Види варіаційних рядів. Аналіз варіаційних рядів

Таблиця 1. Загальний вигляд дискретного варіаційного ряду частот

Таблиця 2. Загальний вигляд інтервального варіаційного ряду частот

Таблиця 3. Графічні зображення варіаційного ряду

Ряд	Полігон чи гістограма		Емпірична функція розподілу
Дискретний
Інтервальний

У табл. 2.3 (Угруповання населення Росії за розміром середньодушового доходу у квітні 1994р.) представлений інтервальний варіаційний ряд.
Зручно ряди розподілу аналізувати за допомогою графічного зображення, що дозволяє судити і про форму розподілу. Наочне уявлення про характер зміни частот варіаційного ряду дають полігон та гістограма.
Полігон використовується при зображенні дискретних варіаційних рядів.
Зобразимо, наприклад, графічно розподіл житлового фонду за типом квартир (табл. 2.10).
Таблиця 2.10 – Розподіл житлового фонду міського району за типом квартир (цифри умовні).

Мал. Полігон розподілу житлового фонду

Мал. 2.2. Гістограма розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу

Мал. 2.3. Кумулята розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу

Для графічного зображення варіаційних рядів може також використовуватися кумулятивна крива. За допомогою кумуляти (кривий сум) зображується ряд накопичених частот. Накопичені частоти визначаються шляхом послідовно підсумовування частот за групами і показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше ніж розглянуте значення.

Мал. 2.4. Огива розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу

При побудові кумуляти інтервального варіаційного ряду осі абсцис відкладаються варіанти ряду, а по осі ординат накопичені частоти.

Варіація визначаєвідмінності в значеннях будь-якої ознаки в різних одиниць даної сукупності в той самий період (момент часу). Причиною варіації бувають різні умови існування різних одиниць сукупності. Наприклад, навіть близнюки у процесі життя набувають відмінностей у зростанні, вазі, а також у таких ознаках, як рівень освіти, дохід, кількість дітей тощо.

Варіація виникає внаслідок того, що самі значення ознаки складаються під сумарним впливом різноманітних умов, що по-різному поєднуються в кожному окремому випадку. Таким чином, величина будь-якого варіанта є об'єктивною.

Варіація характернавсім без винятку явищам природи та суспільства, крім законодавчо закріплених нормативних значень окремих соціальних ознак. Дослідження варіації у статистиці мають велике значення, допомагають пізнати сутність явища, що вивчається. Знаходження варіації, з'ясування її причин, виявлення впливу окремих чинників дають важливу інформацію запровадження науково обгрунтованих управлінських рішень.

Середня величина дає узагальнену характеристику ознаки сукупності, але вона розкриває її будови. Середнє значення не показує, як розташовуються навколо неї варіанти середньої ознаки, чи вони розподілені поблизу середньої або відхиляються від неї. Середня у двох сукупностях може бути однаковою, але в одному варіанті всі індивідуальні значення відрізняються від неї незначно, а в іншому – ці відмінності є великими, тобто. у першому випадку варіація ознаки мала, тоді як у другому - велика, це має дуже важливе значення для характеристики значимості середньої величини.

Для того, щоб керівник організації, керівник, науковець могли вивчати варіацію та керувати нею, статистикою розроблено спеціальні методи дослідження варіації (система показників). З їхньою допомогою варіація знаходиться, характеризуються її властивості. До показників варіації відносяться : розмах варіації, середнє лінійне відхилення, коефіцієнт варіації

Варіаційний ряд та його форми

Варіаційний ряд- це впорядкований розподіл одиниць сукупності частіше за зростаючим (рідше спадаючим) значенням ознаки та підрахунок числа одиниць з тим чи іншим значенням ознаки. Коли чисельність одиниць сукупності велика, ранжований ряд стає громіздким, його побудова триває тривалий час. У такій ситуації варіаційний ряд будується за допомогою групування одиниць сукупності за значеннями ознаки, що вивчається.

Існують такі форми варіаційного ряду :

1. Ранжований рядє, перелік окремих одиниць сукупності у порядку зростання (зменшення) досліджуваного ознаки.
2. Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, що складається з двох рядків або граф: конкретних значень варіює ознаки х та числа одиниць сукупності з даним значення f - ознаки частот. Він будується тоді, коли ознака набуває найбільшої кількості значень.
3. Інтервальний ряд.

Розмах варіації визначаєтьсяяк абсолютна величина різниці між максимальними та мінімальними значеннями (варіантами) ознаки:

Розмах варіації показує лише крайні відхилення ознаки і відбиває окремих відхилень всіх варіантів у ряду. Він характеризує межі зміни варіюючої ознаки і залежить від коливань двох крайніх варіантів і абсолютно не пов'язаний з частотами в варіаційному ряду, тобто з характером розподілу, що надає цій величині випадковий характер. Для аналізу варіації необхідний показник, який відбиває всі коливання варіаційного ознаки і дає загальну характеристику. Найпростіший показник такого виду – середнє лінійне відхилення.

Варіаційний ряд - це статистичний ряд, що показує розподіл досліджуваного явища за величиною будь-якої кількісної ознаки. Наприклад, хворих за віком, термінами лікування, новонароджених за вагою тощо.

Варіанту - окремі значення ознаки, за якою проводиться угруповання (позначається V ) .

Частота- число, що показує, як часто зустрічається та чи інша варіанта (позначається P ) . Сума всіх частот показує загальне число спостережень та позначається n . Різниця між найбільшою та найменшою варіантою варіаційного ряду називається розмахом чи амплітудою .

Розрізняють варіаційні ряди:

1. Перервні (дискретні) та безперервні.

Ряд вважається безперервним, якщо групувальна ознака може виражатися дробовими величинами (вага, зростання тощо), перервною, якщо групувальна ознака виражається лише цілим числом (дні непрацездатності, число ударів пульсу тощо).

2.Прості та зважені.

Простий варіаційний ряд є рядом, у якому кількісне значення варіюючого ознаки зустрічається один раз. У зваженому варіаційному ряду кількісні значення ознаки, що варіює, повторюються з певною частотою.

3. Згруповані (інтервальні) та несгруповані.

Згрупований ряд має варіанти, об'єднані групи, що об'єднують їх за величиною в межах певного інтервалу. У несгрупованому ряду кожної окремої варіанті відповідає певна частота.

4. Парні та непарні.

У парних варіаційних рядах сума частот або загальна кількість спостережень виражена парним числом, у непарних - непарним.

5. Симетричні та асиметричні.

У симетричному варіаційному ряду всі види середніх величин збігаються або дуже близькі (мода, медіана, арифметичне середнє).

Залежно від характеру досліджуваних явищ, від конкретних завдань та цілей статистичного дослідження, а також від змісту вихідного матеріалу у санітарній статистиці застосовуються такі види середніх величин:

структурні середні (мода, медіана);

середня арифметична;

середня гармонійна;

середня геометрична;

середня прогресивна.

Мода (М про ) - величина варіюючого ознаки, що найчастіше зустрічається у досліджуваної сукупності тобто. варіанта, що відповідає найбільшій частоті. Знаходять її безпосередньо за структурою варіаційного ряду, не вдаючись до будь-яких обчислень. Вона зазвичай є дуже близькою до середньої арифметичної і дуже зручна в практичній діяльності.

Медіана (М е ) - ділить варіаційний ряд (ранжований, тобто значення варіант розташовуються в порядку зростання або спадання) на дві рівні половини. Медіана обчислюється за допомогою так званого непарного ряду, який одержують шляхом послідовного підсумовування частот. Якщо сума частот відповідає парному числу, тоді за медіану умовно приймають середню арифметичну із двох середніх значень.

Мода і медіана застосовують у разі незамкнутої сукупності, тобто. коли найбільша чи найменша варіанти немає точної кількісної характеристики (наприклад, до 15 років, 50 і більше тощо.). У цьому випадку середню арифметичну (параметричні характеристики) не можна розрахувати.

Середня я арифметична - Найпоширеніша величина. Середня арифметична позначається частіше через М.

Розрізняють середню арифметичну просту та зважену.

Середня арифметична проста обчислюється:

― у тих випадках, коли сукупність представлена ​​простим переліком знань ознаки у кожної одиниці;

― якщо кількість повторень кожної варіанти немає можливості визначити;

― якщо числа повторень кожної варіанти близькі між собою.

Середня арифметична проста обчислюється за такою формулою:

де V – індивідуальні значення ознаки; n – число індивідуальних значень;
- Знак підсумовування.

Таким чином, проста середня являє собою відношення суми варіант до спостережень.

Приклад: визначити середню тривалість перебування на ліжку 10 хворих на пневмонію:

16 днів – 1 хворий; 17-1; 18-1; 19-1; 20-1; 21-1; 22-1; 23-1; 26-1; 31-1.

ліжко-дня.

Середня арифметична зважена обчислюється у випадках, коли індивідуальні значення ознаки повторюються. Її можна обчислювати двояким способом:

1. Безпосереднім (середньоарифметичним або прямим способом) за формулою:

,

де P - частота (кількість випадків) спостережень кожної варіанти.

Таким чином, середня арифметична зважена являє собою відношення суми творів варіант на частоти до спостережень.

2. За допомогою обчислення відхилень від умовної середньої (за способом моментів).

Основою для обчислення виваженої середньої арифметичної є:

― згрупований матеріал за варіантами кількісної ознаки;

― всі варіанти повинні розташовуватися в порядку зростання або зменшення величини ознаки (ранжований ряд).

Для обчислення способом моментів обов'язковою умовою є однаковий розмір всіх інтервалів.

За способом моментів середня арифметична обчислюється за формулою:

,

де М про - умовна середня, яку частіше приймають величину ознаки, відповідну найбільшої частоті, тобто. яка найчастіше повторюється (Мода).

i – величина інтервалу.

a - умовне відхилення від умов середньої, що є послідовним рядом чисел (1, 2 і т.д.) зі знаком + для варіант великих умовної середньої і зі знаком-(-1, -2 і т.д.) для варіант, які нижчі від умовної середньої. Умовне відхилення від варіанти, прийнятої за умовну середню дорівнює 0.

P – частоти.

- загальна кількість спостережень чи n.

Приклад: визначити середнє зростання хлопчиків 8 років у безпосередній спосіб (таблиця1).

Таблиця 1

Центральна варіанта - середина інтервалу - визначається як напів сума початкових значень двох сусідніх груп:

;
і т.д.

Добуток VP отримують шляхом множення центральних варіантів на частоти
;
і т.д. Потім отримані твори складають та отримують
, Яку ділять на число спостережень (100) і отримують середню арифметичну зважену.

див.

Це завдання вирішимо за способом моментів, навіщо складається наступна таблиця 2:

Таблиця 2

n=100

Як М приймаємо 122, т.к. зі 100 спостережень у 33 чоловік зростання було 122см. Знаходимо умовні відхилення (a) від умовної середньої відповідно до вищесказаного. Потім отримуємо добуток умовних відхилень на частоти (aP) і підсумовуємо отримані величини (
). У підсумку вийде 17. Нарешті дані підставляємо у формулу:

При вивченні ознаки, що варіює, не можна обмежуватися тільки обчисленням середніх величин. Необхідно обчислювати і показники, що характеризують ступінь різноманітності ознак, що вивчаються. Величина тієї чи іншої кількісної ознаки неоднакова у всіх одиниць статистичної сукупності.

Характеристикою варіаційного ряду є середнє квадратичне відхилення ( ), яке показує розкид (розсіювання) досліджуваних ознак щодо середньої арифметичної, тобто. характеризує коливання варіаційного ряду. Воно може визначатися безпосереднім способом за такою формулою:

Середнє квадратичне відхилення дорівнює квадратному кореню із суми творів квадратів відхилень кожної варіанти від середньої арифметичної (V-M) 2 на свої частоти поділеної на суму частот (
).

Приклад обчислення: визначити середню кількість лікарняних листів, що видаються в поліклініці протягом дня (таблиця 3).

Таблиця 3

;

У знаменнику при числі спостережень менше 30 необхідно від
забирати одиницю.

Якщо ряд згрупований з рівними інтервалами, тоді можна визначити середнє відхилення за способом моментів:

,

де i – величина інтервалу;

- Умовне відхилення від умовної середньої;

P - частоти варіант відповідних інтервалів;

- загальна кількість спостережень.

Приклад обчислення : Визначити середню тривалість перебування хворих на терапевтичному ліжку (за способом моментів) (таблиця 4):

Таблиця 4

;

Бельгійський статистик А. Кетле виявив, що варіації масових явищ підпорядковуються закону розподілу помилок, відкритому майже одночасно К. Гауссом та П. Лапласом. Крива, що відображає цей розподіл, має вигляд дзвону. За нормальним законом розподілу коливання індивідуальних значень ознаки знаходиться в межах
що охоплює 99,73% всіх одиниць сукупності.

Підраховано, що якщо до середньої арифметичної додати і забрати , то в межах отриманих величин знаходиться 95,45% всіх членів варіаційного ряду і, нарешті, якщо до середньої арифметичної додати і забрати , то в межах отриманих величин перебуватиме 68,27% всіх членів даного варіаційного ряду. У медицині з величиною
1пов'язане поняття норми. Відхилення від середньої арифметичної більше, ніж на 1 , але менше, ніж на 2 є субнормальним, а відхилення більше, ніж на 2 ненормальним (вище чи нижче за норму).

У санітарній статистиці правило трьох сигм застосовується щодо фізичного розвитку, оцінці діяльності закладів охорони здоров'я, оцінці здоров'я населення. Це правило широко застосовується у народному господарстві щодо стандартів.

Таким чином, середнє квадратичне відхилення служить для:

― вимірювання дисперсії варіаційного ряду;

― характеристики ступеня різноманітності ознак, що визначаються коефіцієнтом варіації:

Якщо коефіцієнт варіації більше 20% – сильна різноманітність, від 20 до 10% – середня, менше 10% – слабка різноманітність ознак. Коефіцієнт варіації певною мірою є критерієм надійності середньої арифметичної.

Варіаційний ряд- Це ряд числових значень ознаки.

Основні характеристики варіаційного ряду: v - варіанти, р - частота її народження.

Види варіаційного ряду:

за частотою народження варіанти: простий - варіанти зустрічається один раз, зважений - варіанти зустрічається два і більше разів;

за розташуванням варіанти: ранжований – варіанти розташовані у порядку спадання та зростання, неранжований – варіанти записані без певного порядку;

по об'єднанню варіант групи: згрупований – варіанти об'єднані групи, несгрупированный – варіанти необ'єднані групи;

за величиною варіанти: безперервний - варіанти виражені цілим і дробовим числом, дискретний - варіанти виражені цілим числом, складний - варіанти представлені відносною або середньою величиною.

Варіаційний ряд складається та оформляється з метою розрахунку середніх величин.

Форма запису варіаційного ряду:

8. Середні величини, види, методика розрахунку, застосування у охороні здоров'я

Середні величини- Сукупна узагальнююча характеристика кількісних ознак. Застосування середніх величин:

1. Для характеристики організації роботи лікувально-профілактичних установ та оцінки їх діяльності:

а) у поліклініці: показники навантаження лікарів, середня кількість відвідувань, середня кількість мешканців на ділянці;

б) у стаціонарі: середня кількість днів роботи ліжка на рік; середня тривалість перебування у стаціонарі;

в) у центрі гігієни, епідеміології та громадського здоров'я: середня площа (або кубатура) на 1 особу, середні норми харчування (білки, жири, вуглеводи, вітаміни, мінеральні солі, калорії), санітарні норми та нормативи тощо;

2. Для характеристики фізичного розвитку (основних антропометричних ознак морфологічних та функціональних);

3. Для визначення медико-фізіологічних показників організму в нормі та патології у клінічних та експериментальних дослідженнях.

4. У спеціальних наукових дослідженнях.

Відмінність середніх величин від показників:

1. Коефіцієнти характеризують альтернативну ознаку, що зустрічається тільки в деякій частині статистичного колективу, який може мати місце або не мати місце.

Середні величини охоплюють ознаки, властиві всім членам колективу, але по-різному (вага, зростання, дні лікування лікарні).

2. Коефіцієнти застосовуються для вимірювання якісних ознак. Середні величини – для кількісних ознак, що варіюють.

Види середніх величин:

середня арифметична, її характеристики – середнє квадратичне відхилення та середня помилка

мода та медіана. Мода (Мо)– відповідає величині ознаки, що найчастіше зустрічається у цій сукупності. Медіана (Ме)– величина ознаки, що займає серединне значення у цій сукупності. Вона ділить ряд на 2 рівні частини за кількістю спостережень. Середня арифметична величина (М)- На відміну від моди та медіани спирається на всі зроблені спостереження, тому є важливою характеристикою для всього розподілу.

інші види середніх величин, що застосовуються у спеціальних дослідженнях: середня квадратична, кубічна, гармонійна, геометрична, прогресивна.

Середня арифметичнахарактеризує середній рівень статистичної сукупності.

Для простого ряду, де

∑v – сума варіант,

n – кількість спостережень.

для виваженого ряду, де

∑vр – сума творів кожної варіанти на частоту її народження

n – кількість спостережень.

Середнє квадратичне відхиленнясередньої арифметичної або сигма (σ) характеризує різноманітність ознаки

- для простого ряду

Σd 2 – сума квадратів різниці середньої арифметичної та кожної варіанти (d = │M-V│)

n – кількість спостережень

- для зваженого ряду

∑d 2 p – сума творів квадратів різниці середньої арифметичної та кожної варіанти на частоту її народження,

n – кількість спостережень.

Про рівень різноманітності можна судити за величиною коефіцієнта варіації
. Більше 20% – сильна різноманітність, 10-20% – середня різноманітність, менше 10% – слабка різноманітність.

Якщо до середньої арифметичної величини додати і відібрати від неї одну сигму (М ± 1σ), то при нормальному розподілі в цих межах перебуватиме не менше 68,3% всіх варіантів (спостережень), що вважається нормою для явища, що вивчається. Якщо до 2 ± 2σ, то в цих межах буде перебувати 95,5% всіх спостережень, а якщо до М ± 3σ, то в цих межах буде 99,7% всіх спостережень. Таким чином, середнє квадратичне відхилення є стандартним відхиленням, що дозволяє передбачити ймовірність появи такого значення ознаки, що вивчається, яке знаходиться в межах заданих меж.

Середня помилка середньої арифметичноїабо помилка репрезентативності. Для простого, зваженого рядів та за правилом моментів:

.

Для розрахунку середніх величин необхідно: однорідність матеріалу, достатньо спостережень. Якщо число спостережень менше 30, у формулах розрахунку і m використовують n-1.

При оцінці отриманого результату за розміром середньої помилки користуються довірчим коефіцієнтом, які дає можливість визначити вірогідність правильної відповіді, тобто він вказує на те, що отримана величина помилки вибірки буде не більшою за дійсну помилку, допущену внаслідок суцільного спостереження. Отже, зі збільшенням довірчої ймовірності збільшується ширина довірчого інтервалу, що, у свою чергу, підвищує довірливість судження, опорність отриманого результату.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності непостійні, більш-менш різняться між собою.

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантамизначень. Недостатність середньої величини для повної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається.

Наявність варіації обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Ці чинники діють з різною силою й у різних напрямах. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Завдання статистичного вивчення варіації:

• 1) вивчення характеру та ступеня варіації ознак у окремих одиниць сукупності;
• 2) визначення ролі окремих чинників чи його груп у варіації тих чи інших ознак сукупності.

У статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, здопомогою яких вимірюється варіація.

Дослідження варіацій має важливе значення. Вимірювання варіацій необхідне під час проведення вибіркового спостереження, кореляційному та дисперсійному аналізі тощо. Єрмолаєв О.Ю. Математична статистика для психологів: Підручник [Текст]/О.Ю. Єрмолаєв. – М.: Вид-во Флінта Московського психолого-соціального інституту, 2012. – 335с.

За рівнем варіації можна будувати висновки про однорідності сукупності, про стійкість окремих значень ознак і типовості середньої. На основі розробляються показники тісноти зв'язку між ознаками, показники оцінки точності вибіркового спостереження.

Розрізняють варіацію у просторі та варіацію у часі.

Під варіацією у просторі розуміють коливання значень ознаки в одиниць сукупності, що представляють окремі території. Під варіацією у часі мають на увазі зміну значень ознаки у різні періоди часу.

Для вивчення варіації у лавах розподілу проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому чи спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.

Найпростішими ознаками варіації є мінімум та максимум- Найменше та найбільше значення ознаки в сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення (fi). Частоти зручно замінювати частостями – wi. Частина - відносний показник частоти, що може бути виражений у частках одиниці чи відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень. Виражається формулою:

де Хmax, Хmin - максимальне та мінімальне значення ознаки в сукупності; n – число груп.

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє відхилення квадратичне. До відносних показників коливання відносять коефіцієнт осциляції, відносне лінійне відхилення, коефіцієнт варіації.

Приклад знаходження варіаційного ряду

Завдання.За цією вибіркою:

• а) Знайти варіаційний ряд;
• б) побудувати функцію розподілу;

№ = 42. Елементи вибірки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Рішення.

• а) побудова ранжованого варіаційного ряду:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• б) побудова дискретного варіаційного ряду.

Обчислимо число груп у варіаційному ряді, користуючись формулою Стерджесса:

Приймемо число груп, рівним 7.

Знаючи число груп, розрахуємо величину інтервалу:

Для зручності побудови таблиці приймемо число груп рівним 8 інтервал складе 1.

Мал. 1 Обсяг продажу магазином товару за певний проміжок часу