Решаване на частично рационално уравнение онлайн. Как се решава системата от уравнения? Методи за решаване на системи от уравнения

Ще анализираме два вида системи за решаване на уравнения:

1. Решение на системата чрез метода на заместване.
2. Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.

За да се реши системата от уравнения метод на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Изразяваме. От всяко уравнение ние изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.

Разрешавам система чрез почленно събиране (изваждане)трябва:
1. Изберете променлива, за която ще направим същите коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравненията, като в резултат получаваме уравнение с една променлива.
3. Решаваме полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.

Решението на системата са пресечните точки на графиките на функцията.

Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.

Пример #1:

Нека решим по метода на заместването

Решаване на системата от уравнения чрез метода на заместване

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)

1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, следователно се оказва, че най-лесно е да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y

2. След като изразим, заместваме 3 + 10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1

3. Решаваме полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворени скоби)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първия параграф, където изразихме, заместваме y там.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Обичайно е да пишем точки на първо място, пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Нека решим чрез събиране (изваждане) член по член.

Решаване на система от уравнения по метода на събиране

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)

1. Изберете променлива, да кажем, че изберем x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. От първото уравнение извадете второто, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Намерете x. Заместваме намереното у във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6

Точката на пресичане ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)

Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн е свободен. Без майтап.

I. брадва 2 \u003d 0 – непълна квадратно уравнение (b=0, c=0 ). Решение: x=0. Отговор: 0.

Решете уравнения.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Решение.Разширете скобите чрез умножение 2xза всеки термин в скоби:

2x2 +6x=6x-x2 ; преместване на условията от дясната към лявата страна:

2x2 +6x-6x+x2=0; Ето подобни термини:

3x 2 =0, следователно x=0.

Отговор: 0.

II. ax2+bx=0 –непълна квадратно уравнение (s=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Отговор: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Решение.Извадете общия множител хза скоби:

x(5x-26)=0; всеки фактор може да бъде нула:

х=0или 5x-26=0→ 5x=26, разделете двете страни на равенството на 5 и получаваме: x \u003d 5.2.

Отговор: 0; 5,2.

Пример 3 64x+4x2=0.

Решение.Извадете общия множител 4xза скоби:

4x(16+x)=0. Имаме три фактора, 4≠0, следователно, или х=0или 16+x=0. От последното равенство получаваме x=-16.

Отговор: -16; 0.

Пример 4(x-3) 2 +5x=9.

Решение.Прилагайки формулата за квадрат на разликата на два израза, отворете скобите:

x 2 -6x+9+5x=9; преобразувайте във формата: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ето подобни термини:

х2-х=0; издържам хизвън скобите, получаваме: x (x-1)=0. От тук или х=0или х-1=0→ x=1.

Отговор: 0; 1.

III. ax2+c=0 –непълна квадратно уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Ако (-c/a)<0 , тогава няма реални корени. Ако (-s/a)>0

Пример 5х 2 -49=0.

Решение.

x 2 \u003d 49, от тук x=±7. Отговор:-7; 7.

Пример 6 9x2-4=0.

Решение.

Често се изисква да се намери сумата от квадрати (x 1 2 + x 2 2) или сумата от кубове (x 1 3 + x 2 3) на корените на квадратно уравнение, по-рядко - сумата от реципрочните стойности на квадратите на корените или сумата на аритметиката квадратни корениот корените на квадратното уравнение:

Теоремата на Vieta може да помогне с това:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Експрес през стри р:

1) сумата от квадратите на корените на уравнението x2+px+q=0;

2) сумата от кубовете на корените на уравнението x2+px+q=0.

Решение.

1) Изразяване x 1 2 + x 2 2получено чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; отворете скобите: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; изразяваме желаната сума: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Имаме полезно уравнение: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Изразяване x 1 3 + x 2 3представят по формулата на сумата от кубове във формата:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

Друго полезно уравнение: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Примери.

3) x 2 -3x-4=0.Без да решавате уравнението, изчислете стойността на израза x 1 2 + x 2 2.

Решение.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,и работата x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dв пример 1) равенство:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.Ние имаме -стр=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Тогава x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Отговор: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) х 2 -2х-4=0.Изчислете: x 1 3 +x 2 3 .

Решение.

По теоремата на Виета, сумата от корените на това редуцирано квадратно уравнение x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,и работата x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-четири. Нека приложим полученото ( в пример 2) равенство: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Отговор: x 1 3 + x 2 3 =32.

Въпрос: какво ще стане, ако ни е дадено нередуцирано квадратно уравнение? Отговор: винаги може да се „намали“ чрез разделяне на член по член на първия коефициент.

5) 2x2 -5x-7=0.Без да решавате, изчислете: x 1 2 + x 2 2.

Решение.Дадено ни е пълно квадратно уравнение. Разделете двете страни на уравнението на 2 (първия коефициент) и получете следното квадратно уравнение: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

По теоремата на Виета сумата от корените е 2,5 ; продуктът на корените е -3,5 .

Решаваме по същия начин като пример 3) използвайки равенството: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Отговор: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0.Намирам:

Нека преобразуваме това равенство и, като заменим сумата от корените по отношение на теоремата на Виета, -стр, и произведението на корените през р, получаваме още една полезна формула. При извеждането на формулата използвахме равенство 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

В нашия пример x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Заменете тези стойности в получената формула:

7) x 2 -13x+36=0.Намирам:

Нека преобразуваме тази сума и да получим формула, чрез която ще бъде възможно да се намери сумата от аритметични квадратни корени от корените на квадратно уравнение.

Ние имаме x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Заменете тези стойности в получената формула:

съвет : винаги проверявайте възможността за намиране на корените на квадратно уравнение по подходящ начин, защото 4 прегледани полезни формуливи позволяват бързо да изпълните задачата, преди всичко в случаите, когато дискриминантът е „неудобно“ число. Във всички прости случаи намерете корените и ги оперирайте. Например, в последния пример, ние избираме корените, използвайки теоремата на Vieta: сумата от корените трябва да бъде равна на 13 , и произведението на корените 36 . Какви са тези числа? Разбира се, 4 и 9.Сега изчислете сумата от квадратните корени на тези числа: 2+3=5. Това е!

I. Теорема на Виетаза редуцираното квадратно уравнение.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0е равен на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Намерете корените на даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0.Това е редуцираното квадратно уравнение ( x 2 +px+q=0), вторият коефициент р=-1, и свободния термин q=-30.Първо се уверете, че даденото уравнение има корени и че корените (ако има такива) ще бъдат изразени като цели числа. За целта е достатъчно дискриминантът да е пълен квадрат на цяло число.

Намиране на дискриминанта д=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Сега, според теоремата на Vieta, сумата от корените трябва да бъде равна на втория коефициент, взет с обратен знак, т.е. ( -стр), а произведението е равно на свободния срок, т.е. ( р). Тогава:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.Трябва да изберем такива две числа, така че произведението им да е равно на -30 , а сумата е мерна единица. Това са числата -5 и 6 . Отговор: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0.Имаме редуцираното квадратно уравнение с втория коефициент р=6и безплатен член q=8. Уверете се, че има цели корени. Нека намерим дискриминанта D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминантът D 1 е перфектният квадрат на числото 1 , така че корените на това уравнение са цели числа. Избираме корените според теоремата на Виета: сумата от корените е равна на –p=-6, а произведението на корените е q=8. Това са числата -4 и -2 .

Всъщност: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Отговор: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0. В това намалено квадратно уравнение, вторият коефициент р=2, и свободния термин q=-4. Нека намерим дискриминанта D1, тъй като вторият коефициент е четно число. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминантът не е перфектен квадрат на число, така че го правим заключение: корените на това уравнение не са цели числа и не могат да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета.И така, решаваме това уравнение, както обикновено, според формулите (в този случай според формулите). Получаваме:

Пример 4).Напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Решение.Желаното уравнение ще бъде написано във формата: x 2 +px+q=0, освен това, въз основа на теоремата на Виета –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тогава уравнението ще приеме формата: x2 +3x-28=0.

Пример 5).Напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени, ако:

II. Теорема на Виетаза пълното квадратно уравнение ax2+bx+c=0.

Сборът на корените е минус bразделена на а, произведението на корените е сразделена на а:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Пример 6).Намерете сумата от корените на квадратно уравнение 2x2 -7x-11=0.

Решение.

Убедени сме, че това уравнение ще има корени. За да направите това, достатъчно е да напишете израз за дискриминанта и без да го изчислявате, просто се уверете, че дискриминантът е по-голям от нула. д=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А сега да използваме теорема Виетаза пълни квадратни уравнения.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Пример 7). Намерете произведението на корените на квадратно уравнение 3x2 +8x-21=0.

Решение.

Нека намерим дискриминанта D1, тъй като вторият коефициент ( 8 ) е четно число. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратното уравнение има 2 корен, според теоремата на Виета, произведението на корените x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. брадва 2 +bx+c=0е общо квадратно уравнение

Дискриминанта D=b 2 - 4ac.

Ако D>0, тогава имаме два реални корена:

Ако D=0, тогава имаме един корен (или два равен корен) x=-b/(2a).

Ако Д<0, то действительных корней нет.

Пример 1) 2x2 +5x-3=0.

Решение. а=2; b=5; ° С=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 истински корена.

4x2 +21x+5=0.

Решение. а=4; b=21; ° С=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 истински корена.

II. ax2+bx+c=0 – специално квадратно уравнение за дори секунда

коефициент b

Пример 3) 3x2 -10x+3=0.

Решение. а=3; b\u003d -10 (четно число); ° С=3.

Пример 4) 5x2-14x-3=0.

Решение. а=5; b= -14 (четно число); ° С=-3.

Пример 5) 71x2 +144x+4=0.

Решение. а=71; b=144 (четно число); ° С=4.

Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.

Решение. а=9; b\u003d -30 (четно число); ° С=25.

III. ax2+bx+c=0 – квадратно уравнение частен тип, предвиден: a-b+c=0.

Първият корен винаги е минус едно, а вторият корен е минус сразделена на а:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Пример 7) 2x2+9x+7=0.

Решение. а=2; b=9; ° С=7. Нека проверим равенството: a-b+c=0.Получаваме: 2-9+7=0 .

Тогава x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 \u003d -3,5.Отговор: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – квадратно уравнение с определена форма при условие : a+b+c=0.

Първият корен винаги е равен на едно, а вторият корен е равен на сразделена на а:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Пример 8) 2x2 -9x+7=0.

Решение. а=2; b=-9; ° С=7. Нека проверим равенството: a+b+c=0.Получаваме: 2-9+7=0 .

Тогава x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 = 3,5.Отговор: 1; 3,5.

Страница 1 от 1 1

Предлаганият на вашето внимание безплатен калкулатор разполага с богат арсенал от възможности за математически изчисления. Тя ви позволява да използвате онлайн калкулатора в различни полетадейности: образователен, професионалени търговски. Разбира се, използването на онлайн калкулатор е особено популярно студентии ученици, това ги прави много по-лесни да извършват различни изчисления.

В същото време калкулаторът може да бъде полезен инструмент в някои области на бизнеса и за хората. различни професии. Разбира се, необходимостта от използване на калкулатор в бизнеса или работата се определя преди всичко от вида на самата дейност. Ако бизнесът и професията са свързани с постоянни изчисления и изчисления, тогава си струва да изпробвате електронен калкулатор и да оцените степента на неговата полезност за конкретен бизнес.

Този онлайн калкулатор може

• Правилно изпълнение на стандартни математически функции, написани в един ред като - 12*3-(7/2) и може да обработва числа, по-големи от тези, които броим огромни числа в онлайн калкулатор. Дори не знаем как да извикаме правилно такова число ( има 34 символа и това изобщо не е ограничението).
• С изключение допирателна, косинус, синуситеи други стандартни функции - калкулаторът поддържа изчислителни операции дъгова допирателна, дъгова допирателнаи други.
• Предлага се в арсенала логаритми, факториелии други страхотни функции
• Този онлайн калкулатор може да прави диаграми!!!

За начертаване на графики услугата използва специален бутон (начертава се сива графика) или буквално представяне на тази функция (График). За да изградите графика в онлайн калкулатор, просто напишете функция: plot(tan(x)),x=-360..360.

Взехме най-простата графика за тангенса и след десетичната запетая посочихме диапазона на променливата X от -360 до 360.

Можете да изградите абсолютно всяка функция с произволен брой променливи, например: графика (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)Или дори по-сложно, отколкото можете да си представите. Обръщаме внимание на поведението на променливата X - интервалът от и до се обозначава с две точки.

Единственият отрицателен (въпреки че е трудно да го наречем отрицателен) от това онлайн калкулаторе, че не може да строи сфери и други триизмерни фигури- само самолет.

Как се работи с математическия калкулатор

1. Дисплеят (екранът на калкулатора) показва въведения израз и резултата от неговото изчисление с обикновени знаци, както пишем на хартия. Това поле е просто за преглед на текущата операция. Записът се показва на дисплея, докато въвеждате математически израз в реда за въвеждане.

2. Полето за въвеждане на израз е предназначено за запис на израза, който ще се изчислява. Тук трябва да се отбележи, че математическите символи, използвани в компютърните програми, не винаги съвпадат с тези, които обикновено използваме на хартия. В прегледа на всяка функция на калкулатора ще намерите правилното обозначение за конкретна операция и примери за изчисления в калкулатора. На тази страница по-долу има списък с всички възможни операции в калкулатора, като също така се посочва правилното им изписване.

3. Лента с инструменти - това са бутони на калкулатора, които заместват ръчното въвеждане на математически символи, обозначаващи съответната операция. Някои бутони на калкулатора (допълнителни функции, конвертор на единици, решение на матрици и уравнения, графики) допълват лентата на задачите с нови полета, където се въвеждат данни за конкретно изчисление. Полето "История" съдържа примери за писане на математически изрази, както и вашите последни шест записа.

Имайте предвид, че при натискане на бутоните за извикване на допълнителни функции, преобразувател на стойности, решаване на матрици и уравнения, чертане на графики, целият панел на калкулатора се измества нагоре, покривайки част от дисплея. Попълнете задължителните полета и натиснете клавиша "I" (маркиран в червено на фигурата), за да видите дисплея в пълен размер.

4. Цифровата клавиатура съдържа цифри и аритметични знаци. Бутонът "C" изтрива целия запис в полето за въвеждане на израз. За да изтриете символи един по един, трябва да използвате стрелката вдясно от реда за въвеждане.

Опитайте се винаги да затваряте скоби в края на израза. За повечето операции това не е критично, онлайн калкулаторът ще изчисли всичко правилно. В някои случаи обаче са възможни грешки. Например, когато се повдига на дробна степен, незатворените скоби ще накарат знаменателят на дробта в експонента да премине към знаменателя на основата. На дисплея затварящата скоба е показана в бледо сиво, тя трябва да бъде затворена, когато записът приключи.

Ключ	Символ	Операция
пи	пи	постоянно пи
д	д	Число на Ойлер
%	%	Процент
()	()	Отваряне/затваряне на скоби
,	,	Запетая
грях	грях(?)	Синус на ъгъл
cos	защото (?)	Косинус
тен	тен(y)	Допирателна
sinh	sinh()	Хиперболичен синус
пари в брой	cosh()	Хиперболичен косинус
танх	tanh ()	Хиперболичен тангенс
грях-1	asin()	Обратен синус
cos-1	acos()	обратен косинус
тен-1	тен()	обратна допирателна
sinh-1	asinh()	Обратен хиперболичен синус
кош-1	acosh()	Обратен хиперболичен косинус
танх-1	atanh()	Обратен хиперболичен тангенс
x2	^2	Квадратура
х 3	^3	куб
x y	^	степенуване
10 х	10^()	Степенене при основа 10
пр	exp()	Степенене на числото на Ойлер
vx	sqrt(x)	Корен квадратен
3vx	sqrt3(x)	Корен от 3 степен
yvx	квадрат (x,y)	извличане на корени
дневник 2 x	log2(x)	двоичен логаритъм
дневник	log(x)	Десетичен логаритъм
вътре	log(x)	натурален логаритъм
дневник y x	log(x,y)	Логаритъм
I / II		Минимизиране/извикване на допълнителни функции
мерна единица		Преобразувател на единици
матрица		матрици
решавам		Уравнения и системи от уравнения
		Парцелиране
Допълнителни функции (обаждане с клавиш II)
мод	мод	Деление с остатък
!	!	Факториал
i/j	i/j	имагинерна единица
Re	Re()	Избор на цялата реална част
Аз съм	Аз съм()	Изключване на реалната част
|x|	коремни мускули()	Абсолютната стойност на число
Арг	arg()	Аргумент на функцията
nCr	ncr()	Биномен коефициент
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	НОК
сума	сума ()	Сумата на всички решения
фак	факторизиране()	Разлагане на прости множители
диф	разл.()	Диференциация
степен		степени
Рад		радиани

Приложение

Решаването на всякакъв вид уравнения онлайн към сайта за консолидиране на изучения материал от студенти и ученици Решаване на уравнения онлайн. Уравнения онлайн. Има алгебрични, параметрични, трансцендентални, функционални, диференциални и други видове уравнения.Някои класове уравнения имат аналитични решения, които са удобни с това, че не само дават точна стойност root и ви позволяват да напишете решението под формата на формула, която може да включва параметри. Аналитичните изрази позволяват не само да се изчислят корените, но и да се анализира тяхното съществуване и техният брой в зависимост от стойностите на параметрите, което често е още по-важно за практическо приложениеотколкото конкретни коренни стойности. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Решението на уравнението е задачата да се намерят такива стойности на аргументите, за които се постига това равенство. Допълнителни условия (цяло число, реални и т.н.) могат да бъдат наложени на възможните стойности на аргументите. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Можете да решите уравнението онлайн моментално и с висока точност на резултата. Аргументите на дадените функции (понякога наричани „променливи“) в случай на уравнение се наричат ​​„неизвестни“. Стойностите на неизвестните, за които се постига това равенство, се наричат ​​решения или корени на даденото уравнение. Твърди се, че корените удовлетворяват дадено уравнение. Решаването на уравнение онлайн означава намиране на множеството от всички негови решения (корени) или доказване, че няма корени. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Еквивалентни или еквивалентни се наричат ​​уравнения, чиито набори от корени съвпадат. За еквивалентни се считат и уравнения, които нямат корени. Еквивалентността на уравненията има свойството на симетрия: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, то второто уравнение е еквивалентно на първото. Еквивалентността на уравненията има свойството транзитивност: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, а второто е еквивалентно на третото, тогава първото уравнение е еквивалентно на третото. Свойството на еквивалентност на уравненията позволява да се извършват трансформации с тях, на които се основават методите за тяхното решаване. Решаване на уравнения онлайн Уравнения онлайн. Сайтът ще ви позволи да решите уравнението онлайн. Уравненията, за които са известни аналитични решения, включват алгебрични уравнения не по-високи от четвърта степен: линейно уравнение, квадратно уравнение, кубично уравнение и уравнение от четвърта степен. Алгебрични уравненияпо-високи степени в общ случайте нямат аналитично решение, въпреки че някои от тях могат да бъдат сведени до уравнения от по-ниски степени. Уравнения, които включват трансцендентни функции, се наричат ​​трансцендентални. Сред тях за някои са известни аналитични решения тригонометрични уравнения, тъй като нулите на тригонометричните функции са добре известни. В общия случай, когато не може да се намери аналитично решение, се използват числени методи. Числените методи не дават точно решение, а само позволяват стесняване на интервала, в който се намира коренът, до определена предварително зададена стойност. Решаване на уравнения онлайн.. Онлайн уравнения.. Вместо онлайн уравнение ще представим как същият израз формира линейна зависимост и то не само по права допирателна, но и в самата инфлексна точка на графиката. Този метод е незаменим по всяко време в изучаването на предмета. Често се случва решението на уравненията да се доближи до крайната стойност чрез безкрайни числа и записващи вектори. Необходимо е да се проверят изходните данни и това е същността на задачата. В противен случай местното условие се преобразува във формула. Обръщане на права линия от дадена функция, които калкулаторът на уравненията ще изчисли без много забавяне в изпълнението, привилегията на пространството ще служи като мрежа. Ще става дума за изява на студенти в научна среда. Въпреки това, както всичко по-горе, това ще ни помогне в процеса на намиране и когато решите уравнението напълно, тогава запазете получения отговор в краищата на сегмента на правата линия. Правите в пространството се пресичат в точка и тази точка се нарича пресечена от прави. Интервалът на линията е маркиран като даден по-рано. Ще бъде публикувана най-високата длъжност в изучаването на математика. Присвояването на стойност на аргумент от параметрично дефинирана повърхност и решаването на уравнение онлайн ще може да посочи принципите на продуктивно извикване на функция. Лентата на Мьобиус, или както я наричат ​​безкрайността, прилича на осмица. Това е едностранна повърхност, а не двустранна. Съгласно добре известния на всички принцип, ние обективно ще приемем линейните уравнения като основно обозначение, каквито са в областта на изследване. Само две стойности на последователно дадени аргументи могат да разкрият посоката на вектора. Да приемем, че различно решение на онлайн уравненията е много повече от простото им решаване означава получаване на пълноценна версия на инварианта на изхода. Без интегриран подход за учениците е трудно да научат този материал. Както и преди, за всеки специален случай нашият удобен и интелигентен онлайн калкулатор на уравнения ще помогне на всеки в труден момент, защото просто трябва да посочите входните параметри и системата сама ще изчисли отговора. Преди да започнем да въвеждаме данни, имаме нужда от инструмент за въвеждане, което може да се направи без особени затруднения. Броят на резултата за всеки отговор ще бъде квадратно уравнение, водещо до нашите заключения, но това не е толкова лесно да се направи, защото е лесно да се докаже обратното. Теорията, поради своите характеристики, не се поддържа практически знания. Да видите дробен калкулатор на етапа на публикуване на отговор не е лесна задача в математиката, тъй като алтернативата за записване на число върху набор увеличава растежа на функцията. Би било обаче некоректно да не кажем за обучението на студентите, така че ще изразим всеки толкова, колкото е необходимо да се направи. Намереното по-рано кубично уравнение с право ще принадлежи към областта на дефиницията и ще съдържа пространството на числените стойности, както и символните променливи. След като са научили или запомнили теоремата, нашите ученици ще се доказват само с по-добра странаи ще им се радваме. За разлика от набора от пресечни точки на полета, нашите онлайн уравнения се описват от равнина на движение по протежение на умножението на две и три цифрови комбинирани линии. Наборът в математиката не е еднозначно дефиниран. Най-доброто решение според учениците е завършеното докрай писмено изразяване. Както беше казано на научен език, абстракцията на символните изрази не е включена в състоянието на нещата, но решаването на уравнения дава недвусмислен резултат във всички известни случаи. Продължителността на сесията на учителя се основава на нуждите в тази оферта. Анализът показа необходимостта от всички изчислителни техники в много области и е абсолютно ясно, че калкулаторът с уравнения е незаменим инструмент в талантливите ръце на ученик. Лоялният подход към изучаването на математиката определя значението на възгледите в различни посоки. Искате да посочите една от ключовите теореми и да решите уравнението по такъв начин, в зависимост от отговора на който ще има нужда от по-нататъшно прилагане. Анализите в тази област набират скорост. Да започнем отначало и да изведем формулата. Преминавайки нивото на нарастване на функцията, допирателната линия в точката на инфлексия задължително ще доведе до факта, че решаването на уравнението онлайн ще бъде един от основните аспекти при конструирането на същата графика от аргумента на функцията. Аматьорският подход има право да се прилага, ако това условие не противоречи на изводите на учениците. Това е подзадачата, която поставя анализа на математическите условия като линейни уравнения в съществуващата област на дефиницията на обекта, която е преместена на заден план. Изместването в посока на ортогоналността отменя предимството на единичната абсолютна стойност. По модул, решаването на уравнения онлайн дава същия брой решения, ако отворите скобите първо със знак плюс, а след това със знак минус. В този случай има два пъти повече решения и резултатът ще бъде по-точен. Стабилният и правилен онлайн калкулатор на уравнения е успех в постигането на планираната цел в задачата, поставена от учителя. Изглежда възможно да се избере необходимия метод поради значителните различия във възгледите на големите учени. Полученото квадратно уравнение описва кривата на линиите, така наречената парабола, а знакът ще определи нейната изпъкналост в квадратна системакоординати. От уравнението получаваме както дискриминанта, така и самите корени според теоремата на Виета. Необходимо е да представите израза като правилна или неправилна дроб и да използвате калкулатора на дроби на първия етап. В зависимост от това ще се формира план за нашите по-нататъшни изчисления. Математиката с теоретичен подход е полезна на всеки етап. Определено ще представим резултата като кубично уравнение, защото ще скрием корените му в този израз, за ​​да опростим задачата за студент в университет. Всички методи са добри, ако са подходящи за повърхностен анализ. Допълнителните аритметични операции няма да доведат до грешки в изчисленията. Определете отговора със зададена точност. Използвайки решението на уравнения, нека си признаем - намирането на независима променлива на дадена функция не е толкова лесно, особено когато изучаваме успоредни прави в безкрайност. С оглед на изключението необходимостта е много очевидна. Разликата в поляритета е недвусмислена. От опита на преподаване в институти, нашият учител взе основен урок, на който онлайн се изучаваха уравнения в пълния математически смисъл. Тук ставаше въпрос за по-големи усилия и специални умения в прилагането на теорията. В полза на нашите заключения не трябва да се гледа през призма. Доскоро се смяташе, че затворено множество се разраства бързо върху площта, както е, и решението на уравненията просто трябва да бъде изследвано. На първия етап не разгледахме всички възможни варианти, но подобен подход е по-оправдан от всякога. Допълнителните действия със скоби оправдават някои напредвания по ординатната и абсцисната ос, които не могат да бъдат пренебрегнати с просто око. Има инфлексна точка в смисъл на широко пропорционално увеличение на функция. Още веднъж ще докажем как необходимото условие ще бъде приложено върху целия интервал на намаляване на една или друга низходяща позиция на вектора. В ограничено пространство ще изберем променлива от началния блок на нашия скрипт. Системата, изградена като основа на три вектора, е отговорна за отсъствието на главния момент на сила. Въпреки това, калкулаторът на уравнение изведе и помогна за намирането на всички членове на съставеното уравнение, както над повърхността, така и по успоредни линии. Нека опишем кръг около началната точка. Така ще започнем да се движим нагоре по линиите на сечението, а допирателната ще опише кръга по цялата му дължина, в резултат на което ще получим крива, която се нарича еволвента. Между другото, нека поговорим за тази крива малко история. Факт е, че исторически в математиката не е имало понятие за самата математика в чистия смисъл, както е днес. Преди това всички учени се занимаваха с едно общо нещо, тоест с наука. По-късно, няколко века по-късно, когато научен святизпълнено с колосално количество информация, човечеството все още отделя много дисциплини. Те все още остават непроменени. И въпреки това всяка година учени от цял ​​свят се опитват да докажат, че науката е безгранична и не можете да решите уравнение, освен ако нямате познания в областта. природни науки. Може да не е възможно най-накрая да се сложи край. Мисленето за това е толкова безсмислено, колкото и затоплянето на въздуха навън. Нека намерим интервала, при който аргументът с положителната си стойност определя модула на стойността в рязко нарастваща посока. Реакцията ще помогне да се намерят поне три решения, но ще е необходимо да ги проверите. Нека започнем с факта, че трябва да решим уравнението онлайн, използвайки уникалната услуга на нашия уебсайт. Нека представим и двете части дадено уравнение, натиснете бутона "РЕШИ" и ще получим точен отговор само за няколко секунди. В специални случаи ще вземем книга по математика и ще проверим отново отговора си, а именно ще погледнем само отговора и всичко ще стане ясно. Същият проект ще излети върху изкуствен излишен паралелепипед. Има успоредник с неговите успоредни страни и той обяснява много принципи и подходи за изучаване на пространственото отношение на възходящия процес на натрупване на кухо пространство във формулите естествен вид. Нееднозначните линейни уравнения показват зависимостта на желаната променлива от нашето текущо общо решение и е необходимо по някакъв начин да се изведе и намали неправилната дроб до нетривиален случай. Отбелязваме десет точки на правата линия и начертаваме крива през всяка точка в дадена посока и с изпъкналост нагоре. Без особени затруднения нашият калкулатор за уравнения ще представи израз в такава форма, че проверката му за валидност на правилата ще бъде очевидна още в началото на записа. Системата от специални представяния на стабилността за математиците на първо място, освен ако не е предвидено друго във формулата. Ще отговорим на това с подробно представяне на доклад за изоморфното състояние на пластична система от тела и онлайн решението на уравнения ще опише движението на всяка материална точка в тази система. На ниво задълбочено изследване ще е необходимо да се изясни подробно въпросът за инверсиите поне на долния слой на пространството. Възходящо по участъка на прекъсването на функцията прилагаме общ методотличен изследовател, между другото, наш сънародник, и по-долу ще разкажем за поведението на самолета. Поради силните характеристики на аналитично зададената функция, ние използваме онлайн калкулатора за уравнения само по предназначение в рамките на извлечените граници на правомощията. Спорейки по-нататък, спираме нашия преглед върху хомогенността на самото уравнение, тоест дясната му страна е приравнена на нула. Още веднъж ще проверим правилността на нашето решение по математика. За да избегнем получаването на тривиално решение, ще направим някои корекции в началните условия на задачата за условната устойчивост на системата. Нека съставим квадратно уравнение, за което изписваме два записа с помощта на добре познатата формула и намираме отрицателни корени. Ако един корен надвишава втория и третия корен с пет единици, тогава, като правим промени в основния аргумент, ние изкривяваме първоначалните условия на подпроблема. В основата си нещо необичайно в математиката винаги може да бъде описано с точност до стотна от положителното число. Калкулаторът на дроби е няколко пъти по-добър от своите колеги на подобни ресурси в най-добрия момент на натоварване на сървъра. На повърхността на вектора на скоростта, растящ по оста y, начертаваме седем линии, огънати в противоположни посоки една спрямо друга. Съизмеримостта на присвоения аргумент на функцията води до брояча на баланса за възстановяване. В математиката това явление може да бъде представено чрез кубично уравнение с въображаеми коефициенти, както и в двуполюсен прогрес на намаляващи линии. Критичните точки на температурната разлика в много от тяхното значение и напредък описват процеса на факторизиране на сложна дробна функция. Ако ви кажат да решите уравнението, не бързайте да го направите тази минута, недвусмислено първо оценете целия план за действие и едва след това вземете правилният подход. Със сигурност ще има ползи. Лекотата в работата си личи, така е и в математиката. Решете уравнението онлайн. Всички онлайн уравнения са определен тип запис на числа или параметри и променлива, която трябва да бъде дефинирана. Изчислете тази много променлива, тоест намерете конкретни стойности или интервали от набор от стойности, за които идентичността ще бъде изпълнена. Началните и крайните условия са пряко зависими. AT общо решениеуравненията обикновено включват някои променливи и константи, чрез задаване на които ще получим цели семейства от решения за дадена постановка на проблема. Като цяло това оправдава усилията, положени в посока увеличаване на функционалността на пространствен куб със страна равна на 100 сантиметра. Можете да приложите теорема или лема на всеки етап от конструирането на отговор. Сайтът постепенно издава калкулатор на уравнения, ако е необходимо, на всеки интервал на сумиране на продуктите най-малка стойност. В половината от случаите такава топка като куха не отговаря в по-голяма степен на изискванията за задаване на междинен отговор. от понепо оста y в посока на намаляване на векторното представяне, тази пропорция несъмнено ще бъде по-оптимална от предишния израз. В часа, когато линейни функциище бъде пълен точков анализ, ние всъщност ще съберем всички наши комплексни числаи биполярни равнинни пространства. Чрез заместване на променлива в получения израз ще решите уравнението на етапи и ще дадете най-подробния отговор с висока точност. Още веднъж проверете вашите действия по математика ще бъде добър тонот студента студент. Пропорцията в съотношението на фракциите фиксира целостта на резултата във всички важни области на дейност на нулевия вектор. Тривиалността се потвърждава в края на извършените действия. С прост набор от задачи учениците не могат да имат затруднения, ако решават уравнението онлайн за възможно най-кратки периоди от време, но не забравяйте за всички видове правила. Наборът от подмножества се пресичат в областта на конвергентната нотация. В различни случаи произведението не се разлага погрешно на множители. Ще ви помогнем да решите уравнението онлайн в нашия първи раздел за основите на математическите техники за важни секции за студенти в университети и технически училища. Отговарянето на примери няма да ни накара да чакаме няколко дни, тъй като процесът на най-доброто взаимодействие на векторния анализ с последователното намиране на решения е патентован в началото на миналия век. Оказва се, че усилията за свързване с околния отбор не са били напразни, нещо друго явно е закъсняло. Няколко поколения по-късно учените от цял ​​свят накараха да вярват, че математиката е кралицата на науките. Независимо дали е левият или десният отговор, изчерпателните термини трябва да бъдат записани в три реда така или иначе, тъй като в нашия случай ще говорим недвусмислено само за векторния анализ на свойствата на матрицата. Нелинейните и линейните уравнения, заедно с биквадратните уравнения, заемат специално място в нашата книга за най-добрите методи за изчисляване на траекторията на движение в пространството на всички материални точки на затворена система. Помогнете ни да реализираме идеята линеен анализ точков продукттри последователни вектора. В края на всяка настройка задачата се улеснява чрез въвеждане на оптимизирани числени изключения в контекста на изпълняваните наслагвания на цифрово пространство. Друго решение няма да се противопостави на намерения отговор в произволна форма на триъгълник в кръг. Ъгълът между двата вектора съдържа необходимия процент на марж и решаването на уравнения онлайн често разкрива някакъв общ корен на уравнението, за разлика от началните условия. Изключението играе ролята на катализатор в целия неизбежен процес на намиране на положително решение в областта на дефинирането на функцията. Ако не е казано, че не можете да използвате компютър, тогава онлайн калкулаторът на уравненията е точно за вашите трудни задачи. Достатъчно е само да въведете вашите условни данни в правилния формат и нашият сървър ще издаде пълноценен резултатен отговор в най-кратки срокове. Експоненциална функциянараства много по-бързо от линейното. Това се доказва от талмудите на умната библиотечна литература. Ще извърши изчислението в общия смисъл, както би направило даденото квадратно уравнение с три комплексни коефициента. Параболата в горната част на полуравнината характеризира праволинейно успоредно движение по осите на точката. Тук си струва да споменем потенциалната разлика в работното пространство на тялото. В замяна на неоптимален резултат, нашият дробен калкулатор с право заема първото място в математическия рейтинг на прегледа на функционалните програми в задната част. Лесното използване на тази услуга ще бъде оценено от милиони интернет потребители. Ако не знаете как да го използвате, тогава ние ще се радваме да ви помогнем. Също така искаме да подчертаем и подчертаем кубичното уравнение от редица задачи на началните ученици, когато трябва бързо да намерите неговите корени и да начертаете функционална графика на равнина. по-високи степениразмножаването е едно от най-трудните задачи по математикав института и са отделени достатъчен брой часове за изучаването му. Както всички линейни уравнения, нашето не е изключение от много обективни правила, погледнете по-долу различни точкивизия и ще бъде просто и достатъчно да зададете началните условия. Интервалът на нарастване съвпада с интервала на изпъкналост на функцията. Решаване на уравнения онлайн. Изучаването на теорията се основава на онлайн уравнения от множество раздели за изучаване на основната дисциплина. В случай на такъв подход при несигурни проблеми е много лесно да се представи решението на уравненията в предварително определена форма и не само да се направят изводи, но и да се предвиди резултатът от такова положително решение. Услугата ще ни помогне да научим предметната област в най-добрите традиции на математиката, точно както е обичайно на Изток. В най-добрите моменти от времевия интервал подобни задачи бяха умножени по общ множител десет пъти. С изобилие от умножения на множество променливи в калкулатора на уравнението, той започна да се умножава по качество, а не по количествени променливи, като стойности като маса или телесно тегло. За да избегнем случаи на дисбаланс на материалната система, за нас е съвсем очевидно извеждането на триизмерен преобразувател върху тривиалната конвергенция на неизродени математически матрици. Изпълнете задачата и решете уравнението в дадени координати, тъй като изходът е неизвестен предварително, както и всички променливи, включени в постпространственото време, са неизвестни. За кратко избутайте общия множител от скобите и разделете на най-големия общ делителдвете части предварително. Изпод полученото покрито подмножество от числа извлечете по подробен начин тридесет и три последователни точки за кратък период от време. Доколкото в в най-добрия си видвъзможно е всеки ученик да реши уравнението онлайн, гледайки напред, да кажем едно важно, но ключово нещо, без което няма да ни е лесно да живеем в бъдеще. През миналия век великият учен забеляза редица закономерности в теорията на математиката. На практика се оказа не съвсем очакваното впечатление от събитията. По принцип обаче самото решение на уравнения онлайн помага за подобряване на разбирането и възприемането на холистичен подход към изучаването и практическото консолидиране на теоретичния материал, обхванат от студентите. Много по-лесно е да направите това по време на обучението си.

=

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на един и същ алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Преместете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - условията, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейно уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-много прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Забележка: говорим сисамо за отделни компоненти. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Ние изпълняваме последна стъпка- разделете всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви предпази от допускане на глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към повече сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко надолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че гимназистите идват при мен и се учат да решават такива прости уравнения отново.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се анихилираха, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, в които има член, по-голям от него, тогава това се прави според следващото правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: изваждаме седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!