Решение чрез дискриминанта, ако е равен на 0. Корените на квадратното уравнение

Продължаваме да изучаваме темата решение на уравнения". Вече се запознахме с линейните уравнения и сега предстои да се запознаем квадратни уравнения.

Първо ще анализираме какво е квадратно уравнение, как се записва общ изгледи дайте свързани дефиниции. След това, използвайки примери, ще анализираме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. След това нека да преминем към решаване на пълни уравнения, да вземем формулата за корените, да се запознаем с дискриминанта на квадратно уравнение и да разгледаме решенията на типични примери. Накрая проследяваме връзките между корени и коефициенти.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем да говорим за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и определенията, свързани с него. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Определение и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a , b и c са някои числа и a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат ​​уравнения от втора степен. Това е така, защото квадратното уравнение е алгебрично уравнение втора специалност.

Озвучената дефиниция ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a , b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, а коефициентът a се нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b е вторият коефициент, или коефициент при x, а c е свободен член.

Например, нека вземем квадратно уравнение под формата 5 x 2 −2 x−3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е −2, а свободният член е −3. Обърнете внимание, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, тогава кратка формаписане на квадратно уравнение във формата 5 x 2 −2 x−3=0 , а не 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Заслужава да се отбележи, че когато коефициентите a и/или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в нотацията на квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на нотацията на такова . Например в квадратното уравнение y 2 −y+3=0, водещият коефициент е единица, а коефициентът при y е −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Нарича се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 редуцирано квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е нередуциран.

Според това определение, квадратни уравнения x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.н. - намалени, във всеки от тях първият коефициент е равен на единица. И 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, водещите им коефициенти са различни от 1 .

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете му части на водещия коефициент, можете да отидете до редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или, подобно на него, няма корени.

Да вземем пример за това как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Достатъчно е да извършим разделянето на двете части на първоначалното уравнение на водещия коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, което е същото като (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и така нататък (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , откъдето . Така че получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

В дефиницията на квадратно уравнение има условие a≠0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 +b x+c=0 да бъде точно квадратно, тъй като с a=0 то всъщност става линейно уравнение във формата b x+c=0 .

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълна, ако поне един от коефициентите b , c е равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Тези имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващата дискусия.

Ако коефициентът b е равен на нула, тогава квадратното уравнение приема формата a x 2 +0 x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a x 2 +c=0 . Ако c=0, т.е. квадратното уравнение има формата a x 2 +b x+0=0, тогава то може да бъде пренаписано като a x 2 +b x=0. И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Така уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 са примери за пълни квадратни уравнения и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

• a x 2 =0 , на него съответстват коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0, когато b=0;
• и a x 2 +b x=0, когато c=0.

Нека анализираме по ред как се решават непълните квадратни уравнения от всеки от тези типове.

a x 2 \u003d 0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете му части на различно от нула число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 \u003d 0 е нула, тъй като 0 2 \u003d 0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява, че наистина за всяко ненулево число p е налице неравенството p 2 >0, което предполага, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 \u003d 0 има един корен x \u003d 0.

Като пример даваме решението на непълно квадратно уравнение −4·x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 \u003d 0, единственият му корен е x \u003d 0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да бъде издадено, както следва:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Сега помислете как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е равен на нула и c≠0, тоест уравнения от вида a x 2 +c=0. Знаем, че прехвърлянето на член от едната страна на уравнението към другата с противоположен знак, както и разделянето на двете страни на уравнението на различно от нула число, дават еквивалентно уравнение. Следователно могат да бъдат извършени следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

• преместете c към правилната страна, което дава уравнението a x 2 =−c ,
• и разделяме двете му части на a , получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2 , тогава ) или положителна (например, ако a=−2 и c=6 , тогава ), не е равно на нула , тъй като по условие c≠0 . Отделно ще анализираме случаите и .

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си спомним за, тогава коренът на уравнението веднага става очевиден, това е числото, тъй като. Лесно е да се досетите, че числото е и коренът на уравнението, наистина, . Това уравнение няма други корени, което може да се покаже, например, от противоречие. Хайде да го направим.

Нека означим току-що озвучените корени на уравнението като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има друг корен x 2 , различен от посочените корени x 1 и −x 1 . Известно е, че заместването в уравнението вместо x на неговите корени превръща уравнението в истинско числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме изваждане член по член на истински числови равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 − x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Знаем, че произведението на две числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , което е едно и също, x 2 =x 1 и/или x 2 = −x 1 . Така че стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1 . Това доказва, че уравнението няма други корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението , което

• няма корени, ако,
• има два корена и ако .

Разгледайте примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0 .

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0 . След прехвърляне на свободния член в дясната страна на уравнението, то ще приеме формата 9·x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, получаваме . Тъй като от дясната страна се получава отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7=0 няма корени.

Нека решим още едно непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Прехвърляме деветте от дясната страна: -x 2 \u003d -9. Сега разделяме двете части на −1, получаваме x 2 =9. Дясната страна съдържа положително число, от което заключаваме, че или . След като запишем окончателния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се занимаем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0 . Непълните квадратни уравнения от формата a x 2 +b x=0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, намирайки се от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да извадим общия множител x извън скоби. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение във формата x·(a·x+b)=0 . И това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения x=0 и a x+b=0, последното от които е линейно и има корен x=−b/a.

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 +b x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждаме x извън скоби, това дава уравнението. Това е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Решаваме полученото линейно уравнение: и разделяне на смесеното число на обикновена дроб, намираме . Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След получаване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има формула за корен. Нека запишем формулата на корените на квадратното уравнение: , където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Нотацията по същество означава, че .

Полезно е да знаете как е получена формулата за корена и как се прилага при намиране на корените на квадратни уравнения. Нека се справим с това.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

• Можем да разделим и двете части на това уравнение на ненулево число a, като резултат получаваме редуцираното квадратно уравнение.
• Сега изберете цял квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
• На този етап е възможно да се извърши прехвърлянето на последните два термина от дясната страна с противоположния знак, имаме .
• И нека също трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнението , което е еквивалентно на първоначалното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0 .

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато анализирахме. Това ни позволява да направим следните заключения относно корените на уравнението:

• ако , тогава уравнението няма реални решения;
• ако , тогава уравнението има формата , следователно, , от което се вижда единственият му корен;
• ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корените на уравнението, а оттам и на оригиналното квадратно уравнение, зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4 a 2 винаги е положителен, т.е. знакът на израза b 2 −4 a c . Този израз b 2 −4 a c се нарича дискриминант на квадратно уравнениеи отбелязани с буквата д. Оттук нататък е ясна същността на дискриминанта - по стойността и знака му се прави извод дали квадратното уравнение има реални корени и ако има какъв е техният брой - един или два.

Връщаме се към уравнението , пренаписваме го, като използваме нотацията на дискриминанта: . И заключаваме:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогава това уравнение има един корен;
• накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или , които могат да бъдат пренаписани във формата или , и след разширяване и намаляване на дробите до общ знаменател, получаваме .

Така че изведехме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4 a c .

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща коренна стойност, съответстваща на единственото решениеквадратно уравнение. И с отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличане на корен квадратен от отрицателно число, което ни отвежда отвъд и училищна програма. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексно спрегнаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика при решаване на квадратно уравнение можете веднага да използвате формулата за корен, с която да изчислите техните стойности. Но това е повече за намиране на сложни корени.

В училищния курс по алгебра обаче обикновено говорим не за сложни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително първо да намерите дискриминанта, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, да се уверите, че той е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени) и след това изчислете стойностите на корените.

Горното разсъждение ни позволява да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, трябва:

• използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4 a c изчислете стойността му;
• заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
• изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата, ако D=0 ;
• намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате формулата за корен, ако дискриминантът е положителен.

Тук само отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, формулата също може да се използва, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за прилагане на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Разгледайте решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се справим с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Да започваме.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2 x−6=0 .

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1 , b=2 и c=−6 . Според алгоритъма, първо трябва да изчислите дискриминанта, за това заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, имаме D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим по формулата на корените, получаваме, тук можем да опростим получените изрази, като направим разлагане на знака на коренапоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решението на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5 y 2 +6 y+2=0 .

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5 , b=6 и c=2 . Замествайки тези стойности в дискриминантната формула, имаме D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава използваме добре познатата формула за корените на квадратното уравнение и изпълняваме действия с комплексни числа :

Отговор:

няма реални корени, сложните корени са: .

Още веднъж отбелязваме, че ако дискриминантът на квадратното уравнение е отрицателен, тогава училището обикновено незабавно записва отговора, в който посочва, че няма реални корени и не намира комплексни корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение , където D=b 2 −4 a c ви позволява да получите по-компактна формула, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент при x (или просто с коефициент, който изглежда като 2 n , например, или 14 ln5=2 7 ln5 ). Да я извадим.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от формата a x 2 +2 n x + c=0 . Нека намерим корените му с помощта на известната ни формула. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)и след това използваме коренната формула:

Обозначаваме израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n приема формата , където D 1 =n 2 −a c .

Лесно се вижда, че D=4·D 1 или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част от дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знака на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратното уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втория коефициент 2 n, трябва

• Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
• Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена, като използвате формулата.

Разгледайте решението на примера, като използвате формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x−32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тук a=5, n=−3 и c=−32, и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Намираме ги с помощта на съответната коренна формула:

Обърнете внимание, че беше възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се направи повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да се впуснете в изчисляването на корените на квадратно уравнение с помощта на формули, не боли да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение“? Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x −6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Обикновено опростяване на формата на квадратно уравнение се постига чрез умножаване или деление на двете му страни по някакво число. Например в предишния параграф успяхме да постигнем опростяване на уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0, като разделихме двете му страни на 100 .

Подобна трансформация се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай и двете части на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Разделяйки двете части на първоначалното квадратно уравнение на 6, стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0.

И умножението на двете части на квадратното уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробните коефициенти. В този случай умножението се извършва върху знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако и двете части на квадратно уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6 , тогава то ще приеме по-проста форма x 2 +4 x−18=0 .

В заключение на този параграф отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при водещия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или деление) на двете части по −1. Например, обикновено от квадратното уравнение −2·x 2 −3·x+7=0 се отива към решението 2·x 2 +3·x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Въз основа на формулата на корените можете да получите други връзки между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета от вида и . По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е свободният член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x+22=0, можем веднага да кажем, че сборът от неговите корени е 7/3, а произведението от корените е 22/3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение по отношение на неговите коефициенти: .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Тази тема може да изглежда трудна в началото поради многото прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратното уравнение

Тук се предлага тяхното изрично означение, когато първо се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, когато термините се разминават. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде означена с номер едно.

Когато уравнението е дадено, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• Уравнението изобщо няма корени.

И докато решението не е доведено докрай, е трудно да се разбере коя от опциите ще падне в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Задачите може да имат различни записи. Те не винаги ще изглеждат като общата формула на квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълно уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само членовете, за които коефициентите "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида, в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората номер три.

Дискриминантът и зависимостта на броя на корените от неговата стойност

Това число трябва да се знае, за да се изчислят корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде единица.

Как се решава пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като се изясни, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите такава формула.

Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула пет. От същия запис може да се види, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решението на квадратните уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как се решава непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от тези, които вече са написани за дискриминанта и неизвестното.

Първо помислете непълно уравнениена номер две. В това равенство се предполага, че неизвестната стойност се изважда от скобите и се решава линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще има два корена. Първата е задължително равна на нула, защото има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.

Непълното уравнение под номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясната. След това трябва да разделите на коефициента пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и не забравяйте да го запишете два пъти с противоположни знаци.

Следват някои действия, които ви помагат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци са причината лоши оценкипри изучаване на обширната тема „Четириъгълни уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще има стабилен навик.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степента и последният - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, тогава това може да усложни работата за начинаещ да изучава квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта всички равенства трябва да се умножат по "-1". Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• По същия начин се препоръчва да се отървете от дроби. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 - 7x \u003d 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След поставяне в скоби се оказва: x (x - 7) \u003d 0.

Първият корен приема стойността: x 1 \u003d 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 \u003d 0. Лесно е да се види, че x 2 \u003d 7.

Второ уравнение: 5x2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като прехвърлите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Трето уравнение: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Тук и по-долу решението на квадратните уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Сега е време да използвате второто полезни съветии умножете всичко по минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Според него се оказва, че x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 \u003d 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x \u003d 0 се преобразува в това: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: "Няма корени."

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x \u003d 0. Станал е непълен. Подобно на него вече беше разгледано малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

Да работим с квадратни уравнения. Това са много популярни уравнения! В най-общия си вид квадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук а =1; b = 3; ° С = -4

Тук а =2; b = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; b = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

Как се решават квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко е просто. Помним Вълшебна дума дискриминанта . Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака на корена е същият дискриминанта. Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cв тази формула и помислете. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение а =1; b = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Пример почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът се извлича добре или зле е друг въпрос. Важно е какво се добива по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но това играе роля при неравенствата, където ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. От отрицателно число Корен квадратенне се извлича. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И как мислите, не можете да сбъркате? Ами да, как...
Най-честите грешки са объркване със знаците на стойностите a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде има да се объркате?), А със замяната отрицателни стойностивъв формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; c=-1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако прилагате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се разреши лесно и без грешки!

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихме. Или научих, което също е добре. Можете ли правилно да идентифицирате a, b и c. Знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбрахте ли това ключова думатук - внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например така:

то непълни квадратни уравнения . Те също могат да бъдат решени чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Изобщо не съществува! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се нареди. По същия начин и с втория пример. Тук нямаме само нула с, а b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никаква дискриминация. Разгледайте първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! не вярвате? Е, тогава измислете две ненулеви числа, които при умножаване ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х = 0, или х = 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете стават. Когато заместваме някое от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечете корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . x = +3 и x = -3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на X извън скобите, или чрез просто прехвърляне на числото вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Сега обърнете внимание на практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Тези, които се дължат на невнимание ... За които тогава е болезнено и обидно ...

Първи прием. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартна форма. Какво означава това?
Да предположим, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Изградете примера правилно. Първо х на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Лесно е да го забравиш... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием.Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявайте, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен термин, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, значи вече са объркали някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да има съотношение bс противоположност знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди x, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в предишния раздел. Когато работите с дроби, грешките по някаква причина се изкачват ...

Между другото, обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека повторим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го точно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния фактор.

4. Ако х на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез теоремата на Виета. Направи го!

Дробни уравнения. ОДЗ.

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният изглед дробни уравнения. Или те също се наричат ​​много по-солидни - дробен рационални уравнения . Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменателя. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, ако само в знаменателите числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? На първо място, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или в неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. По-долу ще го спомена.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на всички същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели да намалеят! Всичко веднага ще стане по-лесно. Обяснявам с пример. Да кажем, че трябва да решим уравнението:

Как са ги учили в началното училище? Прехвърляме всичко в една посока, свеждаме го до общ знаменател и т.н. Забравете колко лош сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дробни изрази. Или работете с неравенства. И в уравненията ние веднага умножаваме двете части по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна, за да намалите знаменателя, трябва да умножите по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Така че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Ние умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще напиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобите. (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна е намален изцяло (x+2), а в дясно 2. Както е необходимо! След намаляване получаваме линеенуравнението:

Всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1 може да се напише:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - от дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с x, е необходимо дробта да се умножи по (x - 2). И единиците не са ни пречка. Е, нека да умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x - 2)не разкривам. Работя със скобата като цяло, все едно е един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко задоволство режем (x - 2)и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко от лявата страна и получаваме:

Класическо квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако се вгледате внимателно в примера, ще забележите, че е най-добре да разделите това уравнение на -2! С един замах минусът ще изчезне и коефициентите ще станат по-хубави! Делим на -2. От лявата страна - термин по термин, а отдясно - просто разделете нула на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме според теоремата на Виета. Получаваме x=1 и x=3. Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, а тук то е квадратно. Случва се, след като се отървете от дроби, всички x се намаляват. Има нещо останало, като 5=5. Означава, че x може да бъде всичко. Каквото и да е, все ще бъде намалено. И разберете чистата истина, 5=5. Но след като се отървете от дробите, може да се окаже, че е напълно невярно, като например 2=7. И това означава, че няма решения! При произволно x то се оказва невярно.

Осъзнах основния начин за решаване дробни уравнения ? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, да изчезне. Или пречи. В този случай това са дроби. Ще направим същото с всички сложни примерис логаритми, синуси и други ужасии. Ние винагище се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем според правилата, да ... Разработката на която е подготовката за изпита по математика. Тук се учим.

Сега ще научим как да заобиколим един от основните засади на изпита! Но първо, нека видим дали попадате в него или не?

Да вземем прост пример:

Материята вече е позната, умножаваме двете части по (x - 2), получаваме:

Запомнете, със скоби (x - 2)работим като с едно цялостно изражение!

Тук вече не написах този в знаменателите, недостойно ... И не нарисувах скоби в знаменателите, с изключение на х - 2няма нищо, не можете да рисувате. Съкращаваме:

Отваряме скобите, преместваме всичко вляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. х = 2и х = 3. Отлично.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие бяха устроени от засада. И задачата няма да ви бъде зачетена. Напразно са работили... Верният отговор е 3.

Какъв е проблема?! И се опитайте да проверите. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при х = 3всичко расте заедно чудесно, получаваме 9 = 9, след това с х = 2дели на нула! Какво категорично не може да се направи. Средства х = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Просто го изхвърляме. Има само един последен корен. х = 3.

Как така?! Чувам възмутени възгласи. Учеха ни, че едно уравнение може да се умножи по израз! Това е същата трансформация!

Да, идентични. При малко условие - изразът, с който умножаваме (делим) - различен от нула. НО х - 2при х = 2е равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя?! Не умножавайте по израз? Проверявате ли всеки път? Пак неясно!

Спокойно! Без паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво си мислеше. Правилно! то ОДЗ . Област на валидни стойности.

Надявам се, че след като изучите тази статия, ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията "Решаване на непълни квадратни уравнения".

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? то уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.

D \u003d b 2 - 4ac.

В зависимост от това каква е стойността на дискриминанта, ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. реши уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Отговор: - 3,5; един.

Нека си представим решението на пълните квадратни уравнения по схемата на Фигура 1.

Тези формули могат да се използват за решаване на всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином със стандартна форма

а х 2 + bx + c,в противен случай можете да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение за пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде записано като полином от стандартната форма (мономът с най-високият показателстепен, т.е а х 2 , след това с по-малко – bx, а след това свободния срок с.

При решаването на горното квадратно уравнение и квадратното уравнение с четен коефициент за втори член могат да се използват и други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение с втория член коефициентът е четен (b = 2k), тогава уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при х 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решаване или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента астоейки при х 2 .

Фигура 3 показва диаграма на решението на редуцирания квадрат
уравнения. Разгледайте примера за прилагане на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. реши уравнението

3х 2 + 6x - 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на фигура 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3

Можете да видите, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, тоест b \u003d 6 или b \u003d 2k, откъдето k \u003d 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигурата D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и разделяйки, получаваме редуцираното квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 = 0 Решаваме това уравнение с помощта на формулите за редуцираното квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3.

Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получаваме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Например за тринома \(3x^2+2x-7\) дискриминантът ще бъде \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А за тринома \(x^2-5x+11\), той ще бъде равен на \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминантът се обозначава с буквата \(D\) и често се използва при решаване. Освен това по стойността на дискриминанта можете да разберете как изглежда графиката (вижте по-долу).

Дискриминант и корени на квадратното уравнение

Стойността на дискриминанта показва сумата на квадратното уравнение:
- ако \(D\) е положителен, уравнението ще има два корена;
- ако \(D\) е равно на нула - само един корен;
- ако \(D\) е отрицателно, няма корени.

Това не е необходимо да се преподава, лесно е да се стигне до такова заключение, просто знаейки, че от дискриминанта (т.е. \(\sqrt(D)\) е включен във формулата за изчисляване на корените на квадратното уравнение : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Нека разгледаме всеки случай по-подробно.

Ако дискриминантът е положителен

В този случай коренът му е някакво положително число, което означава, че \(x_(1)\) и \(x_(2)\) ще бъдат различни по стойност, защото в първата формула \(\sqrt(D) \) се добавя, а във втория - се изважда. И имаме два различни корена.

Пример : Намерете корените на уравнението \(x^2+2x-3=0\)
Решение :

Отговор : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ако дискриминантът е нула

И колко корена ще има, ако дискриминантът е нула? Нека разсъждаваме.

Коренните формули изглеждат така: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . И ако дискриминантът е нула, тогава коренът му също е нула. Тогава се оказва:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Тоест стойностите на корените на уравнението ще съвпадат, защото добавянето или изваждането на нула не променя нищо.

Пример : Намерете корените на уравнението \(x^2-4x+4=0\)
Решение :

\(x^2-4x+4=0\)		Изписваме коефициентите:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Изчислете дискриминанта по формулата \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Имаме два еднакви корена, така че няма смисъл да ги пишем поотделно - записваме ги като един.

Отговор : \(x=2\)