Концепція виробничої функції. Виробничі функції (1) - Тести

Виробництво - це фактично процес перетворення одних продуктів на інші. У процесі якого із сукупності простого виходить щось складніше за своєю сутністю. Виробнича функція Кобба-Дугласа, як і будь-яка інша, відображає існуючий взаємозв'язок між отриманим результатом та комбінацією факторів, які використовувалися для його досягнення. Відмінності між різними моделями полягають у глибині їхнього охоплення реального стану справ. Найпростішим є лінійна, яка відображає взаємозв'язок між кількістю працівників та реальним випуском. Виробнича модель Кобба-Дугласа розглядає не лише працю як ресурс отримання результату, а й капітал. Найскладнішими є сучасні багатофакторні моделі. Вони фігурує і земля, і підприємницькі здібності, і навіть інформація.

Виробництво як процес

Випуск продукції за своєю суттю є перетворенням різних матеріальних і нематеріальних вкладень (планів, ноу-хау) для створення предметів, призначених для споживання. Це процес створення товару чи послуги, які корисні для індивідів. Зростання виробництва означає вдосконалення економічного добробуту. Це з тим, що це продукти прямо чи опосередковано використовуються задоволення людських потреб. А останні, як відомо, безмежні. Тому економічний добробут держави часто оцінюється за допомогою ступеня задоволення потреб її громадян. Його збільшення пов'язують із двома факторами: поліпшенням співвідношення якості та ціни наявних продуктів і зростанням купівельної спроможності людей за рахунок більш ефективного ринкового виробництва.

Джерело економічного добробуту

Головним чином в економіці є лише два процеси: виробництво та споживання. І стільки ж видів акторів. Виробники випускають продукцію, щоб задовольнити потреби споживачів. Економічний добробут, таким чином, складається із двох компонентів. Перший – це ефективне виробництво, другий – взаємодія між факторами. Добробут споживачів залежить від товарів, які можуть собі дозволити, а виробників - від доходу, отриманого ними як компенсацію за свою працю і вкладені у процес випуску матеріальні і нематеріальні активи.

Процес створення продукту

Кожне підприємство у ході своєї роботи має справу з безліччю окремих дій. Однак для простоти розуміння виробництва прийнято виділяти п'ять основних процесів, у кожного з яких є своя логіка, цілі, теорія та ключові постаті. І важливо вивчати їх не лише як одне ціле, а й окремо. Таким чином, у ході виробництва виділяють такі процеси:

Економічна дефініція

Виробнича функція - це відношення між випуском та використаною для його здійснення комбінацією факторів. Головний із них - праця. Проста лінійна модель розглядає лише його. Виробнича функція Кобба-Дугласа, приклад якої буде розглянуто нижче, враховує не лише працю, а й капітал як фактор процесу випуску продукції. Інші моделі додатково беруть до уваги землю (P) та підприємницькі здібності (H). Таким чином, виробництво є функцією від комбінації цих показників або Q = f (K, L, P, H). Кожна галузь господарства чи навіть окреме підприємство має свої особливості. Тому виробничих функцій можна придумати безліч.

Проста лінійна модель

Виробнича функція Кобба-Дугласа враховує два фактори, як це заведено в неокласичних теоріях. Проте набагато простіше розглядати лише одне. Теорія абсолютних переваг Адама Сміта, з якої фактично почалася вся сучасна економіка, мала в основі лише працю як фактор виробництва. Не втік від цього припущення і Давид Рікардо. І лише у 60-х роках минулого століття шведські економісти Елі Хекшер та Бертіл Олін взяли на себе сміливість почати розглядати ще один фактор-капітал. Найпростіша виробнича модель є лінійною. Вона визначає залежність між кількістю робочої сили та випуском. Її рівняння включає лише одну незалежну змінну. Отже, лінійна виробнича функція має такий вид: Q = a * L, де Q - це обсяг випуску, a - параметр, L - кількість робочих, зайнятих у виробництві. Розглянемо окремий приклад. Один робітник може зробити 10 стільців на день. У цьому випадку рівняння матиме такий вигляд: Q = 10*L.

Закон зменшення віддачі

Продовжимо розглядати приклад, наведений вище. Лінійна функціяпередбачає, що збільшення кількості робочих завжди призводить до збільшення обсягів виробництва. Один майстер може зробити 10 стільців на день, п'ять – 50, сто – 1000. Проте насправді все трохи складніше. У таких моделях необхідно враховувати постійні капітальні фонди та зменшення віддачі. Тому в рівнянні з'являється додатковий параметр b. Він знаходиться в проміжку між нулем і одиницею, що випливає з нього економічної сутності. Тепер взаємини між обсягом випуску та кількістю працівником можуть бути описані наступним чином: Q = a * L b . Рівняння з попереднього прикладу насправді матиме такий вигляд: Q = 10 * L 0,5 . А це означає, що один працівник виготовляє 10 стільців, а п'ять зовсім не 50, а лише 22. Сто майстрів можуть насправді зробити не тисячу виробів, а лише сто. І це закон зменшення віддачі у дії.

Багатофакторні моделі

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд: Q = a * L b * K c. Як видно з формули, ми вже маємо справу з трьома параметрами (a, b, c) та двома факторами (L, K). У ній враховуються вже не лише трудові ресурси (кількість працівників), а й капітальні (кількість пилок у розпорядженні). Параметри виробничої функції Кобба-Дугласа залежать як від галузі господарства, а й технології, використовуваної окремому підприємстві. Не можна забувати і про дію закону спадної віддачі від будь-якого фактора, що використовується. Наше рівняння з вищенаведеного прикладу може бути розширено наступним чином: Q = 10 * L 0,5 * K. Виробнича функція Кобба-Дугласа використовує в сучасних неокласичних теоріях найчастіше через свою відносну простоту і наближеність до реальності. Більш складні моделі ще тільки починають набувати свого поширення.

Фіксовані пропорції

Припустимо, що єдиний спосіб зробити стілець - це дати кожному робітнику по пилці. Зайві інструменти в такому випадку просто не приносять користі. Це означає, що випуск товару передбачає наявність певного співвідношення капітальних і трудових ресурсів. При цьому обсяг виробництва визначається "слабкою ланкою". На цей випадок економістами вигадали особливу функцію. Вона має такий вигляд: min (L, K). Якщо для створення випорожнення потрібно два робочих і одна пила, то min (2L, K).

Ідеальні субститути

Якщо один фактор може бути замінений на інший, то це матиме ефект на вигляд виробничої функції. Наприклад, припустимо, що замість тесля можна використовувати роботів. Формула з прикладу тоді виглядатиме так: Q = 10 * L + 10 * R. Або узагальнено: Q = a * L + d * R, де a, d - параметри, а L і R - число теслярів та роботів. Якщо ж машини в 10 разів швидше за працівників, то формула буде виглядати наступним чином: Q = 10 * L + 100 * R.

Виробнича функція Кобба-Дугласа: властивості

Почнемо розгляд найпопулярнішої неокласичної моделі з її основних особливостей:

1. Виробничі функціїКобба-Дугласа враховує два чинники: працю та капітал.

2. Позитивно спадаючий граничний продукт.

3. Постійна еластичність випуску, що дорівнює b для L і c для K.

4. Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд: Q = a * L b * K c.

5. Постійний ефект масштабу, рівний сумі b та c.

Історичні відомості

В основі будь-який економічної теоріїлежать чинники виробництва. Виробнича функція Кобба-Дугласа розглядає два з чотирьох основних: працю та капітал. На сьогоднішній день для кожного підприємства можна вигадати її окремі приклади. Рішення виробничих функцій Кобба-Дугласа не відбулося без робіт Кната Вікселла (1851-1926). Саме він уперше сконструював цю модель. Чарльз Кобб та Пол Дуглас, іменами яких вона була пізніше названа, лише протестували її на практиці. У 1928 році у світ вийшла їх книга, в якій описувалося економічне зростання США в 1899-1922 рр. Вчені пояснювали його за допомогою двох факторів: використаних трудових ресурсів та інвестованих капітальних. Звичайно ж, на економічне зростання впливає безліч інших параметрів, але статистика довела, що вирішальними є все ж таки ті два, які і виділив Кнат Вікселл.

За словами Пола Дугласа, перше формулювання функції з'явилося 1927 року. У цей час він намагався вивести математичний вираззв'язки між робітниками та капіталом. Він звернувся до свого колеги Чарльза Кобба. Останньому і вдалося вивести сучасне рівняння, яке, як виявилося, раніше використав у своїх роботах Кнат Вікселл. За допомогою методу найменших квадратіввченим удалося вивести експоненту праці (0,75). Її значення було підтверджено даними Національного бюро економічних досліджень. У 40-х роках минулого століття вчені відійшли від констант та заявили, що експоненти можуть змінюватися з часом.

Допущення моделі

Якщо обсяг випуску є похідною від двох факторів (праці та капіталу), то еластичність всієї функції залежатиме від граничної продуктивності кожного з них. Таким чином, Кобб і Дуглас побудували свою модель на наступних припущеннях:

• Виробництво не може продовжуватися за відсутності одного з факторів. Праця і капітал є субститутами, які можуть замінити одне одного у процесі випуску. Додаткові пилки не можуть створити стільці без участі теслярів.
• Гранична продуктивність кожного з чинників пропорційна обсягу випуску з його одиницю.

Еластичність випуску

Очевидно, що зменшення обсягу використовуваних матеріалів призводить до скорочення обсягу продуктів. Виробнича функція Кобба-Дугласа має справу з маргінальним випуском. Еластичність економіки - це відсоток зміни значення одного показника у відповідь зменшення чи збільшення іншого, що з ним. Виробнича функція Кобба-Дугласа має на увазі, що b і c – константи. Якщо b дорівнює 0,2 і кількість робітників збільшиться на 10%, то випуск побільшає на 2%.

Ефект масштабу

Для реального збільшення випуску обсяг факторів виробництва, що використовується, повинен зростати пропорційно. Якщо так і відбувається, ми говоримо, що ми використовуємо ефект масштабу. Виробнича функція Кобба-Дугласа, характеристики якої ми вже розглянули, враховує його. Якщо b + c = 1, то це означає, що ми маємо справу з постійним ефектом масштабу, >1 - що збільшується,<1 - уменьшающимся.

Тимчасовий фактор

Модель виробничої функції Кобба-Дугласа найчастіше використовується для опису середньо- та довгострокової перспективи. Очевидно, що найчастіше найняти нових людей набагато простіше, ніж збільшити обсяг капітальних ресурсів. Тому деякі економісти стверджують, що проста лінійна модель якнайкраще підходить для опису коротких часових періодів роботи підприємства. Фірмі належить певний розмір приміщення, обмежена кількість верстатів, що можна змінити лише за допомогою довгострокового планування. Період часу, необхідний йому, може змінюватися від однієї підприємства до іншого, як і еластичність виробничої функції Кобба-Дугласа.

Проблеми застосування

Незважаючи на те, що двофакторна виробнича функція набула широкого поширення і була перевірена Коббом і Дугласом статистично, частина економістів все одно сумнівається в її точності в різних галузях та часових періодах. Головним припущенням цієї моделі є сталість еластичності праці та капіталу розвинених країн. Однак чи це так насправді? Ні Кобб, ні Дуглас не надали теоретичних підоплік його існування. Постійність коефіцієнтів b і c значно спрощує розрахунки, і у цьому все. При цьому вчені нічого не розуміли в інжинірингу, технологіях та менеджменті виробничого процесу. До того ж, можливість її застосування на мікрорівні не говорить про її правильність в умовах макроекономіки, і навпаки.

Критика переслідувала виробничу функцію Кобба-Дугласа з її появи в 1928 року. Спочатку це так засмутило вчених, що вони хотіли покинути роботу над нею. Але згодом вони вирішили продовжити. У 1947 році Дуглас виступив з новими підтвердженнями її правильності як президент Американської економічної асоціації. Вченому не вдалося продовжити роботу над нею через проблеми зі здоров'ям. Надалі виробничу функцію удосконалили Пол Самуельсон та Роберт Солоу, назавжди змінивши уявлення про вивчення макроекономіки.

На сьогоднішній день виробнича функція Кобба-Дуглас є однією з найважливіших концепцій. Вона описує зв'язок між вкладеними факторами та отриманим результатом. На відміну від простих лінійних моделей, які підходять лише описи короткого періоду життєдіяльності підприємства, може використовуватися для довгострокового планування. Однак не можна забувати про низку припущень та проблем, з якими пов'язано її застосування.

В умовах сучасного суспільства жодна людина не може споживати тільки те, що вона сама виробляє. Кожен індивід виступає над ринком у двох ролях: як споживач і як виробник. Без постійного виробництва благне було б споживання. На відоме питання «Що робити?» відповідають споживачі на ринку, «голосуючи» вмістом свого гаманця за ті товари, які їм справді потрібні. На запитання «Як зробити?» повинні відповісти ті фірми, які виробляють товари ринку.

В економіці присутні два види благ: споживчі блага та фактори виробництва (ресурси) – це блага, необхідні для організації процесу виробництва

Неокласична теорія традиційно до факторів виробництва відносила капітал, землю та робочу силу.

У роки XIX століття Альфредом Маршаллом було виділено четвертий чинник виробництва – організація. Далі Йозефом Шумпетером цей фактор був названий підприємництвом.

Таким чином, виробництво являє собою процес поєднання таких факторів як капітал, працю, земля та підприємництво з метою отримання нових благ та послуг, необхідних споживачам.

Для організації виробничого процесу необхідні фактори виробництва повинні бути присутніми у певній кількості.

Залежність максимального обсягу виробленого продукту від витрат факторів, що використовуються, називається виробничою функцією:

де Q - максимальний обсяг продукту, який можливо зробити при заданій технології та певних факторах виробництва; K – витрати капіталу; L – витрати праці; M – витрати сировини, матеріалів.

Для укрупненого аналізу та прогнозування використовується виробнича функція, яка називається функцією Кобба-Дугласа:

Q = k · K · L · M ,

де Q – максимальний обсяг продукту при заданих факторах виробництва; K, L, M – відповідно витрати капіталу, праці, матеріалів; k - коефіцієнт пропорційності, чи масштабності; , , , - показники еластичності обсягу виробництва відповідно до капіталу, праці та матеріалів, або коефіцієнти приросту Q, що припадають на 1% приросту відповідного фактора:

+ + = 1

Незважаючи на те, що для виробництва конкретного продукту потрібно поєднання різних факторів, виробнича функція має низку загальних властивостей:

фактори виробництва взаємодоповнюють. Це означає, що процес виробництва можливий лише за наборі певних чинників. Відсутність одного з перерахованих факторів унеможливить виробництво запланованого продукту.

Існує певна взаємозамінність факторів. У процесі виробництва один фактор може бути замінений у певній пропорції іншим. Взаємозамінність означає можливості повного виключення з виробничого процесу будь-якого чинника.

Прийнято розглядати 2 різновиди виробничої функції: з одним змінним фактором та з двома змінними факторами.

а) виробництво з одним змінним фактором;

Припустимо, що в самому загальному виглядівиробнича функція з одним змінним фактором має вигляд:

де y – const, x – величина змінного фактора.

Щоб відбити вплив змінного чинника виробництва, вводяться поняття сукупного (загального), середнього і граничного продукту.

Сукупний продукт (TP) - це кількість економічного блага, вироблена з використанням певної кількості змінного фактора.Ця загальна кількість виробленого продукту змінюється зі збільшенням використання змінного чинника.

Середній продукт (AP) (середня продуктивність ресурсу)- це відношення загального продукту до кількості використаного у виробництві змінного фактора:

Граничний продукт (MP) (гранична продуктивність ресурсу) зазвичай визначається як приріст сукупного продукту, отриманий внаслідок нескінченно малого збільшення кількості використаного змінного фактора:

На графіці зображено співвідношення MP, AP та TP.

Сукупний продукт (Q) з зростанням використання у виробництві змінного фактора (х) буде збільшуватися, однак це зростання має певні межі в рамках заданої технології. На першій стадії виробництва (ОА) збільшення витрат праці сприяє все більш повному використанню капіталу: гранична та загальна продуктивність праці зростають. Це виявляється у зростанні граничного та середнього продукту, при цьому MP > АР. У точці А" граничний продукт досягає свого максимуму. На другій стадії (AБ) величина граничного продукту зменшується і в точці Б" дорівнює середньому продукту (MP = АР). Якщо першої стадії (0A) сукупний продукт зростає повільніше, ніж використане кількість змінного чинника, то другої стадії (АБ) сукупний продукт зростає швидше, ніж використане кількість змінного чинника (рис. 5-1а). На третій стадії виробництва (БВ) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Він стверджує, що зі зростанням використання будь-якого виробничого чинника(за незмінності інших) рано чи пізно досягається така точка, в якій додаткове застосування змінного фактора веде до зниження відносного і надалі абсолютного обсягів випуску продукції.

б) виробництво із двома змінними чинниками.

Припустимо, що у найзагальнішому вигляді виробнича функція з двома змінними факторами має вигляд:

де x та y - величини змінного фактора.

Як правило, розглядається 2 одночасно і взаємодоповнювані та взаємозамінні фактори: праця і капітал.

Цю функцію можна надати графічно з використанням ізокванти :

Ізокванта, або крива рівного продукту, відображає всі можливі комбінації двох факторів, які можуть бути використані для виробництва певного обсягу продукту.

Зі збільшенням обсягів використовуваних змінних факторів виникає можливість випуску більшого обсягу продукції. Ізокванта, що відображає виробництво більшого обсягу продукту, буде розташована правіше і вище попередньої ізокванти.

Кількість використаних факторів x і y може постійно змінюватися, відповідно зменшуватиметься або збільшуватиметься максимальний випуск продукту. Отже, може виникнути безліч ізоквант, відповідних різним обсягам своєї продукції, які утворюють карту ізоквант.

Ізокванти є подібністю кривих байдужості з тією лише різницею, що вони відбивають ситуацію над сфері споживання, а сфері виробництва. Тобто ізокванти мають властивості, близькі кривим байдужості.

Негативний нахил ізоквант пояснюється тим, що збільшення використання одного фактора при певному обсязівипуску продукту завжди супроводжуватиметься зменшенням кількості іншого чинника.

Так само як криві байдужості, розташовані на різній відстані від початку координат, характеризують різний рівень корисності для споживача, так і ізокванти дають інформацію про різних рівняхвиходу продукції.

Проблему замінності одного фактора іншим можна вирішити, розрахувавши граничну норму технологічного заміщення (MRTS xy або MRTS LK).

Гранична норма технологічного заміщення вимірюється співвідношенням зміни фактора до зміни фактора x. Оскільки заміна факторів відбувається у зворотному відношенні, то математичний вираз показника MRTS x,y береться зі знаком мінус:

MRTS x,y = абоMRTS LK =

Якщо ми візьмемо якусь точку на ізокванті, наприклад, точку A і проведемо до неї дотичну KM, то тангенс кута дасть нам значення MRTS x,y:

Можна відзначити, що у верхній частині ізокванти кут буде досить великий, що говорить про те, що для зміни фактора x на одиницю потрібні значні зміни фактора y. Отже, у цій частині кривої значення MRTS x, y буде велике.

У міру руху вниз по ізокванте значення граничної норми технологічного заміщення поступово зменшуватиметься. Це означає, що збільшення фактора x на одиницю знадобиться незначне зменшення фактора y.

У реальних виробничих процесах зустрічається два виняткові випадки у конфігурації ізоквант:

Це ситуація, коли два змінних фактори ідеально взаємозамінні, При повній замінності факторів виробництва MRTS x, y = const. Подібну ситуацію можна уявити за можливості повної автоматизації виробництва. Тоді в точці A весь процес виробництва складатиметься із витрат капіталу. У точці B всі машини будуть замінені робочими руками, а в точках C і D капітал і працю доповнюватимуть одна одну.

У ситуації з жорсткою доповнюваністю факторів гранична норма технологічного заміщення дорівнюватиме 0 (MRTS x, y = 0). Якщо ми візьмемо сучасний таксопарк з постійною кількістю машин (y 1), для роботи на яких необхідна певна кількість водіїв (x 1), то можна сказати, що кількість пасажирів, що обслуговуються, протягом доби не збільшиться, якщо ми збільшимо чисельність водійського складу до x 2 , x 3 ... x n . Обсяг виробленого продукту збільшиться з Q 1 до Q 2 тільки в тому випадку, якщо збільшиться кількість машин, що використовуються в таксопарку і чисельність водіїв.

Кожен виробник, набуваючи чинники в організацію виробництва, має певні обмеження у засобах.

Припустимо, що змінними чинниками виступають праця (фактор x) і капітал (фактор y). Вони мають певні ціни, які на період аналізу залишаються незмінними (P x , P y - const).

Виробник може набувати необхідних факторів у певному поєднанні, яке не виходить за рамки його бюджетних можливостей. Тоді його витрати на придбання фактора x складуть P x · x, фактор y відповідно - P y · y. Загальні витрати (С) становитимуть:

C = P x · X + P y · Y або
.

Для праці та капіталу:

або

Графічне зображення функції витрат (С) називається ізокостій (прямий рівних витрат, тобто це все комбінації ресурсів, використання яких веде до однакових витрат, витрачених на виробництво).Будується ця пряма за двома точками аналогічно бюджетної лінії (у рівновазі споживача).

Нахил даної прямої визначається:

Зі збільшенням коштів на придбання змінних факторів, тобто зі зменшенням бюджетних обмежень, лінія ізокости зрушуватиметься вправо та вгору:

C 1 = P x · X 1 + P y · Y 1 .

Графічно ізокости виглядають так само, як бюджетна лінія споживача. При постійних цінах ізокости є прямі паралельні лінії з негативним кутом нахилу. Чим більші бюджетні можливості виробника, тим далі від початку координат відстоїть ізокост.

Графік ізокости у разі зменшення ціни на фактор x переміститься по осі абсцис з точки x 1 x 2 відповідно до збільшення застосування цього фактора в процесі виробництва (рис. а).

А у разі збільшення ціни на фактор y виробник зможе меншу кількість цього фактора залучити до виробництва. Графік ізокости по осі ординат переміститься з точки y 1 y 2 .

Маючи можливості виробництва (ізокванти) та бюджетні обмеження виробника (ізокости), можна визначити рівновагу. Для цього сумісний карту ізоквант із ізокостою. Та ізокванта, по відношенню до якої ізокосту займе положення дотичної, визначить найбільший обсяг виробництва за заданих бюджетних можливостей. Точка торкання ізокванти ізокостій буде точкою найбільш раціональної поведінки виробника.

При аналізі ізокванти ми з'ясували, що її нахил у будь-якій точці визначається кутом нахилу дотичної, або нормою технологічного заміщення:

MRTS x,y =

Ізокоста у точці E збігається з дотичною. Нахил ізокости, як ми визначили раніше, дорівнює кутовому коефіцієнту . Виходячи з цього, можна визначити точку рівноваги споживача як рівність співвідношень між цінами на фактори виробництва та зміною цих факторів.

або

Привівши дану рівність до показників граничного продукту змінного фактора виробництва, в даному випадку це MP x і MP y отримаємо:

або

Це рівновага виробника чи правило найменших витрат.

Для праці та капіталу рівновага виробника виглядатиме так:

Припустимо, ціни ресурсів залишаються незмінними, тоді як бюджет виробника постійно зростає. Поєднавши точки перетину ізоквант з ізокостами, ми отримаємо лінію OS - "шлях розвитку" (аналогічну лінії рівня життя в теорії поведінки споживача). Ця лінія показує темпи зростання співвідношення між факторами у процесі розширення виробництва. На малюнку, наприклад, працю під час розвитку виробництва використовується більшою мірою, ніж капітал. Форма кривої " шлях розвитку " залежить, по-перше, від форми изоквант і, по-друге, від ціни ресурси (співвідношення між якими визначає нахил изокост). Лінія "шлях розвитку" може бути прямою або кривою, що виходить із початку координат.

Якщо відстані між ізоквантами зменшуються, це свідчить про те, що існує зростаюча економія від масштабу, тобто збільшення випуску досягається за відносної економії ресурсів. І фірмі необхідно нарощувати обсяги виробництва, оскільки це призводить до відносної економії наявних ресурсів.

Якщо відстані між ізоквантами збільшуються, це свідчить про спадання економії від масштабу. Зменшена економія від масштабу свідчить про те, що мінімально ефективний розмір підприємства вже досягнуто і подальше нарощування виробництва є недоцільним.

У разі коли збільшення виробництва потребує пропорційного збільшення ресурсів, говорять про постійну економію від масштабу.

Таким чином, аналіз випуску за допомогою ізокванту дозволяє визначити технічну ефективність виробництва. Перетин ізоквант з ізокостою дозволяє визначити не тільки технологічну, а й економічну ефективність, тобто вибрати технологію (трудо-або капіталозберігаючу, енерго- або матеріалозберігаючу і т. д.), що дозволяє забезпечити максимальний випуск продукції при тих коштах, які має в своєму розпорядженні виробник в організацію виробництва.

Виробнича функція- Залежність обсягів виробництва від кількості та якості наявних виробничих факторів, виражена за допомогою математичної моделі. Виробнича функція дає змогу виявити оптимальний розмірвитрат, необхідні виробництва деякої порції товарів. При цьому функція завжди призначається для конкретної технології – інтеграція нових розробок тягне за собою необхідність перегляду залежності.

Виробнича функція: загальний вигляд та властивості

Для виробничих функцій характерні такі характеристики:

• Підвищення обсягів випуску з допомогою одного виробничого чинника завжди гранично (приклад – у одному приміщенні може працювати обмежену кількість фахівців).

• Виробничі фактори бувають взаємозамінними (людські ресурси замінюються роботами) та взаємодоповнюваними (працівники потребують інструментів та верстатів).

У загальному вигляді виробнича функція має такий вигляд:

Q = f (K, M, L, T, N),

Виробництвомназивається будь-яка людська діяльністьщодо перетворення обмежених ресурсів - матеріальних, трудових, природних - на готову продукцію. Виробнича функція характеризує залежність між кількістю використовуваних ресурсів (факторів виробництва) та максимально можливим обсягом випуску, який може бути досягнутий за умови, що всі наявні ресурси використовуються найбільш раціональним чином.

Виробнича функція має такі властивості:

1 Існує межа збільшення виробництва, який може бути досягнутий при збільшенні одного ресурсу та сталості інших ресурсів. Якщо, наприклад, у сільському господарствізбільшувати кількість праці при постійних кількостях капіталу та землі, то рано чи пізно настає момент, коли випуск перестає зростати.

2 Ресурси доповнюють один одного, але в певних межах можлива їх взаємозамінність без скорочення випуску. Ручна праця, наприклад, може замінюватись використанням більшої кількостімашин, і навпаки.

Виробництво не може створювати продукцію з нічого. Процес виробництва пов'язані з споживанням різних ресурсів. До ресурсів входить усе те, що необхідно для виробничої діяльності, – і сировину, і енергія, і працю, і устаткування, і простір.

Щоб описати поведінка фірми, необхідно знати, скільки продукту може виробити, використовуючи ресурси у тих чи інших обсягах. Ми будемо виходити з припущення, що фірма виробляє однорідний продукт, кількість якого вимірюється в натуральних одиницях - тоннах, штуках, метрах тощо. виробничої функції.

Але підприємство може по-різному здійснити виробничий процес, використовуючи різні технологічні способи, різні варіантиорганізації виробництва, отже й кількість товару, одержуване за одних і тієї ж витратах ресурсів, то, можливо різним. Керівники фірми повинні відхилити варіанти виробництва, що дають менший вихід продукту, якщо при тих же витратах кожного виду ресурсу можна отримати більший вихід. Так само вони повинні відхилити варіанти, що вимагають великих витрат хоча б одного ресурсу без збільшення виходу продукту та скорочення витрат інших ресурсів. Варіанти, що відхиляються з цих міркувань, звуться технічно неефективних.

Допустимо, ваша фірма виробляє холодильники. Для виготовлення корпусу необхідно розкроїти листове залізо. Залежно від того, як буде розмічено та розкроєно стандартний лист заліза, з нього можна вирізати більше або менше деталей; відповідно для виготовлення певної кількості холодильників потрібно менше або більше стандартних листів заліза. При цьому витрата решти матеріалів, праці, обладнання, електроенергії залишиться без зміни. Такий варіант виробництва, який може бути покращений шляхом раціональнішого розкрою заліза, повинен бути визнаний технічно неефективним і відхилений.

Технічно ефективниминазивають варіанти виробництва, які не можна поліпшити ні збільшенням виробництва товару без збільшення витрати ресурсів, ні скороченням витрат будь-якого ресурсу без зниження випуску і збільшення витрат інших ресурсів. Виробнича функція враховує лише технічно ефективні варіанти. Її значення – це найбільшекількість продукту, яке може виробити підприємство за даних обсягів споживання ресурсів.

Розглянемо спочатку найпростіший випадок: підприємство виробляє єдиний вид продукції і на витрачає єдиний вид ресурсу. Приклад такого виробництва досить важко знайти насправді. Навіть якщо розглянути підприємство, що надає послуги вдома у клієнтів без застосування будь-якого обладнання та матеріалів (масаж, репетиторство) та витрачає тільки працю працівників, нам довелося б припустити, що працівники обходять клієнтів пішки (не використовуючи послуг транспорту) та домовляються з клієнтами без допомоги пошти та телефону.

Виробнича функція– показує залежність кількості продукту, яку може зробити фірма, від обсягів витрат факторів, що використовуються

Q = f(x1, x2 ... xn)

Q = f(K, L),

де Q- обсяг випуску

x1, x2…xn- Обсяги застосовуваних факторів

K- обсяг капітального чинника

L- обсяг трудового чинника

Отже, підприємство, витрачаючи ресурс у кількості хможе виробити продукт у кількості q. Виробнича функція

Розглянемо найпростіші моделі виробництва та споживання. Моделі виробництва будуються за допомогою виробничих функцій, а моделі споживання з урахуванням цільової функції споживання.

Виробничі функції та їх характеристики

Найпростішу модель виробництва можна як деяку систему, що переробляє різні види ресурсів на готову продукцію.

Як ресурси можуть виступати:

1. сировина;
2. трудові витрати;
3. енерговитрати;
4. науково-дослідні ресурси;
5. технологічні ресурси;
6. транспортні ресурси та ін.

Виробничою функцієюназивається залежність між обсягом виробленої продукції у,та витратами різних видівресурсів, необхідних для випуску цієї продукції:
.
На практиці для спрощення моделі часто використовують двофакторнувиробничу функцію, що включає два види ресурсів:
1. матеріальні , які включають витрати сировини, енергії, транспортні та інших. ресурси;
2. трудові ресурси.
Виробнича функція має задовольняти ряду вимог :
1. Без витрат ресурсів немає випуску: f(0,0)=0.
2. Зі збільшенням витрат кожного ресурсу випуск зростає, тобто. виробнича функція має бути зростаючою за будь-яким із факторів.
3. Закон зменшення ефективності: при тих самих абсолютних збільшеннях витрат будь-якого з ресурсів Δ хприріст обсягу виробництва Δ утим менше, що більше випускати продукцію. Іншими словами, виробнича функція має бути опуклою за кожним аргументом.
Знаючи виробничу функцію, можна розрахувати ряд числових характеристик . Розглянемо основні їх.
1. Середньою продуктивністю
, ,
які мають сенс середнього випуску продукції з розрахунку поодиноких витрат цього ресурсу.
Якщо – матеріальні витрати, а – трудові, то A 1 називається капіталовіддачею,а А 2 - називається продуктивністю праці.
2. Граничною чи маржинальною продуктивністю по кожному ресурсу називаються величини:
, .
Ці величини показують приблизно на скільки одиниць зміниться випуск, якщо витрати того чи іншого ресурсу зміняться на одиницю: .
3. Приватний еластичність по кожному ресурсу називаються величини:

Еластичності приблизно показують на скільки відсотків зміниться випуск, якщо витрати того чи іншого ресурсу зміняться на один відсоток: .
Величина називається повною еластичністю або еластичність виробництва.
4. Технологічною нормою заміни називається величина , яка приблизно показує як зміниться випуск, якщо одиницю одного ресурсу замінити одиницею іншого.
ПРИКЛАД.Виробнича функція має вигляд. Знайти середні та граничні продуктивності, еластичності, технологічну норму заміни.
Рішення.
Середні продуктивності рівні:

Граничні продуктивності рівні:

Еластичність рівні:

Технологічна норма заміни є
.

Лінійна та Кобба-Дугласа виробничі функції

На практиці при моделюванні реальних виробництв найчастіше використовують два види виробничих функцій: лінійна та Кобба-Дугласа.
Лінійна виробнича функція має вигляд:
.
Вона будується у випадках, коли обсяг випуску пропорційний до витрат. Однак дана функціяне задовільняє першим і третім вимогам до виробничих функцій, тому її можна використовувати для наближення реальних функцій на невеликих локальних ділянках зміни їх аргументів (див. рисунок). Для виконання другої вимоги необхідне виконання умов.
Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:
.
Для виконання всіх вимог до виробничих функцій потрібне виконання умов:
Знайдемо середні та граничні продуктивності, еластичності, технологічну норму заміни для лінійної та Кобба-Дугласа виробничих функцій.
Для лінійної функції буде:



Таким чином, коефіцієнти а 1 і а 2 лінійної виробничої функції мають сенс граничних продуктивностей та їх можна обчислювати за формулами:
. (6.1)
Для виробничої функції Кобба-Дугласа буде:




Таким чином, коефіцієнти а 1 і а 2 виробничої функції Кобба-Дугласа мають сенс приватних еластичностей та їх можна обчислювати за формулами:
(6.2)
приклад.Деяке підприємство, витрачаючи для 65 одиниць матеріальних витрат і 17 трудових, випускало 120 одиниць продукції. У результаті розширення та збільшення матеріальних витрат до 68 одиниць випуск зріс до 124 одиниць, а зі збільшенням трудовитрат до 19 одиниць випуск зріс до 127 одиниць. Скласти лінійну виробничу функцію та функцію Кобба-Дугласа.
Рішення.

Лінійна функція . Для знаходження параметрів а 1 і а 2 використовуємо формулу (8.1):

Отримуємо . Для знаходження b вирішуємо рівняння щодо b, Отримуємо . У результаті отримуємо лінійну виробничу функцію .
Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд. За формулою (8.2) знаходимо коефіцієнти рівняння:
.
Отримуємо рівняння виду. Для знаходження bпідставляємо в рівняння вихідні дані з 2-го стовпця таблиці: . Обчислюючи, отримуємо . В результаті, виробнича функція має вигляд:

Цільова функція споживання

В умовах ринкової системи управління виробничою та збутовою діяльністю підприємств та фірм в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обґрунтованість рішень перевіряється ринком у ході реалізації товарів та послуг. За такого підходу початковим пунктом всього циклу підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту. Розглянемо деякі питання моделювання попиту та споживання.
Розглянемо споживача, який у результаті існування споживає деякі блага. Рівень задоволення потреб споживача позначимо через U. Припустимо, що є nвидів благ Б 1, Б 2, ..., Б n. Як блага можуть виступати:
- продовольчі товари;
- товари першої необхідності;
- Товари другої необхідності;
- предмети розкоші;
- Платні послуги тощо.
Нехай кількість споживання кожного блага дорівнює х 1 , х 2 ,…, х n. Цільовою функцією споживанняназивається залежність між ступенем (рівнем) задоволення потреб Uі кількістю споживаних благ: х 1 , х 2 ,…,х n. Ця функція має вигляд: .
У просторі споживчих благ кожному рівнянню відповідає певна поверхня рівноцінних, або байдужих, наборів благ, що називається поверхнею байдужості. Гіперповерхня такої кривої, яка називається багатовимірною поверхнею байдужості, можна представити у вигляді: , де З- Константа. Для наочності розглянемо простір двох благ, наприклад, як двох агрегованих груп товарів: продукти харчування Б 1 і непродовольчі товари, включаючи платні послуги Б 2 . Тоді рівні цільової функції споживання можна зобразити на площині у вигляді кривих байдужості, що відповідають різним значеннямконстанти З. Для цього виражають кількість споживання одного блага х 1 через інше х 2 . Розглянемо приклад.
приклад. . Знайти криві байдужості.
Рішення.Криві байдужості мають вигляд , або або (при цьому слід зазначити, що має виконуватися).
Кожен споживач прагне максимізувати рівень задоволення потреб, тобто . Проте, максимізації ступеня задоволення потреб заважатимуть можливості споживача. Позначимо ціну на одиницю кожного блага через р 1 , р 2 ,…, р n, а дохід споживача через D. Тоді має виконуватися бюджетне обмеження , що має сенс закону, згідно з яким витрати споживача не повинні перевищувати суму доходу:
.
В результаті для знаходження оптимального набору благ необхідно вирішувати задачу оптимального програмування:
(6.3)
Розглянемо двофакторну функцію споживання, де х 1 – обсяг споживання продуктів харчування та х 2 . – споживання непродовольчих товарів та платних послуг. Крім того, припустимо, що весь прибуток споживач спрямовує на задоволення своїх потреб. У цьому випадку бюджетне обмеження міститиме лише два складові та нерівність перетворитися на рівність. Завдання оптимального програмування при цьому набуде вигляду:
(6.4)
Геометрично оптимальне рішення має сенс точки торкання кривої байдужості лінії, що відповідає бюджетному обмеженню.
p align="justify"> З бюджетного обмеження системи (8.4) можна висловити змінну . Підставивши цей вираз у цільову функцію, отримуємо функцію однієї змінної , максимум якої можна визначити з рівняння, прирівнявши похідну до нуля: .
приклад.Цільова функція споживання має вигляд: . Ціна на благо Б1 дорівнює 20, ціна на благо Б2 дорівнює 50. Дохід споживача становить 1800 одиниць. Знайти криві байдужості, оптимальний набір благ споживача, функцію попиту перше благо за ціною, функцію попиту перше благо за доходом.
Рішення.Криві байдужості мають вигляд:
.
Отримуємо безліч гіпербол, розташованих у першій координатній чверті і розташованих на різній відстані від початку координат в залежності від значення константи. З.
Знаходимо оптимальний набір благ. Завдання оптимального програмування має вигляд:

Для її вирішення висловлюємо їх бюджетне обмеження одну змінну через іншу:


Отримуємо.
Таким чином, оптимальний набір благ становлять 30,5 та 23,8 одиниць. Знаходимо тепер функцію попиту перше благо за ціною нього. Для цього в бюджетному обмеженні замість фіксованого значення вводимо ціну першого блага, отримуючи рівняння: . Висловлюємо . Підставляємо у цільову функцію:

Знаходимо похідну та прирівнюємо її до нуля:

або , Звідки знаходимо функцію попиту перше благо за ціною: .
Знаходимо тепер функцію попиту перше благо за доходом. Для цього виражаємо з бюджетного обмеження одну змінну через іншу: . Підставляємо у цільову функцію:

Знаходимо похідну та прирівнюємо її до нуля:

Звідси знаходимо функцію попиту перше благо за доходом:
.