Формула для розрахунку середньої геометричної використовується для. Середнє геометричне

Середні величини статистиці грають значної ролі, т.к. вони дозволяють отримати узагальнюючу характеристику аналізованого явища. Найпоширеніша середня це, звичайно, . Вона має місце тоді, коли показник, що агрегує, утворюється за допомогою суми елементів. Наприклад, маса кількох яблук, сумарний виторг за кожен день продажів і т.д. Але так не завжди. Іноді агрегатний показник утворюється над результаті підсумовування, а результаті інших математичних операцій.

Розглянемо наступний приклад. Місячна інфляція – це зміна рівня цін одного місяця, порівняно з попереднім. Якщо відомі показники інфляції за кожен місяць, як отримати річне значення? З погляду статистики – це ланцюговий індекс, тому правильна відповідь: з допомогою перемноження місячних показників інфляції. Тобто загальний показникінфляції – це сума, а твір. А як тепер дізнатися середню інфляцію за місяць, якщо є річне значення? Ні, не розділити на 12, а отримати корінь 12-го ступеня (ступінь залежить від кількості множників). У загальному випадкусереднє геометричне розраховується за формулою:

Тобто це корінь із твору вихідних даних, де ступінь визначається кількістю множників. Наприклад, середнє геометричне з двох чисел – це квадратний коріньз їхнього твору

із трьох чисел – кубічний корінь із твору

і т.д.

Якщо кожне вихідне число замінити з їхньої середнє геометричне, то твір дасть той самий результат.

Щоб краще розібратися, що таке середня геометрична та чим вона відрізняється від арифметичної, розглянемо наступний малюнок. Є прямокутний трикутник, вписаний у коло.

З прямого кутаопущена медіана a(На середину гіпотенузи). Також із прямого кута опущена висота bяка в точці Pділить гіпотенузу на дві частини mі n. Т.к. гіпотенуза – це діаметр описаного кола, а медіана – радіус, очевидно, що довжина медіани a– це середнє арифметичне з mі n.

Розрахуємо, чому дорівнює висота b. Через подібність трикутників АВPі BCPсправедлива рівність

Тобто висота прямокутного трикутника- Це середнє геометричне з відрізків, на які вона розбиває гіпотенузу. Така наочна відмінність.

У MS Excel середнюгеометричну можна знайти за допомогою функції СРГЕОМ.

Все дуже просто: викликали функцію, вказали діапазон та готове.

Насправді цей показник використовують негаразд часто, як середнє арифметичне, проте зустрічається. Наприклад, є такий індекс розвитку людського потенціалу, за допомогою якого порівнюють рівень життя в різних країнах. Він розраховується як середнє геометричне з кількох індексів.

Бувають інші середні величини. Про них іншим разом.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання в базовій статистиці потрібні здачі ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мисленняніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричним чисел називається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу було взято спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

У обчисленні середнього значення губиться.

Середнє значеннянабору чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної кількість цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

Зверніть увагу

Якщо потрібно знайти середнє геометричне всього для двох чисел, то інженерний калькулятор вам не знадобиться: витягти корінь другого ступеня (квадратний корінь) з будь-якого числа можна за допомогою звичайного калькулятора.

Корисна порада

На відміну від середнього арифметичного, на геометричне середнє не так сильно впливають великі відхилення та коливання між окремими значеннями в досліджуваному наборі показників.

Джерела:

• Онлайн-калькулятор, що розраховує середнє геометричне
• середня геометрична формула

СереднєЗначення – це одна з характеристик набору чисел. Є числом, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннямиу цьому наборі чисел. Середнєарифметичне значення - найчастіше використовуваний різновид середніх.

Інструкція

Складіть усі числа множини та розділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від конкретних умов обчислення іноді простіше ділити кожне з чисел на кількість значень множини та підсумовувати результат.

Використовуйте, наприклад, Windows, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі неможливо. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "гарячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть у головному меню команду "Виконати". Потім надрукуйте в полі введення calc і натисніть клавішу Enter або клацніть кнопку «OK». Це можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть у розділ «Всі програми» і в секції «Стандартні» і виберіть рядок «Калькулятор».

Введіть послідовно всі числа множини, натискаючи після кожного (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа також можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

Натисніть клавішу з косою (слеш) або клацніть в інтерфейсі калькулятора після введення останнього значеннямножини і надрукуйте кількість чисел у послідовності. Потім натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

Можна з цією ж метою використовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення кожного числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте випадаючий із зображенням грецької сигма (Σ) команд «Редагування» на вкладці «Головна». Виберіть у ньому рядок « Середнє» і редактор вставить потрібну формулу для обчислення середньо арифметичного значенняу виділений осередок. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної тенденції, що широко використовується в математиці та статистичних розрахунках. Знайти середнє арифметичне число для кількох значень дуже просто, але у кожного завдання є свої нюанси, знати які для виконання вірних розрахунків просто необхідно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає усереднене значення всього вихідного масиву чисел. Іншими словами, з деякої множини чисел вибирається загальне всім елементів значення, математичне порівняння якого з усіма елементами носить приблизно рівний характер. Середнє арифметичне число використовується переважно при складанні фінансових та статистичних звітів або для розрахунків результатів проведених подібних дослідів.

Як знайти середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числадля масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо у масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При запису середнє арифметичне позначається буквою μ (мю) чи x (ікс з характеристикою). Далі суму алгебри слід розділити на кількість чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо масиві присутні негативні числа, то перебування середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є тільки при розрахунках у середовищі програмування, або якщо завдання має додаткові умови. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знакамизводиться до трьох дій:

1. Знаходження загальної середньої арифметичної кількості стандартним методом;
2. Знаходження середнього арифметичного негативного числа.
3. Обчислення середнього арифметичного позитивного числа.

Відповіді кожної з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, Рішення відбувається за методом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться за вимогами завдання до точності відповіді.

При роботі з натуральними дробамиїх слід привести до спільного знаменника, який множиться на кількість чисел у масиві. У чисельнику відповіді буде сума наведених чисельників вихідних дробових елементів.

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

Враховуйте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає кількості чисел. Наприклад, якщо потрібно знайти середнє геометричне п'ять чисел, то з твору потрібно буде видобувати корінь ступеня.

Для знаходження середнього геометричного двох чисел використовуйте головне правило. Знайдіть їх добуток, після чого витягніть із нього квадратний корінь, оскільки числа два, що відповідає ступеню кореня. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 16 і 4, знайдіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, вийміть квадратний корінь √64=8. Це і буде потрібна величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до потрібного порядку.

Щоб знайти середнє геометричне більше двох чисел, теж використовуйте основне правило. Для цього знайдіть добуток усіх чисел, для яких потрібно знайти середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, який дорівнює кількості чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 2, 4 та 64, знайдіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Оскільки потрібно знайти результат середнього геометричного трьох чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку "x^y", після чого наберіть число 3 і натисніть кнопку "1/х", щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку "=". Отримаємо результат зведення 512 ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

За допомогою інженерного калькулятораможна знайти середнє геометричне іншим способом. Знайдіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для кожного з чисел, знайдіть їхню суму та поділіть її на кількість чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі набір операцій. Наберіть число 2, після чого натисніть кнопку log, натисніть кнопку "+", наберіть число 4 і натисніть log і "+", наберіть 64, натисніть log і "=". Результатом буде число, рівну сумі десяткових логарифмівчисел 2, 4 і 64. Отримане число розділіть на 3, оскільки це кількість чисел, якими шукається середня геометрична. З результату візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є шукане середнє геометричне.

На відміну від середнього арифметичного, середнє геометричне дозволяє оцінити ступінь зміни змінної з часом. Середнє геометричне - це корінь n-го ступеня з добутку n величин (в Excel використовується функція = СРГЕОМ):

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Схожий параметр – середнє геометричне значення норми прибутку – визначається формулою:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

де R i - норма прибутку за i-й періодчасу.

Наприклад, припустимо, що обсяг вкладених коштів у вихідний момент часу дорівнює 100 000 дол. До кінця першого року він падає до рівня 50 000 дол., а до кінця другого року відновлюється до вихідної позначки 100 000 дол. дорівнює 0, оскільки початковий та фінальний обсяг коштів рівні між собою. Однак середнє арифметичне річних норм прибутку дорівнює = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 або 25%, оскільки норма прибутку в перший рік R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , а другий R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. У той самий час, середнє геометричне значення норми прибутку протягом двох років одно: G = [(1-0,5) * (1+1 )] 1/2 - 1 = Ѕ - 1 = 1 - 1 = 0. Таким чином, середня геометрична точніше відображає зміну (точніше, відсутність змін) обсягу інвестицій за дворічний період, ніж середня арифметична.

Цікаві факти. По-перше, середнє геометричне завжди буде менше середнього арифметичного тих самих чисел. За винятком випадку, коли всі взяті числа дорівнюють один одному. По-друге, розглянувши властивості прямокутного трикутника, можна зрозуміти, чому середнє називається геометричним. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, є пропорційне середнє між проекціями катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнє пропорційне між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу. Це дає геометричний спосіб побудови середнього геометричного двох (довжин) відрізків: потрібно побудувати коло на сумі цих двох відрізків як на діаметрі, тоді висота, відновлена ​​з точки їх з'єднання до перетину з колом, дасть потрібну величину:

Рис. 4.

Друге важливе властивість числових даних - їх варіація, що характеризує ступінь дисперсії даних. Дві різні вибірки можуть відрізнятися як середніми значеннями, і варіаціями.

Існує п'ять оцінок варіації даних:

міжквартильний розмах,

дисперсія,

стандартне відхилення,

коефіцієнт варіації.

Розмахом називається різниця між найбільшим та найменшим елементами вибірки:

Розмах = Х Max - Х Min

Розмах вибірки, що містить дані про середньорічну прибутковість 15 взаємних фондів з дуже високим рівнемризику можна обчислити, використовуючи впорядкований масив: Розмах = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Це означає, що різниця між найбільшою та найменшою середньорічною прибутковістю фондів з дуже високим рівнем ризику дорівнює 24,6%.

Розмах дозволяє виміряти загальний розкид даних. Хоча розмах вибірки є дуже простою оцінкою загального розкиду даних, його слабкість у тому, що він не враховує, як саме розподілені дані між мінімальним і максимальним елементами. Шкала демонструє, що якщо вибірка містить хоча б одне екстремальне значення, розмах вибірки виявляється дуже неточною оцінкою розкиду даних.

Середня геометрична застосовуєтьсяу випадках, коли індивідуальні значення ознаки є відносні величини динаміки, побудовані як ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня у ряді динаміки, т. е. характеризує середній коефіцієнт зростання.

Мода та медіана дуже часто розраховують у завданнях статистики і вони є додатковими до середньої характеристик сукупності та використовуються в математичної статистикидля аналізу типу рядів розподілу, який може бути нормальним, асиметричним, симетричним і т.д.

Також як і медіану обчислюються значення ознаки, що ділить сукупність на чотири рівні частини - квартелі, на п'ять частин - квинтелі, на десять рівних частин - децелі, на сто рівних частин - перцентелі. Використання під час аналізу варіаційних рядіврозподілу розглянутих характеристик у статистиці дозволяє більш глибоко та детально охарактеризувати досліджувану сукупність.