Знайти компоненти вектора у новому базисі. Базис

Базіс(ін.-грец. βασις, основа) - безліч таких векторів у векторному просторі, що будь-який вектор цього простору може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї множини базисних векторів

Базисом у просторі R n називається будь-яка система з n-лінійно незалежні вектори. Кожен вектор з R n , які не входять у базис, можна як лінійної комбінації базисних векторів, тобто. розкласти за базисом.
Нехай базис простору R n і . Тоді знайдуться такі числа λ1, λ2, …, λn, що .
Коефіцієнти розкладання λ 1 , λ 2 , …, λ n називаються координатами вектора в базисі В. Якщо заданий базис, то коефіцієнти вектора визначаються однозначно.

Зауваження. В кожному n-мірному векторному просторі можна вибрати безліч різних базисів. У різних базисах той самий вектор має різні координати, але єдині у вибраному базисі. приклад.Розкласти вектор по базису.
Рішення. . Підставимо координати всіх векторів та виконаємо дії над ними:

Прирівнявши координати, отримаємо систему рівнянь:

Вирішимо її: .
Таким чином, отримаємо розкладання: .
У базисі вектор має координати.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Концепція вектор. Лінійні операції над векторами

Вектором називається спрямований відрізок має певну довжину т е відрізок певної довжини у якого одна з обмежують його точок. довжина вектора називається його модулем і позначається символом модуль вектора.

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Базисом просторуназивають таку систему векторів у якій інші вектори простору можна як лінійної комбінації векторів, які входять у базис.
Насправді це все реалізується досить просто. Базис, як правило, перевіряють на площині або просторі, а для цього потрібно знайти визначник матриці другого, третього порядку складений з координат векторів. Нижче схематично записані умови, за яких вектори утворюють базис

Щоб розкласти вектор b за базовими векторами
e,e...,e[n] необхідно знайти коефіцієнти x, ..., x[n] при яких лінійна комбінація векторів e,e...,e[n] дорівнює вектору b:
x1 * e + ... + x [n] * e [n] = b.
Для цього векторне рівняння слід перетворити на систему лінійних рівняньта знайти рішення. Це також досить просто реалізувати.
Знайдені коефіцієнти x, ..., x[n] називаються координатами вектора b у базисі e, e ..., e [n].
Перейдемо до практичного боку теми.

Розкладання вектора за векторами базису

Завдання 1. Перевірте, чи утворюють вектори a1, a2 базис на площині.

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Рішення: Складаємо визначник з координат векторів та обчислюємо його

Визначник не дорівнює нулю, отже вектори лінійно незалежні, а отже утворюють базис.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Рішення: Обчислюємо детермінант складений із векторів

Визначник дорівнює 13 (не дорівнює нулю) - з цього випливає, що вектори a1, a2 є базисом на площині.

---=================---

Розглянемо типові приклади із програми МАУП з дисципліни "Вища математика".

Завдання 2. Показати, що вектори a1, a2, a3 утворюють базис тривимірного векторного простору і розкласти вектор b по цьому базису (при вирішенні системи лінійних алгебраїчних рівняньвикористовувати метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Рішення: Спочатку розглянемо систему векторів a1, a2, a3 та перевіримо визначник матриці А

побудованої на векторах, відмінних від нуля. Матриця містить один нульовий елемент, тому детермінант доцільніше обчислювати як розклад по першому стовпцю або третьому рядку.

У результаті обчислень отримали що визначник відмінний від нуля, отже вектори a1, a2, a3 лінійно незалежні.
Відповідно до визначення вектори утворюють базис у R3. Запишемо розклад вектора b за базисом

Вектори рівні, коли відповідні координати рівні.
Тому з векторного рівняння отримаємо систему лінійних рівнянь

Вирішимо СЛАУ методом Крамера. Для цього запишемо систему рівнянь у вигляді

Головний визначник СЛАУ завжди дорівнює визначнику, складеному з векторів базису.

Тому практично його не обчислюють двічі. Для знаходження допоміжних визначників ставимо стовпець вільних членів місце кожного стовпця головного визначника. Визначники обчислюємо за правилом трикутників



Підставимо знайдені визначники у формулу Крамера



Отже, розкладання вектора b за базисом має вигляд b = -4a1 + 3a2-a3. Координатами вектора b у базисі a1, a2, a3 будуть (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Рішення: Перевіряємо вектори на базис - складаємо визначник координат векторів і обчислюємо його

Визначник не дорівнює нулю, отже вектори утворюють базис у просторі. Залишилося знайти розклад вектора b через цей базис. Для цього записуємо векторне рівняння

та перетворимо до системи лінійних рівнянь

Записуємо матричне рівняння

Далі для формул Крамера знаходимо допоміжні визначники



Застосовуємо формули Крамера



Отже заданий вектор b має розклад через два вектори базису b=-2a1+5a3, яке координати в базисі рівні b(-2,0, 5).

Л. 2-1 Основні поняття векторної алгебри. Лінійні операції над векторами.

Розкладання вектора за базисом.

Основні поняття векторної алгебри

Вектор називається безліч всіх спрямованих відрізків, що мають однакову довжину і напрямок
.

Властивості:

Лінійні операції над векторами

1.

Правило паралелограма:

З уммойдвох векторів і називається вектор , що виходить із їх загального початку і є діагоналлю паралелограм-ма, побудованого на векторах і як на сторонах.

Правило багатокутника:

Щоб побудувати суму будь-якого числа векторів, потрібно в кінець 1-го доданку вектора помістити початок 2-го, на кінець 2-го - початок 3-го і т.д. Вектор, що замикає одержану ламану лінію, є сумою. Початок його збігається з початком першого, а кінець - з кінцем останнього.

Властивості:

2.

Добутком вектора на число , називається вектор, що задовольняє умовам:
.

Властивості:

3.

Різницявекторів і називають вектор , рівний сумі вектора та вектора, протилежного вектору , тобто.
.

- Закон протилежного елемента (вектора).

Розкладання вектора за базисом

Сума векторів визначається єдиним способом
(і тільки ). Зворотна операція – розкладання вектора на кілька складових, неоднозначна:. Для того, щоб зробити її однозначною, необхідно вказати напрямки, за якими відбувається розкладання вектора, що розглядається, або, як кажуть, необхідно вказати базис.

При визначенні базису суттєвою є вимога некомпланарності та неколлінеарності векторів. Щоб зрозуміти зміст цієї вимоги, необхідно розглянути поняття лінійної залежності та лінійної незалежності векторів.

Довільне вираз виду: , називають лінійною комбінацієювекторів
.

Лінійна комбінація кількох векторів називається тривіальною, Якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Вектори
називаються лінійно залежнимиякщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю:
(1), за умови
. Якщо рівність (1) має місце лише за всіх
одночасно рівних нулю, то ненульові вектори
будуть лінійно незалежними.

Легко довести: будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні, а два неколінеарні вектори лінійно незалежні.

Доказ розпочнемо з першого затвердження.

Нехай вектори і колінеарні. Покажемо, що вони є лінійно залежними. Дійсно, якщо вони колінеарні, то вони відрізняються один від одного тільки на числовий множник, тобто.
, отже
. Оскільки отримана лінійна комбінація явно нетривіальна і дорівнює «0», вектори і лінійно залежні.

Розглянемо тепер два неколлінеарні вектори і . Доведемо, що вони є лінійно незалежними. Доказ збудуємо від протилежного.

Припустимо, що вони лінійно залежні. Тоді має існувати нетривіальна лінійна комбінація
. Припустимо, що
тоді
. Отримана рівність означає, що вектори і колінеарні всупереч нашому вихідному припущенню.

Аналогічно можна довести: будь-які три компланарні вектори лінійно залежні, а два некомпланарні вектори лінійно незалежні.

Повертаючись до поняття базису і завдання розкладання вектора в певному базисі, можна сказати, що базис на площині та у просторі утворюється із сукупності лінійно незалежних векторів.Таке поняття базису є загальним, т.к. воно застосовується до простору будь-якого числа вимірів.

Вираз виду:
, називається розкладанням вектора за векторами ,…,.

Якщо ми розглядатимемо базис у тривимірному просторі, то розкладання вектора по базису
буде
, де
-координати вектора.

У задачі розкладання довільного вектора в деякому базисі дуже важливим є таке твердження: будь-який векторможе бути єдиним чином розкладений у даному базисі
. Іншими словами, координати
для будь-якого вектора щодо базису
визначається однозначно.

Введення базису у просторі та на площині дозволяє поставити у відповідність кожному вектору упорядковану трійку (пару) чисел – його координати. Цей дуже важливий результат, що дозволяє встановити зв'язок між геометричними об'єктами та числами, робить можливим аналітично описувати та досліджувати положення та рух фізичних об'єктів.

Сукупність точки та базису називають системою координат.

Якщо вектори, що утворюють базис, поодинокі і попарно перпендикулярні, то система координат називається прямокутної,а базис ортонормованим.

Л. 2-2 Твір векторів

Розкладання вектора за базисом

Розглянемо вектор
, Заданий своїми координатами:
.

- Векторні компоненти за напрямами базисних векторів
.

Вираз виду
називається розкладанням вектора по базису
.

Аналогічним чином можна розкласти по базису
вектор
:

.

Косинуси кутів, утворені аналізованим вектором з базисними ортами
називаються напрямними косинусами

;
;
.

Скалярський витвір векторів.

Скалярним твором двох векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів можна розглядати як добуток модуля одного з цих векторів на ортогональну проекцію іншого вектора на напрямок першого
.

Властивості:

Якщо відомі координати векторів
і
, то, виконавши розкладання векторів по базису
:
і
, знайдемо

, т.к.
,
, то

.

.

Умови перпендикулярності векторів:
.

Умова колінеарності ректорів:
.

Векторний твір векторів

або

Векторні твори вектор на вектор називається такий вектор
, який задовольняє умовам:

Властивості:

Розглянуті властивості алгебри дозволяють знайти аналітичний вираз для векторного твору через координати складових векторів в ортонормованому базисі.

Дано:
і
.

т.к. ,
,
,
,
,
,
, то

. Цю формулу можна записати коротше, у формі визначника третього порядку:

.

Змішаний твір векторів

Змішаним твором трьох векторів ,і називається число, що дорівнює векторному твору
, помноженому скалярно на вектор .

Правильно така рівність:
тому змішаний твір записують
.

Як випливає з визначення результатом змішаного твору трьох векторів є число. Це число має наочний геометричний зміст:

Модуль змішаного твору
дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на приведених до спільному початкувекторах ,і .

Властивості змішаного твору:

Якщо вектори ,,задані в ортонормованому базисі
своїми координатами, обчислення змішаного твору здійснюється за формулою

.

Справді, якщо
, то

;
;
тоді
.

Якщо вектори ,,компланарні, то векторний твір
перпендикулярно вектору . І навпаки, якщо
, Обсяг паралелепіпеда дорівнює нулю, а це можливо тільки в тому випадку, коли вектори компланарні (лінійно залежні).

Таким чином, три вектори компланарні, тоді і тільки тоді, коли їхнє змішане твір дорівнює нулю.