Примери за намиране на условни точки на екстремум. Най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област

Условен екстремум.

Екстремуми на функция на няколко променливи

Метод на най-малките квадрати.

Локален екстремум на FNP

Нека функцията и= f(P), RÎDÌR ни нека точката Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) –вътрешниточка на множество D.

Определение 9.4.

1) Точката P 0 се нарича максимална точка функции и= f(P), ако съществува околност на тази точка U(P 0) Ì D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , условието f(P) £ f(P0) . Значение f(P 0) функции в максималната точка се извиква максимална функция и означено f(P 0) = макс f(P) .

2) Точката P 0 се нарича минимална точка функции и= f(P), ако съществува околност на тази точка U(P 0)Ì D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , условието f(P)³ f(P0) . Значение f(P 0) функции в минималната точка се извиква функционален минимум и означено f(P 0) = мин f(P).

Точките на минимум и максимум на функция се наричат крайни точки, се извикват стойностите на функцията в екстремалните точки екстремуми на функцията.

Както следва от определението, неравенствата f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) трябва да се изпълнява само в определена околност на точката Р 0, а не в цялата област на функцията, което означава, че функцията може да има няколко екстремума от един и същи тип (няколко минимума, няколко максимума). Следователно дефинираните по-горе екстремуми се наричат местен(локални) крайности.

Теорема 9.1 (необходимо условие за екстремума на FNP)

Ако функцията и= f(х 1 , х 2 , ..., x n) има екстремум в точката P 0 , тогава неговите частни производни от първи ред в тази точка са или равни на нула, или не съществуват.

Доказателство.Нека в точката Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) функция и= f(P) има екстремум, като максимум. Нека оправим аргументите х 2 , ..., x n, поставяне х 2 =а 2 ,..., x n = a p. Тогава и= f(P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., a p) е функция на една променлива хедин . Тъй като тази функция има х 1 = а 1 екстремум (максимум), тогава f 1 ¢=0 или не съществува, когато х 1 =а 1 (необходимо условие за съществуването на екстремум на функция на една променлива). Но , тогава или не съществува в точката P 0 - точката на екстремума. По подобен начин можем да разгледаме частични производни по отношение на други променливи. CHTD.

Точките от областта на функцията, в които частните производни от първи ред са равни на нула или не съществуват, се наричат критични точки тази функция.

Както следва от теорема 9.1, екстремалните точки на FNP трябва да се търсят сред критичните точки на функцията. Но що се отнася до функция на една променлива, не всяка критична точкае екстремната точка.

Теорема 9.2

Нека Р 0 е критична точка на функцията и= f(P) и е диференциал от втори ред на тази функция. Тогава

какво ако д 2 u(P 0) > 0 за , то Р 0 е точка минимумфункции и= f(P);

б) ако д 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумфункции и= f(P);

в) ако д 2 u(P 0) не е дефиниран със знак, тогава P 0 не е точка на екстремум;

Разглеждаме тази теорема без доказателство.

Имайте предвид, че теоремата не разглежда случая, когато д 2 u(P 0) = 0 или не съществува. Това означава, че въпросът за наличието на екстремум в точка P 0 при такива условия остава отворен - необходими са допълнителни изследвания, например изследване на увеличението на функцията в тази точка.

В по-подробни курсове по математика е доказано, че по-специално за функцията z = f(х,г) на две променливи, чийто диференциал от втори ред е сбор от формата

изследването на наличието на екстремум в критичната точка Р 0 може да бъде опростено.

Означаваме , , . Съставете определителя

Оказа се:

д 2 z> 0 в точката P 0 , т.е. P 0 - минимална точка, ако А(P 0) > 0 и D(P 0) > 0;

д 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ако D(P 0)< 0, то д 2 zв близост до точката Р 0 сменя знака и в точката Р 0 няма екстремум;

ако D(Р 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания на функцията в близост до критичната точка Р 0.

По този начин, за функцията z = f(х,г) две променливи, имаме следния алгоритъм (да го наречем "алгоритъм D") за намиране на екстремума:

1) Намерете областта на дефиницията D( f) функции.

2) Намерете критични точки, т.е. точки от D( f), за които и са равни на нула или не съществуват.

3) Във всяка критична точка Р 0 проверете достатъчните условия за екстремума. За да направите това, намерете , където , , и се изчислява D(Р 0) и НО(P 0). Тогава:

ако D(Р 0) >0, тогава има екстремум в точката Р 0, освен това, ако НО(P 0) > 0 - тогава това е минимум и ако НО(P 0)< 0 – максимум;

ако D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Ако D(Р 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания.

4) Изчислете стойността на функцията в намерените точки на екстремум.

Пример1.

Намерете екстремума на функция z = х 3 + 8г 3 – 3xy .

Решение.Обхватът на тази функция е цялото координатна равнина. Нека намерим критичните точки.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Нека проверим изпълнението на достатъчни екстремни условия. Да намерим

6х, = -3, = 48прии = 288ху – 9.

Тогава D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - има екстремум в точката Р 1, а тъй като НО(P 1) = 3 >0, тогава този екстремум е минимум. Значи мин z=z(P1) = .

Пример 2

Намерете екстремума на функция .

Решение: D( f) = R 2 . Критични точки: ; не съществува при при= 0, така че P 0 (0,0) е критичната точка на тази функция.

2, = 0, = , = , но D(Р 0) не е дефиниран, така че е невъзможно да се изследва знакът му.

По същата причина е невъзможно теорема 9.2 да се приложи директно − д 2 zне съществува в този момент.

Помислете за нарастването на функцията f(х, г) в точка Р 0 . Ако Д f =f(P)- f(P 0)>0 "P, тогава P 0 е минималната точка, ако D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Имаме в нашия случай

д f = f(х, г) – f(0, 0) = f(0+D х,0+D г) – f(0, 0) = .

В Д х= 0,1 и D г= -0,008 получаваме D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dх= 0,1 и D г= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, т.е. в близост до точката Р 0 нито условието D f <0 (т.е. f(х, г) < f(0, 0) и следователно P 0 не е максимална точка), нито условието D f>0 (т.е. f(х, г) > f(0, 0) и тогава Р 0 не е минимална точка). Следователно, по дефиниция на екстремум, тази функция няма екстремуми.

Условна крайност.

Разглежданият екстремум на функцията се нарича безусловен, тъй като не се налагат ограничения (условия) върху аргументите на функцията.

Определение 9.2.Функция екстремум и = f(х 1 , х 2 , ... , x n), намерени при условие, че неговите аргументи х 1 , х 2 , ... , x nудовлетворяват уравненията j 1 ( х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, …, j T(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, където P ( х 1 , х 2 , ... , x n) О D( f), е наречен условен екстремум .

Уравнения j к(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, са наречени уравнения на връзката.

Помислете за функциите z = f(х,г) от две променливи. Ако има само едно ограничително уравнение, т.е. , тогава намирането на условен екстремум означава, че екстремумът се търси не в цялата област на функцията, а върху някаква крива, лежаща в D( f) (т.е. не най-високата или най-високата ниски точкиповърхности z = f(х,г), и най-високите или най-ниските точки сред точките на пресичане на тази повърхност с цилиндъра , фиг. 5).

Условен екстремум на функцията z = f(х,г) от две променливи може да се намери по следния начин( метод на елиминиране). От уравнението изразете една от променливите като функция на другата (например напишете ) и, замествайки тази стойност на променливата във функцията , напишете последната като функция на една променлива (в разглеждания случай ). Намерете екстремума на получената функция на една променлива.

Достатъчно условие за екстремум на функция на две променливи

1. Нека функцията е непрекъснато диференцируема в някаква околност на точката и има непрекъснати частни производни от втори ред (чисти и смесени).

2. Означава се с детерминанта от втори ред

екстремна променлива лекционна функция

Теорема

Ако точката с координати е неподвижна точка за функцията, тогава:

А) Когато е точка на локален екстремум и при локален максимум - локален минимум;

В) когато точката не е локална точка на екстремум;

В) ако, може и двете.

Доказателство

Пишем формулата на Тейлър за функцията, ограничавайки се до два члена:

Тъй като според условието на теоремата точката е неподвижна, частните производни от втори ред са равни на нула, т.е. и. Тогава

Обозначете

Тогава увеличението на функцията ще приеме формата:

Поради непрекъснатостта на частичните производни от втори ред (чисти и смесени), съгласно условието на теоремата в точка, можем да запишем:

Къде или; ,

1. Нека и, т.е. или.

2. Умножаваме нарастването на функцията и разделяме на, получаваме:

3. Допълнете израза във къдрави скоби до пълния квадрат на сумата:

4. Изразът във къдрави скоби е неотрицателен, тъй като

5. Следователно, ако и следователно, и, тогава и, следователно, според дефиницията точката е точка на локален минимум.

6. Ако и означава, и, тогава, според определението, точка с координати е локална максимална точка.

2. Помислете за квадратен тричлен, неговия дискриминант, .

3. Ако, тогава има такива точки, че полиномът

4. Общото нарастване на функцията в точка в съответствие с израза, получен в I, записваме във формата:

5. Поради непрекъснатостта на частичните производни от втори ред, по условието на теоремата в точка, можем да запишем, че

следователно съществува околност на точка, така че за всяка точка квадратният трином е по-голям от нула:

6. Разгледайте - околността на точката.

Нека изберем произволна стойност, така че това е смисълът. Ако приемем, че във формулата за нарастване на функцията

Какво получаваме:

7. От тогава.

8. Като се аргументираме по подобен начин за корена, получаваме, че във всяка - околност на точката има точка, за която следователно в околността на точката не запазва знак, следователно няма екстремум в точката.

Условен екстремум на функция на две променливи

При търсене на екстремуми на функция на две променливи често възникват проблеми, свързани с така наречения условен екстремум. Тази концепция може да се обясни с примера на функция на две променливи.

Нека в равнината 0xy са дадени функция и права L. Задачата е да се намери точка P (x, y) на правата L, в която стойността на функцията е най-голяма или най-малка в сравнение със стойностите на тази функция в точките на правата L, разположени близо до точка P. Такива точки P се наричат условни функции на екстремни точки на линията L. За разлика от обичайната екстремна точка, стойността на функцията в условната екстремална точка се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки на някои от околностите му, но само при тези, които лежат на линията L.

Съвсем ясно е, че точката на обичайния екстремум (те също така казват безусловния екстремум) е и точката на условния екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: една условна точка на екстремум може да не е конвенционална точка на екстремум. Нека илюстрираме казаното с пример.

Пример #1.Графиката на функцията е горната полусфера (фиг. 2).

Ориз. 2.

Тази функция има максимум в началото; той съответства на върха М на полукълбото. Ако правата L е права линия, минаваща през точки A и B (нейното уравнение), тогава е геометрично ясно, че за точките на тази права най-висока стойностфункцията се достига в точка, разположена по средата между точките A и B. Това е точката на условния екстремум (максимум) на функцията на тази права; тя съответства на точката M 1 на полусферата и от фигурата се вижда, че тук не може да става дума за обикновен екстремум.

Обърнете внимание, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област трябва да се намерят екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема за условен екстремум.

Определение 1.Те казват, че където има условен или относителен максимум (минимум) в точка, която удовлетворява уравнението: ако за всяко, което удовлетворява уравнението, неравенството

Определение 2.Уравнение от формата се нарича уравнение на ограничение.

Теорема

Ако функциите и са непрекъснато диференцируеми в околност на точка и частната производна, а точката е точката на условния екстремум на функцията по отношение на уравнението на ограничението, тогава детерминантата от втори ред е равна на нула:

Доказателство

1. Тъй като според условието на теоремата, частната производна и стойността на функцията, тогава в някакъв правоъгълник

дефинирана неявна функция

Сложна функция на две променливи в точка ще има локален екстремум, следователно, или.

2. Действително, според свойството за инвариантност на диференциалната формула от първи ред

3. Уравнението на връзката може да бъде представено в тази форма, което означава

4. Умножете уравнение (2) по и (3) по и ги добавете

Следователно, когато

произволен. h.t.d.

Последица

Търсенето на условни точки на екстремум на функция на две променливи на практика се извършва чрез решаване на система от уравнения

И така, в горния пример № 1 от уравнението на комуникацията имаме. От тук е лесно да проверите какво достига максимум при . Но тогава от уравнението на комуникацията. Получаваме точката P, намерена геометрично.

Пример #2.Намерете условните точки на екстремум на функцията по отношение на уравнението на ограничението.

Нека намерим частни производни дадена функцияи уравненията на връзката:

Нека направим детерминанта от втори ред:

Нека запишем системата от уравнения за намиране на условни точки на екстремум:

следователно има четири условни точки на екстремум на функцията с координати: .

Пример #3.Намерете точките на екстремума на функцията.

Приравнявайки частните производни на нула: , намираме една неподвижна точка - началото. Тук,. Следователно точката (0, 0) също не е точка на екстремум. Уравнението е уравнението на хиперболичен параболоид (фиг. 3), фигурата показва, че точката (0, 0) не е точка на екстремум.

Ориз. 3.

Най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област

1. Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в ограничена затворена област D.

2. Нека функцията има крайни частни производни в тази област, с изключение на отделни точки от областта.

3. В съответствие с теоремата на Вайерщрас в тази област има точка, в която функцията взема най-голямо и най-малка стойност.

4. Ако тези точки са вътрешни точки на област D, тогава е очевидно, че те ще имат максимум или минимум.

5. В този случай точките, които ни интересуват, са сред подозрителните точки на екстремума.

6. Функцията обаче може също да приеме максимална или минимална стойност на границата на областта D.

7. За да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функцията в областта D, трябва да намерите всички вътрешни точки, подозрителни за екстремум, да изчислите стойността на функцията в тях, след което да сравните със стойността на функцията при граничните точки на зоната и най-голямата от всички намерени стойности ще бъде най-голямата в затворения регион D.

8. Методът за намиране на локален максимум или минимум беше разгледан по-рано в Раздел 1.2. и 1.3.

9. Остава да разгледаме метода за намиране на максималните и минималните стойности на функцията на границата на региона.

10. В случай на функция на две променливи областта обикновено се оказва ограничена от крива или няколко криви.

11. По такава крива (или няколко криви) променливите и или зависят една от друга, или и двете зависят от един параметър.

12. Така на границата функцията се оказва зависима от една променлива.

13. Методът за намиране на най-голямата стойност на функция на една променлива беше обсъден по-рано.

14. Нека границата на областта D е дадена от параметричните уравнения:

Тогава върху тази крива функцията на две променливи ще бъде сложна функцияот параметър: . За такава функция най-голямата и най-малката стойност се определят чрез метода за определяне на най-големите и най-малките стойности за функция на една променлива.

Нека първо разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функцията $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, достигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка удовлетворяват уравнението на ограничението $\ varphi(x,y)=0$.

Името "условен" екстремум се дължи на факта, че допълнителното условие $\varphi(x,y)=0$ е наложено върху променливите. Ако е възможно да се изрази една променлива по отношение на друга от уравнението на връзката, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако $y=\psi(x)$ следва от уравнението на ограничението, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $ z=f\ляво (x,\psi(x)\дясно)$. AT общ случай, обаче, този метод е малко полезен, така че е необходим нов алгоритъм.

Метод на множителите на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителите на Лагранж е, че за да се намери условният екстремум, функцията на Лагранж се съставя: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda $ се нарича множител на Лагранж). Необходимите екстремални условия се дават чрез система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на ограничението получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, така че във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементи на $\left| \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив) \right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Забележка относно формата на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, се променя, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и за $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Решете система $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
- Съставете определителя $H$ и намерете неговия знак
- Като вземете предвид уравнението на ограничението, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да предположим, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за ограничаване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Възможно е да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, чрез знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава изследваната стационарна точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример #1

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на тази задача е следната: трябва да се намери най-голямата и най-малката стойност на апликацията на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y^2 =10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива по отношение на друга от ограничителното уравнение и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека запишем системата от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие казва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, изчисляваме детерминантата $H$ във всяка от точките.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точката $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че в точката $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точката $M_2(-1;-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се разшири в общ изглед. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Детерминант $H$ нотация в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно кой знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете също да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Намерете знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Отбелязвам, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx\right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, така че за $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точката $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точката $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример #2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първият начин (методът на умножителите на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0;\\&x+y=0.\край (подравнено)\вдясно.$$

Решавайки системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, така че в този момент функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка от точките по различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на ограничението $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на ограничението $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Има точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Изследвайки знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверявайки промяната на знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както в първото решение , Например знак за отметка $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$, докато $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ при даденото условие за връзка съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са желаните условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме още един пример, в който откриваме природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример #3

Намерете максималната и минималната стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват ограничителното уравнение $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Съставете функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Намерете стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(подравнено) \right.$$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в условието на задачата). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Естеството на екстремума в точката $(2;1)$ се определя от знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, като по този начин получавате:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи за условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точката $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част разглеждаме приложението на метода на Лагранж за функции Повече ▼променливи.

Определение1: Казва се, че функцията има в точката локален максимум, ако съществува околност на точката, за която за всяка точка Мс координати (x, y)неравенството е изпълнено: . В този случай, т.е. нарастването на функцията< 0.

Определение2: За функция се казва, че има локален минимум в точка, ако съществува околност на точката, така че за всяка точка Мс координати (x, y)неравенството е изпълнено: . В този случай, т.е. нарастването на функцията > 0.

Определение 3: Извикват се локални минимални и максимални точки екстремни точки.

Условни крайности

При търсене на екстремуми на функция на много променливи често възникват проблеми, свързани с т.нар условна крайност.Тази концепция може да се обясни с примера на функция на две променливи.

Нека са дадени функция и права Лна повърхността 0xy. Задачата е да се редят Лнамери такава точка P(x, y),в която стойността на функцията е най-голямата или най-малката в сравнение със стойностите на тази функция в точките на линията Лразположен в близост до точката П. Такива точки ПНаречен условни точки на екстремумлинейни функции Л. За разлика от обичайната точка на екстремум, стойността на функцията в условната точка на екстремум се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки на някои от нейните околности, а само в тези, които лежат на линията Л.

Съвсем ясно е, че точката на обичайния екстремум (те също казват безусловен екстремум) също е условна точка на екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: една условна точка на екстремум може да не е конвенционална точка на екстремум. Нека обясня това с прост пример. Графиката на функцията е горната полусфера (Приложение 3 (фиг. 3)).

Тази функция има максимум в началото; тя съответства на върха Мполукълба. Ако линията Лима права, минаваща през точките НОи AT(нейното уравнение x+y-1=0), тогава е геометрично ясно, че за точките на тази права максималната стойност на функцията се достига в точката, разположена в средата между точките НОи AT.Това е точката на условния екстремум (максимум) на функцията върху дадената права; тя съответства на точката M 1 на полусферата и от фигурата се вижда, че тук не може да става дума за обикновен екстремум.

Обърнете внимание, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, трябва да намерим екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема за условен екстремум.

Нека сега преминем към практическото търсене на точките на условния екстремум на функцията Z= f(x, y), при условие че променливите x и y са свързани с уравнението (x, y) = 0. Тази връзка ще бъде наречено уравнение на ограничение. Ако от уравнението на връзката y може да бъде изразено изрично по отношение на x: y \u003d (x), получаваме функция на една променлива Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

След като намерим стойността на x, при която тази функция достига екстремум, и след това определим съответните стойности на y от уравнението на връзката, ще получим желаните точки на условния екстремум.

И така, в горния пример, от уравнението на комуникацията x+y-1=0 имаме y=1-x. Оттук

Лесно се проверява, че z достига своя максимум при x = 0,5; но тогава от уравнението на връзката y = 0,5 и получаваме точно точката P, намерена от геометрични съображения.

Проблемът с условния екстремум се решава много просто, дори когато ограничителното уравнение може да бъде представено чрез параметрични уравнения x=x(t), y=y(t). Заместване на изрази за x и y в тази функция, отново стигаме до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива.

Ако уравнението на ограничението има повече от сложен изгледи ние не сме в състояние да изразим изрично една променлива чрез друга, нито да я заменим с параметрични уравнения, тогава проблемът с намирането на условен екстремум става по-труден. Ще продължим да приемаме, че в израза на функцията z= f(x, y) променливата (x, y) = 0. Общата производна на функцията z= f(x, y) е равна на:

Къде е производната y`, намерена по правилото за диференциране на неявната функция. В точките на условния екстремум намерената обща производна трябва да бъде равна на нула; това дава едно уравнение, свързващо x и y. Тъй като те също трябва да удовлетворяват ограничителното уравнение, получаваме система от две уравнения с две неизвестни

Нека трансформираме тази система в много по-удобна, като напишем първото уравнение като пропорция и въведем ново спомагателно неизвестно:

(за удобство отпред е поставен знак минус). От тези равенства лесно се преминава към следната система:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

което, заедно с ограничителното уравнение (x, y) = 0, образува система от три уравнения с неизвестни x, y и.

Използването на тези уравнения (*) е най-лесно за запомняне следващото правило: за намиране на точки, които могат да бъдат точки на условния екстремум на функцията

Z= f(x, y) с ограничителното уравнение (x, y) = 0, трябва да формирате спомагателна функция

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Къде е някаква константа и напишете уравнения, за да намерите точките на екстремума на тази функция.

Посочената система от уравнения предоставя като правило само необходимите условия, т.е. не всяка двойка стойности x и y, която удовлетворява тази система, е непременно условна точка на екстремум. Достатъчни условияза точките на условния екстремум, няма да дам; много често конкретното съдържание на проблема подсказва каква е намерената точка. Описаната техника за решаване на задачи за условен екстремум се нарича метод на множителите на Лагранж.

Пример

Намерете екстремума на функцията при условие, че хи приса свързани със съотношението: . Геометрично задачата означава следното: върху елипса
самолет
.

Тази задача може да се реши по следния начин: от уравнението
намирам
х:

при условие че
, сведен до задачата за намиране на екстремума на функция на една променлива върху сегмента
.

Геометрично задачата означава следното: върху елипса получени чрез пресичане на цилиндъра
самолет
, се изисква да се намери максималната или минималната стойност на приложението (фиг. 9). Тази задача може да се реши по следния начин: от уравнението
намирам
. Замествайки намерената стойност на y в уравнението на равнината, получаваме функция на една променлива х:

По този начин проблемът за намиране на екстремума на функцията
при условие че
, сведен до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива, върху сегмент.

Така, проблемът за намиране на условен екстремуме проблемът за намиране на екстремума на целевата функция
, при условие че променливите хи припредмет на ограничението
Наречен уравнение на връзката.

Ние ще кажем това точка
, удовлетворяващо уравнението на ограничението, е точка на локален условен максимум (минимум) ако има квартал
така че за всякакви точки
, чиито координати удовлетворяват ограничителното уравнение, неравенството е в сила.

Ако от уравнението на комуникацията е възможно да се намери израз за при, тогава, замествайки този израз в оригиналната функция, ние превръщаме последната в сложна функция на една променлива Х.

Общият метод за решаване на проблема с условния екстремум е Метод на умножителя на Лагранж. Нека създадем спомагателна функция, където ─ някакво число. Тази функция се нарича Функция на Лагранж, а ─ Множител на Лагранж. По този начин проблемът за намиране на условен екстремум е сведен до намиране на локални точки на екстремум за функцията на Лагранж. За да се намерят точките на възможен екстремум, е необходимо да се реши система от 3 уравнения с три неизвестни x, yи.

Тогава трябва да се използва следното достатъчно екстремално условие.

ТЕОРЕМА. Нека точката е точка на възможен екстремум за функцията на Лагранж. Предполагаме, че в околностите на точката
има непрекъснати частни производни от втори ред на функциите и . Обозначете

Тогава ако
, тогава
─ условна точка на екстремум на функцията
в уравнението на ограничението
междувременно, ако
, тогава
─ условна минимална точка, ако
, тогава
─ точка на условен максимум.

§осем. Градиент и производна на посоката

Нека функцията
дефинирани в някакъв (отворен) домейн. Помислете за всяка точка
тази област и всяка насочена права линия (ос) минаваща през тази точка (фиг. 1). Позволявам
- друга точка от тази ос,
- дължината на сегмента между
и
, взети със знак плюс, ако посоката
съвпада с посоката на оста , и със знак минус, ако посоките им са противоположни.

Позволявам
подходи за неопределено време
. Лимит

Наречен производна на функция
към (или по оста ) и се означава по следния начин:

Тази производна характеризира "скоростта на промяна" на функцията в точката
към . По-специално и обикновените частични производни ,могат също да се разглеждат като производни "по отношение на посоката".

Да предположим сега, че функцията
има непрекъснати частични производни в разглеждания регион. Нека оста образува ъгли с координатните оси
и . При направените предположения производната по посока съществува и се изразява с формулата

Ако векторът
зададен от неговите координати
, след това производната на функцията
по посока на вектора
може да се изчисли по формулата:

Вектор с координати
Наречен градиентен векторфункции
в точката
. Градиентният вектор показва посоката на най-бързото нарастване на функцията в дадена точка.