Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник розподілу

У розділі курсу, присвяченому основним поняттям теорії ймовірностей, ми вже ввели до розгляду надзвичайно важливе поняття випадкової величини. Тут ми дамо подальший розвитокцього поняття та вкажемо способи, за допомогою яких випадкові величини можуть бути описані та характеризуються.

Як вже було сказано, випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, невідомо заздалегідь – яке саме. Ми домовилися також розрізняти випадкові величиниперервного (дискретного) і безперервного типу. Можливі значення перервних величин можуть бути перераховані заздалегідь. Можливі значення безперервних величинне можуть бути заздалегідь перераховані та безперервно заповнюють певний проміжок.

Приклади випадкових перервних величин:

1) кількість появи герба при трьох киданнях монети (можливі значення 0, 1, 2, 3);

2) частота появи герба у тому ж досвіді (можливі значення);

3) кількість елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів (можливіше значення 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) кількість попадань у літак, достатня для виведення його з ладу (можливі значення 1, 2, 3, …, n, …);

5) число літаків, збитих у повітряному бою (можливі значення 0, 1, 2, …, N, де – загальна кількість літаків, що у бою).

Приклади безперервних випадкових величин:

1) абсцис (ордината) точки влучення при пострілі;

2) відстань від точки влучення до центру мішені;

3) помилка вимірника висоти;

4) час безвідмовної роботи радіолампи.

Умовимося надалі випадкові величини позначати великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, – кількість влучень при трьох пострілах; можливі значення: .

Розглянемо перервну випадкову величинуз можливими значеннями. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. Через війну досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто. відбудеться одна з повної групи несумісних подій:

Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:

Оскільки несумісні події (5.1.1) утворюють повну групу, то

тобто. сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці. Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісного погляду, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто. точно вкажемо, якою ймовірністю володіє кожна з подій (5.1.1). Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкової величини.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу.

Встановимо форму, в якій може бути заданий закон розподілу випадкової перервної величини . Найпростішою формою завдання цього закону є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності:

Таку таблицю ми називатимемо поруч розподілу випадкової величини.

Щоб надати ряду розподілу наочнішого вигляду, часто вдаються до його графічному зображенню: по осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. Для наочності одержані точки з'єднуються відрізками прямих. Така фігура називається багатокутником розподілу (рис. 5.1.1). Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.

Іноді зручною виявляється так звана "механічна" інтерпретація низки розподілів. Уявімо собі, що деяка маса, що дорівнює одиниці, розподілена по осі абсцис так, що в окремих точках зосереджені відповідно маси . Тоді ряд розподілу інтерпретується як система матеріальних точок з якимись масами, які розташовані на осі абсцис.

Розглянемо кілька прикладів перервних випадкових величин зі своїми законами розподілу.

Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Розглядається випадкова величина – число появи події у цьому досвіді (тобто. характеристична випадкова величина події , приймає значення 1, якщо вона з'явиться, і 0, а то й з'явиться). Побудувати ряд розподілу та багатокутник розподілу величини.

Рішення. Величина має лише два значення: 0 і 1.

Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.2.

Приклад 2. Стрілець робить три постріли по мішені. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,4. За кожне влучення стрілку зараховується 5 очок. Побудувати низку розподілу числа вибитих очок.

Рішення. Позначимо кількість вибитих очок. Можливі значення величини: .

Імовірність цих значень знаходимо за теоремою про повторення дослідів:

Ряд розподілу величини має вигляд:

Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.3.

Приклад 3. Імовірність появи події щодо одного досвіді дорівнює . Виробляється ряд незалежних дослідів, які продовжуються до першої появи події, після чого досліди припиняються. Випадкова величина – кількість вироблених дослідів. Побудувати ряд розподілу величини.

Рішення. Можливі значення величини: 1, 2, 3, … (теоретично вони нічим не обмежені). Для того щоб величина прийняла значення 1, необхідно, щоб подія відбулася в першому ж досвіді; ймовірність цього дорівнює. А, щоб величина прийняла значення 2, потрібно, щоб у першому досвіді подія не з'явилося, тоді як у другому – з'явилося; ймовірність цього дорівнює, де, і т.д. Ряд розподілу величини має вигляд:

Перші п'ять ординат розподілу багатокутника для випадку показані на рис. 5.1.4.

Приклад 4. Стрілець веде стрілянину по мішені до першого влучення, маючи боєзапас 4 патрони. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Побудувати ряд розподілу боєзапасу, що залишився невитраченим.

Рішення. Випадкова величина – число невитрачених патронів – має чотири можливі значення: 0, 1, 2 та 3. Імовірності цих значень рівні відповідно:

Ряд розподілу величини має вигляд:

Багатокутник розподілу показано на рис. 5.1.5.

Приклад 5. Технічний пристрій може застосовуватися в різних умовах і, залежно від цього, час від часу потребує регулювання. При одноразовому застосуванні пристрою він може випадково потрапити у сприятливий або несприятливий режим. У сприятливому режимі пристрій витримує три застосування без налаштування; перед четвертим його доводиться регулювати. У несприятливому режимі пристрій доводиться регулювати після першого застосування. Імовірність того, що пристрій потрапить у сприятливий режим - 0,7, що в несприятливий - 0,3. Розглядається випадкова величина - кількість застосувань пристрою до регулювання. Побудувати її низку розподілу.

Рішення. Випадкова величина має три можливі значення: 1, 2 і 3. ймовірність того, що дорівнює ймовірності того, що при першому ж застосуванні пристрій потрапить в несприятливий режим, тобто. . Для того щоб величина прийняла значення 2, потрібно, щоб при першому застосуванні пристрій потрапив у сприятливий режим, а при другому - у несприятливий; ймовірність цього . Щоб величина набула значення 3, потрібно, щоб два перших рази пристрій потрапив у сприятливий режим (після третього разу його все одно доведеться регулювати). Імовірність цього дорівнює .

Ряд розподілу величини має вигляд:

Багатокутник розподілу показано на рис. 5.1.6.

Функція розподілу

У попередньому n° ми ввели до розгляду ряд розподілу як вичерпну характеристику (закон розподілу) перервної випадкової величини. Однак ця характеристика не є універсальною; вона існує лише для перервних випадкових величин. Неважко переконатися, що з безперервноївипадкової величини такий характеристики побудувати не можна. Справді, безперервна випадкова величина має безліч можливих значень, що цілковито заповнюють деякий проміжок (так зване «лічильна множина»). Скласти таблицю, у якій перераховані всі можливі значення такий випадкової величини, неможливо. Крім того, як ми побачимо надалі, кожне окреме значення безперервної випадкової величини зазвичай не має жодної відмінної від нуля ймовірності. Отже, для безперервної випадкової величини немає ряду розподілу тому, у якому він існує для перервної величини. Однак різні області можливих значень випадкової величини все ж таки не є однаково ймовірними, і для безперервної величини існує «розподіл ймовірностей», хоча і не в тому сенсі, як для перервної.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися неймовірністю події , а ймовірністю події де - деяка поточна змінна. Імовірність цієї події, очевидно, залежить від того, є певна функція від . Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається:

. (5.2.1)

Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцією розподілу чи інтегральним законом розподілу.

Функція розподілу – найуніверсальніша характеристика випадкової величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і безперервних. Функція розподілу повністю характеризуєвипадкову величину з імовірнісної погляду, тобто. є однією із форм закону розподілу.

Сформулюємо деякі загальні властивостіфункції розподілу.

1. Функція розподілу є незменшуюча функція свого аргументу, тобто. при .

2. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю: .

3. На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці: .

Не даючи суворого підтвердження цих властивостей, проілюструємо їх з допомогою наочної геометричної інтерпретації. Для цього розглядатимемо випадкову величину як випадкову точку на осі Ох (рис. 5.2.1), яка в результаті досвіду може зайняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу є ймовірність того, що випадкова точка в результаті досвіду потрапить ліворуч від точки .

Збільшуватимемо , тобто переміщуватимемо крапку вправо по осі абсцис. Очевидно, при цьому ймовірність того, що випадкова точка потрапить ліворуч, не може зменшитися; отже, функція розподілу із зростанням зменшуватися неспроможна.

Щоб переконатися в тому, що будемо необмежено переміщати точку вліво по осі абсцис. При цьому попадання випадкової точки ліворуч у межі стає неможливою подією; Звичайно думати, що ймовірність цієї події прагне нуля, тобто. .

Аналогічним чином, необмежено переміщуючи точку вправо, переконуємося, що , оскільки подія стає межі достовірною.

Графік функції розподілу в загальному випадкує графіком незнищуючої функції (рис. 5.2.2), значення якої починаються від 0 і доходять до 1, причому в окремих точках функція може мати стрибки (розриви).

Знаючи ряд розподілу випадкової перервної величини, можна легко побудувати функцію розподілу цієї величини. Справді,

,

де нерівність під знаком суми показує, що підсумовування поширюється попри ті значення , які менше .

Коли поточна змінна проходить через якесь із можливих значень перервної величини , функція розподілу змінюється стрибкоподібно, причому величина стрибка дорівнює ймовірності цього значення.

Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Випадкова величина – кількість появи події досвіді (характеристична випадкова величина події ). Побудувати її функцію розподілу.

Завдання 14.У грошовій лотереї розігрується 1 виграш у 1000000 руб., 10 виграшів по 100000 руб. та 100 виграшів по 1000 руб. при загальному числіквитків 10000. Знайти закон розподілу випадкового виграшу Хдля власника одного лотерейного білета.

Рішення. Можливі значення для Х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Імовірності їх відповідно дорівнюють: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Отже, закон розподілу виграшу Хможе бути заданий наступною таблицею:

Завдання 15. Дискретна випадкова величина Хзадана законом розподілу:

Побудувати багатокутник розподілу.

Рішення. Побудуємо прямокутну систему координат, причому по осі абсцис відкладатимемо можливі значення х i ,а по осі ординат – відповідні ймовірності р i. Побудуємо точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) та М 4 (8; 0,3). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримаємо багатокутник розподілу, що шукається.

§2. Числові характеристикивипадкових величин

Випадкова величина повністю характеризується своїм законом розподілу. Середній опис випадкової величини можна отримати при використанні її числових характеристик

2.1. Математичне очікування. Дисперсія.

Нехай випадкова величина може набувати значень з ймовірностями відповідно.

Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень на відповідні ймовірності:

Властивості математичного очікування.

Розсіяння випадкової величини близько середнього значення характеризують дисперсія та середньоквадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини називають математичне очікуванняквадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Для обчислень використовується така формула

Властивості дисперсії.

2. де взаємно незалежні випадкові величини.

3. Середньоквадратичне відхилення.

Завдання 16.Знайти математичне очікування випадкової величини Z = X+ 2Yякщо відомі математичні очікування випадкових величин Xі Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Рішення. Використовуємо властивості математичного очікування. Тоді отримуємо:

М(Х+ 2Y)= М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Завдання 17.Дисперсія випадкової величини Хдорівнює 3. Знайти дисперсію випадкових величин: а) -3 Х;б) 4 Х + 3.

Рішення. Застосуємо властивості 3, 4 та 2 дисперсії. Маємо:

а) D(–3Х) = (–3) 2 D(Х) = 9D(Х) = 9 . 3 = 27;

б) D(4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Завдання 18.Дана незалежна випадкова величина Y- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Знайти закон розподілу, математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y.

Рішення.Таблиця розподілу випадкової величини Yмає вигляд:

Тоді М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 + (2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · / 6 + (5 - -3,5) 2 · 1/6 + (6 - 3,5) 2. · 1 / 6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Досвідом називається всяке здійснення певних умов і дій за яких спостерігається випадкове явище, що вивчається. Досліди можна характеризувати якісно та кількісно. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь не відомо яке саме.

Випадкові величини прийнято позначати (X, Y, Z), а відповідні значення (x, y, z)

Дискретними називаються випадкові величини, що приймають окремі ізольовані один від одного значення, які можна переоцінити. Безперервними величини можливі значення яких безперервно заповнюють певний діапазон. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і ймовірності, що їм відповідають. Ряд та багатокутник розподілу. Найпростішою формою закону розподілу дискретної величиниє низка розподілу. Графічною інтерпретацієюРяд розподілу є багатокутник розподілу.

Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:

Ще на тему 13.Дискретна випадкова величина. Багатокутник розподілу. Операції з випадковими величинами, приклад.

1. 13. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Багатокутник розподілу. Операції із випадковими величинами. приклад.
2. Поняття «випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні випадкові величини. приклади.
3. 14. Випадкові величини, їхні види. Закон розподілу імовірності дискретної випадкової величини (ДСВ). Способи будівлі випадкових величин (СВ).
4. 16. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини: математичне очікування, дисперсія та середнє відхилення.
5. Математичні операції над дискретними випадковими величинами та приклади побудови законів розподілу для КХ,Х"1, X + К, XV за заданими розподілами незалежних випадкових величин X і У.
6. Концепція випадкової величини. Закон розподілу дискретної случ. величини. Математичні операції над випадком. величинами.

Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, не відоме заздалегідь. Випадкові величини бувають перервного (дискретного)і безперервноготипу. Можливі значення перервних величин наперед можуть бути перераховані. Можливі значення безперервних величин неможливо знайти заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють певний проміжок.

Приклад дискретних випадкових величин:

1) Число появи герба при трьох кидання монети. (можливі значення 0; 1; 2; 3)

2) Частота появи герба у тому досвіді. (можливі значення )

3) Число елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів. (Можливі значення величин 0; 1; 2; 3; 4; 5)

Приклади безперервних випадкових величин:

1) Абсцисса (ордината) точки влучення при пострілі.

2) Відстань від точки влучення до центру мішені.

3) Час безвідмовної роботи приладу (радіолампи).

Випадкові величини позначаються великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, X - число попадань при трьох пострілах; Можливі значення: X 1 =0, Х 2 = 1, Х 3 = 2, Х 4 = 3.

Розглянемо перервну випадкову величину Х з можливими значеннями Х1, Х2, …, Хn. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. В результаті досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто станеться одне з повної групи несумісних подій.

Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:

Оскільки несумісні події утворюють повну групу, то

тобто сума ймовірності всіх можливих значень випадкової величини дорівнює 1. Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто в точності вкажемо якою ймовірністю має кожну з подій. (Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкових величин.)

Законом розподілу випадкової величининазивається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідної їм ймовірності. (Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу)

Найпростішою формою завдання закону розподілу випадкової величини є таблиця, у якій перераховані можливі значення випадкової величини та ймовірності, що їм відповідають.

Таблиця 1.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	P 1	P 2	…	P n

Таку таблицю називають поряд розподілувипадкових величин.

Щоб надати ряду розподілу наочніший вигляд вдаються до його графічного зображення: по осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. (Для наочності отримані точки з'єднують відрізками прямих.)

Малюнок 1 – багатокутник розподілу

Така постать називається багатокутником розподілу. Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.

Приклад:

виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія А. Імовірність події А = 0,3. Розглядається випадкова величина Х – кількість появи події А цьому досвіді. Потрібно побудувати ряд і багатокутник розподілу величини Х.

Таблиця 2.

X i
P i	0,7	0,3

Рисунок 2 – Функція розподілу

Функція розподілує універсальною характеристикою довільної величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і не перервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події X = x, а ймовірністю X

Функцію розподілу F(x) іноді називають також інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Властивості функції розподілу випадкової величини

1. Функція розподілу F(x) є незменшною функцією свого аргументу, тобто при ;

2. На мінус нескінченності:

3. На плюс нескінченності:

Рисунок 3 – графік функції розподілу

Графік функції розподілуу загальному випадку є графіком незнищуючої функції, значення якої починаються від 0 і доходять до 1.

Знаючи низку розподілу випадкової величини, можна побудувати функцію розподілу випадкової величини.

Приклад:

для попереднього прикладу побудувати функцію розподілу випадкової величини.

Побудуємо функцію розподілу X:

Рисунок 4 – функція розподілу Х

Функція розподілубудь-якої дискретної перервної випадкової величини завжди є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, відповідних можливим значенням випадкової величини і рівні ймовірностям цих значень. Сума всіх стрибків функції розподілу дорівнює 1.

У міру збільшення числа можливих значень випадкової величини та зменшення інтервалів між ними число стрибків стає більше, а самі стрибки – менше:

Малюнок 5

Ступінчаста крива стає більш плавною:

Малюнок 6

Випадкова величина поступово наближається до безперервної величини, та її функція розподілу до безперервної функції. Також є випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюють деякий проміжок, але для яких функція розподілу не скрізь є безперервною. І в окремих точках зазнає розриву. Такі випадкові величини називаються змішаними.

Малюнок 7