Вирішення слау методом зворотної матриці матричні рівняння. Матричний метод розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Розглянемо систему лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) щодо nневідомих x 1 , x 2 , ..., x n :

Ця система в "згорнутому" вигляді може бути записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних рівняньможе бути записана в матричній формі Ax=b, де

, ,.

Матриця A, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні називається матрицею системи. Матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи, називається матрицею правої частини або просто правою частиною системи. Матриця-стовпець x , елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.

Система лінійних рівнянь алгебри, записана у вигляді Ax=b, є матричним рівнянням.

Якщо матриця системи невироджена, то в неї існує зворотна матрицяі тоді вирішення системи Ax=bдається формулою:

x=A -1 b.

прикладВирішити систему матричним способом.

Рішеннязнайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи

Обчислимо визначник, розкладаючи по першому рядку:

Оскільки Δ ≠ 0 , то A -1 Існує.

Зворотна матриця знайдена правильно.

Знайдемо рішення системи

Отже, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Перевірка:

7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільність системи лінійних рівнянь алгебри.

Система лінійних рівняньмає вигляд:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тут а i j та b i (i = ; j = ) - задані, а x j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твору матриць, можна переписати систему (5.1) як:

де A = (а i j) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системи(5.1), яка називається матрицею системи, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - вектори-стовпці, складені відповідно з невідомих x j і з вільних членів b i .

Упорядкована сукупність nдійсних чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) називається рішенням системи(5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x 1 , x 2 ,..., x n кожне рівняння системи перетворюється на арифметичну тотожність; інакше кажучи, якщо існує вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такий, що AC  B.

Система (5.1) називається спільної,або можна розв'язати,якщо вона має по Крайній міріодне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.

,

утворена шляхом приписування праворуч до матриці A стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи.

Питання спільності системи (5.1) вирішується наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі . Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранги матриць A іA збігаються, тобто. r(A) = r(A) = r.

Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:

1) M =  (у цьому випадку система несумісна);

2) M складається з одного елемента, тобто. система має єдине рішення(у цьому випадку система називається певною);

3) M складається з більш ніж одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має безліч рішень.

Система має єдине рішення лише у тому випадку, коли r(A) = n. При цьому кількість рівнянь - не менше числаневідомих (mn); якщо m>n, то m-n рівняньє наслідками інших. Якщо 0

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамерівського типу:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n.

Системи (5.3) вирішуються одним із таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих; 2) за формулами Крамера; 3) матричним способом.

Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3x 2 – 6x 3 + 5x 4 = 0.

Рішення.Виписуємо розширену матрицю системи:

 .

Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 0 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

Отже, ранг основного матриці системи дорівнює 2, тобто. r(A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці A розглянемо облямовуючий мінор

отже, ранг розширеної матриці r(A) = 3. Оскільки r(A)  r(A), то система несумісна.

Системою m лінійних рівнянь із n невідомиминазивається система виду

де a ijі b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x 1, ..., x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс iпозначає номер рівняння, а другий j- Номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуватимемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи.

Числа, що стоять у правих частинах рівнянь, b 1 ..., b mназиваються вільними членами.

Сукупність nчисел c 1 ..., c nназивається рішеннямданої системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється на рівність після підстановки до нього чисел c 1 ..., c nзамість відповідних невідомих x 1, ..., x n.

Наше завдання полягатиме у знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

Система лінійних рівнянь, що має хоча одне рішення, називається спільної. Інакше, тобто. якщо система не має рішень, то вона називається несумісний.

Розглянемо методи знаходження рішень системи.

МАТРИЧНИЙ МЕТОД РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи та матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

тобто. в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь цієї системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати як

або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її треба знайти, т.к. її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння розв'язується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, зворотну матрицю A: . Оскільки A -1 A = Eі E∙X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати ті системи, в яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих. Однак, матричний запис системи можливий і у випадку, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця Aне буде квадратною і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A -1 B.

приклади.Розв'язати системи рівнянь.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

Визначник третього порядку, який відповідає матриці системи, тобто. складений з коефіцієнтів за невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера).Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система, що розглядається, має одне і тільки одне рішення, причому

Доказ. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо перше рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11елемента a 11, Друге рівняння - на A 21і третє - на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми.

Отже, зауважимо, що й визначник системи Δ ≠ 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має безліч рішень, або немає рішень, тобто. несумісна.

приклади.Розв'язати систему рівнянь

МЕТОД ГАУСА

Раніше розглянуті методи можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи має бути відмінний від нуля. Метод Гауса є більш універсальним і придатний для систем із будь-яким числом рівнянь. Він полягає у послідовному виключенні невідомих із рівнянь системи.

Знову розглянемо систему із трьох рівнянь із трьома невідомими:

.

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го та 3-го виключимо доданки, що містять x 1. Для цього друге рівняння розділимо на а 21 і помножимо на – а 11 а потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а 31 і помножимо на – а 11, а потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x 2. Для цього третє рівняння розділимо на , помножимо на і складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x 3, потім із 2-го рівняння x 2і, нарешті, з 1-го – x 1.

При використанні методу Гаусса рівняння за необхідності можна міняти місцями.

Часто замість того, щоб писати нову систему рівнянь, обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім призводять до трикутного або діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетвореннямматриці відносяться такі перетворення:

1. перестановка рядків чи стовпців;
2. множення рядка на число, відмінне від нуля;
3. додаток до одного рядка інших рядків.

Приклади:Розв'язати системи рівнянь методом Гаусса.

Таким чином, система має безліч рішень.

Метод зворотної матриці - це окремий випадок матричного рівняння

Вирішити систему з матричним методом

Рішення: Запишемо систему в матричній формі.Рішення системи знайдемо за формулою (див. останню формулу)

Зворотну матрицю знайдемо за такою формулою:
де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Спочатку знаємося з визначником:

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Увага! Якщо, то зворотної матриці немає, і вирішити систему матричним методом неможливо. У цьому випадку система вирішується методом виключення невідомих (методом Гауса).

Тепер потрібно обчислити 9 мінорів та записати їх у матрицю мінорів

Довідка:Корисно знати сенс подвійних підрядкових індексів у лінійній алгебрі. Перша цифра – це номер рядка, в якому знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться цей елемент:

Тобто подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці

У ході рішення розрахунок мінорів краще розписати докладно, хоча, при певному досвіді їх можна пристосуватися до помилок усно.

Порядок розрахунку мінорів зовсім не важливий, тут я їх вирахував зліва направо рядками. Можна було розрахувати мінори по стовпцях (це навіть зручніше).

Таким чином:

- матриця мінорів відповідних елементів матриці.

- Матриця алгебраїчних доповнень.

– транспонована матриця додатків алгебри.

Повторюся, виконані кроки докладно розбирали на уроці. Як знайти зворотну матрицю?

Тепер записуємо зворотну матрицю:

У жодному разі не вносимо в матрицю, це серйозно ускладнить подальші обчислення. Поділ потрібно було б виконати, якби всі числа матриці ділилися на 60 без решти. А ось внести мінус в матрицю в даному випадку дуже потрібно, це, навпаки - спростить подальші обчислення.

Залишилось провести матричне множення. Помножувати матриці можна навчитися на уроці Дії з матрицями. До речі, там розібраний такий самий приклад.

Зверніть увагу, що розподіл на 60 виконується в останню чергу.
Іноді може і розділитися націло, тобто. можуть вийти «погані» дроби. Що в таких випадках робити, я вже розповів, коли ми розбирали правило Крамера.

Відповідь:

Приклад 12

Вирішити систему за допомогою зворотної матриці.

Це приклад самостійного рішення (зразок чистового оформлення і у кінці уроку).

Найбільш універсальним способом вирішення системи є метод виключення невідомих (метод Гаусса). Доступно пояснити алгоритм не так просто, але я намагався!

Бажаю успіхів!

Відповіді:

Приклад 3:

Приклад 6:

Приклад 8: , . Ви можете переглянути або завантажити зразок рішення цього прикладу (посилання нижче).

Приклади 10, 12:

Продовжуємо розглядати системи лінійних рівнянь. Цей урок є третім на тему. Якщо Ви погано уявляєте, що таке система лінійних рівнянь взагалі, почуваєтеся чайником, то рекомендую почати з азів на сторінці Далі корисно вивчити урок.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математика всіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення.
2) Мати безліч рішень.
3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо метод Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під пунктами №№2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішої системи з уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?
і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи:
. За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка: рекомендую запам'ятатитерміни лінійної алгебри.Матриця системи - Це матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, в даному прикладі матриця системи: . Розширена матриця системи – це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця система записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо в матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його також слідує видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця дія дуже корисна, оскільки спрощує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного приклада: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше:

Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА:розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна!

Повернемося до нашої системи. Вона вже майже вирішена.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До речі, чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень– привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вид» не цілком теоретичний, у науковій та навчальній літературі він часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення:

І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число:

Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:

А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:

Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь:

Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як вже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так: (1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер зліва вгорі -1, що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу догори:
Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса.
Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад:

Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі:

До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші цифри? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 десять систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих складніший приклад для самостійного рішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему 4-х лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (неспільна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці. Несумісні системи та системи із загальним рішенням. Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.

Виконані елементарні перетворення:
(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1.Увага! Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо!
(2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями.Зверніть увагу , Що на «сходинках» нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше.
(3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5.
(4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:


Відповідь: .

Приклад 4: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення:
(1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці.
(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці

(3) До третього рядка додали другий, помножений на –1.
(4) До другого рядка додали третій, помножений на –3.
Потрібна річ на другій сходинці отримана .
(5) До третього рядка додали другий, помножений на 6.
(6) Другий рядок помножили на -1, третій рядок поділили на -83..Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин - за точками, що належать їм, наприклад, ; .Якщо вільні члени

Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Основні поняття.

Визначення 1. Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система виду:

де і – числа.

Визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих , у якому кожне рівняння цієї системи перетворюється на тотожність.

Визначення 3. Система (I) називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення і несуміснийякщо вона не має рішень. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеноюв іншому випадку.

Визначення 4. Рівняння виду

називається нульовим, а рівняння виду

називається несумісним. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісне рівняння, є несумісною.

Визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожне рішення однієї системи є рішенням іншої і, навпаки, будь-яке рішення другої системи є рішенням першої.

Матричний запис системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему (I) (див. §1).

Позначимо:

Матриця коефіцієнтів при невідомих

Матриця – стовпець вільних членів

Матриця – стовпець невідомих

.

Визначення 1.Матриця називається основною матрицею системи(I), а матриця – розширеною матрицею системи (I).

За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матрична рівність:

.

Праву частину цієї рівності з визначення твору матриць ( див. визначення 3 § 5 глави 1) можна розкласти на множники:

, тобто.

Рівність (2) називається матричним записом системи (I).

Вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай у системі (I) (див. §1) m=n, тобто. число рівнянь дорівнює кількості невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто. . Тоді система (I) §1 має єдине рішення

де Δ = det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить із визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів системи (I)

Приклад. Вирішити систему методом Крамера:

.

За формулами (3) .

Обчислюємо визначники системи:

,

,

.

Щоб отримати визначник, ми замінили у визначнику перший стовпець на стовпець із вільних членів; замінюючи в визначнику другий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічно, замінюючи в визначнику третій стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо . Рішення системи:

Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Нехай у системі(I) (див. §1) m=nі основна матриця системи невироджена. Запишемо систему (I) у матричному вигляді ( див. §2):

т.к. матриця Aневироджена, вона має зворотну матрицю ( див. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю , тоді

За визначенням зворотної матриці. З рівності (3) маємо

Вирішити систему за допомогою зворотної матриці

.

Позначимо

У прикладі (§ 3) ми обчислили визначник , отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , тобто.

. (5)

Знайдемо матрицю ( див. §6 глави 1)

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гауса.

Нехай задана система лінійних рівнянь:

. (I)

Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися, що система несовместна.

Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:

1) креслення нульового рівняння;

2) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;

3) зміна місцями доданків у рівняннях системи те щоб невідомі з однаковими номерами переважають у всіх рівняннях займали однакові місця, тобто. якщо, наприклад, у 1-му рівнянні ми змінили 2-е і 3-є доданки, тоді те саме потрібно зробити у всіх рівняннях системи.

Метод Гаусса полягає в тому, що система (I) за допомогою елементарних перетворень приводиться до рівносильної системи, розв'язання якої безпосередньо або встановлюється її нерозв'язність.

Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєю розширеною матрицею і будь-яке елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:

.

Перетворення 1) відповідає викресленню нульового рядка в матриці, перетворення 2) рівносильне доданню до відповідного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців у матриці.

Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарне перетворення матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій із системою (I) ми працюватимемо з розширеною матрицею цієї системи.

У матриці перший стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, Другий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо перший і другий стовпці місцями, то тепер в першому стовпці будуть коефіцієнти при х 2, а у 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.

Розв'язуватимемо систему (I) методом Гауса.

1. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) усі нульові рівняння).

2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, у якому всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісним). Очевидно, що такому рядку відповідає несумісне рівняння в системі (I), отже система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.

3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). Якщо a 11 = 0, то знаходимо в 1-му рядку якийсь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб у 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Тепер вважатимемо, що (тобто. поміняємо місцями відповідні доданки у рівняннях системи (I)).

4. Помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 2-м рядком, потім помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 3-м рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1із усіх рівнянь системи (I), крім одного. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:

.

5. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісного рядка (якщо вона є, то система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22 / = 0Якщо так, то знаходимо у другому рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб . Далі множимо елементи 2-го рядка на і складаємо з відповідними елементами 3-го рядка, потім - елементи 2-го рядка і складаємо з відповідними елементами 4-го рядка і т.д., поки не отримаємо нулі під a 22 /

.

Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-го та 2-го. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастої матриці ( див. визначення 2 §7 глави 1) :

,

Випишемо систему рівнянь, що відповідає матриці . Ця система рівносильна системі (I)

.

З останнього рівняння виражаємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., доки не отримаємо .

Зауваження 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гауса ми приходимо до одного з таких випадків.

1. Система (I) несумісна.

2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює числу невідомих ().

3. Система (I) має безліч рішень, якщо число рядків у матриці менше числа невідомих ().

Звідси має місце така теорема.

Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.

приклади. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса або довести її несумісність:

б) ;

а) Перепишемо задану систему у вигляді:

.

Ми поміняли місцями перше і друге рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки будемо оперувати тільки цілими числами).

Складаємо розширену матрицю:

.

Нульових рядків немає; несумісних рядків немає; виключимо перше невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-го рядка, що рівнозначно множення 1-го рівняння на «-2» і додавання з 2-м рівнянням. Потім помножимо елементи 1-го рядка «-3» і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто. помножимо 2-е рівняння заданої системи на «-3» і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо

.

Матриці відповідає система рівнянь). - (Див. визначення 3§7 глави 1).

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а інші - нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матрицьтобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

Приклад 1

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Приклад 2

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються з метою аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють найбільше значення і формується матриця стандартизованих коефіцієнтів .

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, для порівняльного аналізу різних інвестиційних проектів, а також для оцінки інших економічних показників діяльності організацій.