Пошук власних чисел. Власні числа та власні вектори матриці

Власний вектор квадратної матриці - це вектор, який при множенні на задану матрицю дає в результаті колінеарний вектор. Простими словами, При множенні матриці на власний вектор останній залишається тим самим, але помноженим на деяке число.

Визначення

Власний вектор - це ненульовий вектор V, який при множенні на квадратну матрицю Mперетворюється на себе, збільшеного на деяке число λ. У запису алгебрице виглядає так:

M × V = ? × V,

де - власне число матриці M.

Розглянемо числовий приклад. Для зручності запису числа в матриці відокремлюватиме крапкою з комою. Нехай у нас є матриця:

M = 0; 4;
6; 10.

Помножимо її на вектор-стовпець:

V = -2;

При множенні матриці на вектор-стовпець ми отримуємо також вектор-стовпець. Суворою математичною мовою формула множення матриці 2 × 2 на вектор-стовпець буде виглядати так:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означає елемент матриці M, що стоїть у першому рядку та першому стовпці, а M22 - елемент, розташовані у другому рядку та другому стовпці. Для нашої матриці ці елементи дорівнюють M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-стовпця ці значення дорівнюють V11 = –2, V21 = 1. Відповідно до цієї формули ми отримаємо наступний результат добутку квадратної матриці на вектор:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6×(-2) + 10×(1)=-2.

Для зручності запишемо вектор стовпець у рядок. Отже, ми помножили квадратну матрицю на вектор (-2; 1), у результаті отримали вектор (4; -2). Очевидно, що це той самий вектор, помножений на = -2. Лямбда у разі позначає власне число матриці.

Власний вектор матриці - колінеарний вектор, тобто об'єкт, який не змінює свого положення в просторі при множенні його на матрицю. Поняття колінеарності у векторній алгебрі подібне до терміну паралельності в геометрії. У геометричній інтерпретації колінеарні вектори - це паралельні спрямовані відрізки різної довжини. Ще з часів Евкліда ми знаємо, що в одній прямій існує нескінченна кількість паралельних їй прямих, тому логічно припустити, що кожна матриця має нескінченну кількість власних векторів.

З попереднього прикладу видно, що власними векторами може бути і (-8; 4), і (16; -8), і (32, -16). Все це колінеарні вектори, що відповідають власному числу = -2. При множенні вихідної матриці на ці вектори ми так само буде отримувати в результаті вектор, який відрізняється від вихідного в 2 рази. Саме тому під час вирішення завдань на пошук власного вектора потрібно знайти лише лінійно незалежні векторні об'єкти. Найчастіше для матриці розміром n × n існує n кількість власних векторів. Наш калькулятор заточений під аналіз квадратних матриць другого порядку, тому практично завжди в результаті буде знайдено два власні вектори, за винятком випадків, коли вони збігаються.

У прикладі вище ми наперед знали свій вектор вихідної матриці і наочно визначили число лямбда. Однак на практиці все відбувається навпаки: спочатку знаходиться власні числа і тільки потім власні вектори.

Алгоритм рішення

Давайте знову розглянемо вихідну матрицю M і спробуємо знайти обидва її власні вектори. Отже, матриця виглядає як:

M = 0; 4;
6; 10.

Для початку нам необхідно визначити власне число, для чого потрібно обчислити детермінант наступної матриці:

(0 − λ); 4;
6; (10 − λ).

Дана матриця отримана шляхом віднімання невідомої з елементів на головній діагоналі. Детермінант визначається за стандартною формулою:

detA = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так як наш вектор має бути не нульовим, отримане рівняння приймаємо як лінійно залежне та прирівнюємо наш детермінант detA до нуля.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Розкриємо дужки та отримаємо характеристичне рівняння матриці:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через дискримінант

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корінь із дискримінанта дорівнює sqrt(D) = 14, отже, λ1 = -2, λ2 = 12. Тепер для кожного значення лямбда потрібно знайти власний вектор. Виразимо коефіцієнти системи для = -2.

М − λ × E = 2; 4;
6; 12.

У цій формулі E - це поодинока матриця. На підставі отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь:

2x + 4y = 6x + 12y,

де x та y - елементи власного вектора.

Зберемо всі ікси зліва, а всі ігреки праворуч. Вочевидь, що - 4x = 8y. Розділимо вираз на - 4 і отримаємо x = -2y. Тепер ми можемо визначити перший власний вектор матриці, прийнявши будь-які значення невідомих (згадуємо нескінченність лінійно залежних власних векторів). Приймемо y = 1, тоді x = -2. Отже, перший власний вектор має вигляд V1 = (–2; 1). Поверніться до початку статті. Саме на цей векторний об'єктми примножували матрицю для демонстрації поняття власного вектора.

Тепер знайдемо власний вектор для λ = 12.

М - λ × E = -12; 4
6; -2.

Складемо таку саму систему лінійних рівнянь;

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6y
3x=y.

Тепер приймемо x = 1, отже, y = 3. Таким чином, другий власний вектор виглядає як V2 = (1; 3). При множенні вихідної матриці на даний вектор, у результаті завжди буде такий самий вектор, помножений на 12. На цьому алгоритм рішення закінчується. Тепер ви знаєте як вручну визначити власний вектор матриці.

визначник;
слід, тобто суму елементів головної діагоналі;
ранг, тобто максимальна кількістьлінійно незалежних рядків/стовпців.

Програма діє за наведеним вище алгоритмом, максимально скорочуючи процес рішення. Важливо зазначити, що у програмі лямбда позначена літерою "c". Давайте розглянемо чисельний приклад.

Приклад роботи програми

Спробуємо визначити власні вектори для наступної матриці:

M = 5; 13;
4; 14.

Введемо ці значення в комірки калькулятора і отримаємо відповідь у такому вигляді:

Ранг матриці: 2;
Детермінант матриці: 18;
Слід матриці: 19;
Розрахунок власного вектора: c 2 - 19,00 c + 18,00 (характеристичне рівняння);
Розрахунок власного вектора: 18 (перше значення лямбда);
Розрахунок власного вектора: 1 (друге значення лямбда);
Система рівнянь вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
Система рівнянь вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
Власний вектор 1: (1; 1);
Власний вектор 2: (-3,25; 1).

Таким чином, ми отримали два лінійно незалежні власні вектори.

Висновок

Лінійна алгебра та аналітична геометрія – стандартні предмети для будь-якого першокурсника технічної спеціальності. Велика кількість векторів і матриць жахає, а в таких громіздких обчисленнях легко зробити помилку. Наша програма дозволить студентам перевірити свої викладки або автоматично розв'яже завдання на пошук власного вектора. У нашому каталозі є інші калькулятори з лінійної алгебри, використовуйте їх у своєму навчанні або роботі.

У першій частині викладено положення, мінімально необхідні для розуміння хемометрики, а в другій частині - факти, які необхідно знати для більш глибокого розуміння методів багатовимірного аналізу. Виклад ілюструється прикладами, виконаними в робочій книзі Excel Matrix.xls, що супроводжує цей документ.

Посилання на приклади розміщені в тексті як об'єкти Excel. Ці приклади мають абстрактний характер, вони не прив'язані до завдань аналітичної хімії. Реальні приклади використання матричної алгебри в хемометриці розглянуті в інших текстах, присвячених різноманітним хемометричним додаткам.

Більшість вимірів, які проводяться в аналітичній хімії, є не прямими, а непрямими. Це означає, що в експерименті замість значення шуканого аналіту C (концентрації) виходить інша величина x(Сигнал), пов'язана, але не рівна C, тобто. x(C) ≠ С. Як правило, вид залежності x(C) не відомий, однак, на щастя, в аналітичній хімії більшість вимірів пропорційні. Це означає, що при збільшенні концентрації С aраз, сигнал X збільшиться стільки ж., тобто. x(a C) = a x(C). Крім того, сигнали ще й адитивні, так що сигнал від проби, в якій присутні дві речовини з концентраціями C 1 і C 2 буде дорівнює сумісигналів кожного компонента, тобто. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Пропорційність та адитивність разом дають лінійність. Можна навести багато прикладів, що ілюструють принцип лінійності, але досить згадати два самих яскравих прикладів- хроматографію та спектроскопію. Друга особливість, властива експерименту в аналітичній хімії – це багатоканальність. Сучасне аналітичне обладнання одночасно вимірює сигнали багатьох каналів. Наприклад, вимірюється інтенсивність пропускання світла одночасно кількох довжин хвиль, тобто. Спектр. Тому в експерименті ми маємо справу з безліччю сигналів x 1 , x 2 ,...., x n , що характеризують набір концентрацій C 1 ,C 2 , ..., C m речовин, присутніх в системі, що вивчається.

Мал. 1 Спектри

Отже, аналітичний експеримент характеризується лінійністю та багатовимірністю. Тому зручно розглядати експериментальні дані як вектори та матриці та маніпулювати з ними, використовуючи апарат матричної алгебри. Плідність такого підходу ілюструє приклад, показаний на де представлені три спектри, зняті для 200 довжин хвиль від 4000 до 4796 cm -1 . Перший (x 1) і другий (x 2) спектри отримані для стандартних зразків, у яких концентрація двох речовин A і B відомі: у першому зразку [A] = 0.5, [B] = 0.1, а в другому зразку [A] = 0.2, [B] = 0.6. Що можна сказати про новий, невідомий зразок, спектр якого позначений x 3?

Розглянемо три експериментальних спектри x 1 , x 2 і x 3 як три вектори розмірності 200. Засобами лінійної алгебри можна легко показати, що x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 тому у третьому зразку очевидно присутні тільки речовини A і B в концентраціях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 та [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Базові відомості 1.1 Матриці

Матрицеюназивається прямокутна таблиця чисел, наприклад

Мал. 2 Матриця

Матриці позначаються великими напівжирними літерами (A ), які елементи - відповідними малими літерамиз індексами, тобто. a ij. Перший індекс нумерує рядки, а другий – стовпці. У хемометриці прийнято позначати максимальне значення індексу тієї ж літерою, як і сам індекс, але великої. Тому матрицю A можна також записати як ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Для наведеної у прикладі матриці I = 4, J= 3 і a 23 = −7.5.

Пара чисел Iі Jназивається розмірністю матриці та знається як I× J. Прикладом матриці в хемометриці може бути набір спектрів, отриманий для Iзразків на Jдовжини хвиль.

1.2. Найпростіші операції з матрицями

Матриці можна множити на числа. У цьому кожен елемент множиться цього числа. Наприклад -

Мал. 3 Розмноження матриці на число

Дві матриці однакової розмірності можна поелементно складатиі віднімати. Наприклад,

Мал. 4 Додавання матриць

В результаті множення на число та додавання виходить матриця тієї ж розмірності.

Нульовою матрицею називається матриця, що складається з нулів. Вона позначається O. Вочевидь, що A +O = A , A −A = O і 0A = O .

Матрицю можна транспонувати. У цій операції матриця перевертається, тобто. рядки та стовпці змінюються місцями. Транспонування позначається штрихом, A " або індексом A t. Таким чином, якщо A = ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), то A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Наприклад

Мал. 5 Транспонування матриці

Очевидно, що (A t) t = A, (A + B) t = A t + B t.

1.3. Розмноження матриць

Матриці можна перемножуватиале тільки в тому випадку, коли вони мають відповідні розмірності. Чому це так, буде ясно з визначення. Добутком матриці A , розмірністю I× K, та матриці B , розмірністю K× Jназивається матриця C розмірністю I× J, елементами якої є числа

Таким чином для добутку AB необхідно, щоб число стовпців у лівій матриці A дорівнювало числу рядків у правій матриці B . Приклад твору матриць -

Рис.6 Добуток матриць

Правило перемноження матриць можна сформулювати так. Для того, щоб знайти елемент матриці C , що стоїть на перетині i-ого рядка та j-ого стовпця ( c ij) треба поелементно перемножити i-у рядок першої матриці A на jстовпець другої матриці B і скласти всі результати. Так у наведеному прикладі, елемент з третього рядка та другого стовпця, виходить як сума поелементних творів третього рядка A та другого стовпця B

Рис.7 Елемент твору матриць

Добуток матриць залежить від порядку, тобто. AB ≠ BA , хоча б з міркувань розмірності. Говорять, що воно некомутативно. Однак добуток матриць асоціативний. Це означає, що ABC = (AB) C = A (BC). З іншого боку, воно ще й дистрибутивно, тобто. A (B + C) = AB + AC. Очевидно, що AO = O.

1.4. Квадратні матриці

Якщо число стовпців матриці дорівнює числу її рядків ( I = J = N), то така матриця називається квадратною. У цьому розділі ми розглядатимемо лише такі матриці. Серед цих матриць можна виділити матриці, що мають особливі властивості.

Одиничноюматрицею (позначається I, котрий іноді E ) називається матриця, яка має всі елементи рівні нулю, крім діагональних, які рівні 1, тобто.

Вочевидь AI = IA = A .

Матриця називається діагональної, якщо всі її елементи, крім діагональних ( a ii) Дорівнюють нулю. Наприклад

Мал. 8 Діагональна матриця

Матриця A називається верхньою трикутної, Якщо всі її елементи, що лежать нижче діагоналі, дорівнюють нулю, тобто. a ij= 0, при i>j. Наприклад

Мал. 9 Верхня трикутна матриця

Аналогічно визначається нижня трикутна матриця.

Матриця A називається симетричноюякщо A t = A . Іншими словами a ij = a ji. Наприклад

Мал. 10 Симетрична матриця

Матриця A називається ортогональні, якщо

A t A = AA t = I.

Матриця називається нормальноюякщо

1.5. Слід та визначник

Слідомквадратної матриці A (позначається Tr(A ) або Sp(A )) називається сума її діагональних елементів,

Наприклад,

Мал. 11 Слід матриці

Очевидно, що

Sp(α A ) = α Sp(A ) та

Sp (A + B) = Sp (A) + Sp (B).

Можна показати, що

Sp(A ) = Sp(A t), Sp(I ) = N,

а також, що

Sp(AB) = Sp(BA).

Іншою важливою характеристикою квадратної матриці є її визначник(позначається det(A)). Визначення визначника в загальному випадкудосить складно, тому ми почнемо з найпростішого варіанта – матриці A розмірністю (2×2). Тоді

Для матриці (3×3) визначник дорівнюватиме

У разі матриці ( N× N) визначник обчислюється як сума 1 · 2 · 3 · ... · N= N! доданків, кожен з яких дорівнює

Індекси k 1 , k 2 ,..., k Nвизначаються як всілякі впорядковані перестановки rчисел у наборі (1, 2, ... , N). Обчислення визначника матриці – це складна процедура, яку практично здійснюється за допомогою спеціальних програм. Наприклад,

Мал. 12 Визначник матриці

Відзначимо лише очевидні властивості:

det(I ) = 1, det(A ) = det(A t),

det(AB) = det(A)det(B).

1.6. Вектори

Якщо матриця складається лише з одного стовпця ( J= 1), то такий об'єкт називається вектором. Точніше, вектором-стовпцем. Наприклад

Можна розглядати і матриці, що складаються з одного рядка, наприклад

Цей об'єкт також є вектором, але вектор-рядок. При аналізі даних важливо розуміти, з якими векторами ми маємо справу – зі стовпцями чи рядками. Так спектр, знятий одного зразка можна як вектор-рядок. Тоді набір спектральних інтенсивностей на якійсь довжині хвилі для всіх зразків слід трактувати як вектор-стовпець.

Розмірністю вектора називається кількість його елементів.

Зрозуміло, кожен вектор-стовпець можна перетворити на вектор-рядок транспонуванням, тобто.

У тих випадках, коли форма вектора спеціально не обговорюється, а просто говориться вектор, то мають на увазі вектор-стовпець. Ми також дотримуватимемося цього правила. Вектор позначається малою прямою напівжирною літерою. Нульовим вектором називається вектор, всі елементи якого рани нулю. Він позначається 0 .

1.7. Найпростіші операції з векторами

Вектори можна складати і множити числа так само, як це робиться з матрицями. Наприклад,

Мал. 13 Операції з векторами

Два вектори x та y називаються колінеарнимиякщо існує таке число α, що

1.8. Твори векторів

Два вектори однакової розмірності Nможна перемножити. Нехай є два вектори x = ( x 1 , x 2 ,...,x N) t та y = ( y 1 , y 2 ,...,y N) t. Керуючись правилом перемноження " рядок на стовпець " , ми можемо скласти їх два твори: x t y і xy t . Перший твір

називається скалярнимабо внутрішнім. Його результат – це число. Для нього також використовується позначення (x, y) = x t y. Наприклад,

Мал. 14 Внутрішній (скалярний) твір

Другий твір

називається зовнішнім. Його результат – це матриця розмірності ( N× N). Наприклад,

Мал. 15 Зовнішній твір

Вектор, скалярний добутокяких одно нулю, називаються ортогональними.

1.9. Норма вектора

Скалярне твір вектора себе називається скалярним квадратом. Ця величина

визначає квадрат довжинивектора x. Для позначення довжини (названої також нормоювектора) використовується позначення

Наприклад,

Мал. 16 Норма вектора

Вектор одиничної довжини (||x || = 1) називається нормованим. Ненульовий вектор (x ≠ 0 ) можна унормувати, розділивши його на довжину, тобто. x = | | x | | (x/ ||x ||) = ||x || e. Тут e = x/ | | x | | - Нормований вектор.

Вектори називаються ортонормованими, якщо всі вони нормовані та попарно ортогональні.

1.10. Кут між векторами

Скалярний твір визначає і кутφ між двома векторами x та y

Якщо вектори ортогональні, то cosφ = 0 і φ = π/2, а якщо вони колінеарні, то cosφ = 1 та φ = 0.

1.11. Векторне подання матриці

Кожну матрицю розміру A I× Jможна подати як набір векторів

Тут кожен вектор a jє j-им стовпцем, а вектор-рядок b iє i-им рядком матриці A

1.12. Лінійно залежні вектори

Вектори однакової розмірності ( N) можна складати та множити на число, також як матриці. В результаті вийде вектор тієї ж розмірності. Нехай є кілька векторів однієї розмірності x 1 , x 2 ,...,x K і стільки ж чисел α α 1 , α 2 ,...,α K. Вектор

y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α K x K

називається лінійною комбінацієювекторів x k .

Якщо є такі ненульові числа α k ≠ 0, k = 1,..., K, Що y = 0, то такий набір векторів x kназивається лінійно залежним. Інакше вектори називаються лінійно незалежними. Наприклад, вектори x 1 = (2, 2) t та x 2 = (−1, −1) t лінійно залежні, т.к. x 1 +2x 2 = 0

1.13. Ранг матриці

Розглянемо набір з Kвекторів x 1 , x 2 ,...,x Kрозмірності N. Ранг цієї системи векторів називається максимальне число лінійно-незалежних векторів. Наприклад у наборі

є тільки два лінійно незалежних вектори, наприклад x 1 і x 2 тому її ранг дорівнює 2.

Очевидно, що якщо векторів у наборі більше, ніж їх розмірність ( K>N), то вони обов'язково лінійно залежні.

Рангом матриці(позначається rank(A)) називається ранг системи векторів, з яких вона складається. Хоча будь-яку матрицю можна уявити двома способами (вектори стовпці чи рядки), це впливає величину рангу, т.к.

1.14. зворотна матриця

Квадратна матриця A називається невиродженою, якщо вона має єдину зворотнуматрицю A -1 , що визначається умовами

AA −1 = A −1 A = I .

Зворотна матриця існує для всіх матриць. Необхідною та достатньою умовою невиродженості є

det(A ) ≠ 0 або rank(A ) = N.

Звернення матриці – це складна процедура, для виконання якої існують спеціальні програми. Наприклад,

Мал. 17 Звернення матриці

Наведемо формули для найпростішого випадку - матриці 2×2

Якщо матриці A і B невироджені, то

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Псевдозворотна матриця

Якщо матриця A вироджена та зворотна матриця не існує, то в деяких випадках можна використовувати псевдозворотнуматрицю, що визначається як така матриця A + , що

AA + A = A.

Псевдобрітельна матриця - не єдина і її вид залежить від способу побудови. Наприклад для прямокутної матриціможна використовувати метод Мура-Пенроуза.

Якщо кількість стовпців менше числарядків, то

A + =(A t A ) −1 A t

Наприклад,

Мал. 17a Псевдообіг матриці

Якщо ж кількість стовпців більше числарядків, то

A + =A t (AA t) −1

1.16. Розмноження вектора на матрицю

Вектор x можна множити на матрицю A відповідної розмірності. При цьому вектор-стовпець множиться праворуч Ax, а вектор рядок - зліва x t A. Якщо розмірність вектора J, а розмірність матриці I× Jто в результаті вийде вектор розмірності I. Наприклад,

Мал. 18 Розмноження вектора на матрицю

Якщо матриця A – квадратна ( I× I), вектор y = Ax має ту ж розмірність, що і x . Очевидно, що

A (α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Тому матриці можна як лінійні перетворення векторів. Зокрема Ix = x, Ox = 0.

2. Додаткова інформація 2.1. Системи лінійних рівнянь

Нехай A – матриця розміром I× J, а b - вектор розмірності J. Розглянемо рівняння

Ax = b

щодо вектора x , розмірності I. По суті - це система з Iлінійних рівнянь з Jневідомими x 1 ,...,x J. Рішення існує в тому, і тільки в тому випадку, коли

rank(A ) = rank(B ) = R,

де B – це розширена матриця розмірності I×( J+1), що складається з матриці A, доповненої стовпцем b, B = (A b). Інакше рівняння несумісні.

Якщо R = I = J, то рішення єдине

x = A −1 b.

Якщо R < I, то існує безліч різних рішень, які можна виразити через лінійну комбінацію J−Rвекторів. Система однорідних рівнянь Ax = 0 з квадратною матрицею A ( N× N) має нетривіальне рішення (x ≠ 0 ) тоді і лише тоді, коли det(A ) = 0. Якщо R= Rank (A) 0.

Аналогічно визначаються негативно(x t Ax< 0), невід'ємно(x t Ax ≥ 0) та позитивно(x t Ax ≤ 0) певні матриці.

2.4. Розкладання Холецького

Якщо симетрична матриця A позитивно визначена, існує єдина трикутна матриця U з позитивними елементами, для якої

A = U t U.

Наприклад,

Мал. 19 Розкладання Холецького

2.5. Полярне розкладання

Нехай A – це невироджена квадратна матриця розмірності N× N. Тоді існує однозначне полярнеподання

A = SR,

де S – це невід'ємна симетрична матриця, а R – це ортогональна матриця. Матриці S і R можуть бути явно визначені:

S 2 = AA t або S = (AA t) ½ і R = S −1 A = (AA t) −½ A .

Наприклад,

Мал. 20 Полярне розкладання

Якщо матриця A вироджена, то розкладання не єдине - а саме: S як і одна, а ось R може бути багато. Полярне розкладання представляє матрицю A як комбінацію стиснення/розтягування S та повороту R .

2.6. Власні вектори та власні значення

Нехай A – це квадратна матриця. Вектор v називається власним векторомматриці A якщо

Av = λv ,

де число λ називається власним значеннямматриці A. Таким чином, перетворення, яке виконує матриця A над вектором v , зводиться до простого розтягування або стиснення з коефіцієнтом λ. Власний вектор визначається з точністю до множення константу α ≠ 0, тобто. якщо v – власний вектор, то й αv – теж власний вектор.

2.7. Власні значення

У матриці A розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж N власних значень. Вони задовольняють характеристичного рівняння

det(A − λI ) = 0,

що є алгебраїчним рівнянням N-го порядку. Зокрема, для матриці 2×2 характеристичне рівняння має вигляд

Наприклад,

Мал. 21 Власні значення

Набір власних значень λ 1 ,..., λ Nматриці A називається спектром A.

Спектр має різноманітні властивості. Зокрема

det(A ) = λ 1 ×...×λ N Sp(A) = λ 1 +...+λ N.

Власні значення довільної матриці можуть бути комплексними числами, проте якщо матриця симетрична (A t = A ), її власні значення речові.

2.8. Власні вектори

У матриці A розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж Nвласних векторів, кожен із яких відповідає своєму власному значенню. Для визначення власного вектора v nпотрібно вирішити систему однорідних рівнянь

(A − λ n I) v n = 0 .

Вона має нетривіальне рішення, оскільки det(A − λ n I) = 0.

Наприклад,

Мал. 22 Власні вектори

Власні вектори симетричної матриці ортогональні.

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується по певному правилу, Яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

З матрицею А якщо знайдеться таке число l, що АХ = lХ.

У цьому число l називають власним значенням оператора (матриці А), відповідним вектору Х.

Інакше кажучи, власний вектор - це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - lЕ) Х = О

Отримана система має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких всі вільні члени рівні нулю, називають однорідними . Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення- нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - lЕ| = = 0

Це з невідомим l називають характеристичним рівнянням (характеристичним многочленом ) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є всі вектори виду (-(2/3)з; с) з власним значенням (-5) і всі вектори виду ((2/3)з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з власних векторів, є діагональною і має вигляд:

де l i - Власні значення цієї матриці.

Правильно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1 але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто. утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Переконаємося у лінійній незалежності цих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А набуде вигляду А * = .

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А* = С-1АС. Спочатку знайдемо С-1.

З -1 = ;

Квадратичні форми

Квадратичною формою f(х 1 , х 2 , х n) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добутком двох різних змінних, взятим з деяким коефіцієнтом: f(х 1 , х 2 , х n ) = (a ij = a ji).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицею квадратичної форми. Це завжди симетрична матриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, a ij = a ji).

У матричному записі квадратична форма має вигляд f(Х) = Х Т AX, де

Справді

Наприклад, запишемо у матричному вигляді квадратичну форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невиродженим лінійним перетворенням матриці-стовпця Y, тобто. X = CY, де - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичну форму f(y 1 , y 2), отриману з квадратичної форми f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної (має канонічний вигляд), якщо всі її коефіцієнти a ij = 0 при i ≠ j, тобто.
f(х 1, х 2, х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Її матриця є діагональною.

Теорема (доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного виду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Наприклад, наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для цього спочатку виділимо повний квадрат при змінній х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х2 2-х 2х3.

Тепер виділяємо повний квадрат при змінній х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100) х 3 2 =
= 2 (x 1 + х 2) 2 - 5 (х 2 - (1/10) х 3) 2 + (1/20) х 3 2 .

Тоді невироджене лінійне перетворення y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10)х 3 і y 3 = x 3 наводить цю квадратичну форму до канонічного вигляду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Зазначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна й та сама квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами). Проте отримані у різний спосібканонічні форми мають поруч загальних властивостей. Зокрема, кількість доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, у розглянутому прикладі завжди буде два негативні та один позитивний коефіцієнт). Цю властивість називають законом інерції квадратичних форм.

Впевнимося в цьому, по-іншому привівши ту ж квадратичну форму до канонічного вигляду. Почнемо перетворення зі змінною х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = - 3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 де y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 та y 3 = x 1 . Тут негативний коефіцієнт -3 при y 1 і два позитивні коефіцієнти 3 і 2 при y 2 і y 3 (а при використанні іншого способу ми отримали негативний коефіцієнт (-5) при y 2 і два позитивних: 2 при y 1 і 1/20 за y 3).

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює кількості відмінних від нуля коефіцієнтів канонічної форми і не змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f(X) називають позитивно (негативно ) певною , якщо за всіх значеннях змінних, не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто. f(X) > 0 (негативна, тобто.
f(X)< 0).

Наприклад, квадратична форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 – позитивно визначена, т.к. є сумою квадратів, а квадратична форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - негативно визначена, т.к. представляє її можна подати у вигляді f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

У більшості практичних ситуації встановити знаковизначеність квадратичної форми дещо складніше, тому для цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх без доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і лише тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (негативні).

Теорема (критерій Сільвестру). Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли головні мінори матриці цієї форми позитивні.

Головним (кутовим) мінором k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначник матриці, складений з перших рядків k і рядків стовпців матриці А ().

Зазначимо, що для негативно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, причому мінор першого порядку має бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1, х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – позитивно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – позитивно визначена.

Досліджуємо на знаковизначеність іншу квадратичну форму, f(х 1, х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (-2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – негативно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – негативно визначена (знаки головних мінорів чергуються, починаючи з мінусу).

І як ще один приклад досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одне із цих чисел негативно, а інше - позитивно. Знаки своїх значень різні. Отже, квадратична форма може бути ні негативно, ні позитивно певної, тобто. ця квадратична форма не є знаковизначеною (може набувати значень будь-якого знака).

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Власні значення (числа) та власні вектори.
Приклади рішень

Будь собою

З обох рівнянь випливає, що .

Припустимо, тоді: .

В результаті: - Другий власний вектор.

Повторимо важливі моменти розв'язання:

- Отримана система неодмінно має загальне рішення(Рівняння лінійно залежні);

- «Ігрек» підбираємо таким чином, щоб він був цілим і перша «іксова» координата - цілою, позитивною і якнайменше.

– перевіряємо, що окреме рішення задовольняє кожному рівнянню системи.

Відповідь .

Проміжних «контрольних точок» було цілком достатньо, тому перевірка рівностей у принципі справа зайва.

У різних джерелах інформації координати власних векторів часто записують над стовпці, а рядки, наприклад: (і, якщо чесно, я сам звик записувати їх рядками). Такий варіант прийнятний, але у світлі теми лінійних перетворень технічно зручніше використовувати вектори-стовпці.

Можливо, рішення здалося вам дуже довгим, але це тільки тому, що я докладно прокоментував перший приклад.

Приклад 2

Матриці

Тренуємося самостійно! Зразок чистового оформлення завдання наприкінці уроку.

Іноді потрібно виконати додаткове завдання, а саме:

записати канонічне розкладання матриці

Що це таке?

Якщо власні вектори матриці утворюють базис, то вона уявна у вигляді:

Де – матриця складена з координат власних векторів, – діагональнаматриця з відповідними власними числами.

Таке розкладання матриці називають канонічнимабо діагональним.

Розглянемо матрицю першого прикладу. Її власні вектори лінійно незалежні(Неколлінеарні) і утворюють базис. Складемо матрицю з їх координат:

на головної діагоналіматриці у відповідному порядкурозташовуються власні числа, інші елементи дорівнюють нулю:
– ще раз наголошую на важливості порядку: «двійка» відповідає 1-му вектору і тому розташовується в 1-му стовпці, «трійка» – 2-му вектору.

За звичайним алгоритмом знаходження зворотної матриці або методом Гаусса-Жордана знаходимо . Ні, це не друкарська помилка! - Перед вами рідкісне, як сонячне затемненняподія, коли зворотна збіглася з вихідною матрицею.

Залишилося записати канонічне розкладання матриці:

Систему можна вирішити за допомогою елементарних перетвореньі в наступних прикладах ми вдамося до даним методом. Але тут набагато швидше спрацьовує «шкільний» спосіб. З 3-го рівняння виразимо: - Підставимо в друге рівняння:

Оскільки перша координата нульова, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає, що .

І знову зверніть увагу на обов'язкову наявність лінійної залежності. Якщо виходить лише тривіальне рішення , або неправильно знайдено власне число, або з помилкою складена / вирішена система.

Компактні координати дає значення

Власний вектор:

І ще раз – перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи. У наступних пунктах та в наступних завданнях рекомендую прийняти це побажання за обов'язкове правило.

2) Для власного значення за таким же принципом отримуємо таку систему:

З 2-го рівняння системи виразимо: - Підставимо в третє рівняння:

Оскільки «зетова» координата дорівнює нулю, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає лінійна залежність .

Нехай

Перевіряємо, що рішення задовольняє кожному рівняння системи.

Отже, власний вектор: .

3) І, нарешті, власному значенню відповідає система:

Друге рівняння виглядає найпростішим, тому з нього висловимо і підставимо в 1-е та 3-е рівняння:

Все добре - виявилася лінійна залежність, яку підставляємо у вираз:

Через війну «ікс» і «игрек» виявилися виражені через «зет»: . На практиці не обов'язково домагатися саме таких взаємозв'язків, у деяких випадках зручніше висловити і через або через. Або навіть «паровозиком» – наприклад, «ікс» через «гравець», а «гравець» через «зет»

Припустимо, тоді:

Перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи та записуємо третій власний вектор

Відповідь: власні вектори:

Геометрично ці вектори задають три різні просторові напрямки. ("туди назад"), якими лінійне перетворення переводить ненульові вектори (власні вектори) в колінеарні їм вектори.

Якби за умовою потрібно було знайти канонічне розкладання , то це можливо, т.к. різним своїм числам відповідають різні лінійно незалежні власні вектори. Складаємо матрицю з їх координат, діагональну матрицю з відповіднихвласних значень і знаходимо зворотну матрицю.

Якщо ж за умовою потрібно записати матрицю лінійного перетворення в базисі із власних векторів, То відповідь даємо у вигляді . Різниця є, і різниця суттєва! Бо ця матриця – є матриця «де».

Завдання з більш простими обчисленнями для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею

При знаходженні своїх чисел постарайтеся не доводити справу до многочлена третього ступеня. Крім того, ваші рішення систем можуть відрізнятись від моїх рішень – тут немає однозначності; та вектори, які ви знайдете, можуть відрізнятись від векторів зразка з точністю до пропорційності їх відповідних координат. Наприклад, і . Естетичніше уявити відповідь у вигляді , але нічого страшного, якщо зупиніться і на другому варіанті. Однак усьому є розумні межі, версія виглядає вже не дуже добре.

Зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Як вирішувати завдання у разі кратних власних чисел?

Загальний алгоритм залишається незмінним, але тут є свої особливості, і деякі ділянки рішення доцільно витримати в суворішому академічному стилі:

Приклад 6

Знайти власні числа та власні вектори

Рішення

Звичайно ж, оприбуткуємо казковий перший стовпець:

І, після розкладання квадратного тричлена на множники:

В результаті отримані власні числа, два з яких є кратними.

Знайдемо власні вектори:

1) З одиноким солдатом розробимося за «спрощеною» схемою:

З останніх двох рівнянь чітко проглядається рівність, яку, очевидно, слід підставити в 1-е рівняння системи:

Кращої комбінації не знайти:
Власний вектор:

2-3) Тепер знімаємо пару вартових. В даному випадку може вийти або два або один власний вектор. Незважаючи на кратність коренів, підставимо значення в визначник , який приносить нам наступну однорідну систему лінійних рівнянь:

Власні вектори – це точно вектори
фундаментальної системи рішень

Власне, протягом усього уроку ми тільки й займалися тим, що знаходили вектори фундаментальної системи. Просто до певного часу цей термін особливо не був потрібний. До речі, ті спритні студенти, які в маскхалатах проскочили тему однорідних рівнянь, будуть змушені курити її зараз.

Єдина дія полягала у видаленні зайвих рядків. В результаті отримана матриця "один на три" з формальною "сходинкою" посередині.
- Базова змінна, - вільні змінні. Вільних змінних дві, отже, векторів фундаментальної системи теж два.

Висловимо базову змінну через вільні змінні: . Нульовий множник перед «іксом» дозволяє приймати йому будь-які значення (що добре видно і з системи рівнянь).

У контексті цього завдання загальне рішення зручніше записати не в рядок, а в стовпець:

Парі відповідає власний вектор:
Парі відповідає власний вектор:

Примітка : досвідчені читачі можуть підібрати дані вектори та усно – просто аналізуючи систему Але тут потрібні деякі знання: змінних – три, ранг матриці системи – одиниця, отже, фундаментальна система рішень складається з 3 – 1 = 2 векторів. Втім, знайдені вектори чудово проглядаються і без цих знань на інтуїтивному рівні. У цьому навіть «красивее» запишеться третій вектор: . Однак застерігаю, в іншому прикладі простого підбору може і не виявитися, саме тому застереження призначене для досвідчених людей. Крім того, а чому б не взяти як третій вектор, скажімо, ? Адже його координати теж задовольняють кожному рівняння системи і вектори. лінійно незалежні. Такий варіант, в принципі, придатний, але «кривуватий», оскільки «інший» вектор є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи.

Відповідь: власні числа: , власні вектори:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти власні числа та власні вектори

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що й у 6-му та 7-му прикладі виходить трійка лінійно незалежних власних векторів, і тому вихідна матриця представима в канонічному розкладанні . Але така малина буває далеко не у всіх випадках:

Приклад 8