Як знайти варіаційний ряд. Варіаційний ряд та його характеристики
Варіація визначаєвідмінності в значеннях будь-якої ознаки в різних одиниць даної сукупності в той самий період (момент часу). Причиною варіації бувають різні умови існування різних одиниць сукупності. Наприклад, навіть близнюки у процесі життя набувають відмінностей у зростанні, вазі, а також у таких ознаках, як рівень освіти, дохід, кількість дітей тощо.
Варіація виникає внаслідок того, що самі значення ознаки складаються під сумарним впливом різноманітних умов, які по-різномупоєднуються у кожному окремому випадку. Таким чином, величина будь-якого варіанта є об'єктивною.
Варіація характернавсім без винятку явищам природи та суспільства, крім законодавчо закріплених нормативних значень окремих соціальних ознак. Дослідження варіації у статистиці мають велике значення, допомагають пізнати сутність явища, що вивчається. Знаходження варіації, з'ясування її причин, виявлення впливу окремих факторів дають важливу інформаціюдля впровадження науково обґрунтованих управлінських рішень.
Середня величина дає узагальнену характеристику ознаки сукупності, але вона розкриває її будови. Середнє значення не показує, як розташовуються навколо неї варіанти середньої ознаки, чи вони розподілені поблизу середньої або відхиляються від неї. Середня у двох сукупностях може бути однаковою, але в одному варіанті всі індивідуальні значення відрізняються від неї незначно, а в іншому – ці відмінності є великими, тобто. у першому випадку варіація ознаки мала, тоді як у другому - велика, це має дуже важливе значенняхарактеристики значимості середньої величини.
Для того, щоб керівник організації, керівник, науковець могли вивчати варіацію та керувати нею, статистикою розроблено спеціальні методи дослідження варіації (система показників). З їхньою допомогою варіація знаходиться, характеризуються її властивості. До показників варіації відносяться : розмах варіації, середнє лінійне відхилення, коефіцієнт варіації
Варіаційний ряд та його форми
Варіаційний ряд- це впорядкований розподіл одиниць сукупності частіше за зростаючим (рідше спадаючим) значенням ознаки та підрахунок числа одиниць з тим чи іншим значенням ознаки. Коли чисельність одиниць сукупності більша, ранжований ряд стає громіздким, його побудова займає тривалий час. У такій ситуації варіаційний ряд будується за допомогою групування одиниць сукупності за значеннями ознаки, що вивчається.
Існують такі форми варіаційного ряду :
- Ранжований рядє, перелік окремих одиниць сукупності у порядку зростання (зменшення) досліджуваного ознаки.
- Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, що складається з двох рядків або граф: конкретних значень варіює ознаки х та числа одиниць сукупності з даним значення f - ознаки частот. Він будується тоді, коли ознака приймає найбільша кількістьзначень.
- Інтервальний ряд.
Розмах варіації визначаєтьсяяк абсолютна величина різниці між максимальними та мінімальними значеннями (варіантами) ознаки:
Розмах варіації показує лише крайні відхилення ознаки і відбиває окремих відхилень всіх варіантів у ряду. Він характеризує межі зміни варіюючої ознаки і залежить від коливань двох крайніх варіантів і абсолютно не пов'язаний з частотами в варіаційному ряду, тобто з характером розподілу, що надає цій величині випадковий характер. Для аналізу варіації потрібен показник, який відбиває всі коливання варіаційної ознакиі дає загальну характеристику. Найпростіший показник такого виду – середнє лінійне відхилення.
Варіаційні лави: визначення, види, основні характеристики. Методика розрахунку
моди, медіани, середньої арифметичної у медико-статистичних дослідженнях
(Показати на умовному прикладі).
Варіаційний ряд - це ряд числових значень досліджуваної ознаки, що відрізняються один від одного за своєю величиною і розташованих у певній послідовності (у висхідному або спадному порядку). Кожне числове значення ряду називають варіантом (V), а числа, що показують, як часто зустрічається та чи інша варіанта у складі даного рядуназивається частотою (р).
Загальна кількість випадків спостережень, у тому числі варіаційний ряд складається, позначають буквою n. Відмінність у значенні досліджуваних ознак називається варіацією. У разі якщо варіювальна ознака не має кількісної міри, варіацію називають якісною, а ряд розподілу – атрибутивним (наприклад, розподіл за результатом захворювання, станом здоров'я тощо).
Якщо ознака, що варіює, має кількісне вираження, таку варіацію називають кількісною, а ряд розподілу - варіаційним.
Варіаційні ряди діляться на перервні і безперервні – за характером кількісної ознаки, прості та зважені – за частотою варіант.
У простому варіаційному ряду кожна варіанта зустрічається лише один раз (р = 1), у зваженому - одна й та ж варіанта зустрічається кілька разів (р> 1). Приклади таких рядів будуть розглянуті далі за текстом. Якщо кількісний ознака має безперервний характер, тобто. між цілими величинами є проміжні дробові величини, варіаційний ряд називається безперервним.
Наприклад: 10,0 – 11,9
14,0 - 15,9 і т.д.
Якщо кількісний ознака має перервний характер, тобто. окремі значення (варіанти) відрізняються один від одного на ціле число і не мають проміжних дробових значень, варіаційний ряд називають перервним або дискретним.
Використовуючи дані попереднього прикладу про частоту пульсу
у 21 студентів, збудуємо варіаційний ряд (табл. 1).
Таблиця 1
Розподіл студентів-медиків за частотою пульсу (уд/хв)
Отже, побудувати варіаційний ряд – означає числові значення (варіанти) систематизувати, упорядкувати, тобто. розташувати у певній послідовності (у висхідному або спадному порядку) з відповідними частотами. У прикладі варіанти розташовані у висхідному порядку і виражені у вигляді цілих перервних (дискретних) чисел, кожна варіанта зустрічається кілька разів, тобто. ми маємо справу з виваженим, перервним чи дискретним варіаційним рядом.
Як правило, якщо кількість спостережень у вивчається нами статистичної сукупності не перевищує 30, то достатньо всі значення ознаки, що вивчається, розмістити в варіаційному ряду в наростаючому, як у табл. 1, або спадному порядку.
При великій кількості спостережень (n>30) кількість варіантів може бути дуже великим, в цьому випадку складається інтервальний або згрупований варіаційний ряд, в якому для спрощення подальшої обробки і з'ясування характеру розподілу варіанти об'єднані в групи.
Зазвичай число групових варіантів коливається від 8 до 15.
Їх має не менше 5, т.к. інакше це буде надто грубе, надмірне укрупнення, що спотворює загальну картинуваріювання та сильно позначається на точності середніх величин. При числі групових варіант більше 20-25 збільшується точність обчислення середніх величин, але суттєво спотворюються особливості варіювання ознаки та ускладнюється математична обробка.
При складанні згрупованого ряду необхідно врахувати,
− групи варіант повинні розташовуватися в певному порядку (у висхідному або низхідному);
− інтервали у групах варіант мають бути однаковими;
− значення меж інтервалів нічого не винні збігатися, т.к. неясно буде, до яких груп відносити окремі варіанти;
− необхідно враховувати якісні особливості матеріалу, що збирається при встановленні меж інтервалів (наприклад, при вивченні ваги дорослих людей інтервал 3-4 кг допустимо, а для дітей перших місяців життя він не повинен перевищувати 100 г.)
Побудуємо згрупований (інтервальний) ряд, що характеризує дані про частоту пульсу (число ударів за хвилину) у 55 студентів-медиків перед іспитом: 64, 66, 60, 62,
64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,
64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,
79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.
Для побудови згрупованого ряду необхідно:
1. Визначити величину інтервалу;
2. Визначити середину, початок та кінець груп варіант варіаційного ряду.
● Розмір інтервалу (i) визначається за кількістю передбачуваних груп (r), кількість яких встановлюється залежно від кількості спостережень (n) за спеціальною таблицею
Число груп в залежності від числа спостережень:
У нашому випадку, для 55 студентів можна скласти від 8 до 10 груп.
Розмір інтервалу (i) визначається за такою формулою –
i = V max-V min/r
У прикладі величина інтервалу дорівнює 82- 58/8= 3.
Якщо величина інтервалу є дробовим числом, отриманий результат слід округлити до цілого числа.
Розрізняють кілька видів середніх величин:
● середня гармонійна,
● середня прогресивна,
● медіана
У медичної статистикинайчастіше користуються середніми арифметичними величинами.
Середня арифметична величина (М) є узагальнюючою величиною, яка визначає те типове, що притаманно всієї сукупності. Основними способами розрахунку М є: середньоарифметичний спосіб та спосіб моментів (умовних відхилень).
Середньоарифметичний спосіб застосовується для обчислення середньої арифметичної простої та середньої арифметичної зваженої. Вибір методу розрахунку середньої арифметичної величини залежить від виду варіаційного ряду. У разі простого варіаційного ряду, в якому кожен варіант зустрічається лише один раз, визначається середня арифметична проста за формулою:
де: М - Середня арифметична величина;
V - значення варіює ознаки (варіанти);
Σ – вказує дію – підсумовування;
n – загальне числоспостережень.
Приклад розрахунку середньої арифметичної простий. Частота дихання (число дихальних рухів за хвилину) у 9 чоловіків віком 35 років: 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.
Для визначення середнього рівня частоти дихання у чоловіків віком 35 років необхідно:
1. Побудувати варіаційний ряд, розташувавши всі варіанти у зростаючому чи спадному порядку Ми отримали простий варіаційний ряд, т.к. Значення варіант зустрічаються лише один раз.
M = ∑V/n = 171/9 = 19 дихальних рухів за хвилину
Висновок. Частота дихання у чоловіків віком 35 років у середньому дорівнює 19 дихальним рухам за хвилину.
Якщо окремі значення варіант повторюються, нема чого виписувати в лінію кожну варіанту, достатньо перерахувати розміри варіант (V), що зустрічаються, і поруч вказати число їх повторень (р). такий варіаційний ряд, у якому варіанти ніби зважуються за кількістю відповідних їм частот, носить назву - зважений варіаційний ряд, а розраховується середня величина– середньої арифметичної зваженої.
Середня арифметична зважена визначається за такою формулою: M= ∑Vp/n
де n – кількість спостережень, рівну сумічастот - Σр.
Приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої.
Тривалість непрацездатності (в днях) у 35 хворих на гострі респіраторні захворювання (ГРЗ), що лікувалися у дільничного лікаря протягом I-го кварталу поточного року склала: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6, 7 днів .
Методика визначення середньої тривалості непрацездатності у хворих на ГРЗ наступна:
1. Побудуємо зважений варіаційний ряд, т.к. окремі значення варіанта повторюються кілька разів. Для цього можна розмістити всі варіанти у зростаючому або спадному порядку з відповідними частотами.
У нашому випадку варіанти розташовані у зростаючому порядку
2. Розрахуємо середню арифметичну виважену за формулою: M = ∑Vp/n = 233/35 = 6,7 днів
Розподіл хворих з ГРЗ за тривалістю непрацездатності:
| Тривалість непрацездатності (V) | Число хворих (p) | Vp |
| ∑p = n = 35 | ∑Vp = 233 |
Висновок. Тривалість непрацездатності у хворих на гострі респіраторні захворювання склала в середньому 6,7 днів.
Мода (Мо) – варіанти, що найчастіше зустрічаються в варіаційному ряду. Для розподілу, представленого в таблиці, моді відповідає варіанта, що дорівнює 10, вона зустрічається частіше за інших - 6 разів.
Розподіл хворих за тривалістю перебування на лікарняному ліжку (в днях)
| V |
| p |
Іноді точну величину моди встановити важко, оскільки в даних може існувати кілька спостережень, що зустрічаються «найчастіше».
Медіана (Ме) - непараметричний показник, що ділить варіаційний ряд на дві рівні половини: в обидві сторони від медіани розташовується однакова кількість варіантів.
Наприклад, для розподілу, зазначеного в таблиці, медіана дорівнює 10 т.к. по обидві сторони цієї величини розташовується по 14 варіант, тобто. число 10 займає центральне положення у цьому ряду і є його медіаною.
Враховуючи, що кількість спостережень у цьому прикладі парна (n=34), медіану можна визначити таким чином:
Me = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17
Це означає, що середина ряду посідає сімнадцяту за рахунком варіанта, якій відповідає медіана, що дорівнює 10. Для розподілу, представленого в таблиці, середня арифметична дорівнює:
M = ∑Vp/n = 334/34 = 10,1
Отже, для 34 спостережень із табл. 8 ми отримали: Мо=10, Ме=10, середня арифметична (М) дорівнює 10,1. У нашому прикладі всі три показники виявилися рівними або близькими один до одного, хоча вони абсолютно різні.
Середня арифметична є результативною сумою всіх впливів, у формуванні її беруть участь усі без винятку варіанти, у тому числі й крайні, часто нетипові для даного явищачи сукупності.
Мода і медіана, на відміну від середньої арифметичної, не залежать від величини всіх індивідуальних значень ознаки, що варіює (значень крайніх варіант і ступеня розсіювання ряду). Середня арифметична характеризує всю масу спостережень, мода та медіана – основну масу
Статистичний ряд розподілу– це впорядкований розподіл одиниць сукупності на групи за певною ознакою, що варіює.Залежно від ознаки, покладеної в основу утворення ряду розподілу, розрізняють атрибутивні та варіаційні ряди розподілу.
Наявність загальної ознаки є основою для утворення статистичної сукупності, яка є результатами опису або вимірювання загальних ознакоб'єктів дослідження.
Предметом вивчення в статистиці є ознаки, що змінюються (варіюють) або статистичні ознаками.
Види статистичних ознак.
Атрибутивними називають ряди розподілу, побудовані за якісними ознаками Атрибутивний- Це ознака, що має найменування, (наприклад професія: швачка, вчитель і т.д.).
Ряд розподілу прийнято оформляти як таблиць. У табл. 2.8 наведено атрибутивний ряд розподілу.
Таблиця 2.8 – Розподіл видів юридичної допомоги, наданої адвокатами громадянам одного з регіонів РФ.
Варіаційними рядами називають ряди розподілу, побудовані за кількісною ознакою Будь-який варіаційний ряд складається з двох елементів: варіантів та частот.
Варіантами вважаються окремі значення ознаки, які він набуває в варіаційному ряду.
Частоти – це чисельності окремих варіантів чи кожної групи варіаційного низки, тобто. це числа, що показують, як часто зустрічаються ті чи інші варіанти у розподілі. Сума всіх частот визначає чисельність усієї сукупності, її обсяг.
Частинами називаються частоти, виражені у частках одиниці чи відсотках до результату. Відповідно сума частостей дорівнює 1 або 100%. Варіаційний ряд дозволяє за фактичними даними оцінити форму закону розподілу.
Залежно від характеру варіації ознаки розрізняють дискретні та інтервальні варіаційні ряди.
Приклад дискретного варіаційного ряду наведено у табл. 2.9.
Таблиця 2.9 - Розподіл сімей за кількістю кімнат в окремих квартирах в 1989 р. в РФ.
Варіаційний ряд
У генеральної сукупностідосліджується деяка кількісна ознака. З неї випадково витягується вибірка обсягу n, тобто кількість елементів вибірки дорівнює n. На першому етапі статистичної обробкивиробляють ранжуваннявибірки, тобто. упорядкування чисел x 1 , x 2 , …, x nза зростанням. Кожне значення, що спостерігається x iназивається варіантом. Частота m i- Це число спостережень значення x iу вибірці. Відносна частота (частина) w i- Це відношення частоти m iдо обсягу вибірки n: .При вивченні варіаційного ряду також використовують поняття накопиченої частоти та накопиченої частоти. Нехай xкілька. Тоді кількість варіантів , значення яких менше xназивається накопиченою частотою: для x i
Ознака називається дискретно варіюється, якщо його окремі значення (варіанти) відрізняються один від одного на деяку кінцеву величину (зазвичай ціле число). Варіаційний ряд такої ознаки називається дискретним варіаційним рядом.
Таблиця 1. Загальний вигляд дискретного варіаційного ряду частот
| Значення ознаки | x i | x 1 | x 2 | … | x n |
| Частоти | m i | m 1 | m 2 | … | m n |
Ознака називається безперервно варіюючим, якщо його значення відрізняються один від одного на скільки завгодно малу величину, тобто. ознака може набувати будь-яких значень у певному інтервалі. Безперервний варіаційний ряд для такої ознаки називається інтервальною.
Таблиця 2. Загальний вигляд інтервального варіаційного ряду частот
Таблиця 3. Графічні зображення варіаційного ряду
| Ряд | Полігон чи гістограма | Емпірична функція розподілу | |
| Дискретний |  |  |  |
| Інтервальний |  |  |  |
Для графічного зображення варіаційних рядів найчастіше використовуються полігон, гістограма, крива кумулятивна і емпірична функція розподілу.
У табл. 2.3 (Угруповання населення Росії за розміром середньодушового доходу у квітні 1994р.) представлений інтервальний варіаційний ряд.
Зручно ряди розподілу аналізувати за допомогою графічного зображення, що дозволяє судити і про форму розподілу. Наочне уявлення про характер зміни частот варіаційного ряду дають полігон та гістограма.
Полігон використовується при зображенні дискретних варіаційних рядів.
Зобразимо, наприклад, графічно розподіл житлового фонду за типом квартир (табл. 2.10).
Таблиця 2.10 – Розподіл житлового фонду міського району за типом квартир (цифри умовні).
Рис. Полігон розподілу житлового фонду
На осі ординат можуть наноситися як значення частот, а й частостей варіаційного ряду.
Гістограма приймається для зображення інтервального варіаційного ряду. При побудові гістограми осі абсцис відкладаються величини інтервалів, а частоти зображуються прямокутниками, побудованими на відповідних інтервалах. Висота стовпчиків у разі рівних інтервалів має бути пропорційна частотам. Гістограма - графік, на якому ряд зображений у вигляді суміжних один з одним стовпчиків.
Зобразимо графічно інтервальний рядрозподілу, наведений у табл. 2.11.
Таблиця 2.11 – Розподіл сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу (цифри умовні).
| N п/п | Групи сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу | Число сімей з цим розміром житлової площі | Накопичена кількість сімей |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| ВСЬОГО | 115 | ---- | |
Рис. 2.2. Гістограма розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу
Використовуючи дані накопиченого ряду (табл. 2.11), збудуємо кумуляту розподілу.
Рис. 2.3. Кумулята розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу
Зображення варіаційного ряду у вигляді кумуляти є особливо ефективним для варіаційних рядів, частоти яких виражені в частках або відсотках до суми частот ряду.
Якщо при графічному зображенні варіаційного ряду у вигляді кумуляти осі поміняти, ми отримаємо огиву. На рис. 2.4 наведено огива, побудована на основі даних табл. 2.11.
Гістограма може бути перетворена на полігон розподілу, якщо знайти середини сторін прямокутників і потім ці точки з'єднати прямими лініями. Отриманий полігон розподілу зображено на рис. 2.2 пунктирною лінією.
При побудові гістограми розподілу варіаційного ряду з нерівними інтервалами по осі ординат наносять частоти, а щільність розподілу ознаки у відповідних інтервалах.
Щільність розподілу – це частота, розрахована одиницю ширини інтервалу, тобто. скільки одиниць у кожній групі посідає одиницю величини інтервалу. Приклад розрахунку густини розподілу представлений у табл. 2.12.
Таблиця 2.12 – Розподіл підприємств за кількістю зайнятих (цифри умовні)
| N п/п | Групи підприємств за кількістю зайнятих, чол. | Число підприємств | Розмір інтервалу, чол. | Щільність розподілу |
| А | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | До 20 | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| ВСЬОГО | 147 | ---- | ---- |
Для графічного зображення варіаційних рядів може також використовуватися кумулятивна крива. За допомогою кумуляти (кривий сум) зображується ряд накопичених частот. Накопичені частоти визначаються шляхом послідовно підсумовування частот за групами і показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше ніж розглянуте значення.
Рис. 2.4. Огива розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну особу
При побудові кумуляти інтервального варіаційного ряду осі абсцис відкладаються варіанти ряду, а по осі ординат накопичені частоти.
Приклад вирішення контрольної роботи з математичної статистики
Завдання 1
Початкові дані : студенти певної групи, що складається з 30 осіб, склали іспит з курсу «Інформатика». Отримані студентами оцінки утворюють наступний ряд чисел:
I. Складемо варіаційний ряд
|
m x |
w x |
m x нак |
w x нак |
|
|
Разом: |
ІІ. Графічне подання статистичних відомостей.
ІІІ. Числові характеристики вибірки.
1. Середнє арифметичне
2. Середнє геометричне
3. Мода 
4. Медіана
222222333333333 | 3 34444444445555
5. Вибіркова дисперсія
7. Коефіцієнт варіації
8. Асиметрія
9. Коефіцієнт асиметрії
10. Ексцес
11. Коефіцієнт ексцесу
Завдання 2
Початкові дані : студенти певної групи написали випускну контрольну роботу Група складається із 30 осіб. Набрані студентами бали утворюють наступний ряд чисел
Рішення
I. Оскільки ознака набуває багато різних значень, то для нього побудуємо інтервальний варіаційний ряд. Для цього спочатку задаємо величину інтервалу h. Скористайтеся формулою Стерджера
Складемо шкалу інтервалів. При цьому за верхню межу першого інтервалу приймемо величину, що визначається за формулою:
Верхні межі наступних інтервалів визначимо за наступною рекурентною формулою:
тоді
Побудова шкали інтервалів закінчуємо, оскільки верхня межа чергового інтервалу стала більшою або дорівнює максимальному значенню вибірки 
.
|
|
|
|
|
|
ІІ. Графічне відображення інтервального варіаційного ряду
ІІІ. Числові характеристики вибірки
Для визначення числових характеристик вибірки складемо допоміжну таблицю
|
|
|
|
|
|
|
|
Сума: |
1. Середнє арифметичне
2. Середнє геометричне
3. Мода 
4. Медіана
10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20
5. Вибіркова дисперсія
6. Вибіркове стандартне відхилення
7. Коефіцієнт варіації
8. Асиметрія
9. Коефіцієнт асиметрії
10. Ексцес
11. Коефіцієнт ексцесу
Завдання 3
Умова : ціна розподілу шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Показання округляють до найближчого цілого розподілу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку, що перевищує 0,02 А.
Рішення.
Помилка округлення відліку можна розглядати як випадкову величину Хяка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділами. Щільність рівномірного розподілу
,
де 
- Довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х; поза цим інтервалом 
У даній задачі довжина інтервалу, в якому укладено можливі значення Х, дорівнює 0,1, тому
Помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде укладена в інтервалі (0,02; 0,08). Тоді
Відповідь: р=0,6
Завдання 4
Початкові дані: математичне очікування та стандартне відхилення нормально розподіленої ознаки Хвідповідно дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабере значення, укладене в інтервалі (12, 14).
Рішення.
Скористаємося формулою
І теоретичними частотами 
Для Х її математичне очікування M(X) та дисперсію D(X). Рішення. Знайдемо функцію розподілу F(x) довільної величини... помилка вибірки). Складемо варіаційний рядШирина інтервалу складе: Для кожного значення рядупідрахуємо, скільки...
Рішення: рівняння з змінними, що розділяються
РішенняДля перебування приватного рішеннянеоднорідного рівняння складемосистему Розв'яжемо отриману систему... ; +47; +61; +10; -8. Побудувати інтервальний варіаційний ряд. Дати статистичні оцінки середнього значення.
Рішення: Проведемо розрахунок ланцюгових та базисних абсолютних приростів, темпів зростання, темпів приросту. Отримані значення зведемо до таблиці 1
РішенняОбсяг виробництва. Рішення: Середня арифметична інтервального варіаційного рядуобчислюється так: за... Гранична помилка вибірки з ймовірністю 0,954 (t=2) складе: Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Визначимо межі...
Рішення. Ознака
РішенняПро трудовий стаж яких і склаливибірку. Середній за вибіркою стаж... робочого дня цих співробітників та склаливибірку. Середня за вибіркою тривалість... 1,16, рівень значущості α = 0,05. Рішення. Варіаційний рядданої вибірки має вигляд: 0,71 ...
Робоча навчальна програма з біології для 10-11 класів Укладач: Полікарпова С. В
Робоча навчальна програмаНайпростіших схем схрещування» 5 Л.Р. « Рішенняелементарних генетичних завдань» 6 Л.Р. « Рішенняелементарних генетичних завдань» 7 Л.Р. «..., 110, 115, 112, 110. Складіть варіаційний ряд, накресліть варіаційнукриву, знайдіть середню величину ознаки...
Варіаційний ряд - ряд, в якому зіставлені (за ступенем зростання або спадання) варіантита відповідні їм частоти
‚Варіанти – окремі кількісні вирази ознаки. Позначаються латинською літерою V . Класичне розуміння терміна "варіанту" передбачає, що варіантом називається кожне унікальне значення ознаки, без урахування кількості повторів.
Наприклад, у варіаційному ряді показників систолічного артеріального тиску, виміряного у десяти пацієнтів:
110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;
варіантами є лише 6 значень:
110, 120, 130, 140, 160, 170.
Частота – число, що показує, скільки разів повторюється варіанта. Позначається латинською літерою P . Сума всіх частот (яка, зрозуміло, дорівнює числу всіх досліджуваних) позначається як n.
- У прикладі частоти прийматимуть такі значения:
- для варіанти 110 частота Р = 1 (значення 110 зустрічається в одного пацієнта),
- для варіанти 120 частота Р = 2 (значення 120 зустрічається у двох пацієнтів),
- для варіанти 130 частота Р = 3 (значення 130 зустрічається у трьох пацієнтів),
- для варіанти 140 частота Р = 2 (значення 140 зустрічається у двох пацієнтів),
- для варіанти 160 частота Р = 1 (значення 160 зустрічається в одного пацієнта),
- для варіанти 170 частота Р = 1 (значення 170 зустрічається в одного пацієнта),
Види варіаційних рядів:
- простий- це ряд, у якому кожна варіанта зустрічається лише з одного разу (всі частоти у своїй рівні 1);
- зважений- Ряд, в якому одна або кілька варіант зустрічаються неодноразово.
Варіаційний ряд служить для опису великих масивів чисел, саме у цій формі спочатку видаються зібрані дані більшості медичних досліджень. Для того щоб охарактеризувати варіаційний ряд, розраховуються спеціальні показники, у тому числі середні величини, показники варіабельності (так званої дисперсії), показники репрезентативності вибіркових даних.
Показники варіаційного ряду
1) Середня арифметична - це узагальнюючий показник, що характеризує розмір ознаки, що вивчається. Середня арифметична позначається як M , являє собою найпоширеніший вид середньої. Середня арифметична розраховується як відношення суми значень показників всіх одиниць спостереження до всіх досліджуваних. Методика розрахунку середньої арифметичної відрізняється для простого та виваженого варіаційного ряду.
Формула для розрахунку простий середньої арифметичної:
Формула для розрахунку зваженої середньої арифметичної:
M = Σ(V * P) / n
2) Мода – ще одна середня величина варіаційного ряду, що відповідає найбільш часто повторюваному варіанті. Або, якщо висловитися інакше, це варіанта, якій відповідає максимальна частота. Позначається як Мо . Мода розраховується тільки для зважених рядів, тому що в простих рядах жодна з варіантів не повторюється і всі частоти рівні одиниці.
Наприклад, у варіаційному ряді значень частоти серцевих скорочень:
80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;
значення моди становить 86, оскільки ця варіанта зустрічається 3 разу, отже її частота - найбільша.
3) Медіана – значення варіанти, що ділить варіаційний ряд навпіл: по обидва боки від неї перебуває рівну кількість варіант. Медіана також, як і середня арифметична та мода, відноситься до середніх величин. Позначається як Me
4) Середнє квадратичне відхилення (синоніми: стандартне відхилення, сигмальне відхилення, сигма) - міра варіабельності варіаційного ряду. Є інтегральним показником, що поєднує усі випадки відхилення варіант від середньої. Фактично відповідає на запитання: наскільки далеко і як часто варіанти поширюються від середньої арифметичної. Позначається грецькою літерою σ ("сигма").
При чисельності сукупності понад 30 одиниць стандартне відхилення розраховується за такою формулою:
Для малих сукупностей – 30 одиниць спостереження та менше – стандартне відхилення розраховується за іншою формулою:
Завантаження...