Формула обчислення експонентів. Інженерний калькулятор

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, другий чудова межа :
.

Також число e можна подати у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

Графік експоненти, y = e x.

На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функціїз основою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x. Тоді
.

Властивості експоненти

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .

Область визначення, безліч значень

Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞ .
Її безліч значень:
0 < y < + ∞ .

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція

Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.

Похідна експоненти

Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х :
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа

Дії з комплексними числамиздійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
.

Вирази через тригонометричні функції

; ;
;
.

Розкладання в статечний ряд

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Функція Exp у Паскалі (та багатьох інших мовах програмування) обчислює експоненту. Синтаксис:

function Exp(X: ValReal): ValReal;

Функція Exp X обчислює та повертає експоненту числа X.

Обчислення експоненти - це обчислення числа е у ступені X. Тобто

Подробиці див. у відео та читайте у статті далі.

Зворотна функція Ln

Якщо ви пам'ятаєте, то ви також пам'ятаєте, що вона обчислює натуральний логарифм.

Так ось, зворотною функцією Exp є функція Ln. Іншими словами, зворотна функція експоненційної функції(Експоненти) - це натуральний логарифм. Тобто:

Log e(Y) = Ln(Y) = X

e X = Y = Exp (X)

e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y

Є ще ось така корисна формула:

x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))

З цього випливає, що використовуючи функції Ln та Exp, ми можемо звести будь-яке число до будь-якого ступеня. Зробити це можна, наприклад, так:

P: = Exp (Y * Ln (X))

Якщо описати це математичною мовою, то наведене вище вираз буде еквівалентно наступному запису:

Щоправда, слід сказати, що тут є нюанси. Є окремі випадки, коли наведене вище вираз видасть неправильний результат. Наприклад, коли Y чи X негативні числа, або коли вони дорівнюють нулю. Такі ситуації треба опрацьовувати додатково. Однак ця стаття не про зведення в ступінь, тому ми розглядатимемо ці окремі випадки в іншій статті.

Приклад вихідного коду, де використовується функція Exp:

program funcexp; uses Math; var x, y: single; begin y:= Exp(2); //y = Exp(2) = 7,39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); x:= Exp(3 * Ln(2)); //x = 2 у ступені 3 WriteLn("2 ^ 3 = ", x: 0:4); ReadLn; end.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Експонента є показовою функцією \ похідна якої дорівнює самій функції. Експоненту позначають: \

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1. Підставою ступеня експоненти є число "е". Це ірраціональне число. Воно приблизно дорівнює:

Вираз числа "е" через межу послідовності. Число "е" можна виразити через межу послідовності. Це, так звана, друга чудова межа:

Вираз числа е як ряду

Графік експоненти

На графіці представлена ​​експонента, \ у ступені \

На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Що стосується основних формул, то вони такі ж, як і для показової функції з основою ступеня [е.]

\[(e^p)^p=e(pq)=(e^p)^p\]

Вираз показової функції через експоненту:

Де можна розв'язати рівняння з експонентою онлайн?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Функція EXP Excel використовується для зведення числа Ейлера (константа e, яка приблизно дорівнює 2,718) у зазначений ступінь і повертає відповідне числове значення.

Приклади використання функції EXP в Excel

Вкладнику банку запропонували два варіанти вкладу:

1. Вклад із річною ставкою 16% та щомісячною капіталізацією.
2. Вклад із безперервною капіталізацією (кількість періодів капіталізації – нескінченна безліч за час дії депозитного договору) з річною ставкою 16%.

Яка пропозиція є більш вигідною? Сума вкладу – 50 000 рублів, термін дії договору – 5 років.

Вид вихідної таблиці даних:

Формула для розрахунку майбутньої вартості вкладу для першого варіанта депозитного договору:

БС(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

У другому випадку капіталізація відбувається безперервно, тому можна скористатися такою функцією:

Опис аргументів:

• C3 – річна ставка;
• C5 – термін дії договору;
• C6 – початкова сума вкладу.

Отримані результати:

Варіант із безперервним зростанням капіталізації є більш вигідним.

Розрахунок швидкості поділу клітин тканини в Excel

У початковий час була лише одна клітина живої матерії. Кожні 5 хвилин така клітина поділяється на 2 ідентичні клітини. Визначити, скільки клітин тканини утворюється за 0,5 години, 1,5 години, добу?

Вихідна таблиця має такий вигляд:

Для розрахунку використовуємо формулу масиву:

EXP(A3*C3:C5/B3)

Опис аргументів:

• A3 – приріст кількості клітин (100%, тобто результатом розподілу однієї клітини є дві нові клітини);
• C3:C5/B3 – зазначені за умовою періоди, поділені на життя клітини до закінчення процесу поділу.

Отримані результати:

Значення 1,E+125 еквівалентно 10 25 .

Швидкість зменшення маси радіоактивної речовини з часом

Кількість радіоактивної речовини зменшується вдвічі за півроку. Скільки важитиме речовина через 2 роки, якщо початкова маса становила 18 кг.

Вид вихідної таблиці:

Формула для розрахунку:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Опис аргументів:

• B5 – початкова маса речовини;
• B2 - приріст ( негативне значення, оскільки кількість речовини зменшується);
• B4/B3 – кількість періодів, протягом яких відбувається напіврозпад.

Результат обчислень:

Через 2 роки від 18 кг залишиться лише приблизно 330 г.

Особливості використання функції EXP в Excel

Функція EXP має наступний синтаксичний запис:

EXP(число)

Єдиним та обов'язковим для заповнення аргументом є число , яке характеризує числове значення показника ступеня, в який необхідно звести константу e.

Примітки 1:

1. Функції LN і EXP є протилежними один одному за результатом, що повертається. Логарифм вказує, на яку міру необхідно звести основу (у разі натурального логарифму lnx показник дорівнює приблизно 2,718), щоб отримати показник x. Функція EXP визначає x.
2. Аргумент число може бути заданий будь-яким числом з діапазону дійсних чисел (цілі та дробові негативні, позитивні значеннята 0). Результат виконання = EXP (0) дорівнює 1.
3. Як аргумент EXP можуть бути передані логічні значення ІСТИНА і БРЕХНЯ, які будуть автоматично перетворені до числових значень 1 і 0 відповідно.
4. Якщо в якості аргументу число було передано ім'я або текстовий рядок, що не перетворюються на числове значення, функція EXP поверне код помилки #ЗНАЧ!.
5. Функцію можна використовувати як формулу масиву.

Примітки 2:

1. Як відомо, число e є показником ступеня натурального логарифму, який записується, наприклад, так: ln10, тобто логарифм з основою 2,718 з 10. Саме число e є показником зростання для будь-якого процесу, залежні величини якого змінюються безперервно зі зміною незалежних. Як приклади можуть служити такі процеси, як розподіл живих клітин організму (через певний період часу одна клітини ділиться на дві, потім кожна з цих двох ділиться ще на дві і так далі) або розпад радіоактивних речовин (знаючи коефіцієнт розпаду можна дізнатися, скільки радіоактивного речовини вже розпалося більш прості елементи).
2. Число e використовується для апроксимації (створення спрощеної моделі) систем, величини яких змінюються нерівномірно.
3. Щоб зрозуміти фізичний зміст числа e, розглянемо процес зростання капіталовкладень у банку. Наприклад, банк запропонував 100% збільшення капіталу після закінчення певного періоду, наприклад, 12 місяців. Тобто прибуток вкладника подвоїться. Припустимо, що зростання капіталу є безперервним протягом року. Тоді для розрахунку суми капіталу через 6 місяців можна використовувати формулу R=(1+100%/2) 2 , де R – зростання капіталу, 2 – кількість напівперіодів зростання. Якщо ми вирішимо визначити зростання за 4 місяці, формула набуде вигляду R=(1+100%/3) 3 , за 3 місяці - R=(1+100%/4) 4 і т.д. загальному випадкумаємо формулу R=(1+100%/x) x . Якщо x→∞ (прагне нескінченності) R (зростання) прийме значення 2,718. З цього випливає, що максимально можливе 100% зростання за найменший період часу не може перевищити значення 2,718, яке і є числом e (числом Ейлера). У загальному випадку будь-яке зростання може бути виражене формулою R = e p * t, де p - приріст величини (наприклад, не 100%, як у розглянутому вище прикладів, а 30%, тобто 0,3), а t - час (наприклад , якщо депозитний договір розрахований п'ять років, то t=5). Тоді розрахунку Excel досить запровадити формулу =EXP(0,3*5).

У цій статті ми обговоримо, що ж таке експонента в Excel і, найголовніше, для чого вона може стати в нагоді у звичайному житті або в бізнесі.

У студентські рокичасто доводилося чути фрази типу: «Навіщо ми взагалі вчимо 'це', в житті нам 'це' ніколи не знадобитися». Одним із таких 'це' часто була експонента або, наприклад, . У мене була слабка вища математика за першої освіти, про що я шкодую. І ось зараз доводиться наздоганяти, що втратив раніше. Ділюсь переказом своїх знань.

Ми знаємо, що світ описаний точними науками — тобто. набором правил і законів, що більш-менш точно описують те, що відбувається. Для цього здебільшого допомагають функції/формули. У природі досить часто зустрічаються експонентні явища (описуємо експонентою) формулою з числом e,а у = e у ступені x вже буде експоненційною функцією:

Число e- Це т.зв. число Ейлера приблизно дорівнює 2,72. Примітно воно тим, що похідна від цієї функції дорівнює функції exp(x)` = exp(x).

Що це взагалі таке і що для нас означає?

Найкраще, дія експоненти показують графіки нижче:

Дві функції: y = 2 x і y = eу ступеня x , де x = час, наприклад. Ми бачимо, що швидкість зростання експоненційного графіка збільшується швидше. А чому? Тому що похідна (швидкість зростання чи зменшення) функції дорівнює самій функції, тобто. швидкість збільшення функції дорівнює значенню функції.

Якщо грубо, то в природі це дійсно зустрічається часто — чим більше клітин діляться, тим швидше їх ставати більше. Чим більше грошей у банку, тим більший прибуток вони приносять. Наприклад:

Ви вклали 1000 руб. у банк, за рік вони принесли свої 100 руб. відсотками, ще через рік на вас працюють уже 2 працівники 1000 руб. та 100 руб. і так далі поки ви не заберете гроші або не станеться банківська криза.

До речі населення на планеті Земля теж росте експонентом;)

Принцип Парето та експонента

Чи чули про такий принцип? Думаю так. "20% зусиль приносять 80% результату". Це він. Найкраще визначення для запам'ятовування мені здається:

20% любителів пива вживають 80% всього пива

На принципі Парето побудовано і ABC аналіззапасів, наприклад.

Цей принцип Парето є ще одним прикладом експонентів.

До речі, дуже справедливий закон у реального життя, підтверджую своїм досвідом. Колись на першому своєму проекті я помітив, що приблизно за 20% часу ти створюєш 80% продукту (у кількісному еквіваленті), далі працюєш на якість. Тобто. ще 80% часу допилюєш, шукаєш помилки, налаштовуєш. Я навіть чув, що кажуть «розробка на стадії експоненти» — тобто. у стадії наближення до ідеалу.

За такого «допилювання» проекту важливо вчасно зупинитися, адже продукт ніколи не буде ідеальним. Тому заздалегідь визначте яку якість ви хотіли б отримати в кінці. Якщо робите не собі, обов'язково зберіть вимоги із замовника. Принцип виглядає приблизно так: