Матрицата има ли обратна. Намиране на обратната матрица: Три алгоритъма и примери

Намиране обратна матрица.

В тази статия ще разгледаме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и начините за намирането й. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които се изисква да се изгради обратна матрица за дадена.

Навигация в страницата.

Обратна матрица - определение.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Свойства на обратната матрица.

Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Жордан.

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратна матрица - определение.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чиято детерминанта е различна от нула, т.е. за неособени квадратни матрици.

Определение.

Матрицасе нарича обратна на матрицата, чийто детерминант е различен от нула, ако равенствата са верни , където де идентичната матрица на реда нНа н.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Как да намерим обратната матрица за дадена?

Първо, имаме нужда от концепциите транспонирана матрица, матричният минор и алгебричното допълнение на матричния елемент.

Определение.

Незначителенк-то поръчкаматрици Апоръчка мНа не детерминантата на матрицата на поръчката кНа к, който се получава от елементите на матрицата Иразположени в избрания клинии и кколони. ( кне надвишава най-малкото число мили н).

Незначителен (n-1)-торед, който се състои от елементите на всички редове, с изключение на i-тои всички колони с изключение на j-ти, квадратна матрица Ипоръчка нНа ннека го обозначим като.

С други думи, минорът се получава от квадратната матрица Ипоръчка нНа нзачеркване на елементи i-толинии и j-тиколона.

Например, нека напишем, минор 2-роред, който се получава от матрицата избор на елементи от неговия втори, трети ред и първа, трета колона . Показваме и минора, който се получава от матрицата изтриване на втория ред и третата колона . Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни: и .

Определение.

Алгебрично събиранеелемент на квадратна матрица се нарича второстепенен (n-1)-торед, който се получава от матрицата И, изтривайки елементи от него i-толинии и j-тиколона, умножена по .

Алгебричното допълнение на елемент се означава като . Поради това, .

Например за матрица алгебричното допълнение на елемента е .

Второ, ще ни трябват две свойства на детерминантата, които обсъдихме в раздела изчисляване на матрична детерминанта:

Въз основа на тези свойства на детерминантата дефинициите операции за умножение на матрица по числои концепцията за обратна матрица, имаме равенството , където е транспонирана матрица, чиито елементи са алгебрични добавки.

Матрица наистина е обратната на матрицата И, тъй като равенствата . Нека го покажем

Да композираме алгоритъм с обратна матрицаизползвайки равенство .

Нека анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица с помощта на пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Изчислете матричната детерминанта И, разширявайки го с елементите на третата колона:

Детерминантата е различна от нула, така че матрицата Иобратими.

Нека намерим матрица от алгебрични добавки:

Ето защо

Нека извършим транспонирането на матрицата от алгебрични добавки:

Сега намираме обратната матрица като :

Да проверим резултата:

Равенство се изпълняват, следователно обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратната матрица.

Понятие за обратна матрица, равенство , дефинициите на операциите върху матрици и свойствата на детерминанта на матрица позволяват да се обоснове следното свойства на обратната матрица:

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица за квадратна матрица Ипоръчка нНа н.

Този метод се основава на решението нсистеми от линейни нееднородни алгебрични уравнения с ннеизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Обозначаваме обратната матрица като х, това е, . Тъй като по дефиниция на обратната матрица , тогава

Приравнявайки съответните елементи по колони, получаваме нсистеми от линейни уравнения

Решаваме ги по произволен начин и формираме обратна матрица от намерените стойности.

Нека анализираме този метод с пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Приеми . Равенството ни дава три системи от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:

Няма да описваме решението на тези системи, ако е необходимо, вижте раздела решение на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме , от втората - , от третата - . Следователно желаната обратна матрица има формата . Препоръчваме да проверите, за да се уверите, че резултатът е правилен.

Обобщете.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за намирането й.

Пример за решения на обратна матрица

Упражнение 1.Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Начало на формуляра

Край на формата

Решение. Нека запишем матрицата във формата: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Голяма детерминанта Малка за (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Малък за (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Малък за (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Малък за (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Второстепенна детерминанта ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонирана матрицаАлгебрични допълнения ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 обратна матрица Резултат вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Вижте също Решения на SLAE по метода на обратната матрицана линия. За да направите това, въведете вашите данни и вземете решение с подробни коментари.

Задача 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и я решете с помощта на обратната матрица. Проверете полученото решение. Решение:xml:xls

Пример 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица. Решение:xml:xls

Пример. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Задължително: 1) намерете решението му, като използвате Формули на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я решете с помощта на матрично смятане. Насоки. След решаване по метода на Cramer намерете бутона "Решение на обратна матрица за първоначални данни". Ще получите подходящо решение. Така данните няма да се налага да се попълват отново. Решение. Означаваме с A - матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица на неизвестните; B - матрица-колона на безплатните членове:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) Като се имат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: А*Х = B. Ако матрицата А е неособена (детерминантата й е различна от нула, тогава тя има обратна матрица А -1 , Умножавайки двете страни на уравнението с A -1, получаваме: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Това равенство се нарича матрична нотация на решението на системата от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1 . Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула. Нека намерим основната детерминанта. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 И така, детерминантата е 14 ≠ 0, така че ние продължаваме решението. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични добавки. Нека имаме неособена матрица A:

Изчисляваме алгебрични добавки.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Преглед. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Отговор: -1,1,2.

Обратната матрица за дадена е такава матрица, умножение на оригиналната, по която дава матрицата на идентичност: Задължително и достатъчно условиеналичието на обратна матрица е неравенството до нула на детерминантата на оригиналната (което от своя страна означава, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича изродена и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици имат важности се използват за решаване на редица проблеми. Например на намиране на обратната матрицаконструиран е матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратната матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Джордан и използването на матрицата на алгебричните добавки. Първият предполага голям брой елементарни трансформациивътре в матрицата, втората е изчисляването на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

.

Намерете обратната матрица на сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта изчисленията се правят от нашия сервиз и резултатът се показва с подробно решениепо местоположение обратна матрица. Сървърът винаги дава само точния и верен отговор. В задачи по определение обратна матрица онлайн, необходимо е детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще отчете невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула. Задача за намиране обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е една от най-основните концепции на алгебрата и математически инструмент в приложни проблеми. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и голямо внимание, за да не се допусне пропуск или малка грешка в изчисленията. Ето защо, нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнзначително ще улесни вашата задача и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване задачи по математика. Дори ако ти намерете обратна матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица в нашата Изчисли обратна матрица онлайн и проверете отговора си. Нашата система никога не греши и намира обратна матрицададено измерение в режима на линиямоментално! На линия уебсайтвписванията на символи са разрешени в елементи матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в обща символна форма.

Разгледайте проблема за дефиниране на операцията, обратна на матричното умножение.

Нека A е квадратна матрица от ред n. Матрица A^(-1) , която заедно с дадената матрица A удовлетворява следните равенства:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

Наречен обратен. Матрицата А се нарича обратими, ако има обратно за него, в противен случай - необратим.

От дефиницията следва, че ако съществува обратна матрица A^(-1), то тя е квадратна от същия ред като A . Въпреки това, не всяка квадратна матрица има обратна. Ако детерминантата на матрица A е равна на нула (\det(A)=0), тогава няма обратна за нея. Наистина, прилагайки теоремата за детерминантата на произведението от матрици за матрицата на идентичност E=A^(-1)A, получаваме противоречие

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

тъй като детерминантата на матрицата на идентичността е равна на 1. Оказва се, че разликата от нула на детерминантата на квадратната матрица е единственото условие за съществуването на обратна матрица. Припомнете си, че квадратна матрица, чиято детерминанта е равна на нула, се нарича изродена (единична), в противен случай - неособена (неособена).

Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. квадратна матрица A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), чийто детерминант е различен от нула, има обратна матрица и освен това само една:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

където A^(+) е матрицата, транспонирана за матрицата, съставена от алгебричните допълнения на елементите на матрицата A .

Матрицата A^(+) се нарича прикрепена матрицапо отношение на матрицата A .

Наистина, матрицата \frac(1)(\det(A))\,A^(+)съществува при условието \det(A)\ne0 . Трябва да покажем, че е обратно на A , т.е. отговаря на две условия:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Нека докажем първото равенство. Съгласно т. 4 от Забележки 2.3 от свойствата на детерминантата следва, че AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ето защо

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

който трябваше да бъде показан. Второто равенство се доказва аналогично. Следователно, при условието \det(A)\ne0, матрицата A има обратна

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Доказваме уникалността на обратната матрица от противно. Нека освен матрицата A^(-1) съществува още една обратна матрица B\,(B\ne A^(-1)), така че AB=E . Умножавайки двете страни на това равенство отляво по матрицата A^(-1) , получаваме \под скоба(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Следователно B=A^(-1) , което противоречи на предположението B\ne A^(-1) . Следователно обратната матрица е уникална.

Забележки 4.1

1. От определението следва, че матриците A и A^(-1) са пермутабилни.

2. Матрицата, обратна на неизродена диагонална, също е диагонална:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Матрицата, обратна на недегенерирана долна (горна) триъгълна матрица, е долна (горна) триъгълна.

4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж т. 1 от Забележки 1.11).

Свойства на обратната матрица

Операцията за обръщане на матрицата има следните свойства:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \удебелен(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \край (подравнено)

ако операциите, посочени в равенства 1-4, имат смисъл.

Нека докажем свойство 2: ако произведението AB на неособени квадратни матрици от същия ред има обратна матрица, тогава (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Наистина детерминантата на произведението на матриците AB не е равна на нула, тъй като

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), където \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Следователно обратната матрица (AB)^(-1) съществува и е уникална. Нека покажем по дефиниция, че матрицата B^(-1)A^(-1) е обратна по отношение на матрицата AB. Наистина ли.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарни трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

Метод на съединена (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, съюзна) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). Да се ​​намери обратната на матрица по-висок ред, се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример #1

Намерете матрица, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Пример #2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че ние продължаваме решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантната матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така се намира обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край (масив)\десен)$:

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример #3

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Проверката е преминала успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример #4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред, намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Въпреки това, такива примери контролна работаСреща.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата в ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратната матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е изродена.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродениако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрицата A в таблицата за решаване на системи уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на десните части на уравненията) й задайте матрица E.
2. Използвайки трансформациите на Джордан, приведете матрица А към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата на идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
4. Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно задаваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, редуцираме матрицата A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата на идентичността. Следователно изчисленията са верни.

Отговор:

Решение на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други, те също намират приложение матрични методи . Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на матрични методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе формира система икономически показателии въз основа на нея се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която на отделните й редове са показани системните номера (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-висока стойности се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки показател от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от вещо лице.

На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.

Горните матрични методи трябва да се използват, например, когато сравнителен анализразлични инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организациите.