Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядізалежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кутміж цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння пряме, що проходить через дану точкуперпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить чи точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташуваннявекторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний добуток векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається в аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного твору визначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, Задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

У цій статті ми розглянемо загальне рівняння прямої на площині. Наведемо приклади побудови загального рівняння прямої, якщо відомі дві точки цієї прямої або якщо відома одна точка і нормальний векторцієї прямої. Представимо методи перетворення рівняння у вигляді у канонічний і параметричний види.

Нехай задана довільна декартова прямокутна система координат Oxy. Розглянемо рівняння першого ступеня або лінійне рівняння:

Ax+By+C=0,

(1)

де A, B, C− деякі постійні, причому хоча б один із елементів Aі Bна відміну від нуля.

Покажемо, що лінійне рівняння на площині визначає пряму. Доведемо таку теорему.

Теорема 1. У довільній декартовій прямокутній системі координат на площині, кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням. Назад, кожне лінійне рівняння (1) у довільній декартовій прямокутній системі координат на площині визначає пряму лінію.

Доведення. Достатньо довести, що пряма Lвизначається лінійним рівнянням при якійсь одній декартовій прямокутній системі координат, оскільки тоді вона визначатиметься лінійним рівнянням і при будь-якому виборі декартової прямокутної системи координат.

Нехай на площині задана пряма L. Виберемо систему координат так, щоб вісь Oxзбігався з прямою L, а вісь Ойбув перпендикулярним до неї. Тоді рівняння прямої Lнабуде наступного вигляду:

y=0.

(2)

Усі точки на прямій Lбудуть задовольняти лінійному рівнянню (2), а всі точки поза цією прямою, не задовольнятимуть рівняння (2). Першу частину теореми доведено.

Нехай задана декартова прямокутна система координат і нехай задана лінійне рівняння (1), де хоча б один із елементів Aі Bвідмінний від нуля. Знайдемо геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівняння (1). Бо хоча б один із коефіцієнтів Aі Bвідмінний від нуля, то рівняння (1) має хоча б одне рішення M(x 0 ,y 0). (Наприклад, при A≠0, точка M 0 (−C/A, 0) належить даному геометричному місцю точок). Підставляючи ці координати в (1) отримаємо тотожність

Ax 0 +By 0 +C=0.

(3)

Віднімемо з (1) тотожність (3):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Очевидно, що рівняння (4) еквівалентне рівнянню (1). Тому достатньо довести, що (4) визначає деяку пряму.

Оскільки ми розглядаємо декартову прямокутну систему координат, то з рівності (4) випливає, що вектор з компонентами ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогональний вектор nз координатами ( A,B}.

Розглянемо деяку пряму L, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) та перпендикулярною вектору n(Рис.1). Нехай крапка M(x,y) належить прямий L. Тоді вектор із координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярний nта рівняння (4) задоволено (скалярний добуток векторів nі одно нулю). Назад, якщо точка M(x,y) не лежить на прямій Lто вектор з координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогональний вектор nта рівняння (4) не задоволене. Теорему доведено.

Доведення. Так як прямі (5) і (6) визначають ту саму пряму, то нормальні вектори n 1 ={A 1 ,B 1 ) n 2 ={A 2 ,B 2) колінеарні. Оскільки вектори n 1 ≠0, n 2 ≠0, то існує таке число λ , що n 2 =n 1 λ . Звідси маємо: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Доведемо, що C 2 =C 1 λ . Очевидно, що прямі, що збігаються, мають загальну точку M 0 (x 0 , y 0). Помножуючи рівняння (5) на λ і віднімаючи з нього рівняння (6) отримаємо:

Оскільки виконані перші дві рівності з виразів (7), то C 1 λ −C 2 = 0. Тобто. C 2 =C 1 λ . Зауваження доведене.

Зауважимо, що рівняння (4) визначає рівняння прямої, яка проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n={A,B). Тому, якщо відомий нормальний вектор прямої і точка, що належить цій прямій, можна побудувати загальне рівняння прямої за допомогою рівняння (4).

Приклад 1. Пряма проходить через точку M=(4,−1) і має нормальний вектор n= (3, 5). Побудувати загальне рівняння прямої.

Рішення. Маємо: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Для побудови загального рівняння прямої, підставимо ці значення рівняння (4):

Відповідь:

Вектор паралельний прямий Lі, отже, перпердикулярний до нормального вектора прямий L. Побудуємо нормальний вектор прямий L, враховуючи що скалярний твірвекторів nі одно нулю. Можемо записати, наприклад, n={1,−3}.

Для побудови загального рівняння прямою скористаємося формулою (4). Підставимо в (4) координати точки M 1 (можемо взяти також координати точки M 2) та нормального вектора n:

Підставляючи координати точок M 1 та M 2 в (9) можемо переконатися, що пряма задана рівнянням(9) проходить через ці точки.

Відповідь:

Віднімемо (10) з (1):

Ми отримали канонічне рівняння прямого. Вектор q={−B, A) є напрямним вектором прямої (12).

Зворотне перетворення дивіться.

Приклад 3. Пряма на площині представлена ​​наступним загальним рівнянням:

Перемістимо на право другу складову і розділимо обидві частини рівняння на 2.5.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у цьому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

Ця стаття продовжує тему рівняння прямої на площині: розглянемо такий вид рівняння, як загальне рівняння прямої. Задамо теорему та наведемо її доказ; Розберемося, що таке неповне загальне рівняння прямої і як здійснювати переходи від загального рівняння до інших типів рівнянь прямої. Усю теорію закріпимо ілюстраціями та вирішенням практичних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нехай на площині задано прямокутну систему координат O x y .

Теорема 1

Будь-яке рівняння першого ступеня, що має вигляд A x + B y + C = 0 де А, В, С – деякі дійсні числа (А і В не рівні одночасно нулю) визначає пряму лінію в прямокутній системі координат на площині. У свою чергу, будь-яка пряма у прямокутній системі координат на площині визначається рівнянням, що має вигляд A x + B y + C = 0 при деякому наборі значень А, В, С.

Доведення

зазначена теорема і двох пунктів, доведемо кожен із них.

1. Доведемо, що рівняння A x + B y + C = 0 визначає на площині пряму.

Нехай існує деяка точка М 0 (x 0 , y 0) координати якої відповідають рівнянню A x + B y + C = 0 . Отже: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо з лівої та правої частин рівнянь A x + B y + C = 0 ліву та праву частини рівняння A x 0 + B y 0 + C = 0 отримаємо нове рівняння, що має вигляд A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Воно еквівалентне A x + B y + C = 0.

Отримане рівняння A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 є необхідним та достатньою умовоюперпендикулярності векторів n → = (A , B) та M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . Таким чином, безліч точок M (x , y) задає у прямокутній системі координат пряму лінію, перпендикулярну до напрямку вектора n → = (A , B) . Можемо припустити, що це не так, але тоді вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) не були б перпендикулярними, і рівність A (x - x 0 ) + B(y - y 0) = 0 не було б вірним.

Отже, рівняння A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 визначає деяку пряму у прямокутній системі координат на площині, а отже, і еквівалентне йому рівняння A x + B y + C = 0 визначає ту саму пряму. Так ми довели першу частину теореми.

1. Наведемо доказ, що будь-яку пряму в прямокутній системі координат на площині можна встановити рівнянням першого ступеня A x + B y + C = 0 .

Задамо в прямокутній системі координат на прямій площині a ; точку M 0 (x 0 , y 0) , якою проходить ця пряма, і навіть нормальний вектор цієї прямої n → = (A , B) .

Нехай також існує деяка точка M (x, y) - плаваюча точка пряма. У такому разі вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) є перпендикулярними один одному, і їх скалярний твір є нуль:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Перепишемо рівняння A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, визначимо C: C = - A x 0 - B y 0 і в кінцевому результаті отримаємо рівняння A x + B y + C = 0.

Так ми довели і другу частину теореми, і довели всю теорему в цілому.

Визначення 1

Рівняння, що має вигляд A x + B y + C = 0 – це загальне рівняння прямоїна площині у прямокутній системі координатO x y.

Спираючись на доведену теорему, ми можемо зробити висновок, що задані на площині фіксованої прямокутної системи координат пряма лінія та її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Інакше висловлюючись, вихідної прямої відповідає її загальне рівняння; загальному рівнянню прямої відповідає задана пряма.

З доказу теореми також випливає, що коефіцієнти А і В при змінних x та y є координатами нормального вектора прямої, яка задана загальним рівнянням прямої A x + B y + C = 0 .

Розглянемо конкретний приклад загального рівняння прямої.

Нехай встановлено рівняння 2 x + 3 y - 2 = 0 , якому відповідає пряма лінія в заданій прямокутній системі координат. Нормальний вектор цієї прямої – це вектор n → = (2, 3) . Зобразимо задану пряму лінію на кресленні.

Також можна стверджувати і таке: пряма, яку ми бачимо на кресленні, визначається загальним рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 оскільки координати всіх точок заданої прямої відповідають цьому рівнянню.

Ми можемо отримати рівняння λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , помноживши обидві частини загального рівняння прямої на число λ, що не дорівнює нулю. Отримане рівняння є еквівалентом вихідного загального рівняння, отже, описуватиме ту ж пряму на площині.

Визначення 2

Повне загальне рівняння прямої– таке загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , в якому числа А, В, відмінні від нуля. В іншому випадку рівняння є неповним.

Розберемо всі варіації неповного загального рівняння прямої.

1. Коли А = 0 , ≠ 0 , С ≠ 0 , загальне рівняння набуває вигляду B y + C = 0 . Таке неповне загальне рівняння задає у прямокутній системі координат O x y пряму, яка паралельна осі O x , оскільки за будь-якого дійсного значення x змінна y набуде значення -C B. Інакше кажучи, загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , коли А = 0 , В ≠ 0 задає геометричне місце точок (x , y) , координати яких рівні одному й тому ж числу -C B.
2. Якщо А = 0, В ≠ 0, С = 0, загальне рівняння набуває вигляду y = 0. Таке неповне рівняннявизначає вісь абсцис O x.
3. Коли А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 отримуємо неповне загальне рівняння A x + С = 0 , що задає пряму, паралельну осі ординат.
4. Нехай А ≠ 0, В = 0, С = 0, тоді неповне загальне рівняння набуде вигляду x = 0, і це є рівняння координатної прямої O y.
5. Нарешті, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неповне загальне рівняння набуває вигляду A x + B y = 0 . І це рівняння визначає пряму, яка проходить через початок координат. Справді, пара чисел (0 , 0) відповідає рівності A x + B y = 0, оскільки А 0 + 0 = 0 .

Графічно проілюструємо всі вищезгадані види неповного загального рівняння прямої.

Приклад 1

Відомо, що задана пряма паралельна осі ординат і проходить через точку 2 7 - 11 . Необхідно записати загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Пряма, паралельна осі ординат, визначається рівнянням виду A x + C = 0 , в якому А ≠ 0 . Також умовою задані координати точки, якою проходить пряма, і координати цієї точки відповідають умовам неповного загального рівняння A x + C = 0 , тобто. вірна рівність:

A · 2 7 + C = 0

З нього можна визначити C , якщо надати A якесь ненульове значення, наприклад, A = 7 . У такому разі отримаємо: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Нам відомі обидва коефіцієнти A і C, підставимо їх у рівняння A x + C = 0 і отримаємо необхідне рівняння прямої: 7 x - 2 = 0

Відповідь: 7 x - 2 = 0

Приклад 2

На кресленні зображено пряму, необхідно записати її рівняння.

Рішення

Наведене креслення дозволяє нам легко взяти вихідні дані для вирішення задачі. Ми бачимо на кресленні, що задана пряма паралельна осі O x проходить через точку (0 , 3) ​​.

Пряму, яка паралельна очи абсцис, визначає неповне загальне рівняння B y + С = 0 . Знайдемо значення B та C . Координати точки (0 , 3) ​​, оскільки через неї проходить задана пряма, будуть задовольняти рівняння прямої B y + С = 0 тоді справедливою є рівність: · 3 + С = 0 . Задамо для якогось значення, відмінне від нуля. Припустимо, У = 1 , у разі з рівності · 3 + З = 0 можемо знайти З: З = - 3 . Використовуємо відомі значенняВ і С отримуємо необхідне рівняння прямої: y - 3 = 0 .

Відповідь: y - 3 = 0.

Загальне рівняння прямої, що проходить через задану точку площини

Нехай задана пряма проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) тоді її координати відповідають загальному рівнянню прямий, тобто. Правильність рівності: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо ліву та праву частини цього рівняння від лівої та правої частини загального повного рівнянняпрямий. Отримаємо: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 це рівняння еквівалентно вихідному загальному, проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n → = (A , B).

Результат, який ми отримали, дає можливість записувати загальне рівняння прямої при відомих координатах нормального вектора прямої та координатах певної точки цієї прямої.

Приклад 3

Дано точку М 0 (- 3 , 4) , через яку проходить пряма, і нормальний вектор цієї прямої n → = (1, - 2) . Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови дозволяють отримати необхідні дані для складання рівняння: А = 1 , В = - 2 , x 0 = - 3 , y 0 = 4 . Тоді:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Завдання можна було вирішити інакше. Загальне рівняння прямої має вигляд A x + B y + C = 0. Заданий нормальний вектор дозволяє отримати значення коефіцієнтів A і B тоді:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C = 0 ⇔ x - 2 · y + C = 0

Тепер знайдемо значення З, використовуючи задану умовою завдання точку М 0 (- 3 , 4) , якою проходить пряма. Координати цієї точки відповідають рівнянню x - 2 · y + C = 0, тобто. - 3 - 2 · 4 + С = 0. Звідси З = 11. Необхідне рівняння прямої набуває вигляду: x - 2 · y + 11 = 0 .

Відповідь: x - 2 · y + 11 = 0.

Приклад 4

Задано пряму 2 3 x - y - 1 2 = 0 і точку М 0 , що лежить на цій прямій. Відома лише абсцис цієї точки, і вона дорівнює - 3 . Необхідно визначити ординату заданої точки.

Рішення

Задамо позначення координат точки М0 як x0 та y0. У вихідних даних зазначено, що x0 = -3. Оскільки точка належить заданої прямої, то її координати відповідають загальному рівнянню цієї прямої. Тоді вірною буде рівність:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Визначаємо y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Відповідь: - 5 2

Перехід від загального рівняння прямої до інших видів рівнянь прямої та назад

Як ми знаємо, існує кілька видів рівняння однієї і тієї ж прямої на площині. Вибір виду рівняння залежить від умов задачі; можна вибирати той, який більш зручний для її вирішення. Тут дуже знадобиться навичка перетворення рівняння одного виду на рівняння іншого виду.

Спочатку розглянемо перехід від загального рівняння виду A x + B y + C = 0 до канонічного рівняння x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Якщо А ≠ 0 тоді переносимо доданок B y в праву частинузагального рівняння. У лівій частині виносимо A за дужки. У результаті отримуємо: A x + C A = - B y.

Цю рівність можна записати як пропорцію: x + C A - B = y A .

У разі, якщо В ≠ 0 залишаємо в лівій частині загального рівняння тільки доданок A x , інші переносимо в праву частину, отримуємо: A x = - B y - C . Виносимо – за дужки, тоді: A x = - B y + C B .

Перепишемо рівність як пропорції: x - B = y + C B A .

Звичайно, заучувати отримані формули немає потреби. Достатньо знати алгоритм дій під час переходу від загального рівняння до канонічного.

Приклад 5

Встановлено загальне рівняння прямої 3 y - 4 = 0 . Необхідно перетворити їх у канонічне рівняння.

Рішення

Запишемо вихідне рівняння як 3 y - 4 = 0. Далі діємо за алгоритмом: у лівій частині залишається доданок 0 x; а у правій частині виносимо – 3 за дужки; отримуємо: 0 x = - 3 y - 43.

Запишемо отриману рівність як пропорцію: x - 3 = y - 430. Так ми отримали рівняння канонічного виду.

Відповідь: x - 3 = y - 4 3 0.

Щоб перетворити загальне рівняння прямої на параметричні, спочатку здійснюють перехід до канонічного вигляду, а потім перехід від канонічного рівнянняпрямий до параметричних рівнянь.

Приклад 6

Пряма задана рівнянням 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишіть параметричні рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від загального рівняння до канонічного:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Тепер приймемо обидві частини отриманого канонічного рівняння рівними λ тоді:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Відповідь:x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Загальне рівняння можна перетворити на рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b , але тільки тоді, коли В ≠ 0 . Для переходу в лівій частині залишаємо доданок B y інші переносяться в праву. Отримаємо: B y = - A x - C. Розділимо обидві частини отриманого рівність на B відмінне від нуля: y = - A B x - C B .

Приклад 7

Встановлено загальне рівняння прямої: 2 x + 7 y = 0 . Необхідно перетворити те рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Рішення

Зробимо потрібні дії за алгоритмом:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Відповідь: y = - 2 7 x.

Із загального рівняння прямої досить просто отримати рівняння у відрізках виду x a + y b = 1 . Щоб здійснити такий перехід, перенесемо число C у праву частину рівності, розділимо обидві частини одержаної рівності на – С і, нарешті, перенесемо у знаменники коефіцієнти при змінних x та y:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Приклад 8

Необхідно перетворити загальне рівняння прямої x - 7 y + 1 2 = 0 рівняння прямої у відрізках.

Рішення

Перенесемо 1 2 до правої частини: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Розділимо на -1/2 обидві частини рівності: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Відповідь: x-1 2 + y 1 14 = 1 .

Загалом, нескладно проводиться і зворотний перехід: від інших рівнянь до загального.

Рівняння прямої у відрізках і рівняння з кутовим коефіцієнтом легко перетворити на загальне, просто зібравши всі складові в лівій частині рівності:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонічне рівняння перетворюється на загальне за такою схемою:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C =

Для переходу від параметричних спочатку здійснюється перехід до канонічного, а потім до загального:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Приклад 9

Задані параметричні рівняння прямої x = - 1 + 2 · y = 4 . Необхідно записати загальне рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від параметричних рівнянь до канонічного:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Перейдемо від канонічного до загального:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Відповідь: y - 4 = 0

Приклад 10

Задано рівняння прямої у відрізках x 3 + y 1 2 = 1 . Необхідно здійснити перехід до загального виглядурівняння.

Рішення:

Просто перепишемо рівняння у необхідному вигляді:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Відповідь: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Складання загального рівняння прямої

Вище ми говорили про те, що загальне рівняння можна записати при відомих координатах нормального вектора та координатах точки, через яку проходить пряма. Така пряма визначається рівнянням A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 . Там ми розібрали відповідний приклад.

Зараз розглянемо більше складні приклади, у яких спочатку необхідно визначити координати нормального вектора.

Приклад 11

Задано пряму, паралельну прямій 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Також відома точка M 0 (4 , 1) через яку проходить задана пряма. Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови говорять нам про те, що прямі паралельні, тоді як нормальний вектор прямий, рівняння якої потрібно записати, візьмемо напрямний вектор прямий n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Тепер нам відомі всі необхідні дані, щоб скласти загальне рівняння прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Приклад 12

Задана пряма проходить через початок координат перпендикулярно до прямої x - 2 3 = y + 4 5 . Необхідно скласти загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Нормальний вектор заданої прямої буде напрямний вектор прямий x - 2 3 = y + 4 5 .

Тоді n → = (3, 5) . Пряма проходить через початок координат, тобто. через точку О (0 , 0). Складемо загальне рівняння заданої прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Відповідь: 3 x + 5 y = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter