Как да изчисляваме матрици по метода на Крамер. Линейни уравнения

2. Решаване на системи от уравнения по матричния метод (с помощта на обратната матрица).
3. Метод на Гаус за решаване на системи от уравнения.

Методът на Крамер.

Методът на Cramer се използва за решаване на линейни системи алгебрични уравнения (СЛАУ).

Формули на примера на система от две уравнения с две променливи.
дадени:Решете системата по метода на Крамер

Относно променливите хи при.
Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата Изчисляване на детерминантите. :

Нека приложим формулите на Cramer и да намерим стойностите на променливите:
и .
Пример 1:
Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хи при.
Решение:


Нека заменим първата колона в тази детерминанта с колона с коефициенти от дясната страна на системата и да намерим нейната стойност:

Нека направим подобно действие, като заменим втората колона в първата детерминанта:

Приложимо Формули на Крамери намерете стойностите на променливите:
и .
Отговор:
коментар:Този метод може да се използва за решаване на системи с по-високи измерения.

коментар:Ако се окаже, че , и е невъзможно да се раздели на нула, тогава те казват, че системата няма уникално решение. В този случай системата има или безкрайно много решения, или изобщо няма решения.

Пример 2(безкраен брой решения):

Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хи при.
Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Решаване на системи чрез метода на заместване.

Първото от уравненията на системата е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите (защото 4 винаги е равно на 4). Така че остава само едно уравнение. Това е уравнение на връзка между променливи.
Получихме, че решението на системата е всяка двойка стойности на променливи, свързани с равенство.
Общото решение е написано така:
Конкретни решения могат да бъдат определени чрез избиране на произволна стойност на y и изчисляване на x от това уравнение на връзката.

и т.н.
Има безкрайно много такива решения.
Отговор: общо решение
Частни решения:

Пример 3(няма решения, системата е непоследователна):

Решете системата от уравнения:

Решение:
Намерете детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Не можете да използвате формулите на Креймър. Нека решим тази система чрез метода на заместване

Второто уравнение на системата е равенство, което не е валидно за никакви стойности на променливите (разбира се, тъй като -15 не е равно на 2). Ако едно от уравненията на системата не е вярно за никакви стойности на променливите, тогава цялата система няма решения.
Отговор:няма решения

Методи Крамери Гауседно от най-популярните решения СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес се занимаваме с решението по метода на Крамер. В крайна сметка решението на системата линейни уравненияМетодът на Крамър е много полезно умение.

Системи линейни алгебрични уравнения

Системата от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:

Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в тъждества, се нарича решение на системата, а и b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена мислено или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (x) в SLAE и простите училищни манипулации са незаменими тук. Какво да правя? Например, решете SLAE по метода на Cramer!

Така че нека бъде системата н уравнения с н неизвестен.

Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма

Тук А е основната матрица на системата, х и б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.

Решение на SLAE по метода на Крамер

Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.

Според метода на Крамер решението се намира по формулите:

Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х n-та - детерминантата, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-тата колона с колона от свободни членове.

Това е целият смисъл на метода на Крамър. Заместване на стойностите, намерени от горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви е по-лесно да схванете мисълта, ето един пример. подробно решение SLAE по метода на Cramer:

Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да пукате БАВНО като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се ровите в тетрадка, да решавате тромави изчисления и да пишете на пръта. Лесно е да се реши SLAE по метода на Cramer онлайн, просто като се заменят коефициентите в готовата форма. опитай онлайн калкулаторрешения по метода на Cramer могат да бъдат например на този сайт.

И ако системата се оказа упорита и не се отказва, винаги можете да се обърнете за помощ към нашите автори, например към. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и точно навреме!

Нека системата от линейни уравнения съдържа толкова уравнения, колкото е броят на независимите променливи, т.е. има формата

Такива системи от линейни уравнения се наричат ​​квадратни. Детерминантата, съставена от коефициентите на независимите променливи на системата (1.5), се нарича основна детерминанта на системата. Ще го обозначим гръцка букваГ. И така

. (1.6)

Ако в основната детерминанта произволна ( й th) колона, заменете я с колоната на свободните членове на системата (1.5), тогава можем да получим повече нспомагателни детерминанти:

(й = 1, 2, …, н). (1.7)

Правилото на Крамъррешаването на квадратни системи от линейни уравнения е както следва. Ако главната детерминанта D на система (1.5) е различна от нула, тогава системата също има уникално решение, което може да се намери по формулите:

(1.8)

Пример 1.5.Решете системата от уравнения по метода на Крамер

.

Нека изчислим основната детерминанта на системата:

От D¹0 системата има уникално решение, което може да се намери с помощта на формули (1.8):

По този начин,

Матрични действия

1. Умножение на матрица с число.Операцията за умножаване на матрица по число се дефинира по следния начин.

2. За да умножите една матрица по число, трябва да умножите всички нейни елементи по това число. Това е

. (1.9)

Пример 1.6. .

Събиране на матрица.

Тази операция се въвежда само за матрици от същия ред.

За да се съберат две матрици, е необходимо към елементите на едната матрица да се добавят съответните елементи от другата матрица:

(1.10)
Операцията на събиране на матрици има свойствата на асоциативност и комутативност.

Пример 1.7. .

Матрично умножение.

Ако броят на колоните на матрицата НОсъвпада с броя на редовете на матрицата AT, тогава за такива матрици се въвежда операцията на умножение:

2

Така при умножаване на матрицата НОразмери м´ нда се матрица ATразмери н´ кполучаваме матрица ОТразмери м´ к. В този случай елементите на матрицата ОТсе изчисляват по следните формули:

Задача 1.8.Намерете, ако е възможно, произведението на матриците ABи BA:

Решение. 1) Да си намеря работа AB, имате нужда от матрични редове Аумножете по матрични колони б:

2) Произведения на изкуството BAне съществува, тъй като броят на колоните на матрицата бне съвпада с броя на редовете на матрицата А.

Обратна матрица. Решаване на системи от линейни уравнения по матричен начин

Матрица а- 1 се нарича обратна на квадратна матрица НОако е изпълнено равенството:

къде през азобозначава матрицата на идентичност от същия ред като матрицата НО:

.

За да има обратна квадратна матрица, е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула. Обратната матрица се намира по формулата:

, (1.13)

където A ij - алгебрични добавкикъм елементите aijматрици НО(обърнете внимание, че алгебричните добавки към редовете на матрицата НОса подредени в обратната матрица под формата на съответни колони).

Пример 1.9.Намерете обратна матрица а- 1 към матрицата

.

Намираме обратната матрица по формула (1.13), която за случая н= 3 изглежда така:

.

Да намерим дет А = | А| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Тъй като детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула, тогава обратната матрица съществува.

1) Намерете алгебрични добавки A ij:

За удобство при намиране обратна матрица, поставихме алгебричните добавки към редовете на оригиналната матрица в съответните колони.

От получените алгебрични добавки съставяме нова матрица и я разделяме на детерминантата det А. Така ще получим обратната матрица:

Квадратни системи от линейни уравнения с ненулева главна детерминанта могат да бъдат решени с помощта на обратна матрица. За това системата (1.5) се записва в матрична форма:

където

Умножение на двете страни на равенството (1.14) отляво по а- 1, получаваме решението на системата:

, където

По този начин, за да намерите решение на квадратна система, трябва да намерите обратната матрица на основната матрица на системата и да я умножите вдясно по матрицата на колоната на свободните членове.

Задача 1.10.Решете система от линейни уравнения

с помощта на обратна матрица.

Решение.Записваме системата в матрична форма: ,

където е основната матрица на системата, е колоната на неизвестните и е колоната на свободните членове. Тъй като основната детерминанта на системата , след това основната матрица на системата НОима обратна матрица НО-едно. За намиране на обратната матрица НО-1 , изчислете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата НО:

От получените числа съставяме матрица (освен това алгебрични добавки към редовете на матрицата НОнапишете в съответните колони) и го разделете на детерминанта D. Така намерихме обратната матрица:

Решението на системата се намира по формулата (1.15):

По този начин,

Решаване на системи от линейни уравнения чрез обикновени изключения на Йордан

Нека е дадена произволна (не непременно квадратна) система от линейни уравнения:

(1.16)

Изисква се да се намери решение на системата, т.е. такъв набор от променливи, който удовлетворява всички равенства на системата (1.16). AT общ случайсистема (1.16) може да има не само едно решение, но и безкраен брой решения. Може също да няма никакви решения.

При решаването на такива проблеми се използва добре познатият метод за елиминиране на неизвестни от училищния курс, който също се нарича метод на обикновените йордански елиминации. същност този методсе крие във факта, че в едно от уравненията на системата (1.16) една от променливите е изразена чрез други променливи. След това тази променлива се замества в други уравнения на системата. Резултатът е система, която съдържа едно уравнение и една променлива по-малко от оригиналната система. Запомня се уравнението, от което е изразена променливата.

Този процес се повтаря, докато в системата остане едно последно уравнение. В процеса на елиминиране на неизвестни, някои уравнения могат да се превърнат в истински идентичности, например. Такива уравнения са изключени от системата, тъй като те са валидни за всякакви стойности на променливите и следователно не влияят на решението на системата. Ако в процеса на елиминиране на неизвестни поне едно уравнение се превърне в равенство, което не може да бъде изпълнено за никакви стойности на променливите (например ), тогава заключаваме, че системата няма решение.

Ако по време на решаването на непоследователни уравнения не са възникнали, тогава една от останалите променливи в него се намира от последното уравнение. Ако в последното уравнение остане само една променлива, тя се изразява като число. Ако в последното уравнение останат други променливи, тогава те се считат за параметри и променливата, изразена чрез тях, ще бъде функция на тези параметри. Тогава т.нар обратен ход". Намерената променлива се замества в последното запаметено уравнение и се намира втората променлива. След това двете намерени променливи се заместват в предпоследното запомнено уравнение и се намира третата променлива и така нататък до първото запаметено уравнение.

В резултат на това получаваме решението на системата. Това решение ще бъде единственото, ако намерените променливи са числа. Ако първата намерена променлива и след това всички останали зависят от параметрите, тогава системата ще има безкраен брой решения (всеки набор от параметри съответства на ново решение). Формулите, които позволяват да се намери решение на системата в зависимост от определен набор от параметри, се наричат ​​общо решение на системата.

Пример 1.11.

х

След като запомних първото уравнение и въвеждайки подобни членове във второто и третото уравнения, стигаме до системата:

Експрес гот второто уравнение и го заместете в първото уравнение:

Спомнете си второто уравнение и от първото намираме z:

Правейки обратното движение, последователно намираме ги z. За да направим това, първо заместваме в последното запаметено уравнение , от което намираме г:

.

След това заместваме и в първото запаметено уравнение от където намираме х:

Задача 1.12.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

. (1.17)

Решение.Нека изразим променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

.

Запомнете първото уравнение

В тази система първото и второто уравнения си противоречат. Наистина, изразяване г , получаваме, че 14 = 17. Това равенство не е изпълнено за никакви стойности на променливите х, г, и z. Следователно системата (1.17) е непоследователна, т.е. няма решение.

Читателите се приканват независимо да проверят дали основната детерминанта на оригиналната система (1.17) е равна на нула.

Да разгледаме система, която се различава от системата (1.17) само с един свободен член.

Задача 1.13.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

. (1.18)

Решение.Както преди, изразяваме променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

.

Запомнете първото уравнение и представяме подобни членове във второто и третото уравнения. Стигаме до системата:

изразяване гот първото уравнение и заместването му във второто уравнение , получаваме идентичността 14 = 14, която не засяга решението на системата и следователно може да бъде изключена от системата.

В последното запомнено равенство, променливата zще се счита за параметър. Ние вярваме . Тогава

Заместител ги zв първото запомнено равенство и намерете х:

.

Така системата (1.18) има безкраен набор от решения и всяко решение може да бъде намерено от формули (1.19), като се избере произволна стойност на параметъра T:

(1.19)
По този начин, решенията на системата, например, са следните набори от променливи (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т.н. Формулите (1.19) изразяват общото (всяко) решение на системата (1.18 ).

В случай, че първоначалната система (1.16) има достатъчно голям брой уравнения и неизвестни, посоченият метод на обикновените йорданови елиминации изглежда тромав. Обаче не е така. Достатъчно е да се изведе алгоритъм за преизчисляване на коефициентите на системата на една стъпка в общ изгледи формализира решението на проблема под формата на специални таблици на Йордан.

Нека е дадена система от линейни форми (уравнения):

, (1.20)
където xj- независими (желани) променливи, aij- постоянни коефициенти
(аз = 1, 2,…, м; й = 1, 2,…, н). Десните части на системата y i (аз = 1, 2,…, м) могат да бъдат както променливи (зависими), така и константи. Изисква се да се намерят решения на тази система чрез елиминиране на неизвестни.

Нека разгледаме следната операция, наричана по-нататък "една стъпка от обикновени изключения на Jordan". От произволен ( r th) равенство, ние изразяваме произволна променлива ( x s) и заменете във всички други равенства. Разбира се, това е възможно само ако a rs№ 0. Коеф a rsсе нарича разрешаващ (понякога ръководен или основен) елемент.

Ще получим следната система:

. (1.21)

от сто равенство на системата (1.21), впоследствие ще намерим променливата x s(след като бъдат намерени други променливи). СРедът се запомня и впоследствие се изключва от системата. Останалата система ще съдържа едно уравнение и една по-малко независима променлива от оригиналната система.

Нека изчислим коефициентите на получената система (1.21) по отношение на коефициентите на оригиналната система (1.20). Да започнем с rто уравнение, което след изразяване на променливата x sпрез останалите променливи ще изглежда така:

Така новите коеф rто уравнение се изчисляват по следните формули:

(1.23)
Нека сега изчислим новите коефициенти b ij(аз¹ r) произволно уравнение. За да направим това, заместваме променливата, изразена в (1.22) x sв азтото уравнение на системата (1.20):

След като приведем подобни условия, получаваме:

(1.24)
От равенството (1.24) получаваме формули, по които се изчисляват останалите коефициенти на системата (1.21) (с изключение на rто уравнение):

(1.25)
Преобразуването на системи от линейни уравнения по метода на обикновените жорданови елиминации е представено под формата на таблици (матрици). Тези таблици се наричат ​​"Йордански таблици".

Така проблемът (1.20) е свързан със следната таблица на Йордан:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	xj	…	x s	…	x n
г 1 =	а 11	а 12		а 1й		а 1с		а 1н
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		а е		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		една мс		amn

Таблица 1.1 на Jordan съдържа лявата заглавна колона, в която са записани десните части на системата (1.20), и горният заглавен ред, в който са записани независимите променливи.

Останалите елементи на таблицата образуват основната матрица на коефициентите на системата (1.20). Ако умножим матрицата НОкъм матрицата, състояща се от елементите на горния заглавен ред, тогава получаваме матрицата, състояща се от елементите на лявата заглавна колона. Тоест по същество Йордановата таблица е матрична форма на запис на система от линейни уравнения: . В този случай следната таблица на Йордания съответства на система (1.21):

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	xj	…	y r	…	x n
г 1 =	b 11	b 12		b 1 й		b 1 с		b 1 н
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b е		б в
…………………………………………………………………..
x s =	бр 1	бр 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		б мс		bmn

Разрешителен елемент a rs ще подчертаем с удебелен шрифт. Спомнете си, че за да се приложи една стъпка от изключения на Jordan, разрешаващият елемент трябва да е различен от нула. Ред на таблица, съдържащ разрешаващ елемент, се нарича разрешаващ ред. Колоната, съдържаща елемента за активиране, се нарича колона за активиране. При преминаване от дадена таблица към следващата таблица, една променлива ( x s) от горния заглавен ред на таблицата се премества в лявата заглавна колона и, обратно, един от свободните членове на системата ( y r) се премества от лявата заглавна колона на таблицата в горния заглавен ред.

Нека опишем алгоритъма за преизчисляване на коефициентите при преминаване от таблицата на Йордан (1.1) към таблицата (1.2), който следва от формули (1.23) и (1.25).

1. Разрешаващият елемент се заменя с обратното число:

2. Останалите елементи на разрешителната линия са разделени от разрешителния елемент и променят знака на противоположния:

3. Останалите елементи на колоната за разрешаване са разделени на елемент за разрешаване:

4. Елементите, които не са включени в разрешаващия ред и разрешаващата колона, се преизчисляват по формулите:

Последната формула е лесна за запомняне, ако забележите, че елементите, които съставят фракцията , са на кръстовището аз- о и r-ти редове и йта и с-та колона (разрешаващ ред, разрешаваща колона и реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът за преизчисляване). По-точно при запаметяване на формулата можете да използвате следната диаграма:

-21 -26 -13 -37

Изпълнение на първата стъпка от йорданските изключения, всеки елемент от таблица 1.3, разположен в колоните х 1 ,…, х 5 (всички посочени елементи не са равни на нула). Не трябва да избирате само активиращия елемент в последната колона, т.к трябва да се намерят независими променливи х 1 ,…, х 5. Избираме например коефициента 1 с променлива х 3 в третия ред на таблица 1.3 (активиращият елемент е показан с удебелен шрифт). При преминаване към таблица 1.4, променливата х 3 от горния заглавен ред се заменя с константата 0 от лявата заглавна колона (трети ред). В същото време променливата х 3 се изразява чрез останалите променливи.

низ х 3 (Таблица 1.4) може, след като си спомни предварително, да бъде изключен от Таблица 1.4. Таблица 1.4 също изключва третата колона с нула в горния ред на заглавието. Въпросът е, че независимо от коефициентите на тази колона b i 3 всички съответстващи му членове на всяко уравнение 0 b i 3 системи ще бъдат равни на нула. Следователно тези коефициенти не могат да бъдат изчислени. Елиминиране на една променлива х 3 и запомняйки едно от уравненията, стигаме до система, съответстваща на таблица 1.4 (със зачертана линия х 3). Избор в таблица 1.4 като разрешаващ елемент b 14 = -5, отидете на таблица 1.5. В таблица 1.5 запомняме първия ред и го изключваме от таблицата заедно с четвъртата колона (с нула в горната част).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

От последната таблица 1.7 намираме: х 1 = - 3 + 2х 5 .

Последователно замествайки вече намерените променливи в запаметените редове, намираме останалите променливи:

Така системата има безкраен брой решения. променлива х 5 можете да задавате произволни стойности. Тази променлива действа като параметър х 5 = t. Доказахме съвместимостта на системата и намерихме нейното общо решение:

х 1 = - 3 + 2T

х 2 = - 1 - 3T

х 3 = - 2 + 4T . (1.27)
х 4 = 4 + 5T

х 5 = T

Даващ параметър T различни значения, получаваме безкраен брой решения на оригиналната система. Така, например, решението на системата е следният набор от променливи (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Да разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни

Използвайки детерминанти от трети ред, решението на такава система може да бъде написано в същата форма, както за система от две уравнения, т.е.

(2.4)

ако 0. Тук

то е Правилото на Крамър решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 2.3.Решете система от линейни уравнения, като използвате правилото на Крамър:

Решение . Намиране на детерминантата на основната матрица на системата

Тъй като 0, за да намерите решение на системата, можете да приложите правилото на Крамър, но първо изчислете още три детерминанта:

Преглед:

Следователно решението е намерено правилно. 

Правилата на Крамер, получени за линейни системи 2-ри и 3-ти ред предполагат, че същите правила могат да бъдат формулирани за линейни системи от всякакъв ред. Наистина се провежда

Теорема на Крамър. Квадратна система от линейни уравнения с ненулев детерминант на основната матрица на системата (0) има едно и само едно решение и това решение се изчислява по формулите

(2.5)

където  – основна детерминанта на матрицата,  аз – матрична детерминанта, произлизащи от основния, заместващазth колона безплатни членове колона.

Имайте предвид, че ако =0, тогава правилото на Cramer не е приложимо. Това означава, че системата или няма никакви решения, или има безкрайно много решения.

След като формулирахме теоремата на Крамър, естествено възниква въпросът за изчисляване на детерминанти от по-висок ред.

2.4. детерминанти от n-ти ред

Допълнителен минор М ijелемент а ijсе нарича детерминанта, получена от даденото чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона. Алгебрично събиране А ijелемент а ijсе нарича минор на този елемент, взет със знака (–1) аз + й, т.е. А ij = (–1) аз + й М ij .

Например, нека намерим второстепенни и алгебрични допълнения на елементи а 23 и а 31 детерминанти

Получаваме



Използвайки понятието алгебрично допълнение, можем да формулираме детерминантната теорема за разширениен-ти ред по ред или колона.

Теорема 2.1. Матрична детерминантаАе равно на сумата от продуктите на всички елементи на някакъв ред (или колона) и техните алгебрични допълнения:

(2.6)

Тази теорема е в основата на един от основните методи за изчисляване на детерминанти, т.нар. метод за намаляване на поръчката. В резултат на разширяването на определителя нти ред във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. За да има по-малко такива детерминанти, препоръчително е да изберете реда или колоната, които имат най-много нули. На практика формулата за разширяване на детерминантата обикновено се записва като:

тези. алгебричните допълнения се записват изрично в термините на минори.

Примери 2.4.Изчислете детерминантите, като първо ги разгънете във всеки ред или колона. Обикновено в такива случаи изберете колоната или реда, който има най-много нули. Избраният ред или колона ще бъдат отбелязани със стрелка.



2.5. Основни свойства на детерминантите

Разширявайки детерминантата във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. Тогава всяка от тези детерминанти ( н–1)-ти ред също може да се разложи на сума от детерминанти ( н–2) ред. Продължавайки този процес, може да се стигне до детерминантите от 1-ви ред, т.е. към елементите на матрицата, чиято детерминанта се изчислява. И така, за да изчислите детерминантите от 2-ри ред, ще трябва да изчислите сумата от два термина, за детерминантите от 3-ти ред - сумата от 6 термина, за детерминантите от 4-ти ред - 24 термина. Броят на членовете ще се увеличи рязко с увеличаване на реда на детерминантата. Това означава, че изчисляването на детерминанти от много високи порядки се превръща в доста трудоемка задача, която не е по силите дори на компютър. Детерминантите обаче могат да бъдат изчислени по друг начин, като се използват свойствата на детерминантите.

Имот 1 . Детерминантата няма да се промени, ако в нея се разменят редове и колони, т.е. при транспониране на матрица:

.

Това свойство показва равенството на редовете и колоните на детерминантата. С други думи, всяко твърдение за колоните на детерминанта е вярно за неговите редове и обратно.

Имот 2 . Детерминантата променя знака си, когато два реда (колони) се разменят.

Последица . Ако детерминантата има два еднакви реда (колони), тогава тя е равна на нула.

Имот 3 . Общият множител на всички елементи във всеки ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.

Например,

Последица . Ако всички елементи на някакъв ред (колона) на детерминантата са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

Имот 4 . Детерминантата няма да се промени, ако елементите на един ред (колона) се добавят към елементите на друг ред (колона), умножени по някакво число.

Например,

Имот 5 . Детерминантата на матричното произведение е равна на произведението на матричните детерминанти:

Методът на Крамер или така нареченото правило на Крамер е начин за търсене на неизвестни величини от системи уравнения. Може да се използва само ако броят на необходимите стойности е еквивалентен на броя на алгебричните уравнения в системата, т.е. основната матрица, образувана от системата, трябва да е квадратна и да не съдържа нула редове, а също и ако нейната детерминанта трябва не е нула.

Теорема 1

Теорема на КрамърАко главната детерминанта $D$ на главната матрица, съставена на базата на коефициентите на уравненията, не е равна на нула, то системата от уравнения е непротиворечива и има единствено решение. Решението на такава система се изчислява с помощта на така наречените формули на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Какво представлява методът на Крамер

Същността на метода на Cramer е следната:

1. За да намерим решение на системата по метода на Крамър, първо изчисляваме главния детерминант на матрицата $D$. Когато изчислената детерминанта на основната матрица, изчислена по метода на Крамер, се окаже равна на нула, тогава системата няма нито едно решение или има безкраен брой решения. В този случай, за да се намери общ или някакъв основен отговор за системата, се препоръчва използването на метода на Гаус.
2. След това трябва да замените последната колона на основната матрица с колоната на свободните членове и да изчислите детерминантата $D_1$.
3. Повторете същото за всички колони, като получите детерминантите от $D_1$ до $D_n$, където $n$ е номерът на най-дясната колона.
4. След като бъдат намерени всички детерминанти на $D_1$...$D_n$, неизвестните променливи могат да бъдат изчислени по формулата $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Техники за изчисляване на детерминанта на матрица

За да се изчисли детерминантата на матрица с размерност, по-голяма от 2 на 2, могат да се използват няколко метода:

• Правилото на триъгълниците или правилото на Сарус, наподобяващо същото правило. Същността на метода на триъгълника е, че при изчисляване на детерминантата на произведението на всички числа, свързани на фигурата с червена линия отдясно, те се записват със знак плюс, а всички числа, свързани по подобен начин на фигурата на левите са със знак минус. И двете правила са подходящи за матрици 3 х 3. При правилото на Сарус първо се пренаписва самата матрица, а до нея отново се пренаписват нейните първа и втора колона. Диагоналите се изчертават през матрицата и тези допълнителни колони, елементите на матрицата, лежащи на главния диагонал или успоредни на него, се записват със знак плюс, а елементите, лежащи на или успоредни на второстепенния диагонал, се записват със знак минус.

Фигура 1. Правило на триъгълниците за изчисляване на детерминанта за метода на Крамер

• С метод, известен като метод на Гаус, този метод понякога се нарича и детерминантна редукция. В този случай матрицата се трансформира и редуцира до триъгълна форма, след което всички числа на главния диагонал се умножават. Трябва да се помни, че при такова търсене на определител човек не може да умножава или разделя редове или колони с числа, без да ги извади като фактор или делител. В случай на търсене на детерминанта е възможно само да изваждате и добавяте редове и колони един към друг, като предварително сте умножили извадения ред с ненулев фактор. Освен това при всяка пермутация на редовете или колоните на матрицата трябва да се помни необходимостта от промяна на крайния знак на матрицата.
• Когато решавате SLAE на Cramer с 4 неизвестни, най-добре е да използвате метода на Гаус за търсене и намиране на детерминанти или да определите детерминантата чрез търсене на второстепенни.

Решаване на системи уравнения по метода на Крамер

Прилагаме метода на Крамер за система от 2 уравнения и две изисквани величини:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Нека го покажем в разширен вид за удобство:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Намерете детерминантата на основната матрица, наричана още основна детерминанта на системата:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ако основната детерминанта не е равна на нула, тогава за решаване на блатото по метода на Крамер е необходимо да се изчислят още няколко детерминанти от две матрици, като колоните на основната матрица се заменят с ред свободни членове:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Сега нека намерим неизвестните $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Пример 1

Метод на Cramer за решаване на SLAE с основна матрица от 3-ти ред (3 x 3) и три желани.

Решете системата от уравнения:

$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Изчисляваме основния детерминант на матрицата, като използваме горното правило в параграф номер 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64

И сега три други определящи фактора:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 $

Нека намерим необходимите стойности:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$