1) У разі зростання обсягу вибірки nвеличина  зменшується, і значить, точність оцінки збільшується.

2) З збільшеннямнадійності оцінки збільшується значення аргументу u(Т.к. Ф(u) монотонно зростає) і значить збільшується  . У такому разі збільшення надійності зменшуєточність її оцінки  .

Оцінку
(3.17)

називають класичною(де t- певний параметр, що залежить від і n), т.к. вона характеризує найпоширеніші закони розподілу.

3.5.3 Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого середнього квадратичного відхилення 

Нехай відомо, що генеральна сукупність підпорядкована закону нормального розподілу XN( m; ), де величина середнього квадратичноговідхилення невідома.

Для побудови довірчого інтервалу оцінки генерального середнього у разі використовується статистика
, що має розподіл Ст'юдента з k= n-1 ступенями свободи. Це випливає з того, що N(0;1) (див. п.3.5.2), а
(див. п.3.5.3) та з визначення розподілу Ст'юдента (ч.1.п.2.11.2).

Знайдемо точність класичної оцінки розподілу Стьюдента: тобто. знайдемо tіз формули (3.17). Нехай ймовірність виконання нерівності
задана надійністю  :

. (3.18)

Оскільки TSt( n-1), очевидно, що tзалежить від  і nтому зазвичай пишуть
.

(3.19)

де
- функція розподілу Ст'юдента з n-1 ступенями свободи.

Вирішуючи це рівняння щодо m, отримаємо інтервал
який з надійністю  покриває невідомий параметр m.

Величина t  , n-1 , що служить для визначення довірчого інтервалу випадкової величини T(n-1), розподіленою за Ст'юдентом з n-1 ступенями свободи, називається коефіцієнтом Ст'юдента. Його слід знаходити за заданими значеннями nта  з таблиць « Критичні точкирозподілу Стьюдента». (Таблиця 6, додаток 1), які є рішення рівняння (3.19).

У результаті отримуємо такий вираз точності довірчого інтервалу для оцінки математичного очікування(генерального середнього), якщо невідома дисперсія:

(3.20)

Т.ч. існує загальна формула побудови довірчих інтервалів для математичного очікування генеральної сукупності:

де точність довірчого інтервалу  залежно від відомої чи невідомої дисперсії знаходиться за формулами відповідно 3.16. та 3.20.

Завдання 10.Проведено деякі випробування, результати яких занесені до таблиці:

Відомо, що вони підпорядковуються закону нормального розподілу з
. Знайти оцінку m* для математичного очікування m, побудувати йому 90% довірчий інтервал.

Рішення:

Отже, m(2.53;5.47).

Завдання 11.Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює 0, а випадкові помилки розподіляються за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням  = 15м. Скільки треба зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з помилками не більше 5м за довірчої ймовірності 90%?

Рішення:

За умовою завдання маємо XN( m;  ), де  = 15м,  = 5м,  =0.9. Знайдемо обсяг n.

1) Із заданою надійністю = 0.9 знайдемо за таблицями 3 (Додаток 1) аргумент функції Лапласа u  = 1.65.

2) Знаючи задану точність оцінки  =u  =5, знайдемо
. Маємо

. Тому кількість випробувань n25.

Завдання 12.Вибір температури tза перші 6 днів січня представлена ​​у таблиці:

Знайти довірчий інтервал для математичного очікування mгенеральної сукупності з довірчою ймовірністю
та оцінити генеральне стандартне відхилення s.

Рішення:

і
.

2) Незміщену оцінку знайдемо за формулою
:

;
;

.

3) Оскільки генеральна дисперсія невідома, але відома її оцінка, то оцінки математичного очікування mвикористовуємо розподіл Ст'юдента (Таблиця 6, додаток 1) та формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 = 6, то ,
, s 1 =6.85 маємо:
, звідси -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Тому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогічно маємо,
, s 2 = 4.8, тому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) та m 2 (-34.9;-29.1).

У прикладних науках, наприклад, у будівельних дисциплінах, для оцінки точності об'єктів використовуються таблиці довірчих інтервалів, які наведені у довідковій літературі.

Часто оцінювачу доводиться аналізувати ринок нерухомості того сегмента, в якому знаходиться об'єкт оцінки. Якщо ринок розвинений, проаналізувати всю сукупність представлених об'єктів буває складно, для аналізу використовується вибірка об'єктів. Не завжди ця вибірка виходить однорідною, іноді потрібно очистити її від екстремумів - надто високих чи надто низьких пропозицій ринку. Для цієї мети застосовується довірчий інтервал. Мета даного дослідження - провести порівняльний аналіз двох способів розрахунку довірчого інтервалу та вибрати оптимальний варіант розрахунку під час роботи з різними вибірками у системі estimatica.pro.

Довірчий інтервал - обчислений з урахуванням вибірки інтервал значень ознаки, що з певною ймовірністю містить оцінюваний параметр генеральної сукупності.

Сенс обчислення довірчого інтервалу полягає в побудові за даними вибірки такого інтервалу, щоб можна було стверджувати із заданою ймовірністю, що значення параметра, що оцінюється, знаходиться в цьому інтервалі. Іншими словами, довірчий інтервал з певною ймовірністю містить невідоме значення величини, що оцінюється. Чим ширший інтервал, тим вища неточність.

Існують різні способи визначення довірчого інтервалу. У цій статті розглянемо 2 способи:

• через медіану та середньоквадратичне відхилення;
• через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента).

Етапи порівняльного аналізу різних способів розрахунку ДІ:

1. формуємо вибірку даних;

2. обробляємо її статистичними методами: розраховуємо середнє значення, медіану, дисперсію тощо;

3. розраховуємо довірчий інтервал двома способами;

4. аналізуємо очищені вибірки та отримані довірчі інтервали.

Етап 1. Вибірка даних

Вибірку сформовано за допомогою системи estimatica.pro. У вибірку увійшла 91 пропозиція про продаж 1 кімнатних квартир у 3-му ціновому поясі з типом планування «Хрущовка».

Таблиця 1. Вихідна вибірка

Рис.1. Вихідна вибірка

Етап 2. Обробка вихідної вибірки

Обробка вибірки методами статистики потребує обчислення наступних значень:

1. Середнє арифметичне значення

2. Медіана - число, що характеризує вибірку: рівно половина елементів вибірки більше медіани, інша половина менше медіани

(Для вибірки, що має непарне число значень)

3. Розмах - різниця між максимальним та мінімальним значеннями у вибірці

4. Дисперсія – використовується для більш точного оцінювання варіації даних

5. Середньоквадратичне відхилення за вибіркою (далі - СКО) - найпоширеніший показник розсіювання значень коригування навколо середнього арифметичного значення.

6. Коефіцієнт варіації - відбиває ступінь розкиданості значень коригувань

7. коефіцієнт осциляції - відбиває відносне коливання крайніх значень цін у вибірці навколо середньої

Таблиця 2. Статистичні показники вихідної вибірки

Коефіцієнт варіації, що характеризує однорідність даних, становить 12,29%, проте коефіцієнт осциляції занадто великий. Таким чином ми можемо стверджувати, що вихідна вибірка не є однорідною, тому перейдемо до розрахунку довірчого інтервалу.

Етап 3. Розрахунок довірчого інтервалу

Спосіб 1. Розрахунок через медіану та середньоквадратичне відхилення.

Довірчий інтервал визначається так: мінімальне значення - з медіани віднімається СКО; максимальне значення - до медіани додається СКО.

Таким чином, довірчий інтервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)

Рис. 2. Значення, що потрапили в інтервал довіри 1.

Спосіб 2. Побудова довірчого інтервалу через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента)

С.В. Грибовський у книзі «Математичні методи оцінки вартості майна» визначає спосіб обчислення довірчого інтервалу через коефіцієнт Стьюдента. При розрахунку цим методом оцінювач повинен сам задати рівень значущості ∝, що визначає ймовірність, з якою буде побудовано довірчий інтервал. Зазвичай використовуються рівні значення 0,1; 0,05 та 0,01. Їм відповідають довірчі ймовірності 0,9; 0,95 та 0,99. При такому методі вважають справжні значення математичного очікування та дисперсії практично невідомими (що майже завжди є вірним при вирішенні практичних завдань оцінки).

Формула довірчого інтервалу:

n – обсяг вибірки;

Критичне значення t-статистики (розподілу Стьюдента) з рівнем значимості ∝, числом ступенів свободи n-1, яке визначається за спеціальними статистичними таблицями або за допомогою MS Excel (→ "Статистичні" → СТЬЮДРАСПОБР);

∝ – рівень значущості, приймаємо ∝=0,01.

Рис. 2. Значення, що потрапили в інтервал довіри 2.

Етап 4. Аналіз різних способів розрахунку довірчого інтервалу

Два способи розрахунку довірчого інтервалу – через медіану та коефіцієнт Стьюдента – привели до різних значень інтервалів. Відповідно, вийшло дві різні очищені вибірки.

Таблиця 3. Статистичні показники за трьома вибірками.

З виконаних розрахунків можна сказати, що отримані різними методами значення довірчих інтервалів перетинаються, тому можна використовувати будь-який із способів розрахунку розсуд оцінювача.

Однак ми вважаємо, що при роботі в системі estimatica.pro доцільно вибирати метод розрахунку довірчого інтервалу в залежності від рівня розвиненості ринку:

• якщо ринок нерозвинений, застосовувати метод розрахунку через медіану і середньоквадратичне відхилення, оскільки кількість об'єктів, що вибули, у цьому випадку невелика;
• якщо ринок розвинений, застосовувати розрахунок через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента), оскільки є можливість сформувати велику вихідну вибірку.

Під час підготовки статті було використано:

1. Грибовський С.В., Сівець С.А., Левикіна І.А. Математичні методи оцінки вартості майна. Москва, 2014 р.

2. Дані системи estimatica.pro

Нехай CB X утворюють генеральну сукупність і — невідомий параметр CB X. Якщо статистична оцінка в * є заможною, то чим більше обсяг вибірки, тим точніше отримуємо значення в. Однак на практиці ми маємо вибірки невеликого обсягу, тому не можемо гарантувати більшої точності.

Нехай * - статистична оцінка для ст. Розмір |в* - в| називається точністю оцінки. Зрозуміло, що точність є CB, тому що в * - випадкова величина. Задамо мале позитивне число 8 і вимагатимемо, щоб точність оцінки |в* - в| була менше 8, тобто | в* - у |< 8.

Надійністю g або довірчою ймовірністю оцінки по * називається ймовірність g, з якою здійснюється нерівність | в * - в |< 8, т. е.

Зазвичай надійність g задають наперед, причому за g беруть число, близьке до 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Оскільки нерівність |в * - в|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Інтервал (* - 8, * 5) називається довірчим інтервалом, тобто довірчий інтервал покриває невідомий параметр з ймовірністю у. Зауважимо, що кінці довірчого інтервалу є випадковими і змінюються від вибірки до вибірки, тому точніше говорити, що інтервал (в * - 8, в * + 8) покриває невідомий параметр, а не належить цьому інтервалу.

Нехай генеральна сукупність задана випадковою величиною X, розподіленою за нормальним законом, причому, середнє квадратичне відхилення відомо. Невідомим є математичне очікування а = М(Х). Потрібно знайти довірчий інтервал для а при заданій надійності.

Вибіркова середня

є статистичною оцінкою для хг = а.

Теорема. Випадкова величина хВ має нормальний розподіл, якщо X має нормальний розподіл і М (ХВ) = а,

А (XВ) = а де а = у/Б (X), а = М (X). л/і

Довірчий інтервал для а має вигляд:

Знаходимо 8.

Користуючись співвідношенням

де Ф(г) - функція Лапласа, маємо:

Р (|XВ - а |<8} = 2Ф

таблиці значень функції Лапласа знаходимо значення t.

Позначивши

T, отримаємо F(t) = g Так як g задана, то

З рівності Знаходимо-точність оцінки.

Значить, довірчий інтервал для має вигляд:

Якщо задана вибірка із генеральної сукупності X

n = U1 + ... + nm, то довірчий інтервал буде:

Приклад 6.35. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікування а нормального розподілу з надійністю 0,95, знаючи середню вибіркову Xb = 10,43, обсяг вибірки n = 100 і середнє квадратичне відхилення s = 5.

Скористаємося формулою

Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікування генеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхилення та похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .

Точкова та інтервальна оцінки середнього значення

Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величини генеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховане за вибіркою спостережень. У разі значення середнього вибірки - випадкової величини - не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .

Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:

,

α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.

Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:

.

Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо

• відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
• або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.

Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.

приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% від числа працівників кафе.

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.

приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:

сума значень у спостереженнях,

сума квадратів відхилення значень від середнього .

Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.

обчислимо стандартне відхилення:

,

обчислимо середнє значення:

.

Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.

приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?

Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.

Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.

Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.

Точкова та інтервальна оцінки частки

Питому вагу деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінку частки pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :

.

приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.

ДОВІРНИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Нехай відомо, що сл. величина x підкоряється нормальному закону з невідомим середнім μ і відомою σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 поставлено, μ не відомо. Встановлено β. За вибіркою x 1, x 2, … , x n треба побудувати I β (θ) (зараз θ = μ), що задовольняє (13)

Вибіркове середнє (кажуть також вибіркова середня) підпорядковується нормальному закону з тим самим центром μ, але меншою дисперсією X~N (μ , D ), де дисперсією D = 2 = 2 /n.

Нам знадобиться число β , що визначається для ξ~N(0,1) умовою

Словами: між точками -К і К осі абсцис лежить площа під кривою щільності стандартного нормального закону, рівна β

Наприклад, До 0,90 =1,645 квантиль рівня 0,95 величини ξ

K 0,95 = 1,96. ; До 0,997 =3.

Зокрема, відклавши від центру будь-якого нормального закону 1,96 стандартних відхилень вправо і стільки ж вліво, ми захопимо площу під кривою щільності, рівну 0.95, внаслідок чого К 095 є квантиллю рівня 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 для цього закону.

Шуканий довірчий інтервал для генерального середнього μ є IA (μ) = (х-σ, х+σ),

де δ = (15)

Дамо обґрунтування:

За сказаним, сл. величина інтервал J=μ±σ потрапляє з ймовірністю β (рис.9). У цьому випадку величина відхиляється від центру менше, ніж на δ , і випадковий інтервал ± δ (з випадковим центром і такою самою як у J ширини) накриє точку μ. Тобто Є J<=> μ Є I β ,тому Р(μЕІ β ) = Р( Є J )=β.

Отже, постійний за вибіркою інтервал I β містить середнє з ймовірністю β.

Зрозуміло, що більше n, то менше σ і вже інтервал, чим більше ми беремо гарантію β, тим довірчий інтервал ширше.

Приклад 21.

За вибіркою з n=16 для нормальної величини з відомою дисперсією 2 =64 знайдено х=200. Побудувати довірчий інтервал для генерального середнього (інакше кажучи, математичного очікування) μ, прийнявши β=0,95.

Рішення. I β (μ)= ± δ, де δ = К β σ/ -> До β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

Роблячи висновок, що з гарантією β=0,95 справжнє середнє належить інтервалу (196,204), ми розуміємо, що можлива помилка.

Зі 100 довірчих інтервалів I 0. 95 (μ) в середньому 5 не містять μ.

Приклад 22.

Яким за умов попереднього прикладу 21 слід взяти n, щоб удвічі звузити довірчий інтервал? Щоб мати 2δ=4, треба взяти

Насправді часто користуються односторонніми довірчими інтервалами. Так, якщо корисні або не страшні високі значення μ, але не приємні низькі, як у випадку з міцністю або надійністю, то резонно будувати односторонній інтервал. Для цього слід максимально підняти його верхню межу. Якщо ми збудуємо, як у прикладі 21, двосторонній довірчий інтервал для заданого β, а потім максимально розширимо його за рахунок однієї з кордонів, то отримаємо односторонній інтервал з більшою гарантією β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, наприклад, якщо β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Наприклад, вважатимемо, що йдеться про міцність виробу і піднімемо верхню межу інтервалу до . Тоді для у прикладі 21 отримаємо односторонній довірчий інтервал (196,°°) з нижньою межею 196 і довірчою ймовірністю β"=0,95+0,05/2=0,975.

Практичним недоліком формули (15)_є те, що вона виведена в припущенні, що дисперсія = σ 2 (звідси і = σ 2 /n) відома; а це буває у житті рідко. Виняток становить випадок, коли обсяг вибірки великий, скажімо, n вимірюється сотнями або тисячами і тоді за 2 можна практично прийняти її оцінку s 2 або .

Приклад 23.

Припустимо, у деякому великому місті внаслідок вибіркового обстеження житлових умов мешканців отримано наступну таблицю даних (приклад із роботи).

Таблиця 8

Вихідні дані, наприклад

Природно припустити, що сл. величина X - загальна (корисна) площа (м2), що припадає на одну людину підпорядковується нормальному закону. Середня μ та дисперсія σ 2 не відомі. Для μ потрібно побудувати 95% довірчий інтервал. Щоб за групованими даними знайти вибіркові середні та дисперсію, складемо наступну таблицю викладок (табл.9).

Таблиця 9

Обчислення X та 5 за згрупованими даними

У цій допоміжній таблиці за формулою (2) підраховано перший та другий початкові статистичні моменти а 1і а 2

Хоча дисперсія σ 2 тут невідома, через великий обсяг вибірки можна практично застосувати формулу (15), поклавши у ній σ= =7.16.

Тоді δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Довірчий інтервал для середнього генерального при β=0,95 дорівнює I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Отже, середнє значення площі одну людину у цьому місті з гарантією 0.95 лежить у проміжку (18.54; 19.46).

2. Довірчий інтервал для математичного очікування у разі невідомої дисперсії σ 2 нормальної величини. Цей інтервал для заданої гарантії β будується за формулою де ν = n-1 ,

(16)

Коефіцієнт t β,ν має той самий сенс для t – розподілу з ν ступенями свободи, що до β для розподілу N(0,1), а саме:

.

Інакше кажучи, сл. Величина tν потрапляє до інтервалу (-t β,ν ; +t β,ν) з ймовірністю β. Значення t β,ν дано в табл.10 для β=0.95 і β=0.99.

Таблиця 10

Значення t β,ν

Повертаючись до прикладу 23, бачимо, що в ньому довірчий інтервал був побудований за формулою (16) з коефіцієнтом t β,? = k 0..95 = 1.96, т. К.