СИСТЕМА ОДНОРОДНИХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Системою однорідних лінійних рівняньназивається система виду

Зрозуміло, що в цьому випадку , т.к. всі елементи одного зі стовпців у цих визначниках дорівнюють нулю.

Оскільки невідомі перебувають за формулами , то у разі, коли Δ ≠ 0, система має єдине нульове рішення x = y = z= 0. Проте, у багатьох завданнях цікаве питання, чи має однорідна система рішення відмінні від нульового.

Теорема.Для того, щоб система лінійних однорідних рівняньмала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ ≠ 0.

Отже, якщо визначник Δ ≠ 0, то система має єдине рішення. Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.

приклади.

ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ

Нехай задана квадратна матриця , X- Деяка матриця-стовпець, висота якої збігається з порядком матриці A. .

У багатьох завданнях доводиться розглядати рівняння щодо X

де λ – деяке число. Зрозуміло, що з будь-яким λ це рівняння має нульове рішення .

Число λ, за якого це рівняння має ненульові рішення, називається власним значеннямматриці A, а Xпри такому λ називається власним векторомматриці A.

Знайдемо власний вектор матриці A. Оскільки E∙X = X, то матричне рівняння можна переписати у вигляді або . У розгорнутому вигляді це рівняння можна переписати як системи лінійних рівнянь. Дійсно .

І, отже,

Отже, отримали систему однорідних лінійних рівнянь визначення координат x 1, x 2, x 3вектора X. Щоб система мала ненульові рішення необхідно достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю, тобто.

Це рівняння 3-го ступеня щодо λ. Воно називається характеристичним рівняннямматриці Aі служить для визначення власних значень λ.

Кожному власному значенню відповідає власний вектор Xкоординати якого визначаються із системи при відповідному значенні λ.

приклади.

Векторні Алгебри. ПОНЯТТЯ ВЕКТРОРА

При вивченні різних розділів фізики зустрічаються величини, що повністю визначаються завданням їх чисельних значень, наприклад, довжина, площа, маса, температура тощо. Такі величини називаються скалярними. Однак, крім них зустрічаються і величини, для визначення яких, крім чисельного значення, необхідно знати також їх напрямок у просторі, наприклад, сила, що діє на тіло, швидкість та прискорення тіла при його русі у просторі, напруженість магнітного поляу цій точці простору тощо. Такі величини називають векторними.

Введемо суворе визначення.

Спрямованим відрізкомназвемо відрізок, щодо кінців якого відомо, який із них перший, а який другий.

Векторназивається спрямований відрізок, має певну довжину, тобто. це відрізок певної довжини, у якого одна з точок, що обмежують його, приймається за початок, а друга - за кінець. Якщо A- Початок вектора, B– його кінець, вектор позначається символом, крім того, вектор часто позначається однією літерою . На малюнку вектор позначається відрізком, яке напрямок стрілкою.

Модулемабо довжиноювектора називають довжину визначального його спрямованого відрізка. позначається | чи ||.

До векторів відноситимемо і так званий нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються. Він позначається. Нульовий вектор немає певного напрями і модуль його дорівнює нулю ||=0.

Вектори і називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. При цьому якщо вектори і однаково спрямовані, писатимемо, протилежно.

Вектори, розташовані на прямих, паралельних одній площині, називаються компланарними.

Два вектори і називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині. У цьому випадку пишуть.

З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, поміщаючи його початок будь-яку точку простору.

Наприклад.

ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Умноження вектора на число.

   Добутком вектора на число λ називається новий вектортакий, що:

   Добуток вектора на число λ позначається.

   

   Наприклад,є вектор, спрямований у той самий бік, як і вектор , і має довжину, удвічі меншу, ніж вектор .

   Введена операція має наступні властивостями:

2. Складання векторів.

   Нехай і – два довільні вектори. Візьмемо довільну точку Oі побудуємо вектор. Після цього з точки Aвідкладемо вектор. Вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумоюцих векторів і позначається .

   

   Сформульоване визначення складання векторів називають правилом паралелограма, так як ту саму суму векторів можна отримати в такий спосіб. Відкладемо від крапки Oвектори та . Збудуємо на цих векторах паралелограм ОАВС. Оскільки вектори , то вектор , що є діагоналлю паралелограма, проведеної з вершини O, буде очевидно сумою векторів.

   

   Легко перевірити наступні властивості складання векторів.

3. Різниця векторів.

   Вектор, колінеарний даному вектору, рівний йому за довжиною і протилежно спрямований, називається протилежнимвектор для вектора і позначається . Протилежний вектор можна як результат множення вектора на число λ = –1: .

Найбільш просто влаштовані матриці діагонального вигляду. Виникає питання, чи не можна знайти базис, у якому матриця лінійного оператора мала б діагональний вигляд. Такий базис існує.
Нехай дано лінійний простір R n і лінійний оператор A, що діє в ньому; у цьому випадку оператор A переводить R n у себе, тобто A: R n → R n .

Визначення. Ненульовий вектор називається власним вектором оператора A якщо оператор A переводить в колінеарний йому вектор, тобто . Число λ називається власним значенням або власним числом оператора A, що відповідає власному вектору.
Зазначимо деякі властивості власних чисел та власних векторів.
1. Будь-яка лінійна комбінація власних векторів оператора A, відповідальних одному й тому власному числу λ, є власним вектором з тим самим власним числом.
2. Власні вектори оператора A з попарно різними власними числами λ 1 , λ 2 , …, λ m лінійно незалежні.
3. Якщо власні числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то власному числу λ відповідає не більше m лінійно незалежних власних векторів.

Отже, якщо є n лінійно незалежних власних векторів , відповідних різним власним числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , всі вони лінійно незалежні, отже, їх можна вважати базис простору R n . Знайдемо вид матриці лінійного оператора A у базисі з його власних векторів, для чого подіємо оператором A на базисні вектори: тоді .
Таким чином, матриця лінійного оператора A в базисі його власних векторів має діагональний вигляд, причому по діагоналі стоять власні числа оператора A.
Чи існує інший базис, у якому матриця має діагональний вигляд? Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема. Матриця лінійного оператора A у базисі (i = 1..n) має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли всі вектори базису - власні вектори оператора A.

Правило відшукання власних чисел та власних векторів

Нехай дано вектор , де x 1 x 2 … x n - координати вектора щодо базису і - власний вектор лінійного оператора A, що відповідає власному числу , тобто . Це співвідношення можна записати у матричній формі

. (*)

Рівняння (*) можна як рівняння для відшукання , причому , тобто нас цікавлять нетривіальні рішення, оскільки власний вектор може бути нульовим. Відомо, що нетривіальні рішення однорідної системи лінійних рівнянь існують тоді і тільки тоді, коли det(A - λE) = 0. Таким чином, для того, щоб λ було власним числом оператора A необхідно і достатньо, щоб det(A - λE) = 0.
Якщо рівняння (*) докладно розписати в координатній формі, то отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь:

(1)
де - матриця лінійного оператора.

Система (1) має ненульове рішення, якщо її визначник D дорівнює нулю

Здобули рівняння для знаходження власних чисел.
Це рівняння називається характеристичним рівнянням, яке ліва частина - характеристичним многочленом матриці (оператора) A. Якщо характеристичний багаточлен немає речових коренів, то матриця A немає власних векторів і її не можна призвести до діагональному виду.
Нехай λ 1 , λ 2 , …, λ n - речові корені характеристичного рівняння, причому серед них можуть бути і кратні. Підставляючи по черзі ці значення систему (1), знаходимо власні вектори.

приклад 12. Лінійний оператор A діє в R 3 згідно із законом , де x 1 , x 2 , .., x n - координати вектора в базисі , , . Знайти власні числа та власні вектори цього оператора.
Рішення. Будуємо матрицю цього оператора:
.
Складаємо систему визначення координат власних векторів:

Складаємо характеристичне рівняння та вирішуємо його:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Підставляючи λ = -1 у систему, маємо:
або
Так як , то залежних змінних два, а вільне одне.
Нехай x 1 - вільне невідоме, тоді Вирішуємо цю систему будь-яким способом і знаходимо загальне рішенняцієї системи: Фундаментальна система рішень складається з одного рішення, оскільки n – r = 3 – 2 = 1.
Безліч власних векторів, що відповідають своєму числу λ = -1, має вигляд: , де x 1 - будь-яке число, відмінне від нуля. Виберемо з цієї множини один вектор, наприклад, поклавши x 1 = 1: .
Розмірковуючи аналогічно, знаходимо власний вектор, що відповідає власному числу = 3: .
У просторі R 3 базис складається з трьох лінійно незалежних векторів, ми отримали тільки два лінійно незалежних власних вектора, з яких базис в R 3 скласти не можна. Отже, матрицю A лінійного оператора призвести до діагонального вигляду не можемо.

приклад 13. Дано матрицю .
1. Довести, що вектор є власним вектором матриці A. Знайти власне число, що відповідає цьому власному вектору.
2. Знайти базис, у якому матриця A має діагональний вигляд.
Рішення.
1. Якщо , то - власний вектор

.
Вектор (1, 8, -1) – власний вектор. Власне число = -1.
Діагональний вигляд матриця має в базисі, що складається зі своїх векторів. Один із них відомий. Знайдемо решту.
Власні вектори шукаємо із системи:

Характеристичне рівняння: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Знайдемо власний вектор, що відповідає власному числу = -3:

Ранг матриці цієї системи дорівнює двом і дорівнює числу невідомих, тому ця система має тільки нульове рішення x 1 = x 3 = 0. x 2 тут може бути будь-яким, відмінним від нуля, наприклад, x 2 = 1. Таким чином, вектор (0 ,1,0) є власним вектором, що відповідає λ = -3. Перевіримо:
.
Якщо λ = 1, то одержуємо систему
Ранг матриці дорівнює двом. Останнє рівняння викреслюємо.
Нехай x 3 – вільне невідоме. Тоді x 1 = -3 x 3, 4 x 2 = 10 x 1 - 6 x 3 = -30 x 3 - 6 x 3, x 2 = -9 x 3.
Вважаючи x 3 = 1, маємо (-3,-9,1) - власний вектор, що відповідає власному числу λ = 1. Перевірка:

.
Так як власні числа дійсні і різні, то вектори, що їм відповідають, лінійно незалежні, тому їх можна прийняти за базис R 3 . Таким чином, у базисі , , матриця A має вигляд:
.
Не будь-яку матрицю лінійного оператора A:R n → R n можна призвести до діагонального вигляду, оскільки для деяких лінійних операторів лінійно незалежних власних векторів може бути менше n. Однак, якщо матриця симетрична, кореню характеристичного рівняння кратності m відповідає рівно m лінійно незалежних векторів.

Визначення. Симетричною матрицею називається квадратна матриця, у якій елементи, симетричні щодо головної діагоналі, рівні, тобто у якій .
Зауваження. 1. Усі власні числа симетричної матриці речові.
2. Власні вектори симетричної матриці, що відповідають попарно різним власним числам, ортогональні.
Як один з численних додатків вивченого апарату, розглянемо завдання визначення виду кривої другого порядку.

www.сайтдозволяє знайти. Сайт здійснює обчислення. За кілька секунд сервер видасть правильне рішення. Характеристичним рівнянням для матрицібуде алгебраїчне вираз, знайдений за правилом обчислення визначника матриці матриці, при цьому по головній діагоналі стоятимуть різниці значень діагональних елементів та змінної. При обчисленні характеристичного рівняння для матриці онлайн, кожен елемент матрицібуде перемножуватись з відповідними іншими елементами матриці. Знайти у режимі онлайнможна тільки для квадратної матриці. Операція знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнзводиться до обчислення алгебраїчної суми добутку елементів матриціяк результат від знаходження визначника матриці, тільки з метою визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн. Ця операція займає особливе місце в теорії матриць, дозволяє знайти власні числа та вектори, використовуючи коріння . Завдання щодо знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнполягає у перемноженні елементів матриціз подальшим підсумовуванням цих творів за певному правилу. www.сайтзнаходить характеристичне рівняння для матрицізаданої розмірності в режимі онлайн. Обчислення характеристичного рівняння для матриці онлайнпри заданій її розмірності - це знаходження багаточлена з числовими чи символьними коефіцієнтами, знайденого за правилом обчислення визначника матриці- як сума творів відповідних елементів матриці, тільки з метою визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн. Знаходження полінома щодо змінної для квадратної матриці, як визначення характеристичного рівняння для матриці, поширене в теорії матриць. Значення коренів багаточлена характеристичного рівняння для матриці онлайнвикористовується для визначення власних векторів та власних чисел для матриці. При цьому, якщо визначник матрицідорівнюватиме нулю, то характеристичне рівняння матрицівсе одно буде існувати, на відміну від зворотної матриці. Для того, щоб обчислити характеристичне рівняння для матриціабо знайти відразу для кількох матриць характеристичні рівняння, необхідно витратити чимало часу та зусиль, тоді як наш сервер за лічені секунди знайде характеристичне рівняння для матриці онлайн. При цьому відповідь щодо знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнбуде правильним і з достатньою точністю, навіть якщо числа при знаходженні характеристичного рівняння для матриці онлайнбудуть ірраціональними. На сайті www.сайтдопускаються символьні записи в елементах матриць, тобто характеристичне рівняння для матриці онлайнможе бути представлено у загальному символьному вигляді при обчисленні характеристичного рівняння матриці онлайн. Корисно перевірити відповідь, отриману при вирішенні задачі знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн, використовуючи сайт www.сайт. При здійсненні операції обчислення полінома - характеристичного рівняння матриці, необхідно бути уважним і гранично зосередженим під час вирішення цього завдання. У свою чергу, наш сайт допоможе Вам перевірити своє рішення на тему характеристичне рівняння матриці онлайн. Якщо Ви не маєте часу на довгі перевірки вирішених завдань, то www.сайтбезумовно буде зручним інструментом для перевірки при знаходженні та обчисленні характеристичного рівняння для матриці онлайн.

Власні значення (числа) та власні вектори.
Приклади рішень

Будь собою

З обох рівнянь випливає, що .

Припустимо, тоді: .

В результаті: - Другий власний вектор.

Повторимо важливі моменти розв'язання:

- Отримана система обов'язково має загальне рішення (рівняння лінійно залежні);

- «Ігрек» підбираємо таким чином, щоб він був цілим і перша «іксова» координата - цілою, позитивною і якнайменше.

– перевіряємо, що окреме рішення задовольняє кожному рівнянню системи.

Відповідь .

Проміжних «контрольних точок» було цілком достатньо, тому перевірка рівностей у принципі справа зайва.

У різних джерелах інформації координати власних векторів часто записують над стовпці, а рядки, наприклад: (і, якщо чесно, я сам звик записувати їх рядками). Такий варіант прийнятний, але у світлі теми лінійних перетвореньтехнічно зручніше використовувати вектори-стовпці.

Можливо, рішення здалося вам дуже довгим, але це тільки тому, що я докладно прокоментував перший приклад.

Приклад 2

Матриці

Тренуємося самостійно! Зразок чистового оформлення завдання наприкінці уроку.

Іноді потрібно виконати додаткове завдання, а саме:

записати канонічне розкладання матриці

Що це таке?

Якщо власні вектори матриці утворюють базис, то вона уявна у вигляді:

Де – матриця складена з координат власних векторів, – діагональнаматриця з відповідними власними числами.

Таке розкладання матриці називають канонічнимабо діагональним.

Розглянемо матрицю першого прикладу. Її власні вектори лінійно незалежні(Неколлінеарні) і утворюють базис. Складемо матрицю з їх координат:

на головної діагоналіматриці у відповідному порядкурозташовуються власні числа, інші елементи дорівнюють нулю:
– ще раз наголошую на важливості порядку: «двійка» відповідає 1-му вектору і тому розташовується в 1-му стовпці, «трійка» – 2-му вектору.

За звичайним алгоритмом знаходження зворотної матриціабо методом Гауса-Жорданазнаходимо . Ні, це не друкарська помилка! - Перед вами рідкісне, як сонячне затемненняподія, коли зворотна збіглася з вихідною матрицею.

Залишилося записати канонічне розкладання матриці:

Систему можна вирішити за допомогою елементарних перетвореньі в наступних прикладах ми вдамося до даним методом. Але тут набагато швидше спрацьовує «шкільний» спосіб. З 3-го рівняння виразимо: - Підставимо в друге рівняння:

Оскільки перша координата нульова, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає, що .

І знову зверніть увагу на обов'язкову наявність лінійної залежності. Якщо виходить лише тривіальне рішення , або неправильно знайдено власне число, або з помилкою складена / вирішена система.

Компактні координати дає значення

Власний вектор:

І ще раз – перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи. У наступних пунктах та в наступних завданнях рекомендую прийняти це побажання за обов'язкове правило.

2) Для власного значення за таким же принципом отримуємо таку систему:

З 2-го рівняння системи виразимо: - Підставимо в третє рівняння:

Оскільки «зетова» координата дорівнює нулю, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає лінійна залежність .

Нехай

Перевіряємо, що рішення задовольняє кожному рівняння системи.

Отже, власний вектор: .

3) І, нарешті, власному значенню відповідає система:

Друге рівняння виглядає найпростішим, тому з нього висловимо і підставимо в 1-е та 3-е рівняння:

Все добре - виявилася лінійна залежність, яку підставляємо у вираз:

Через війну «ікс» і «игрек» виявилися виражені через «зет»: . На практиці не обов'язково домагатися саме таких взаємозв'язків, у деяких випадках зручніше висловити і через або через. Або навіть «паровозиком» – наприклад, «ікс» через «гравець», а «гравець» через «зет»

Припустимо, тоді:

Перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи та записуємо третій власний вектор

Відповідь: власні вектори:

Геометрично ці вектори задають три різні просторові напрямки. ("туди назад"), за котрими лінійне перетворенняпереводить ненульові вектори (власні вектори) в колінеарні вектори.

Якби за умовою потрібно було знайти канонічне розкладання , то це можливо, т.к. різним своїм числам відповідають різні лінійно незалежні власні вектори. Складаємо матрицю з їх координат, діагональну матрицю з відповіднихвласних значень та знаходимо зворотну матрицю .

Якщо ж за умовою потрібно записати матрицю лінійного перетворення в базисі із власних векторів, То відповідь даємо у вигляді . Різниця є, і різниця суттєва!Бо ця матриця – є матриця «де».

Завдання з більш простими обчисленнями для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею

При знаходженні своїх чисел постарайтеся не доводити справу до многочлена третього ступеня. Крім того, ваші рішення систем можуть відрізнятись від моїх рішень – тут немає однозначності; та вектори, які ви знайдете, можуть відрізнятись від векторів зразка з точністю до пропорційності їх відповідних координат. Наприклад, і . Естетичніше уявити відповідь у вигляді , але нічого страшного, якщо зупиніться і на другому варіанті. Однак усьому є розумні межі, версія виглядає вже не дуже добре.

Зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Як вирішувати завдання у разі кратних власних чисел?

Загальний алгоритм залишається незмінним, але тут є свої особливості, і деякі ділянки рішення доцільно витримати в суворішому академічному стилі:

Приклад 6

Знайти власні числа та власні вектори

Рішення

Звичайно ж, оприбуткуємо казковий перший стовпець:

І, після розкладання квадратного тричлена на множники:

В результаті отримані власні числа, два з яких є кратними.

Знайдемо власні вектори:

1) З одиноким солдатом розробимося за «спрощеною» схемою:

З останніх двох рівнянь чітко проглядається рівність, яку, очевидно, слід підставити в 1-е рівняння системи:

Кращої комбінації не знайти:
Власний вектор:

2-3) Тепер знімаємо пару вартових. В даному випадку може вийти або два, або одинВласний вектор. Незважаючи на кратність коренів, підставимо значення в визначник , який приносить нам наступну однорідну систему лінійних рівнянь:

Власні вектори – це точно вектори
фундаментальної системи рішень

Власне, протягом усього уроку ми тільки й займалися тим, що знаходили вектори фундаментальної системи. Просто до певного часу цей термін особливо не був потрібний. До речі, ті спритні студенти, які у маскхалатах проскочили тему однорідних рівнянь, будуть змушені вкурити її зараз.

Єдина дія полягала у видаленні зайвих рядків. В результаті отримана матриця "один на три" з формальною "сходинкою" посередині.
- Базова змінна, - вільні змінні. Вільних змінних дві, отже, векторів фундаментальної системи теж два.

Висловимо базову змінну через вільні змінні: . Нульовий множник перед «іксом» дозволяє приймати йому будь-які значення (що добре видно і з системи рівнянь).

У контексті цього завдання загальне рішення зручніше записати не в рядок, а в стовпець:

Парі відповідає власний вектор:
Парі відповідає власний вектор:

Примітка : досвідчені читачі можуть підібрати дані вектори та усно – просто аналізуючи систему , але тут потрібні деякі знання: змінних - три, ранг матриці системи– одиниця, отже, фундаментальна система рішеньскладається із 3 – 1 = 2 векторів. Втім, знайдені вектори чудово проглядаються і без цих знань на інтуїтивному рівні. У цьому навіть «красивее» запишеться третій вектор: . Однак застерігаю, в іншому прикладі простого підбору може і не виявитися, саме тому застереження призначене для досвідчених людей. Крім того, а чому б не взяти як третій вектор, скажімо, ? Адже його координати теж задовольняють кожному рівняння системи і вектори. лінійно незалежні. Такий варіант, в принципі, придатний, але «кривуватий», оскільки «інший» вектор є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи.

Відповідь: власні числа: , власні вектори:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти власні числа та власні вектори

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що й у 6-му та 7-му прикладі виходить трійка лінійно незалежних власних векторів, і тому вихідна матриця представима в канонічному розкладанні . Але така малина буває далеко не у всіх випадках:

Приклад 8

Рішення: складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння:

Визначник розкриємо по першому стовпцю:

Подальші спрощення проводимо згідно з розглянутою методикою, уникаючи багаточлена 3-го ступеня:

- Власні значення.

Знайдемо власні вектори:

1) З коренем труднощів немає:

Не дивуйтесь, крім комплекту в ході також змінні - різниці тут ніякої.

З 3-го рівняння виразимо - підставимо в 1-е та 2-е рівняння:

З обох рівнянь випливає:

Нехай тоді:

2-3) Для кратних значень отримуємо систему .

Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

З матрицею А якщо знайдеться таке число l, що АХ = lХ.

У цьому число l називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору Х.

Інакше кажучи, власний вектор - це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - lЕ) Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення – нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - lЕ| = = 0

Це рівняння з невідомим l називають характеристичним рівнянням (характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є всі вектори виду (-(2/3)з; с) з власним значенням (-5) і всі вектори виду ((2/3)з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з власних векторів, є діагональною і має вигляд:

,

де l i - Власні значення цієї матриці.

Правильно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1 але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто. утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Переконаємося у лінійній незалежності цих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А набуде вигляду А * = .

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А* = С-1АС. Спочатку знайдемо С-1.

З -1 = ;

Квадратичні форми

Квадратичною формою f(х 1 , х 2 , х n) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї зі змінних, або добутком двох різних змінних, взятим з деяким коефіцієнтом: f(х 1 , х 2 , х n) = (a ij = a ji).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицеюквадратичної форми. Це завжди симетричнаматриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, a ij = a ji).

У матричному записі квадратична форма має вигляд f(Х) = Х Т AX, де

Справді

Наприклад, запишемо у матричному вигляді квадратичну форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невиродженим лінійним перетворенням матриці-стовпця Y, тобто. X = CY, де - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичну форму f(y 1 , y 2), отриману з квадратичної форми f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної(має канонічний вигляд), якщо її коефіцієнти a ij = 0 при i ≠ j, тобто.
f(х 1, х 2, х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Її матриця є діагональною.

Теорема(Доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного виду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Наприклад, наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для цього спочатку виділимо повний квадрат при змінній х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х2 2-х 2х3.

Тепер виділяємо повний квадрат при змінній х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100) х 3 2 =
= 2 (x 1 + х 2) 2 - 5 (х 2 - (1/10) х 3) 2 + (1/20) х 3 2 .

Тоді невироджене лінійне перетворення y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10)х 3 і y 3 = x 3 наводить цю квадратичну форму до канонічного вигляду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Зазначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна й та сама квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами). Проте отримані у різний спосібканонічні форми мають поруч загальних властивостей. Зокрема, кількість доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, у розглянутому прикладі завжди буде два негативні та один позитивний коефіцієнт). Цю властивість називають законом інерції квадратичних форм.

Впевнимося в цьому, по-іншому привівши ту ж квадратичну форму до канонічного вигляду. Почнемо перетворення зі змінною х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = - 3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 де y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 та y 3 = x 1 . Тут негативний коефіцієнт -3 при y 1 і два позитивні коефіцієнти 3 і 2 при y 2 і y 3 (а при використанні іншого способу ми отримали негативний коефіцієнт (-5) при y 2 і два позитивних: 2 при y 1 і 1/20 за y 3).

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює числу відмінних від нуля коефіцієнтів канонічної форми і змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f(X) називають позитивно (негативно) певною, якщо за всіх значеннях змінних, не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто. f(X) > 0 (негативна, тобто.
f(X)< 0).

Наприклад, квадратична форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 – позитивно визначена, т.к. є сумою квадратів, а квадратична форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - негативно визначена, т.к. представляє її можна подати у вигляді f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

У більшості практичних ситуації встановити знаковизначеність квадратичної форми дещо складніше, тому для цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх без доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і лише тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (негативні).

Теорема(Критерій Сільвестра). Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли головні мінори матриці цієї форми позитивні.

Головним (кутовим) мінором k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначником матриці, що складається з перших k рядків і стовпців матриці А().

Зазначимо, що для негативно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, причому мінор першого порядку має бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1, х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – позитивно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – позитивно визначена.

Досліджуємо на знаковизначеність іншу квадратичну форму, f(х 1, х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (-2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – негативно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – негативно визначена (знаки головних мінорів чергуються, починаючи з мінусу).

І як ще один приклад досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одне із цих чисел негативно, а інше - позитивно. Знаки своїх значень різні. Отже, квадратична форма може бути ні негативно, ні позитивно певної, тобто. ця квадратична форма не є знаковизначеною (може набувати значень будь-якого знака).

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).