Обратна матрица чрез детерминанта. Алгоритъм за изчисляване на обратната матрица с помощта на алгебрични допълнения: методът на свързаната (обединена) матрица

Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която съответства на определен елемент, зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента, които са елементи на съответната матрица 2x2, ще останат незадраскани.

• Например, за да намерите матрицата 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
• Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
• Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на определени елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

Създайте матрица от кофактори.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова матрица от кофактори. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако за елемента (1,1) се разглежда матрица 2x2, запишете нейния детерминант в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи според определен модел, който е показан на фигурата.

• Схема за промяна на знака: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, обърнете внимание, че знаците "+" и "-", които са показани на диаграмата (виж фигурата), не показват, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът "-" показва, че знакът на елемента се е променил.
• Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
• Ето как намирате асоциираната матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

Разделете всеки елемент от присъединената матрица на детерминантата.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери съществуването на обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция на деление, където се намира съответният елемент. Така че ще намерите матрицата, обратната на оригинала.

• Детерминантата на матрицата, показана на фигурата, е 1. По този начин тук свързаната матрица е обратната матрица (тъй като разделянето на произволно число на 1 не го променя).
• В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение с 1/det(M). В този случай крайният резултат не се променя.

Запишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратна матрица.

Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

Изберете менюто Редактиране.Направете това, като използвате бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона зависи от модела на калкулатора).

Въведете обозначението на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени букви A-J. Като общо правило просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете бутона Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете отново бутона Enter.

Въведете всеки елемент от матрицата.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако дадена матрица вече е въведена в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността на първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести към следващия елемент от матрицата.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

обратна матрица$A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод елементарни трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, се обсъжда във втората част.

Метод на съединена (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, съюзна) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). Да се ​​намери обратната на матрица по-висок ред, се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример #1

Намерете матрица, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Пример #2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че ние продължаваме решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантната матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така се намира обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край (масив)\десен)$:

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример #3

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Проверката е преминала успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример #4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред, намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Такива примери обаче се срещат в контролните работи.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата в ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Разгледайте проблема за дефиниране на операцията, обратна на матричното умножение.

Нека A е квадратна матрица от ред n. Матрица A^(-1) , която заедно с дадената матрица A удовлетворява следните равенства:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

От дефиницията следва, че ако съществува обратна матрица A^(-1), то тя е квадратна от същия ред като A . Въпреки това, не всяка квадратна матрица има обратна. Ако детерминантата на матрица A е равна на нула (\det(A)=0), тогава няма обратна за нея. Наистина, прилагайки теоремата за детерминантата на произведението от матрици за матрицата на идентичност E=A^(-1)A, получаваме противоречие

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. квадратна матрица A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), чийто детерминант е различен от нула, има обратна матрица и освен това само една:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

където A^(+) е матрицата, транспонирана за матрицата, съставена от алгебричните допълнения на елементите на матрицата A .

Матрицата A^(+) се нарича прикрепена матрицапо отношение на матрицата A .

Наистина, матрицата \frac(1)(\det(A))\,A^(+)съществува при условието \det(A)\ne0 . Трябва да покажем, че е обратно на A , т.е. отговаря на две условия:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Нека докажем първото равенство. Съгласно т. 4 от Забележки 2.3 от свойствата на детерминантата следва, че AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ето защо

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

който трябваше да бъде показан. Второто равенство се доказва аналогично. Следователно, при условието \det(A)\ne0, матрицата A има обратна

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Доказваме уникалността на обратната матрица от противно. Нека освен матрицата A^(-1) съществува още една обратна матрица B\,(B\ne A^(-1)), така че AB=E . Умножавайки двете страни на това равенство отляво по матрицата A^(-1) , получаваме \под скоба(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Следователно B=A^(-1) , което противоречи на предположението B\ne A^(-1) . Следователно обратната матрица е уникална.

Забележки 4.1

1. От определението следва, че матриците A и A^(-1) са пермутабилни.

2. Матрицата, обратна на неизродена диагонална, също е диагонална:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Матрицата, обратна на недегенерирана долна (горна) триъгълна матрица, е долна (горна) триъгълна.

4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж т. 1 от Забележки 1.11).

Свойства на обратната матрица

Операцията за обръщане на матрицата има следните свойства:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \удебелен(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \край (подравнено)

Нека докажем свойство 2: ако произведението AB на неособени квадратни матрици от същия ред има обратна матрица, тогава (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Наистина детерминантата на произведението на матриците AB не е равна на нула, тъй като

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), където \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Следователно обратната матрица (AB)^(-1) съществува и е уникална. Нека покажем по дефиниция, че матрицата B^(-1)A^(-1) е обратна по отношение на матрицата AB. Наистина ли.

обратна матрица

обратна матрицаИзвиква се матрица, която, когато се умножи отдясно и отляво по дадена матрица, дава матрицата за идентичност.
Обозначаваме матрицата, обратна на матрицата НОпрез , то според определението получаваме:

където де матрицата на идентичността.
квадратна матрицаНаречен неспециални (неизродени), ако неговата детерминанта не е равна на нула. Иначе се нарича специален (изродени) или единствено число.

Има една теорема: всяка неособена матрица има обратна матрица.

Операцията за намиране на обратната матрица се нарича обжалванематрици. Помислете за алгоритъма за инверсия на матрицата. Нека е дадена неособена матрица н-та поръчка:

където Δ = det А ≠ 0.

Алгебрично елементно допълнениематрици н-та поръчка НОдетерминантата на матрицата ( н–1)-ти ред, получен чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона на матрицата НО:

Да създадем т.нар приложенматрица:

където са алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата НО.
Обърнете внимание, че алгебричните допълнения на редовите елементи на матрицата НОсе поставят в съответните колони на матрицата Ã , тоест матрицата се транспонира едновременно.
Разделяне на всички елементи на матрицата Ã на Δ - стойността на детерминантата на матрицата НО, получаваме обратната матрица като резултат:

Отбелязваме серията специални свойстваобратна матрица:
1) за дадена матрица НОнейната обратна матрица е единственият;
2) ако има обратна матрица, тогава десен реверси ляв реверсматриците съвпадат с него;
3) специална (изродена) квадратна матрица няма обратна матрица.

Основните свойства на обратната матрица:
1) детерминантата на обратната матрица и детерминантата на оригиналната матрица са реципрочни;
2) обратната матрица на произведението на квадратните матрици е равна на произведението на обратните матрици на факторите, взети в обратен ред:

3) транспонираната обратна матрица е равна на обратната матрица от дадената транспонирана матрица:

ПРИМЕР Изчислете матрицата, обратна на дадената.

Продължаваме да говорим за действия с матрици. А именно, в хода на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е тясна.

Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с реципрочните числа: разгледайте например оптимистичното число 5 и неговата реципрочна стойност. Произведението на тези числа е равно на едно: . Същото е и с матриците! Произведението на матрица и нейната обратна е - матрица на идентичността, което е матричният аналог на числовата единица. Въпреки това, първо, нека решим важното практически въпрос, а именно, ще се научим как да намираме точно тази обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете да намерите обратната матрица? Трябва да можеш да решаваш детерминанти. Трябва да разберете какво е матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
като се използва алгебрични добавкии с помощта на елементарни трансформации.

Днес ще изучаваме първия, по-лесен начин.

Да започнем с най-ужасното и неразбираемо. Обмисли квадратматрица . Обратната матрица може да се намери с помощта на следната формула:

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици "две по две", "три по три" и др.

Нотация: Както вероятно вече сте забелязали, обратната на матрица се обозначава с горен индекс

Да започнем с най-простия случай - матрица две на две. Най-често, разбира се, се изисква "три по три", но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да научите общия принцип на решението.

Пример:

Намерете обратното на матрица

Ние решаваме. Последователността от действия е удобно разложена на точки.

1) Първо намираме детерминантата на матрицата.

Ако разбирането на това действие не е добро, прочетете материала Как да изчислим детерминантата?

важно!Ако детерминантата на матрицата е НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на минорите.

За да разрешим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетно лице, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминантата.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата , т.е. в този случай .
Случаят е малък, остава да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Обратно към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намерите незначителен?
И това се прави по следния начин: УМСТВЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалият брой е минор на дадения елемент, което записваме в нашата матрица от второстепенни:

Разгледайте следния матричен елемент:

Мислено задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:


Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните се нуждаете ПРОМЯНА НА ЗНАЦИза две числа:

Точно тези цифри съм оградил!

е матрицата на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

И само нещо…

4) Намерете транспонираната матрица на алгебрични добавки.

е транспонираната матрица от алгебрични добавки на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Запомнете нашата формула
Всички намерени!

Така че обратната матрица е:

Най-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, като ще се получат дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.

Как да проверите решението?

Трябва да се извърши и матрично умножение

Преглед:

вече споменах матрица на идентичносттае матрица с включени единици главен диагонали нули другаде.

По този начин обратната матрица се намира правилно.

Ако извършите действие, тогава резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато матричното умножение е пермутабилно, повече подробна информацияможете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (дробта) се изнася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартен прием.

Нека да преминем към по-често срещан случай в практиката - матрицата три по три:

Пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като в случая две по две.

Намираме обратната матрица по формулата: , където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

1) Намерете детерминанта на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Освен това не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на минорите.

Матрицата на минорите има размерността "три по три" и трябва да намерим девет числа.

Ще разгледам подробно няколко непълнолетни:

Разгледайте следния матричен елемент:

УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалите четири числа са записани в определителя "две по две"

Тази детерминанта две по две и е минор на дадения елемент. Необходимо е да се изчисли:


Всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица от минори:

Както може би се досещате, има девет детерминанти две по две за изчисляване. Процесът, разбира се, е досаден, но случаят не е най-трудният, може да бъде и по-лош.

Е, за консолидиране - намиране на друг непълнолетен в снимките:

Опитайте сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
е матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата .

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните добавки.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЯНА НА ЗНАЦИстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Намирането на обратната матрица за матрицата „четири по четири“ не се разглежда, тъй като само садистичен учител може да даде такава задача (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанти „три по три“) . В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът контролна работаплати скъпо за моите мъки =).

В редица учебници, ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.