Перевірка однорідність диференціального рівняння. Лінійні та однорідні диференціальні рівняння першого порядку

В даний час за базовим рівнем вивчення математики на вивчення математики у старших класах передбачено лише 4 години (2 години алгебри, 2 години геометрії). У сільських малокомплектних школах намагаються збільшити кількість годинників за рахунок шкільного компонента. Але якщо клас гуманітарний, то шкільний компонент додається вивчення предметів гуманітарного напрями. У маленькому селі найчастіше школяру вибирати не доводиться, він навчається у тому класі; який є у школі. Стати ж юристом, істориком чи журналістом (бувають такі випадки) не збирається, а хоче стати інженером чи економістом, тому ЄДІ з математики має здати на високі бали. За таких обставин, вчителю математики доводиться знаходити свій вихід із ситуації, до того ж за підручником Колмогорова вивчення теми «однорідні рівняння» не передбачено. У минулі роки для запровадження цієї теми та закріплення мені потрібно два здвоєні уроки. На жаль, перевірка освітнього нагляду у нас заборонила здвоєні уроки у школі, тому кількість вправ довелося скоротити до 45 хвилин, і відповідно рівень складності вправ знизити до середньої. Пропоную вашій увазі план-конспект уроку на цю тему в 10 класі з базовим рівнем вивчення математики в сільській мало комплектній школі.

Тип уроку: традиційний

Ціль: навчитися вирішувати типові однорідні рівняння

Завдання:

Пізнавальні:

Розвиваючі:

Виховні:

• Виховання працьовитості через терпляче виконання завдань, почуття товариства через роботу у парах та групах.

Хід уроку

I.Організаційний етап(3 хв.)

ІІ. Перевірка знань, необхідних засвоєння нового матеріалу (10 хв.)

Виявити основні труднощі з подальшим розбором виконаних завдань. Хлопці виконують на вибір 3 варіанти. Завдання, диференційовані за рівнем складності та за рівнем підготовленості хлопців, з наступним поясненням біля дошки.

1 рівень. Розв'яжіть рівняння:

1. 3(х+4)=12,
2. 2(х-15) = 2х-30
3. 5(2-х)=-3х-2(х+5)
4. x 2 -10х +21 = 0 Відповіді: 7;

2 рівень. Вирішіть найпростіші тригонометричні рівняннята біквадратне рівняння:

відповіді:

б) x 4 -13x 3 +36 = 0 Відповіді: -2; 2; -3; 3

3 рівень.Розв'язання рівнянь методом заміни змінних:

б) x 6 -9x 3 +8 = 0 Відповіді:

ІІІ.Повідомлення теми, встановлення цілей та завдань.

Тема: Однорідні рівняння

Ціль: навчитися вирішувати типові однорідні рівняння

Завдання:

Пізнавальні:

• познайомитися з однорідними рівняннями, навчитися вирішувати найпоширеніші види таких рівнянь.

Розвиваючі:

• Розвиток аналітичного мислення.
• Розвиток математичних навичок: навчитися виділяти основні ознаки, якими однорідні рівняння від інших рівнянь, вміти встановлювати подібність однорідних рівнянь у тому різних проявах.

IV. Засвоєння нових знань (15 хв.)

1. Лекційний момент.

Визначення 1(Записуємо у зошит). Рівняння виду P(x; y) = 0 називається однорідним, якщо P (x; y) однорідний многочлен.

Багаточлен від двох змінних х і у називають однорідним, якщо ступінь кожного його члена дорівнює одному й тому ж числу.

Визначення 2(просто ознайомлення). Рівняння виду

називають однорідним рівнянням ступеня n щодо u(x) та v(x). Поділивши обидві частини рівняння на (v(x))n, можна за допомогою заміни отримати рівняння

Що дозволяє спростити вихідне рівняння. Випадок v (x) = 0 необхідно розглянути окремо, тому що на 0 ділити не можна.

2. Приклади однорідних рівнянь:

Поясніть: чому вони однорідні, наведіть приклади таких рівнянь.

3. Завдання визначення однорідних рівнянь:

Серед заданих рівняньвизначити однорідні рівняння та пояснити свій вибір:

Після того, як пояснили свій вибір на одному з прикладів показати спосіб розв'язання однорідного рівняння:

4. Вирішити самостійно:

Відповідь:

б) 2sin x - 3 cos x = 0

Розділимо обидві частини рівняння на cos x, отримаємо 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Показати рішення прикладу з брошури«П.В. Панчохи. Рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. Москва Педагогічний університет«Перше вересня» 2006 р. 22». Як один із можливих прикладів ЄДІ рівняЗ.

V. Вирішити для закріплення за підручником Башмакова

стор 183 № 59 (1,5) або за підручником за редакцією Колмогорова: стр81 №169 (а, в)

відповіді:

VI. Перевірна, самостійна робота (7 хв.)

Відповіді до завдань:

1 варіант а) Відповідь: arctg2 + πn, n € Z; б) Відповідь: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

2 варіант а) Відповідь: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Відповідь: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5; -2); (5;2)

VII. Домашнє завдання

№169 за Колмогоровим, №59 за Башмаковим.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Вказівка: у правій частині використовувати основне тригонометричне тотожність 2(sin 2 x + cos 2 x)

Відповідь: arctg(-1±√3) +πn ,

Використана література:

1. П.В. Панчохи. Рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. - М.: Педагогічний університет «Перше вересня», 2006. стор.
2. А. Мерзляк, В. Полонський, Є. Рабінович, М. Якір. Тригонометрія. - М.: «АСТ-ПРЕС», 1998, стор 389
3. Алгебра для 8 класу за редакцією Н.Я. Віленкіна. - М.: «Освіта», 1997.
4. Алгебра для 9 класу за редакцією Н.Я. Віленкіна. Москва "Освіта", 2001.
5. М.І. Черевики. Алгебра та початку аналізу. Для 10-11 класів - М.: «Освіта» 1993
6. Колмогоров, Абрамов, Дудніцин. Алгебра та початку аналізу. Для 10-11 класів. - М.: «Освіта», 1990.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра та початку аналізу. Частина 1 Підручник 10-11 класи. - М.: "Мнемозіна", 2004.

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку - це рівняння виду
де f - функція.

Як визначити однорідне диференціальне рівняння

Для того щоб визначити, чи є диференціальне рівняння першого порядку однорідним, потрібно ввести постійну t і замінити y на ty і x на tx : y → ty , x → tx . Якщо t скоротиться, то це однорідне диференціальне рівняння. Похідна y′ за такого перетворення не змінюється.
.

приклад

Визначити, чи є дане рівняння однорідним

Рішення

Робимо заміну y → ty, x → tx.


Ділимо на t 2 .

.
Рівняння не містить t. Отже, це однорідне рівняння.

Метод вирішення однорідного диференціального рівняння

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки y = ux . Покажемо це. Розглянемо рівняння:
(i)
Робимо підстановку:
y = ux,
де u - функція від x. Диференціюємо по x:
y′ =
Підставляємо у вихідне рівняння (i).
,
,
(ii) .
Розділяємо змінні. Помножуємо на dx та ділимо на x (f(u) - u).

При f (u) - u ≠ 0та x ≠ 0 отримуємо:

Інтегруємо:

Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння (i)у квадратурах:

Замінимо постійну інтегрування C на ln Cтоді

Опустимо знак модуля, оскільки потрібний знаквизначається вибором знака постійної C. Тоді загальний інтеграл набуде вигляду:

Далі слід розглянути випадок f (u) - u = 0.
Якщо це рівняння має коріння, то вони є рішенням рівняння (ii). Оскільки рівняння (ii)не збігається з вихідним рівнянням, слід переконатися, що додаткові рішеннязадовольняють вихідне рівняння (i).

Щоразу, коли ми, у процесі перетворень, ділимо якесь рівняння на деяку функцію, яку позначимо як g (x, y), то подальші перетворення справедливі при g (x, y) ≠ 0. Тому слід окремо розглядати випадок g (x, y) = 0.

Приклад розв'язання однорідного диференціального рівняння першого порядку

Вирішити рівняння

Рішення

Перевіримо, чи є дане рівняння однорідним. Робимо заміну y → ty, x → tx. У цьому y′ → y′ .
,
,
.
Скорочуємо на t.

Постійна t скоротилася. Тому рівняння є однорідним.

Робимо підстановку y = ux, де u - функція від x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Підставляємо у вихідне рівняння.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , | X | = x. При x ≤ 0 , | X | = - x. Ми пишемо | x | = x маючи на увазі, що верхній знак відноситься до значень x ≥ 0 , а нижній - до значень x ≤ 0 .
,
Множимо на dx і ділимо на .

У u 2 - 1 ≠ 0 маємо:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні,
.

Застосуємо формулу:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
Покладемо a = u , .
.
Візьмемо обидві частини за модулем і логарифмуємо,
.
Звідси
.

Таким чином маємо:
,
.
Опускаємо знак модуля, оскільки потрібний знак забезпечується вибором постійного знака C .

Помножуємо на x і підставляємо ux = y.
,
.
Зводимо у квадрат.
,
,
.

Тепер розглянемо випадок, u 2 - 1 = 0 .
Коріння цього рівняння
.
Легко переконатися, що функції y = x задовольняють вихідне рівняння.

Відповідь

,
,
.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Думаю, нам варто розпочати з історії такого славетного математичного інструменту як диференційне рівняння. Як і всі диференціальні та інтегральні обчислення, ці рівняння були винайдені Ньютоном наприкінці 17 століття. Він вважав саме це своє відкриття настільки важливим, що навіть зашифрував послання, яке сьогодні можна перекласти приблизно так: Усі закони природи описуються диференціальними рівняннями. Це може здатися перебільшенням, але так і є. Будь-який закон фізики, хімії, біології можна описати цими рівняннями.

Величезний внесок у розвиток та створення теорії диференціальних рівнянь зробили математики Ейлер та Лагранж. Вже у 18-му столітті вони відкрили та розвинули те, що зараз вивчають на старших курсах університетів.

Нова віха у вивченні диференціальних рівнянь почалася завдяки Анрі Пуанкаре. Він створив «якісну теорію диференціальних рівнянь», яка у поєднанні з теорією функцій комплексного змінного внесла значний внесок у основу топології – науки про простір та його властивості.

Що таке диференціальні рівняння?

Багато хто боїться одного словосполучення Однак у цій статті ми докладно викладемо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не такий складний, як здається з назви. Щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку ознайомитися з основними поняттями, які невід'ємно пов'язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціалу.

Диференціал

Багато хто знає це поняття ще зі школи. Проте все ж таки зупинимося на ньому детальніше. Уявіть графік функції. Ми можемо збільшити його настільки, що будь-який його відрізок набуде вигляду прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько одна до одної. Різниця їх координат (x чи y) буде нескінченно малою величиною. Її називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) і dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його зміст та основна функція.

А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це – похідна.

Похідна

Всі ми, напевно, чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання чи зменшення функції. Однак із цього визначення багато стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Повернімося до нескінченно малого відрізка функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за цю відстань функція встигає змінитися якусь величину. І щоб описати цю зміну і вигадали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f(x)"=df/dx.

Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх лише три:

1. Похідну суми або різниці можна представити як суму або різницю похідних: (a+b)"=a"+b" та (a-b)"=a"-b".
2. Друга властивість пов'язана з множенням. Похідна твори - це сума творів однієї функції похідну інший: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Похідну різниці записати можна у вигляді наступної рівності: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всі ці характеристики нам знадобляться для знаходження рішень диференціальних рівнянь першого порядку.

Також бувають приватні похідні. Допустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x та y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продиференціювати.

Інтеграл

Інше важливе поняття – інтеграл. По суті, це пряма протилежність похідної. Інтеграли бувають декількох видів, але для вирішення найпростіших диференціальних рівнянь нам знадобляться найтривіальніші

Отже, Припустимо, ми маємо деяку залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F(x) (часто її називають первісною), похідна від якої дорівнює початковій функції. Таким чином F(x)"=f(x). Звідси випливає також, що інтеграл від похідної дорівнює початковій функції.

При розв'язанні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, тому що доведеться часто їх брати для знаходження рішення.

Рівняння бувають різними залежно від власної природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, та був і навчимося їх вирішувати.

Класи диференціальних рівнянь

"Дифури" діляться по порядку похідних, що у них. Таким чином, буває перший, другий, третій і більш порядок. Їх також можна розділити на кілька класів: прості і в приватних похідних.

У статті ми розглянемо прості диференціальні рівняння першого порядку. Приклади та способи їх вирішення ми також обговоримо у наступних розділах. Розглянемо тільки ОДУ, тому що це найпоширеніші види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з змінними, що розділяються, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчитеся їх вирішувати.

Крім того, ці рівняння можна поєднувати, щоб після нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми також розглянемо та навчимося вирішувати.

Чому ми розглядаємо лише перший порядок? Тому що потрібно починати з простого, а описати все, що пов'язане з диференціальними рівняннями, в одній статті просто неможливо.

Рівняння з змінними, що розділяються

Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого ладу. До них відносяться приклади, які можна записати так: y"=f(x)*f(y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула подання похідної як відношення диференціалів: y"=dy/dx. З її допомогою отримуємо таке рівняння: dy/dx=f(x)*f(y). Тепер ми можемо звернутися до методу вирішення стандартних прикладів: розділимо змінні частинами, тобто перенесемо все зі змінною y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо зі змінною x. Отримаємо рівняння виду: dy/f(y)=f(x)dx, яке вирішується взяттям інтегралів з обох частин. Не слід забувати і про константу, яку потрібно ставити після взяття інтегралу.

Рішення будь-якого "дифуру" - це функція залежності x від y (у нашому випадку) або, якщо є чисельна умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладі весь перебіг рішення:

Переносимо змінні в різні боки:

Тепер беремо інтеграли. Усі їх можна знайти у спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Якщо потрібно, ми можемо виразити "гравець" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умову. Можлива умова, наприклад, y(п/2)=e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних у розв'язання та знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно одно 1.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Тепер переходимо до складнішої частини. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному виглядітак: y"=z(x,y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її не можна розділити на дві залежності: z від x та z від y. Перевірити, чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто : ми робимо заміну x = k * x і y = k * y. Тепер скорочуємо всі k. Якщо всі ці літери скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. .

Нам потрібно зробити заміну: y = t (x) * x, де t - якась функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y"=t"(x)*x+t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад з змінними t і x, що розділяються. Вирішуємо його та отримуємо залежність t(x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо нашу попередню заміну y=t(x)*x. Тоді одержуємо залежність y від x.

Щоб було зрозуміліше, розберемо приклад: x*y"=y-x*e y/x.

Під час перевірки із заміною все скорочується. Отже, рівняння справді однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y=t(x)*x та y"=t"(x)*x+t(x). Після спрощення отримуємо наступне рівняння: t"(x)*x=-e t . Вирішуємо приклад з розділеними змінними і отримуємо: e -t =ln(C*x). Нам залишилося тільки замінити t на y/x (адже якщо y =t*x, то t=y/x), ми отримуємо відповідь: e -y/x =ln(x*С).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку загалом можна записати такою рівністю: y" + g(x)*y=z(x). Варто уточнити, що z(x) і g(x) можуть бути постійними величинами.

Тепер приклад: y" - y*x=x 2 .

Існує два способи рішення, і ми по порядку розберемо обидва. Перший – метод варіації довільних констант.

Для того, щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частинудо нуля і розв'язати рівняння, яке після перенесення частин набуде вигляду:

ln | y | = x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С = C 1 *e x2/2 .

Тепер треба замінити константу C 1 на функцію v (x), яку ми повинні знайти.

Проведемо заміну похідної:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

І підставимо ці висловлювання у вихідне рівняння:

v"*e x2/2 - x * v * e x2/2 + x * v * e x2/2 = x 2 .

Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданки. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, то ви щось зробили не так. Продовжимо:

v"*e x2/2 = x 2 .

Тепер вирішуємо нормальне рівняння, в якому потрібно розділити змінні:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 * e - x2/2 dx.

Щоб отримати інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування частинами. Однак, це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і за достатньої навички та уважності не забирає багато часу.

Звернемося до другого способу вирішення неоднорідних рівнянь: методом Бернуллі. Який підхід швидше та простіше – вирішувати тільки вам.

Отже, при розв'язанні рівняння цим методом необхідно зробити заміну: y=k*n. Тут k і n – деякі залежні від x функції. Тоді похідна виглядатиме так: y"=k"*n+k*n". Підставляємо обидві заміни до рівняння:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групуємо:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Тепер треба прирівняти до нуля те, що знаходиться у дужках. Тепер, якщо об'єднати два рівняння, що виходять, виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити:

Першу рівність вирішуємо як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні:

Беремо інтеграл та отримуємо: ln(n)=x 2 /2. Тоді, якщо виразити n:

Тепер підставляємо рівність, що вийшла, в друге рівняння системи:

k"*e x2/2 = x 2 .

І перетворюючи, отримуємо таку ж рівність, що й у першому методі:

dk = x 2 /e x2/2.

Ми також не розбиратимемо подальших дій. Спершу рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає суттєві труднощі. Однак при глибшому зануренні в тему це починає виходити все краще та краще.

Де застосовуються диференціальні рівняння?

Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, тому що майже всі основні закони записуються в диференціальній формі, а ті формули, які ми бачимо – розв'язання цих рівнянь. У хімії вони використовують із тієї ж причини: основні закони виводяться з допомогою. У біології диференціальні рівняння застосовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, наприклад, колонії мікроорганізмів.

Як диференціальні рівняння допоможуть у житті?

Відповідь на це запитання проста: ніяк. Якщо ви не вчений або інженер, то навряд чи вам вони знадобляться. Однак для загального розвиткуне завадить знати, що таке диференціальне рівняння та як воно вирішується. І тоді питання сина чи доньки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас у глухий кут. Ну а якщо ви вчений чи інженер, то й самі розумієте важливість цієї теми у будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер питанням "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш те, що люди навіть бояться розібратися.

Основні проблеми щодо

Основною проблемою у розумінні цієї теми є погана навичка інтегрування та диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні та інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методи інтегрування та диференціювання, і лише потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний у статті.

Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (у школі) стверджувалося, що дріб dy/dx неподільний. Тут слід почитати літературу по похідної і зрозуміти, що вона є ставленням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати під час вирішення рівнянь.

Багато хто не відразу усвідомлює, що вирішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або інтеграл, що не береться, і ця помилка завдає їм чимало турбот.

Що ще можна вивчити для кращого розуміння?

Найкраще розпочати подальше занурення у світ диференціального обчислення зі спеціалізованих підручників, наприклад, математичного аналізудля студентів нематематичних спеціальностей Потім можна переходити до більш спеціалізованої літератури.

Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняння, тому вам завжди буде чого прагнути і що вивчати.

Висновок

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті у вас з'явилося уявлення про те, що таке диференціальні рівняння та як правильно їх вирішувати.

У будь-якому випадку математика якимось чином стане нам у нагоді в житті. Вона розвиває логіку та увагу, без яких кожна людина як без рук.

Функція f(x,y) називається однорідною функцієюсвоїх аргументів виміру n , якщо справедливо тотожність f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Наприклад, функція f(x,y)=x^2+y^2-xy є однорідною функцією другого виміру, оскільки

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

При n=0 маємо функцію нульового виміру. Наприклад, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)є однорідна функція нульового виміру, оскільки

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Диференціальне рівняння виду \frac(dy)(dx)=f(x,y)називається однорідним щодо x і y якщо f(x,y) є однорідна функція своїх аргументів нульового вимірювання. Однорідне рівняння завжди можна подати у вигляді

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Вводячи нову функцію u=\frac(y)(x) , рівняння (1) можна привести до рівняння з роздільними змінними:

X\frac(du)(dx)=varphi(u)-u.

Якщо u=u_0 є корінь рівняння \varphi(u)-u=0, то рішення однорідного рівняння буде u=u_0 або y=u_0x (пряма, яка проходить через початок координат).

Зауваження.При вирішенні однорідних рівнянь необов'язково наводити їх до виду (1). Можна відразу робити підстановку y = ux.

приклад 1.Розв'язати однорідне рівняння xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\)^2}+\frac{y}{x} !}так що дане рівняння виявляється однорідним щодо x та y . Покладемо u = frac (y) (x), або y = ux. Тоді y"=xu"+u. Підставляючи в рівняння вирази для y та y", отримуємо x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Розділяємо змінні: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Звідси знаходимо інтегрування

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), або \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Оскільки C_1|x|=\pm(C_1x) , то, позначаючи \pm(C_1)=C отримуємо \arcsin(u)=\ln(Cx), де |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)або e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Замінюючи u на \frac(y)(x) , матимемо загальний інтеграл \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Звідси загальне рішення: y=x\sin\ln(Cx) .

При поділі змінних ми ділили обидві частини рівняння на твір x\sqrt(1-u^2) , тому могли втратити рішення, які звертають у нуль цей твір.

Покладемо тепер x = 0 і \ sqrt (1-u ^ 2) = 0 . Але x\ne0 з підстановки u=\frac(y)(x) , та якщо з співвідношення \sqrt(1-u^2)=0 отримуємо, що 1-\frac(y^2)(x^2)=0, Звідки y = \ pm (x) . Безпосередньою перевіркою переконуємося, що функції y=-x та y=x також є рішеннями даного рівняння.

приклад 2.Розглянути сімейство інтегральних кривих C_alfa однорідного рівняння y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих, що визначаються цим однорідним диференціальним рівнянням, паралельні між собою.

Примітка:Будемо називати відповіднимиті точки на кривих C_alpha , які лежать на одному промені, що виходить з початку координат.

Рішення.За визначенням відповідних точок маємо \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), Так що в силу самого рівняння y"=y"_1 де y" і y"_1 - кутові коефіцієнти дотичних до інтегральних кривих C_alpha і C_(alpha_1) , в точках M і M_1 відповідно (рис. 12).

Рівняння, що призводять до однорідних

А.Розглянемо диференціальне рівняння виду

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

де a, b, c, a_1, b_1, c_1 - постійні, а f(u) - безперервна функціясвого аргументу u.

Якщо c=c_1=0 то рівняння (3) є однорідним і воно інтегрується, як зазначено вище.

Якщо хоча б одне з чисел c,c_1 відмінно від нуля, слід розрізняти два випадки.

1) Визначник \Delta=\begin(vmatrix)a&b\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Вводячи нові змінні \xi та \eta за формулами x=\xi+h,~y=\eta+k , де h і k - поки невизначені постійні, наведемо рівняння (3) до виду

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(axi+b\eta+ah+bk+c) ) Right).

Вибираючи h і k як розв'язання системи лінійних рівнянь

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

отримуємо однорідне рівняння \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Знайшовши його загальний інтеграл і замінивши в ньому xi на x-h, a eta на y-k, отримуємо загальний інтеграл рівняння (3).

2) Визначник \Delta=\begin(vmatrix)a&b\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Система (4) загальному випадкунемає рішень і викладений вище метод неприменим; в цьому випадку \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, і, отже, рівняння (3) має вигляд \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Підстановка z=ax+by приводить його до рівняння з змінними, що розділяються.

приклад 3.Вирішити рівняння (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Рішення.Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь \begin(cases)x+y-2=0,\x-y+4=0.\end(cases)

Визначник цієї системи \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&hfill1\hfill1&hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Система має єдине рішення x_0=-1,~y_0=3 . Робимо заміну x = xi-1, yy = eta +3 . Тоді рівняння (5) набуде вигляду

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Це рівняння є однорідним рівнянням. Вважаючи \eta=u\xi , отримуємо

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, звідки (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Розділяємо змінні \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Інтегруючи, знайдемо \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)або \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Повертаємося до змінних x,~y:

(x+1)^2\left=C_1або x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

приклад 4.Вирішити рівняння (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Рішення.Система лінійних рівнянь алгебри \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)несумісна. В цьому випадку метод, застосований у попередньому прикладі, не підходить. Для інтегрування рівняння застосовуємо підстановку x + y = z, dy = dz-dx. Рівняння набуде вигляду

(2-z) \, dx + (2z-1) \, dz = 0.

Розділяючи змінні, отримуємо

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0звідси x-2z-3\ln|z-2|=C.

Повертаючись до змінних x, ~ y, отримуємо загальний інтеграл даного рівняння

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

Б.Іноді рівняння можна призвести до однорідної заміни змінного y=z^\alpha . Це має місце в тому випадку, коли в рівнянні всі члени виявляються однакового виміру, якщо змінному x приписати вимір 1, змінному y - вимір \alpha і похідної \frac(dy)(dx) - вимір \alpha-1 .

Приклад 5.Вирішити рівняння (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Рішення.Робимо підстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, де \alpha поки що довільне число, яке ми виберемо пізніше. Підставляючи в рівняння вирази для y і dy отримаємо

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0або \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Зауважимо, що x^2z^(3\alpha-1) має вимір 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) має вимір \alpha-1 , xz^(3\alpha) має вимір 1+3\alpha . Отримане рівняння буде однорідним, якщо виміру всіх членів однакові, тобто. якщо виконується умова 3\alpha+1=\alpha-1, або \alpha-1.

Покладемо y=\frac(1)(z); вихідне рівняння набуває вигляду

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0або (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Покладемо тепер z = ux, ~ dz = u, dx + x \, du. Тоді це рівняння набуде вигляду (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, звідки u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Розділяємо змінні у цьому рівнянні \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Інтегруючи, знайдемо

\ln|x|+\ln(u^2+1)-ln|u|=\ln(C)або \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Замінюючи u через frac(1)(xy) , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння 1+x^2y^2=Cy.

Рівняння має ще очевидне рішення y=0 , яке виходить із загального інтеграла при C\to\infty, якщо інтеграл записати у вигляді y=\frac(1+x^2y^2)(C)а потім перейти до межі при C\to\infty . Таким чином, функція y=0 є частковим рішенням вихідного рівняння.

Наприклад, функція
- однорідна функція першого виміру, оскільки

- однорідна функція третього виміру, оскільки

- однорідна функція нульового виміру, оскільки

, тобто.
.

Визначення 2. Диференціальне рівняння першого порядку y" = f(x, y) називається однорідним, якщо функція f(x, y) є однорідна функція нульового виміру щодо x і y, або, як кажуть, f(x, y) - однорідна функція ступеня нуль.

Його можна уявити у вигляді

що дозволяє визначити однорідне рівняння як таке диференціальне, яке можна перетворити на вигляд (3.3).

Заміна
приводить однорідне рівняння до рівняння з змінними, що розділяються. Справді, після підстановки у =xzотримаємо
,
Розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо:

,

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Δ Вважаємо у =zx,
Підставляємо ці висловлювання y і dyна дане рівняння:
або
Розділяємо змінні:
та інтегруємо:
,

Замінюючи zна , отримаємо
.

приклад 2. Знайти загальне рішення рівняння.

Δ У даному рівнянні P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy– однорідні функції другого виміру, отже, це рівняння є однорідним. Його можна уявити у вигляді
і вирішувати так само, як і подане вище. Але використовуємо іншу форму запису. Покладемо y = zx, звідки dy = zdx + xdz. Підставляючи ці вирази у вихідне рівняння, матимемо

dx+2 zxdz = 0 .

Розділяємо змінні, вважаючи

.

Інтегруємо почленно це рівняння

, звідки

тобто
. Повертаючись до колишньої функції
знаходимо загальне рішення


Приклад 3 . Знайти загальне рішення рівняння
.

Δ Ланцюжок перетворень: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

лекція 8.

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Тут - вільний член, званий також правою частиною рівняння. У цьому виді розглядатимемо лінійне рівняннянадалі.

Якщо
0, то рівняння (4.1а) називається лінійним неоднорідним. Якщо ж
0, то рівняння набуває вигляду

і називається лінійним однорідним.

Назва рівняння (4.1а) пояснюється тим, що невідома функція y та її похідна входять до нього лінійно, тобто. у першому ступені.

У лінійному однорідному рівнянні змінні поділяються. Переписавши його у вигляді
звідки
та інтегруючи, отримуємо:
,Тобто.

При розподілі на втрачаємо рішення
. Однак воно може бути включене до знайденого сімейства рішень (4.3), якщо вважати, що Зможе приймати значення 0.

Існує кілька методів розв'язання рівняння (4.1а). Згідно методом Бернуллі, рішення шукається у вигляді виконання двох функцій від х:

Одна з цих функцій може бути обрана довільно, оскільки лише твір uv має задовольняти вихідне рівняння, інша визначається на підставі рівняння (4.1а).

Диференціюючи обидві частини рівності (4.4), знаходимо
.

Підставляючи отриманий вираз похідної , а також значення у на рівняння (4.1а), отримуємо
, або

тобто. як функція vвізьмемо рішення однорідного лінійного рівняння (4.6):

(Тут Cписати обов'язково, інакше вийде не загальне, а часткове рішення).

Таким чином, бачимо, що в результаті використовуваної підстановки (4.4) рівняння (4.1а) зводиться до двох рівнянь з змінними (4.6) і (4.7), що розділяються.

Підставляючи
і v(x) у формулу (4.4), остаточно отримуємо

,

приклад 1. Знайти загальне рішення рівняння

 Покладемо
тоді
. Підставляючи вирази і у вихідне рівняння, отримаємо
або
(*)

Прирівняємо нулю коефіцієнт при :

Розділяючи змінні в отриманому рівнянні, маємо


(довільну постійну C не пишемо), звідси v= x. Знайдене значення vпідставляємо в рівняння (*):

,
,
.

Отже,
загальне рішення вихідного рівняння.

Зазначимо, що рівняння (*) можна було записати в еквівалентному вигляді:

.

Довільно вибираючи функцію u, а не v, ми могли вважати
. Цей шлях рішення відрізняється від розглянутого лише заміною vна u(і, отже, uна v), так що остаточне значення увиявляється тим самим.

З викладеного вище отримуємо алгоритм рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку.

Зазначимо далі, що іноді рівняння першого порядку стає лінійним, якщо увважати незалежною змінною, а x- Залежної, тобто. поміняти ролі x і y. Це можна зробити за умови, що xі dxвходять до рівняння лінійно.

Приклад 2 . Вирішити рівняння
.

На вигляд це рівняння не є лінійним щодо функції у.

Однак якщо розглядати xяк функцію від у, то, враховуючи, що
,його можна привести до вигляду

Замінивши на ,отримаємо
або
. Розділивши обидві частини останнього рівняння на твір ydy, приведемо його до вигляду

, або
. (**)

Тут P(y)=,
. Це лінійне рівняння щодо x. Вважаємо
,
. Підставляючи ці вирази в (**), отримуємо

або
.

Виберемо так, щоб
,
, звідки
;
. Далі маємо
,
,
.

Т.к.
, то приходимо до загального рішення даного рівняння у вигляді

.

Зазначимо, що рівняння (4.1а) P(x) та Q (x) можуть входити не тільки у вигляді функцій від x, а й констант: P= a,Q= b. Лінійне рівняння

можна вирішувати і за допомогою підстановки y= uv та поділом змінних:

;
.

Звідси
;
;
; де
. Звільняючись від логарифму, отримуємо загальне рішення рівняння

(тут
).

При b= 0 приходимо до вирішення рівняння

(Див. рівняння показового зростання (2.4) при
).

Спочатку інтегруємо відповідне однорідне рівняння (4.2). Як зазначено вище, його рішення має вигляд (4.3). Вважатимемо співмножник Зв (4.3) функцією від х, тобто. по суті робимо заміну змінною

звідки, інтегруючи, знаходимо

Зазначимо, що згідно з (4.14) (див. також (4.9)), загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння (4.3) та окремого рішення неоднорідного рівняння, що визначається другим складником, що входить до (4.14) (і 4.9)).

При вирішенні конкретних рівнянь слід повторювати наведені вище викладки, а не використовувати громіздку формулу (4.14).

Застосуємо метод Лагранжа до рівняння, розглянутого в приклад 1 :

.

Інтегруємо відповідне однорідне рівняння
.

Розділяючи змінні, отримуємо
і далі
. Рішення виразу формулою y = Cx. Рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді y = C(x)x. Підставивши цей вираз у задане рівняння, отримаємо
;
;
,
. Загальне рішення вихідного рівняння має вигляд

.

Насамкінець зазначимо, що до лінійного рівняння наводиться рівняння Бернуллі

яке можна записати у вигляді

Заміною
воно наводиться до лінійного рівняння:

,
,
.

Рівняння Бернуллі також вирішуються наведеними вище методами.

Приклад 3 . Знайти загальне рішення рівняння
.

 Ланцюжок перетворень:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
