Етапи побудови математичної моделі. Особливості побудови математичних моделей

У запропонованій вашій увазі статті ми пропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей та розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням.

Ще одне наше питання – це математичні моделі в економіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи згодом. Розпочати нашу розмову ми пропонуємо з самого поняття «модель», коротко розглянемо їхню класифікацію та перейдемо до основних наших питань.

Поняття «модель»

Ми часто чуємо слово "модель". Що це таке? Цей термін має безліч визначень, ось тільки три з них:

• специфічний об'єкт, який створюється для отримання та зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики і так далі оригіналу даного об'єкта (цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);
• ще під моделлю мається на увазі відображення будь-якої конкретної ситуації, життєвої чи управлінської;
• моделлю може бути зменшена копія будь-якого об'єкта (вони створюються для більш докладного вивченнята аналізу, оскільки модель відображає структуру та взаємозв'язки).

Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити складну систему чи об'єкт.

Усі моделі можна класифікувати за низкою ознак:

• у сфері використання (навчальні, досвідчені, науково-технічні, ігрові, імітаційні);
• по динаміці (статичні та динамічні);
• з галузі знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);
• за способом подання (матеріальні та інформаційні).

Інформаційні моделі, у свою чергу, поділяються на знакові та вербальні. А знакові – на комп'ютерні та некомп'ютерні. Тепер перейдемо до детального розгляду прикладів математичної моделі.

Математична модель

Як важко здогадатися, математична модель відбиває будь-які риси об'єкта чи явища з допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу своєю специфічною мовою.

Метод математичного моделювання зародився досить давно, тисячі років тому, разом із появою цієї науки. Однак поштовх для розвитку цього способу моделювання дало появу ЕОМ (електронно-обчислювальних машин).

Тепер перейдемо до класифікації. Її також можна провести за деякими ознаками. Вони представлені у таблиці нижче.

Ми пропонуємо зупинитись і докладніше розглянути останню класифікацію, оскільки вона відображає загальні закономірності моделювання та цілі створюваних моделей.

Дескриптивні моделі

У цьому розділі ми пропонуємо докладніше зупинитися на дескриптивних математичних моделях. Для того, щоб було все гранично зрозуміло, буде наведено приклад.

Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки та прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події.

Яскравим прикладом описової математичної моделі є обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, яка вторглася в наші простори Сонячна система. Ця модель є описовою, тому що всі отримані результати можуть лише попередити нас про будь-яку небезпеку. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, ґрунтуючись на отриманих розрахунках, можна вжити будь-яких заходів для збереження життя на Землі.

Оптимізаційні моделі

Зараз ми трохи поговоримо про економіко-математичні моделі, прикладами яких можуть бути різні ситуації, що склалися. У цьому випадку йдеться про моделі, які допомагають знайти правильну відповідь у певних умовах. Вони мають деякі параметри. Щоб стало зрозуміло, розглянемо приклад із аграрної частини.

У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. В цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режимта оптимізувати процес зберігання.

Отже, ми можемо дати визначення поняттю «оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і ні), вирішення якої допомагає знайти оптимальне рішення у конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі (оптимізаційної) ми розглянули, але хочеться ще додати: цей вид належить до класу екстремальних завдань, вони допомагають описати функціонування економічної системи.

Зазначимо ще один нюанс: моделі можуть мати різний характер(Див. таблицю нижче).

Багатокритеріальні моделі

Зараз пропонуємо вам поговорити трохи про математичну модель багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу за якимось одним критерієм, але що робити, якщо їх багато?

Яскравим прикладом багатокритеріальної завдання є організація правильного, корисного і водночас економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдалень, літніх таборах, лікарнях і так далі.

Які критерії нам дано у цій задачі?

1. Харчування має бути корисним.
2. Витрати на їжу мають бути мінімальними.

Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Отже, під час вирішення завдання потрібно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.

Ігрові моделі

Говорячи про ігрові моделі, необхідно розуміти поняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, дані моделі відображають математичні моделі справжніх конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має певні правила.

Наразі буде наведено мінімум інформації з теорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, у моделі обов'язково присутні сторони (дві чи більше), яких прийнято називати гравцями.

Усі моделі мають деякі параметри.

Ігрова модель може бути парною або множинною. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше – множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, у якій виграш одного з учасників дорівнює програшу іншого.

Імітаційні моделі

У цьому розділі ми звернемо увагу до імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть бути:

• модель динаміки чисельності мікроорганізмів;
• модель руху молекул і так далі.

В даному випадку ми говоримо про моделі, які максимально наближені до реальних процесів. за великому рахунку, вони імітують будь-який прояв у природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати долю кожної окремої особини. В даному випадку математичний опис використовують рідко, частіше є письмові умови:

• через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;
• через двадцять днів мураха гине, і таке інше.

Таким чином, використовуються для опису великої системи. Математичний висновок – це обробка отриманих статистичних даних.

Вимоги

Дуже важливо знати, що до цього виду моделі пред'являють деякі вимоги, серед яких наведені в таблиці нижче.

Етапи моделювання

Загалом у математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.

1. Формулювання законів, що пов'язують частини моделі.
2. Дослідження математичних завдань.
3. З'ясування збігів практичних та теоретичних результатів.
4. Аналіз та модернізація моделі.

Економіко-математична модель

У цьому розділі коротко висвітлимо питання Прикладами завдань можуть бути:

• формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;
• максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимальної кількості випуску столів та стільців на меблевій фабриці, тощо.

Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів та знаків.

Комп'ютерна математична модель

Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:

• завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць тощо;
• завдання на механіку твердого тіла, і таке інше.

Комп'ютерна модель - це образ об'єкта чи системи, поданий як:

• таблиці;
• блок-схеми;
• діаграми;
• графіка, і таке інше.

У цьому дана модель відбиває структуру і взаємозв'язку системи.

Побудова економіко-математичної моделі

Ми вже раніше сказали, що таке економіко-математична модель. Приклад вирішення завдання буде розглянуто зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми виявлення резерву підвищення прибутку при зрушенні в асортименті.

Повністю розглядати завдання ми не будемо, а лише збудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашого завдання – максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: Л = р1 * х1 + р2 * х2 ..., що прагне максимуму. У цій моделі р - це прибуток за одиницю, х - кількість вироблених одиниць. Далі, ґрунтуючись на побудованій моделі, необхідно зробити розрахунки та підбити підсумок.

Приклад побудови простої математичної моделі

Завдання.Рибалка повернувся з наступним уловом:

• 8 риб – жителі північних морів;
• 20% улову - жителі південних морів;
• з місцевої річки не виявилося жодної риби.

Скільки риб він купив у магазині?

Отже, приклад побудови математичної моделі даної задачі має такий вигляд. Позначаємо загальну кількість риб за х. Дотримуючись умови, 0,2 х - це кількість риб, що мешкають у південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію та отримуємо математичну модель завдання: х = 0,2 х +8. Вирішуємо рівняння та отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив у магазині.

1. Математичне моделювання

та процес створення математичної моделі.

Математичне моделюванняє методом дослідження об'єктів і процесів реального світу за допомогою їх наближених описів мовою математики - математичні моделі.

Процес створення математичної моделі умовно можна розбити на низку основних етапів:

1) побудова математичної моделі;

2) постановка, дослідження та вирішення відповідних обчислювальних завдань;

3) перевірка якості моделі на практиці та модифікація моделі.

Розглянемо основний зміст цих етапів.

Побудова математичної моделі. Математичною моделлю називається аналітичний вираз, який знаходиться в результаті аналізу певної фізичної системи або явища, що включає кілька невідомих параметрів цієї системи або явища, що підлягають визначенню на основі даних експерименту.За допомогою спостережень та експериментів, практики виявляються основні "характеристики" явища, яким зіставляються деякі величини. Як правило, ці величини набувають числові значення, тобто є змінними, векторами, матрицями, функціями тощо.

Встановленим внутрішнім зв'язкам між "характеристиками" явища надається форма рівностей, нерівностей, рівнянь та логічних структур, що пов'язують величини, включені до математичної моделі. Отже, математична модель стає записом мовою математики законів природи.

Підкреслимо, що математична модель неминуче є компромісом між нескінченною складністю досліджуваного явища і бажаною простотою його опису.

Математичні моделі часто поділяють на статичні та динамічні. Статична модельописує явище чи ситуацію у припущенні їхньої завершеності, незмінності (т. е. у статиці). Динамічна модельописує, як протікає явище чи змінюється ситуація від стану до іншого (т. е. у поступовій динаміці). При використанні динамічних моделей зазвичай задають початковий стан системи, а потім досліджують зміну цього стану в часі. У динамічних моделях шукане рішення часто є функцією часу у = у (t),змінна tу таких моделях, як правило, буває виділеною та відіграє особливу роль.

Постановка, дослідження та вирішення обчислювальних завдань.Для того щоб знайти значення величин, що цікавлять дослідника, або з'ясувати характер із залежності від інших входять в математичну модель величин, ставлять, а потім вирішують математичні завдання.

Виявимо основні типи розв'язуваних завдань. Для цього всі величини, включені до математичної моделі, умовно розіб'ємо на три групи:

1) вихідні (вхідні) дані х,

2) параметри моделіa,

3) шукане рішення (вихідні дані) в.

1). Найчастіше вирішують так звані прямі завдання, постановка яких виглядає так: за даним значенням вхідного даного хпри фіксованих значеннях параметрів aпотрібно знайти рішення у.Процес вирішення прямої задачі можна розглядати як математичне моделювання причинно-наслідкового зв'язку, властивого явищу. Тоді вхідне дане ххарактеризує "причини" явища, які задаються та варіюються в процесі дослідження, а шукане рішення у -"наслідок".

Для того, щоб математичний опис був застосований не до одиничного явища, а до широкого кола близьких за природою явищ, насправді будують не одиничну математичну модель, а деяке параметричне сімейство моделей. Вибір конкретної моделі із цього сімейства здійснюється фіксацією значень параметрів моделі a.Наприклад, у ролі таких параметрів можуть виступати деякі з коефіцієнтів, що входять до рівнянь.

2). Велику роль відіграє рішення так званих зворотних завдань,що перебувають у визначенні вхідного даного хза цим значенням у(Параметри моделі a,як і у прямій задачі, фіксовані). Рішення зворотного завдання - це певному сенсіспроба з'ясувати, які "причини" xпривели до відомого "наслідку" у.Як правило, зворотні завдання виявляються складнішими для вирішення, ніж прямі.

3). Крім двох розглянутих типів завдань, слід згадати ще один тип - Завдання ідентифікації.У широкому значенні завдання ідентифікації моделі - це завдання вибору серед безлічі різних моделей тієї, що найкращим чиномописує досліджуване явище. У такій постановці це завдання виглядає практично нерозв'язною проблемою. Найчастіше завдання ідентифікації розуміють у вузькому значенні, як завдання вибору із заданого параметричного сімейства моделей конкретної математичної моделі (за допомогою вибору її параметрів a), щоб оптимальним у сенсі деякого критерію чином узгодити слідства з моделі з результатами спостережень.

Вказані три типи завдань (прямі, зворотні та завдання ідентифікації) будемо називати обчислювальними завданнями.Для зручності викладу надалі незалежно від типу розв'язуваної задачі будемо називати набір величин, що підлягають визначенню шуканим рішеннямі позначати через у,а набір величин - вхідним данимиі позначати через х.

Як правило, рішення обчислювальної задачі не вдається виразити через вхідні дані у вигляді кінцевої формули. Однак це зовсім не означає, що вирішення такого завдання не може бути знайдено. Існують спеціальні методи, які називають чисельними(або обчислювальними).Вони дозволяють звести отримання чисельного значення рішення послідовності арифметичних операцій над чисельними значеннями вхідних даних. Однак для вирішення завдань чисельні методи застосовувалися досить рідко, оскільки їх використання передбачає виконання величезного обсягу обчислень. Тому найчастіше до появи ЕОМ доводилося уникати використання складних математичних моделей і досліджувати явища у найпростіших ситуаціях, коли можна знайти аналітичне рішення. Недосконалість обчислювального апарату ставало фактором, що стримує широке використання математичних моделей у науці та техніці.

Поява ЕОМ кардинально змінила ситуацію. Клас математичних моделей, що допускають докладне дослідження, різко розширився. Вирішення багатьох, ще недавно недоступних, обчислювальних завдань стало повсякденною реальністю.

Перевірка якості моделі на практиці та модифікація моделі. На цьому етапі з'ясовують придатність математичної моделі для опису явища, що досліджується. Теоретичні висновки та конкретні результати, які з гіпотетичної математичної моделі, зіставляють з експериментальними даними. Якщо вони суперечать один одному, то обрана модель непридатна і її слід переглянути, повернувшись до першого етапу. Якщо ж результати збігаються з допустимою для опису даного явищаточністю, модель можна визнати придатною. Звичайно, необхідне додаткове дослідження з метою встановлення ступеня достовірності моделі та меж її застосування.

Запитання для повторення:

1. Що таке математична модель?

2. Основні етапи побудови математичної моделі?

3. Основні типи розв'язуваних задач?

2. Основні етапи рішення інженерної

завдання із застосуванням ЕОМ

Рішення інженерної задачі з використанням ЕОМ можна розбити на низку послідовних етапів. Виділимо такі етапи:

1) постановка проблеми;

2) вибір чи побудова математичної моделі;

3) постановка обчислювального завдання;

4) попередній (передмашинний) аналіз властивостей обчислювального завдання;

5) вибір чи побудова чисельного методу;

6) алгоритмізація та програмування;

7) налагодження програми;

8) рахунок за програмою;

9) обробка та інтерпретація результатів;

10) використання результатів та корекція математичної моделі.

Постановка проблеми. Спочатку прикладна задача буває сформульована у найзагальнішому вигляді:

Дослідити деяке явище,

Спроектувати пристрій, що має задані властивості,

Дати прогноз поведінки деякого об'єкта за певних умов тощо.

На цій стадії відбувається конкретизація постановки завдання. Першочергова увага при цьому приділяється з'ясування мети дослідження.

Цей дуже важливий та відповідальний етап завершується конкретним формулюванням проблеми мовою, прийнятою в даній предметній галузі. Знання можливостей, які дає застосування ЕОМ, може істотно вплинути на остаточне формулювання проблеми.

Вибір чи побудова математичної моделі.Для подальшого аналізу досліджуваного явища чи об'єкта необхідно дати його формалізоване опис мовою математики, т. е. побудувати математичну модель. Часто є можливість вибору моделі серед відомих і прийнятих для опису відповідних процесів, але нерідко потрібна істотна модифікація відомої моделі, а іноді виникає необхідність у побудові принципово нової моделі.

Постановка обчислювального завдання.На основі прийнятої математичної моделі формулюють обчислювальне завдання (або низку таких завдань). Аналізуючи результати її вирішення, дослідник передбачає отримати відповіді на питання, що його цікавлять.

Попередній аналіз властивостей обчислювального завдання.На цьому етапі проводять попереднє (передмашинне) дослідження властивостей обчислювальної задачі, з'ясування питань існування та єдиності рішення, а також дослідженню стійкості розв'язання задачі до похибок вхідних даних.

Вибір чи побудова чисельного методу.Аби вирішити обчислювальної завдання на ЕОМ потрібно використання чисельних методів.

Часто рішення інженерної задачі зводиться до послідовному рішеннюстандартних обчислювальних завдань, котрим розроблено ефективні чисельні методи. У цій ситуації відбувається або вибір серед відомих методівабо їх адаптація до особливостей розв'язуваної задачі. Однак якщо обчислювальна задача, що виникає, є новою, то не виключено, що для її вирішення не існує готових методів.

Для вирішення однієї і тієї ж обчислювальної задачі зазвичай можна використовувати кілька методів. Необхідно знати особливості цих методів, критерії, за якими оцінюється їх якість, щоб вибрати метод, що дозволяє вирішити проблему найефективнішим чином. Тут вибір не однозначний. Він істотно залежить від вимог, що пред'являються до рішення, від наявних ресурсів, від доступної для використання обчислювальної технікиі т.д.

Алгоритмізація та програмування.Як правило, обраний на попередньому етапі чисельний методмістить лише принципову схему розв'язання задачі, що не включає багато деталей, без яких неможлива реалізація методу на ЕОМ. Необхідна докладна деталізація всіх етапів обчислень, щоб одержати реалізований на ЕОМ алгоритм. Складання програми зводиться до перекладу цього алгоритму обрану мову програмування.

Існують бібліотеки з яких користувачі з готових модулів свої програми, або, в крайньому випадку, програму доводиться писати з «нуля».

Налагодження програми.На цьому етапі за допомогою ЕОМ виявляють та виправляють помилки у програмі.

Після усунення помилок програмування необхідно провести ретельне тестування програми – перевірку правильності її роботи на спеціально відібраних тестових завданнях, які мають відомі рішення.

Рахунок за програмою.На цьому етапі відбувається вирішення задачі на ЕОМ за складеною програмою в автоматичному режимі. Цей процес, під час якого вхідні дані за допомогою ЕОМ перетворюються на результат, називають обчислювальним процесом.Як правило, рахунок повторюється багаторазово з різними вхідними даними для отримання достатньої повної картини залежності від них розв'язання задачі.

Обробка та інтерпретація результатів. Отримані в результаті розрахунків на ЕОМ вихідні дані, як правило, є великими масивами чисел, які потім видаються у зручній для сприйняття формі.

Використання результатів та корекція математичної моделі.Завершальний етап полягає у використанні результатів розрахунків у практичній діяльності, інакше кажучи, у впровадженні результатів.

Дуже часто аналіз результатів, проведений на етапі їх обробки та інтерпретації, вказує на недосконалість використовуваної математичної моделі та необхідність її корекції. У такому разі математичну модель модифікують (при цьому вона зазвичай ускладнюється) і починають новий циклрозв'язання задачі.

Запитання для повторення:

1. Основні етапи вирішення інженерної задачі з використанням ЕОМ?

3. Обчислювальний експеримент

Створення математичних моделей та рішення інженерних завдань із застосуванням ЕОМ потребує виконання великого обсягу робіт. Неважко помітити аналогію з відповідними роботами, які проводяться при організації натурних експериментів: складання програми експериментів, створення експериментальної установки, виконання контрольних експериментів, проведення серійних дослідів) обробка експериментальних даних та їх інтерпретація тощо.Однак обчислювальний експеримент проводиться не над реальним об'єктом, а над його математичною моделлю, роль експериментальної установки грає оснащена спеціально розробленою програмою ЕОМ. У зв'язку з цим природно розглядати проведення великих комплексних розрахунків при вирішенні інженерних та науково-технічних завдань як обчислювальний експеримент,а описану у попередньому параграфі послідовність етапів розв'язання як його цикл.

Зазначимо деякі переваги обчислювального експерименту порівняно з натуральним:

1. Обчислювальний експеримент, як правило, дешевший за фізичний.

2. У цей експеримент можна легко та безпечно втручатися.

3. Його можна повторити ще раз (якщо в цьому є потреба) і перервати будь-якої миті.

4. Під час цього експерименту можна змоделювати умови, які не можна створити у лабораторії.

Зауважимо, що у ряді випадків проведення натурного експерименту утруднено (а іноді й неможливо), оскільки вивчаються процеси, що швидко протікають, досліджуються важкодоступні або взагалі поки недоступні об'єкти. Часто проведення повномасштабного натурного експерименту пов'язане з згубними чи непередбачуваними наслідками ( ядерна війна, поворот сибірських рік) або з небезпекою для життя чи здоров'я людей. Нерідко потрібно дослідження та прогнозування результатів катастрофічних явищ(Аварія ядерного реактора АЕС, глобальне потепління клімату, землетрус). У таких випадках обчислювальний експеримент може стати основним засобом дослідження. Зауважимо, що з його допомогою можна прогнозувати властивості нових, ще не створених конструкцій і матеріалів на стадії їх проектування.

Істотним недоліком обчислювального експерименту і те, що застосовність його результатів обмежена рамками прийнятої математичної моделі.

Створення нового виробу або технологічного процесу передбачає вибір серед великої кількостіальтернативних варіантів, і навіть оптимізацію за низкою параметрів. Тому в ході обчислювального експерименту розрахунки проводяться багаторазово різними значеннямивхідні параметри. Для отримання потрібних результатів з необхідною точністю та у прийнятні терміни необхідно, щоб на розрахунок кожного варіанту витрачався мінімальний час.

Розробка програмного забезпечення обчислювального експерименту в конкретній галузі інженерної діяльності призводить до створення великого програмного комплексу. Він складається із зв'язаних між собою прикладних програм і системних засобів, що включають кошти, що надаються користувачеві для управління ходом обчислювального експерименту, обробки та подання його результатів. Такий комплекс програм іноді називають проблемно-орієнтованим пакетом прикладних програм

Запитання для повторення:

1. Переваги обчислювального експерименту проти натуральним?

2. Недоліки обчислювального експерименту?

4. Найпростіші методи розв'язання задач

4.1. Пошук кореня функції.

Метод розподілу відрізка по підлогах(Метод Віллі).

Ділимо відрізок навпіл ( АС=СВ). Вибираємо половину, у якій функція перетинає вісь 0х, потім позначаємо Зза У, тобто. С = Ві знову ділимо навпіл. Вибір половини здійснюється твором | А)´¦( У). Якщо твір більший за 0, то кореня немає.

Метод хорд (секучих).

(В-А)/2£ En³ log 2((В-А)/2)

(y-y 0)(x-x 1)=(y-y 1)(x-x 0)

y=0; y 0(x-x 1)=y 1(x-x 0)

Сутність побудови математичної моделі полягає в тому, що реальна система спрощується, схематизується та описується за допомогою математичного апарату. Побудова математичної моделі відбувається за такими етапами 1 .

встановлюється мета дослідження на вирішення проблеми, що стоїть перед організацією;

визначаються елементи, у тому числі складається система;

виділені елементи групуються на функціональні та забезпечують;

визначаються всі види зв'язків між елементами;

визначаються можливі допустимі значення кожного елемента, з можливостей сервісної організації;

визначаються характеристики елементів системи, важливих для цілей дослідження.

Формалізація операційвідбувається за такими кроками:

визначення показників системи;

вивчається кожна характеристика системи;

виділяються суттєві характеристики з метою дослідження;

визначення керованих та некерованих параметрів системи;

визначаються обмеження на керовані параметри системи;

формулюється цільова функція.

Перевірка адекватності моделіполягає у перевірці виконання наступних умов:

чи всі суттєві фактори включені у модель;

чи є моделі несуттєві чинники;

чи правильно визначено обмеження на значення факторів;

чи правильно визначено функціональний зв'язок між змінними;

перевірка достовірності моделі, з використанням навчальної та контрольної сукупності даних.

Примітка.Вимога адекватності моделі входить у суперечність із вимогою простоти моделі.

Використання моделі для вирішення проблемможе проходити в такій послідовності:

на основі отриманої моделі пропонується кілька сценаріїв вирішення проблеми;

для кожного сценарію вирішення проблеми обчислюється коефіцієнт ефективності, що дорівнює відношенню результат до витрат;

сценарії вирішення проблем ранжуються за ознакою коефіцієнта ефективності вирішення проблеми;

результати розрахунків та їх аналізу оформляються у вигляді звіту у зручному для візуального сприйняття наочному вигляді з використанням графічних моделей;

передача звіту керівнику підприємства для прийняття управлінських рішень щодо вирішення проблеми, що стоїть перед організацією. Запропонований керівнику підприємства звіт щодо вирішення проблеми носить рекомендаційний характер. Рішення керівника підприємства має юридичну силу. Тому рішення керівника має ґрунтуватися на системному аналізі проблеми з використанням різних методів та способів її вирішення: на отриманому звіті з моделювання, а також інших можливих вирішення проблеми, отриманих з інших джерел (плановий відділ, відділ розвитку та прогнозування).

3. Постановка задачі лінійного програмування

Методи лінійного програмування є найбільш розробленими у сфері вирішення оптимізаційних завдань торгівлі. Ці методи дозволяють описати з достатньою точністю широке колозавдань торгової практики (планування товарообігу, планування товаропостачання міста, прикріплення торгових підприємств до постачальників, організація раціональних перевезень товарів (транспортне завдання)).

Методи лінійного програмування вимагають наявності системи взаємозалежних чинників, критерію оцінки оптимальності використання ресурсів.

Оптимальнимвважається план, який забезпечує екстремум цільової функції(наприклад, максимальний дохід або мінімум витрат обігу), за умови дотримання обмежень на ресурси, що використовуються.

Наприклад, пошук оптимальних планових рішень можна звести до отримання запланованого ефекту при мінімумі витрат або отримання максимального ефекту при використанні заданих обмежених ресурсів.

Лінійне програмування - область математичного програмування, присвячена теорії та методам вирішення екстремальних завдань, що характеризуються лінійною залежністю між змінними.

У найзагальнішому вигляді завдання Л. п. можна записати так. Дано обмеження типу

або у т.з. канонічної формі, до якої можна привести всі три зазначені випадки:

Потрібно знайти невід'ємні числа x j (j= 1, 2, ...,n), які мінімізують (або максимізують) лінійну форму

Невід'ємність шуканих чисел записується так: x j ≥ 0.

Таким чином, представлено загальне завдання математичного програмування з застереженнями: як обмеження , так і цільова функція лінійні, а шукані змінні невід'ємні .

Позначення можна трактувати так:

bi- кількість ресурсу виду i ;

m- кількість видів цих ресурсів;

aij- норма витрати ресурсу виду iна одиницю продукції виду j;

xj- кількість продукції виду j, причому кількість таких видів - n;

cj - дохід (або інший виграш) від одиниці цієї продукції, а у разі завдання на мінімум - витрати на одиницю продукції;

нумерація ресурсів поділена на три частини:

від 1 до m 1 , у першому випадку - "не більше"

від m 1+1 до m 2 у другому - "стільки ж"

від m 2 + 1 до m

залежно від цього, які ставляться обмеження витрачання цих ресурсів;, у третьому - “не менше”;

Z- у разі максимізації, напр., обсяг продукції чи доходу, у разі мінімізації - собівартість, витрата сировини тощо.

Додамо ще одне позначення, воно з'явиться дещо нижче:

vi- Оптимальна оцінка i-го ресурсу

Слово “програмування” пояснюється тут тим, що невідомі змінні, які перебувають у процесі розв'язання завдання, зазвичай сукупно визначають програму ( план ) роботи деякого економічного об'єкта . Слово "лінійне" відбиває факт лінійної залежності між змінними. При цьому, як зазначено, завдання обов'язково має екстремальний характер, тобто полягає у відшуканні екстремуму (Максимуму або мінімуму) цільової функції .

Слід із початку попередити: передумова лінійності, як у реальної економіці переважна більшість залежностей носить складніший нелінійний характер, є огрубіння, спрощення дійсності. У деяких випадках воно досить реалістичне, в інших висновки, одержувані за допомогою рішення завдань Л. п., виявляються недосконалими.

Уточнимо постановку задачі лінійного програмування з прикладу планування випуску своєї продукції сервісної організацією.

Дано:

ресурси: персонал, техніка та обладнання, сировина та матеріали, фінанси, інформація, час, технологія виготовлення, земля та інші ресурси.

(А та В - позначимо чисельні значення ресурсів 2-х видів відповідно);

випускається продукція різних видів, З однаковими одиницями виміру, виражених у руб. або у штуках.

(Х 1 і Х 2 - позначимо чисельні значення продукції 2-х);

є норми витрат ресурсу випуск одиниці виробленої продукції;

(а1 та а2 - чисельні значення норм витрат ресурсу А на випуск виробів 1-го та 2-го видів відповідно,

в1 і в2 - чисельні значення норм витрат ресурсу на випуск виробів 1-го і 2-го видів відповідно)

є норми прибуток від реалізації одиниці своєї продукції.

(С1 і С2 - норми прибутку, рівні прибутку, що отримується від реалізації одиниці відповідної продукції Х1 і Х2)

є цільова функція, що відображає прибуток підприємства від продажу продукції, що випускається;

(Ф = с1Х1 + с2Х2 - прибуток)

Необхідно: визначити такі значення продукції Х 1 і Х 2 , при яких ресурси не перевищили значень А і В, а цільова функція отримала максимальне значення

Наведемо постановку задачіу математичному (формалізованому вигляді):

Цільова функція:

Обмеження:

Необхіднознайти такі значення Х 1 і Х 2 , за яких цільова функція стане максимальною і будуть дотримані всі обмеження ресурсів і чисельні значення Х 1 і Х 2 .

Рішення.

За допомогою програми " пошук рішення", що є в Ехсеl, завдання вирішується в наступній послідовності:

виділяються осередки, де будуть розташовані шукані значення Х1 і Х2;

вводяться в окремі осередки (вибір осередків може бути довільним):

норми витрат ресурсів а 1, а 2, в 1, в 2;

розміри ресурсів А та В;

норми прибутку з 1 і з 2;

формули обмежень:

а 1 Х 1 + а 2 Х 2; у 1 Х 1 + у 2 Х 2;

формула цільової функції:

з 1 Х 1 + з 2 Х 2;

звертаємось до програми "пошук рішення", вводяться характеристики програми у відповідні поля, набувають рішення: чисельні значення Х 1 і Х 2 ;

проводиться аналіз рішення на дотримання обмежень та умови цільової функції. Робиться висновок про рівень використання виділених ресурсів;

якщо ресурси використовувалися в повному обсязі, можна змінити норми витрат. Якщо вирішенні завдання деякі товари не випускаються, треба запровадити додаткові обмеження мінімум випуску продукції.

2.2.1 З погляду математичного підходу “Завдання – це модель та алгоритм її застосування в рамках деякої математичної теорії”. математичних методівдослідження потрібно побудувати математичну модель завдання. Математична модельЗавдання - це спеціальна логічна конструкція, що цілеспрямовано описує в термінах математичної теорії об'єктивний процес або явище, що лежать в основі конкретної задачі. Процес розв'язання такої моделі є своєрідним аналогом розумового процесу фахівця, який приймає рішення.

Модель є образ реального об'єкта, що досліджується, або явища, створений за допомогою певного набору коштів. Моделі значно полегшують розуміння об'єктів (явлень), дозволяють прогнозувати їх поведінку в умовах, що цікавлять нас, застосовувати уніфіковані методи аналізу. У моделі концентруються найважливіші, з погляду аналізованої проблеми, ознаки (властивості) досліджуваного об'єкта (явления). Метою моделювання є створення досить точного, повного, лаконічного та зручного для сприйняття та аналізу опису.

Елементами математичної моделі є змінні, параметри, зв'язки (математичні) та інформація.

Загальна кваліфікація математичних моделей, як правило, провадиться за такими ознаками:

Поведінці моделей у часі;

Види вхідної інформації,

Параметрів, виразів, конструкцій, що становлять математичну модель;

структуру математичної моделі;

Тип використовуваного математичного апарату.

Відповідно до даної класифікації математичні моделі бувають динамічними(Час грає роль незалежної змінної, і поведінка системи змінюється у часі); статичними(незалежними від часу); квазістатичними чи дискретно-подійними(поведінка системи змінюється від одного статичного стану до іншого відповідно до зовнішніх впливів). Якщо ці елементи моделі досить точно встановлені та поведінку системи можна точно визначити, то модель - детермінована,в іншому випадку - стохастична. Якщо інформація та параметри є безперервними величинами, а математичні зв'язки є стійкими, то модель безперервна, в іншому випадку - дискретна. Якщо параметри моделі фіксовані і не змінюються в процесі моделювання відповідно до поведінки об'єкта моделювання, це модель із фіксованими параметрами, в іншому випадку - модель з параметрами, що змінюються в часі або в просторі. Математична модель може бути складною, комплексною, ієрархічної, якщо можна знайти елементарні підсистеми, що становлять її. Це дуже важливе питання, оскільки його рішення дозволяє спростити моделювання, наприклад, оперативне управління розподіленими системами, особливо якщо модель можна представити у вигляді деревоподібної або мережевої структури. За типом використовуваного математичного апарату говоритимемо про аналітичних, імовірнісно-статистичних та нечіткихмоделях.

Основні вимоги до моделі:

Адекватність (достовірність);

Повнота;

Ненадмірність;

Прийнятна трудомісткість.

Адекватність і повнота означають, що модель повинна мати всі істотні (з точки зору розв'язуваної задачі) ознаки об'єкта моделювання і з достатнім ступенем точності не відрізнятися від нього за цими ознаками. Сюди ж, зокрема, відноситься проблема адекватності критерію оптимальності цілям функціонування системи, що моделюється. Щодо вимоги надмірності модель не повинна бути «засмічена» безліччю дрібних, другорядних факторів, які лише ускладнюють математичний аналіз і роблять результати дослідження важко осяжними. p align="justify"> Прийнятна трудомісткість означає, що витрати на створення моделі повинні відповідати встановленим обмеженням на ресурси і ефект від використання моделі повинен перевищувати витрати на її побудову. При цьому при оцінці витрат на моделювання слід враховувати витрати часу та зусиль усіх учасників, задіяних як безпосередньо у побудові моделі, так і збиранні необхідної інформації, витрати та час на навчання, вартість обробки та зберігання інформації. Зазначені вимоги до моделі суперечливі. Наприклад, з одного боку, вона має бути досить повною, а з іншого - досить простою і маловитратною. Тобто створення математичних моделей - це багато в чому творчість, що вимагає наявність відповідних математичних та прикладних знань, досвіду та кваліфікації.

2.2.2 Стосовно проблеми прийняття рішення можна говорити про модель ЗПР, модель середовища прийняття рішення (описової моделі проблемної ситуації), модель процесу прийняття рішення, модель комп'ютерної системи прийняття рішення (системи підтримки прийняття рішень).

При визначенні моделі конкретної ЗПР слід оцінити її щодо класифікаційних ознак, виділених нами у рамках розглянутої раніше системи класифікації ЗПР та за результатами такої оцінки визначити модель ЗПР у вигляді кортежу відповідних характеристик. Наприклад, загальна формальна модель ЗПР для індивідуального ЛПР може бути представлена ​​у вигляді кортежу

;

а для групи ЛПР у вигляді кортежу

< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,

де So – проблемна ситуація; T – час прийняття рішення; R – наявні до ухвалення рішення ресурси; S = (S 1 , …, S n) – безліч допустимих ситуацій, що визначають предметну область і тим самим уточнюють проблемну ситуацію So; G=(G 1 ,…,G k) – безліч цілей, переслідуваних після ухвалення рішення; B=(B 1 ,…,B L) – безліч обмежень; A=(A 1 ,…,A m) – безліч альтернативних варіантів розв'язання; f – функція переваги ЛПР; K – критерії вибору; F(f) – функція групової переваги; L – принцип узгодження індивідуальних переваг формування групового переваги; A* – оптимальне рішення.

Пояснимо наявність у моделі критеріїв вибору K та функції переваги. Досвід показує, що в термінах критеріїв вибору найчастіше не вдається виразити всю гаму «пристрастей», «смаків» та переваг конкретного ЛПР. З допомогою безлічі приватних критеріїв, зазвичай виникають під час розгляду реальних ЗПР, лише намічаються певні мети, які нерідко виявляються дуже суперечливими. Ці цілі одночасно, як правило, досягнуті бути не можуть, і тому потрібна додаткова інформація для здійснення компромісу. Інакше кажучи, якщо обмежитися лише безліччю можливих рішень та векторним критерієм, то ЗПР виявляється «невизначеною». Ця «невизначеність» позначається потім у слабкій логічній обґрунтованості вибору ефективного рішення на основі векторного критерію. Для того щоб здійснити обґрунтований вибір, слід крім векторного критерію мати якісь додаткові відомості про переваги ЛПР. З цією метою необхідно включити в багатокритеріальну задачу функцію, яка описує відносини переваг.

Для позначення переваги рішення А перед рішенням A часто використовується запис А A. Слід зазначити, що не всякі два можливі рішення А і A пов'язані співвідношенням А A або співвідношенням A. Можуть існувати такі пари рішень, що ЛПР не в змозі віддати перевагу якомусь одному з них. ).

При визначенні відношення переваги слід забезпечити виконання двох умов:

Відношення переваги є суворим у тому сенсі, що ні для якого припустимого рішення А' неможливе виконання умови виду А'A' - оскільки жодне рішення не може бути кращим за самого себе;

Якщо А'A'' і А'A''', то А'A'''(властивість транзитивності).

Часто (наприклад, при ухваленні рішень в умовах управління ієрархічними розподіленими середовищами) виникає потреба у моделюванні процесу ухвалення рішення. Процес прийняття рішень схематично представляється як так званого дерева рішень. Побудова такого дерева базуються на декомпозиції процесу прийняття рішення - виділенні самостійних функціональних підпроцесів і більш приватних завдань, а також встановлення взаємозв'язку між ними, в результаті чого загальний процес прийняття рішень представляється у вигляді вирішення послідовності взаємопов'язаних ієрархічних локальних ЗПР. Основними принципами декомпозиції є відносна самостійність кожного з підпроцесів (тобто наявність конкретного об'єкта управління); наявність відповідного набору функцій та ЗПР із чітко вираженими локальними цілями прийняття рішення, що узгоджуються із загальними цілями прийняття рішення для системи в цілому; оптимізація складу включених у підпроцес елементів. Це питання буде розглянуто пізніше, при розгляді проблеми ухвалення рішення у рамках проблеми оперативного менеджменту якості.

2.2.3 Основними етапами загального процесу моделювання є:

1) аналіз поставленого завдання;

2) аналіз об'єкта моделювання та його середовища з погляду поставленої задачі;

3) побудова (синтез) моделі;

4) перевірка побудованої моделі на достовірність;

5) застосування моделі;

6) оновлення моделі (при необхідності).

1) Перед побудовою моделі спочатку необхідно визначити головне призначення моделі - які вихідні дані потрібно отримати, використовуючи модель, щоб допомогти ЛПР вирішити проблему, що стоїть перед ним.

Потім слід визначити, яка інформація потрібна для побудови моделі та які потрібні відомості на виході. Крім того, слід оцінити витрати на створення моделі та реакцію людей, які мають її використовувати. Модель, витрати на побудову та використання якої перевищує одержувані від неї вигоди, нікому не потрібна, а надто складна модель може бути не зрозуміла користувачам і не застосовуватиметься на практиці.

2) В основу моделі кладеться опис об'єкта, що формується (відповідно до розв'язуваної задачі та доступної інформації) на основі виділення складових об'єктів елементів, виявлення зв'язку між ними, визначення суттєві для завдання характеристик і параметрів. На цьому ж етапі формуються, що підлягають подальшій перевірці гіпотези про закономірності, властиві об'єкту, що вивчається, про характер впливу на об'єкт зміни тих чи інших параметрів і зв'язків між елементами, вивчаються взаємозв'язки, що визначають можливі наслідки прийнятих рішень, а також усувається нечіткі, неоднозначні висловлювання або визначення , які замінюються, можливо, і наближеними, але чіткими, не допускаючими різних тлумачень висловлюваннями

3) Сутність математичного моделювання полягає у підборі математичних схем, адекватно описують процеси, що відбуваються насправді.

При побудові математичної моделі явище якимось чином полегшується, схематизується; з незліченної множини факторів, що впливають на явище, виділяється порівняно невелика кількість найважливіших, і отримана схема описується за допомогою того чи іншого математичного апарату. Загальних методів побудови математичних моделей немає. У кожному конкретному випадку модель будується, виходячи з поставленого завдання, доступних вихідних даних, необхідної точності рішення, особистих переваг аналітика, що створює модель.

При побудові математичної моделі виконуються такі види діяльності:

-аналіз всіх елементів системи, що впливають на ефективність прийнятих рішень та оцінка ступеня впливу кожного з них на функціонування організації при різних варіантах рішень;

- Виняток з переліку елементів, що не впливають (або несуттєво впливають)на вибір варіантів рішень;

– попереднє угруповання деяких взаємопов'язаних елементів для спрощення моделі (наприклад, витрати на оренду, утримання приміщень та інші об'єднати в умовно-постійні витрати);

– визначення переліку елементів після уточнення їх постійного чи змінного характеру впливу систему (у складі змінних елементів встановлюються, своєю чергою, поделементи системи, які впливають їх величину; наприклад, транспортні витрати залежить від обсягу переміщених товарів, відстані, вартості пального та інших. );

– закріплення за кожним поделементом певного символу та складання відповідних математичних конструкцій.

Математична модель зазвичай будується з орієнтацією на передбачуваний метод розв'язання задачі. З іншого боку, у процесі проведення математичного дослідження чи інтерпретації рішення може знадобитися уточнити чи навіть суттєво змінити математичну модель.

Як зазначалося вище, математичні моделі, застосовувані нині у завданнях прийняття рішень, можна грубо поділити втричі класу: аналітичні, статистичні і засновані на нечіткої формалізації.

Для перших характерно встановлення формульних, аналітичних залежностей між параметрами задачі, записаних у будь-якому вигляді: алгебраїчні рівняння, звичайні диференціальні рівняння, рівняння з приватними похідними і т. д. Зазвичай за допомогою аналітичних моделей вдається з задовільною точністю, описати які- основою яких покладено відомі фізичні закони.

Використання статистичних моделей передбачає наявність відповідних імовірнісно-статистичних даних та закономірностей.

Використання моделей, заснованих на нечіткої формалізації, виправдане у разі відсутності даних, що дозволяють використовувати два перші типи моделей.

Побудована модель має бути піддана відповідному аналізу з метою обґрунтування. Найбільш важливий момент – доказ існування чи отримання рішення у рамках сформульованої моделі. Якщо ця умова не виконується, слід скоригувати або постановку завдання, або способи її математичної формалізації.

4) Насправді майже завжди необхідна перевірка моделі на достовірність. По-перше, треба визначити ступінь відповідності моделі реальному явищу, встановити, чи всі суттєві фактори реальної ситуації враховані у моделі. По-друге, слід зрозуміти, наскільки моделювання справді допомагає вирішити проблему. Бажано перевірити модель на ситуації, що мала місце у минулому.

Успішний результат порівняння (оцінки) об'єкта, що досліджується, з моделлю свідчить про достатній ступінь вивченості об'єкта, про правильність принципів, покладених в основу моделювання, і про те, що створена модель працездатна.

Часто перші результати моделювання задовольняють пред'явленим вимогам. Це вимагає проведення додаткових досліджень та відповідної зміни моделі.

5) Щодо застосування моделі слід враховувати, що основна причина недостатньо широкого використання моделей полягає в тому, що керівники, для яких вони створюються, часто не цілком розуміють результати і тому бояться їх застосовувати. Причиною є недолік у них знань у цій галузі. Для боротьби з цим системним аналітикам слід приділяти значно більше часу ознайомленню керівників із можливостями та методикою використання моделей.

6) Оновлення моделі проводиться, якщо керівництву потрібні вихідні дані у більш зручній формі або додаткові дані. Оновлення моделі може також знадобитися у разі зміни цілей організації та відповідних імкритеріїв прийняття рішень або при отриманні додаткової інформації, що дозволяє уточнити, удосконалити поточну модель. Остання ситуація пов'язана з проблемою недостатності, неточності апріорної інформації, що використовується для побудови моделі. Якщо зовнішнє середовище рухливе, інформацію про неї слід оновлювати швидко, але на це може не вистачати часу або це може виявитися занадто дорогим. p align="justify"> Інформаційні обмеження є основною причиною недостовірності передумов, покладених в основу побудови моделі. Нерідко виникають ситуації, коли неможливо отримати інформацію з усіх важливих факторів та використовувати її в моделі. Слід бути обережними щодо використання припущень, які не можуть бути точно оцінені та об'єктивно перевірені (наприклад, не піддається перевірці припущення про зростання продажів наступного року на певну суму).

2.2.4 При побудові моделі слід враховувати такі рекомендації:

Зазвичай спочатку визначається основна грубіша конструкція (тип, загальна схема) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних і параметрів, форма зв'язків);

Слід уникати непотрібної деталізації моделі, оскільки це надмірно ускладнює модель. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей, облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом, що отримується (при зростанні складності моделі приріст витрат може перевищити приріст ефекту);

Одна з важливих особливостей математичних моделей – потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому навіть стикаючись з новим завданням, необхідно попередньо проаналізувати можливість використання для її вирішення вже відомих моделей (або окремих їх складових);

Необхідно прагнути отримати модель, що належить добре вивченому класу математичних завдань. Часто це вдається зробити шляхом деякого спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворюють суттєвих рис об'єкта, що моделюється.

Позитивними характеристиками моделювання є:

- Застосування більш досконалих перевірених практикою технологій прийняття рішення;

- Високий ступінь обґрунтованості рішень;

– скорочення термінів прийняття рішень;

- Можливість виконання зворотної операції.

Особливість зворотної операції у тому, що, маючи модель і вихідні дані, можна як прийняти рішення, а й зорієнтуватися необхідний результат і визначити, які вихідні дані цього необхідні. Так, наприклад, орієнтуючись на отримання прибутку в обсязі N, можна встановити і кількісні значення інших показників, які прямо і опосередковано впливають на досягнення планованого результату (отримання нових знань про ситуацію (об'єкт), відсутніх раніше; формулювання висновків, які неможливо отримати при найзмістовніших). логічних міркуваннях).

Для побудови математичної моделі необхідно:

1. ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;
2. виділити його найбільш суттєві риси та властивості;
3. визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;
4. описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу чи системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);
5. виділити внутрішні зв'язки об'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;
6. визначити зовнішні зв'язкита описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:

1. побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу чи системи;
2. перевірка адекватності моделі та об'єкта, процесу чи системи на основі обчислювального та натурного експерименту;
3. коригування моделі;
4. використання моделі.

Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:

1. природи реального процесу або системи складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.
2. необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі аналізованого об'єкта, процесу чи системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим.

Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу. Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника. загального вигляду. При більш високій вимогі до точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

За допомогою цього простого прикладубуло показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом або системою.

АБО (треба завтра уточнити)

Шляхи розв'язання мат. Моделі:

1, Побудова м. на основі законів природи (аналітич. метод)

2. Формальний шлях за допомогою статистичних. Обробки та результатів вимірювання (статист. підхід)

3. Побудова м. з урахуванням моделі елементів (складних систем)

1, Аналітичний - використання при достатньому вивч. Загальної закономірності вив. Модель.

2. експеримент. За відсутності інформ.

3. Імітаційна м. - Досліджує св-ва об'єкта ст. В цілому.

Приклад побудови математичної моделі.

Математична модель- це математичне поданняреальності.

Математичне моделювання- це процес побудови та вивчення математичних моделей.

Всі природничі та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють об'єкт його математичною моделлю і потім вивчають останню. Зв'язок математичної моделі з реальністю здійснюється за допомогою ланцюжка гіпотез, ідеалізацій та спрощень. За допомогою математичних методів описується зазвичай ідеальний об'єкт, побудований на етапі змістовного моделювання.

Навіщо потрібні моделі?

Найчастіше щодо будь-якого об'єкта виникають труднощі. Сам оригінал часом буває недоступним, або його використання не є доцільним, або залучення оригіналу вимагає великих витрат. Усі ці проблеми можна вирішити за допомогою моделювання. Модель у сенсі може замінити досліджуваний об'єкт.

Найпростіші приклади моделей

§ Фотографію можна назвати моделлю людини. Щоб дізнатися людину, досить бачити її фотографію.

§ Архітектор створив макет нового житлового району. Він може рухом руки перемістити висотну будівлю з однієї частини до іншої. Насправді це було б неможливо.

Типи моделей

Моделі можна поділити на матеріальні"і ідеальні. Наведені вище приклади є матеріальними моделями. Ідеальні моделі часто мають знакову форму. Реальні поняття замінюються при цьому деякими знаками, які можна легко зафіксувати на папері, в пам'яті комп'ютера і т.д.

Математичне моделювання

Математичне моделювання належить до класу знакового моделювання. При цьому моделі можуть створюватися з будь-яких математичних об'єктів: чисел, функцій, рівнянь і т.д.

Побудова математичної моделі

§ Можна відзначити кілька етапів побудови математичної моделі:

1. Осмислення завдання, виділення найбільш важливих для нас якостей, властивостей, велич і параметрів.

2. Введення позначень.

3. Упорядкування системи обмежень, яким мають задовольняти введені величини.

4. Формулювання та запис умов, яким має задовольняти потрібне оптимальне рішення.

Процес моделювання не закінчується складанням моделі, атільки їм починається. Склавши модель, вибирають метод знаходження відповіді, вирішують завдання. після того, як відповідь знайдено зіставляють його з реальністю. І можливо, що відповідь не задовольняє, в цьому випадку модель видозмінюють або навіть вибирають зовсім іншу модель.

Приклад математичної моделі

Завдання

Виробниче об'єднання, до якого входять дві меблеві фабрики, потребує оновлення парку верстатів. Причому першій меблевій фабриці потрібно замінити три верстати, а другий-сім. Замовлення можна розмістити на двох верстатобудівних заводах. Перший завод може виготовити не більше 6 верстатів, а другий завод прийме замовлення якщо їх буде не міняє трьох. Потрібно визначити, як розміщувати замовлення.