Общ диференциал на функция. §24

ЛЕКЦИЯ 10. ФУНКЦИОНАЛЕН ДИФЕРЕНЦИАЛ. ТЕОРЕМИ НА ФЕРМА, РОЛ, ЛАГРАНЖ И КОШИ.

1. Функционален диференциал

1.1. Дефиниция на диференциала на функция

ОТ понятието производно е тясно свързано с друго фундаментално понятие математически анализе диференциалът на функцията.

Определение 1. Функция y = f (x), дефинирана в някаква околност на точка x, се нарича диференцируема в точка x, ако нейното увеличение в тази точка

y = f (x + x) − f (x)

има формата

y = A x + α(Δx) x,

където A е константа и функцията α(Δx) → 0 при x → 0.

Нека y = f (x) е диференцируема функция, тогава даваме следното определение.

Определение 2. Главна линейна		част A x	нараствания	функции f(x)
се нарича диференциал на функцията в точката x и се означава с dy.
По този начин,
y = dy + α(Δx) x.
Забележка 1. Стойността dy =		x се нарича	част от основната линия
увеличение y поради факта, че другата част от увеличението α(Δx)				x за малък
x става много по-малко от A

Твърдение 1. За да бъде функция y = f (x) диференцируема в точка x, е необходимо и достатъчно тя да има производна в тази точка.

Доказателство. Трябва. Нека функцията f (x) е диференцируема в точка

x + α(Δx) x, за

x → 0. Тогава

A + limα(Δx) = A.

Следователно производната f ′ (x) съществува и е равна на A.

Адекватност. Нека съществува

f ′ (x), т.е. има граница lim

F'(x).

F ′ (x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x.

Последното равенство означава, че функцията y = f (x) е диференцируема.

1.2. Геометричният смисъл на диференциала

Нека l е допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката M (x, f (x)) (фиг. 1). Нека покажем, че dy е стойността на сегмента P Q. Наистина,

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

" "л

"" " "

" α

И така, диференциалът dy на функцията f (x) в точката x е равен на нарастването на ординатата на допирателната l в тази точка.

1.3. Диференциална инвариантност на формата

Ако x е независима променлива, тогава

dy = f′ (x)dx.

Да приемем, че x = ϕ(t), където t е независима променлива, y = f (ϕ(t)). Тогава

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

И така, формата на диференциала не се е променила, въпреки факта, че x не е независима променлива. Това свойство се нарича инвариантност на формата на диференциала.

1.4. Приложение на диференциала при приближени изчисления

От формулата y = dy + α(Δx) x, отхвърляйки α(Δx) x, е ясно, че за малки

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

От тук получаваме

f (x + x) − f (x) ≈ f′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx. (1) Формула (1) се използва при приблизителни изчисления.

1.5. Диференциали от по-висок порядък

По дефиниция вторият диференциал на функция y = f (x) в точка x е диференциалът на първия диференциал в тази точка, който се означава

d2 y = d(dy).

Нека изчислим втория диференциал:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(при изчисляване на производната (f ′ (x)dx)′ взехме предвид, че стойността dx не зависи от x и следователно е постоянна по време на диференцирането).

Като цяло диференциалът от порядък n на функция y = f (x) е първият

диференциал

от диференц

тази функция, която

обозначен с

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn.

Намерете диференциала на функцията y = arctg x .

Решение. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

Намерете диференциалите от първи и втори ред на функцията v = e2t.

Решение. dv = 2e2t dt, d2 v = 4e2t dt2.

Сравнете увеличението и диференциала на функцията y = 2x3 + 5x2.

Решение. Намираме

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx.

Разлика между прираст

y и диференциал dy е безкрайно малко по-високо

ред в сравнение с

x равно на (6x + 5)Δx2 + 2Δx3.

Пример 4. Изчислете приблизителната стойност на площта на кръг, чийто радиус е 3,02 m.

Решение. Нека използваме формулата S = πr2 . Задавайки r = 3, r = 0,02, имаме

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Следователно приблизителната стойност на площта на кръга е 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (т2).

Пример 5. Изчислете приблизителната стойност на arcsin 0,51 с точност до 0,001. Решение. Да разгледаме функцията y = arcsin x . Нека х = 0,5 , х = 0,01 и

прилагане на формула (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′

(арксинкс)'

≈ arcsin 0,5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Пример 6. Изчислете приблизително √ 3

с точност до 0,0001.

Решение. Да разгледаме функцията y = √ 3

и поставете x = 8,

x = 0, 01. По същия начин

по формула (1)

(√ 3x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

0,01 = 2 + 3 4 0,01 ≈ 2,0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Теореми на Ферма, Рол, Лагранж и Коши

Определение 3. Казва се, че функцията y = f (x) има (или достига) в точката α локален максимум(минимум), ако има околност U (α) на точката α, така че за всички x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Местният максимум и локалният минимум са обединени от общо наименование

местен екстрем.

Функцията, чиято графика е показана на фиг. 4 има локален максимум в точки β, β1 и локален минимум в точки α, α1.

Твърдение 2. (Ферма) Нека функцията y = f (x) е диференцируема в точка α и има локален екстремум в тази точка. Тогава f ′ (α) = 0.

Идеята зад доказателството на теоремата на Ферма е следната. Нека за определеност f (x) има локален минимум в точката α. По дефиниция f ′ (α) е границата при x → 0 на релацията

	f (α + x) − f (α)
Но за достатъчно малък (по абсолютна стойност) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Следователно с такива	x получаваме
Оттук следва, че
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.
Направете пълното доказателство сами.
Твърдение 3. (Рол)	Ако y = f(x) е непрекъснато			Диференцируеми по
(a, b) и f (a) = f (b), тогава съществува точка α (a, b)				че f ′ (α) = 0.

Доказателство. По свойството на функциите, които са непрекъснати на сегмент, има точки x1 , x2 такива, че

екстремум. По хипотезата на теоремата f (x) е диференцируема в точка α. По теоремата на Ферма f ′ (α) = 0. Теоремата е доказана.

Теоремата на Рол е проста геометричен смисъл(Фиг. 5): ако крайните ординати на кривата y = f (x) са равни, тогава има точка на кривата y = f (x), в която допирателната към кривата е успоредна на оста Ox.

Доказателство. Обърнете внимание, че g(a) =6 g(b). Наистина, в противен случай функцията g(x) би удовлетворила всички условия на теоремата на Рол. Следователно би имало точка β (a, b), така че g′ (β) = 0. Но това противоречи на хипотезата на теоремата.

Помислете за следната помощна функция:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g (x) - g (a)). g(b) − g(a)

Функцията F (x) е непрекъсната върху ,				е диференцируемо върху (a, b). Освен това е очевидно
Какво'	F (a) = F (b) = 0. Следователно, съгласно теоремата на Рол, има точка α (a, b), така че
F (α) = 0, т.е.
	f′(α)								g′ (α) = 0.
			− g(b)
това предполага
								f′(α)
								g' (α)

Теоремата е доказана.

Твърдение 5. (Лагранж) Ако y = f (x) е непрекъснато на , диференцируемо на (a, b), тогава има α (a, b), такова че

F' (α).

Доказателство. Теоремата на Лагранж директно следва от теоремата на Коши за g(x) =

Геометрично теоремата на Лагранж означава, че на кривата y = f (x) между точките

A и B, има такава точка C, допирателната в която е успоредна на хордата AB. г

Теорема на Рол за този сегмент

изпълнени. c стойност

дефинирам

уравнения

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, т.е. c = 3.

намери точка

М, в която

Пример 8. На дъга

AB крива y = 2x − x

допирателна успоредна на хорда

Решение. Функция y = 2x − x

е непрекъсната и диференцируема за всички стойности

х. По теоремата на Лагранж, между две стойности a = 1,

b = 3 съществува стойност

x = c, отговарящи на равенството y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c), където y′ = 2 − 2x. Замествайки съответните стойности, получаваме

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (c),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

следователно c = 2, y(2) = 0.

Така точка M има координати (2; 0).

Пример 9. На дъгата AB на кривата, зададена с параметрични уравнения

x = t2, y = t3, намерете точка

M, в която допирателната е успоредна на хордата AB, ако

точки A и B съответстват на стойностите t = 1 и t = 3.

Решение. Наклонът на хорда AB е

И факторът на наклона

допирателна в точка М (за

t = c) е

да

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . За

определение на c чрез теоремата на Коши получаваме уравнението

yt′ (c)

xt′ (c)

т.е. c = 13/6.

Намерената стойност c удовлетворява неравенството 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

Тъй като са неразривно свързани, и двете се използват активно в продължение на няколко века при решаването на почти всички проблеми, възникнали в процеса на човешката научна и техническа дейност.

Появата на понятието диференциал

За първи път той обясни какво е диференциал, един от основателите (заедно с Исак Нютон) на диференциалното смятане, известният немски математик Готфрид Вилхелм Лайбниц. Преди това математиците 17 чл. използва много размита и неясна идея за някаква безкрайно малка "неделима" част от всяка известна функция, представляваща много малка постоянна стойност, но не равна на нула, по-малка от която стойностите на функцията просто не могат да бъдат. От тук имаше само една стъпка до въвеждането на концепцията за безкрайно малките нараствания на аргументите на функциите и съответните нараствания на самите функции, изразени чрез производните на последните. И тази стъпка е предприета почти едновременно от двамата гореспоменати велики учени.

Въз основа на необходимостта от решаване на спешни практически задачимеханиката, която бързо развиващата се индустрия и техника поставят пред науката, създават Нютон и Лайбниц общи начининамиране на скоростта на промяна на функциите (главно във връзка с механичната скорост на тяло, движещо се по известна траектория), което доведе до въвеждането на такива понятия като производна и диференциал на функция, а също така намери алгоритъм за решаване на обратен проблем, как да се намери изминатото разстояние от известна (променлива) скорост, което доведе до концепцията за интеграл.

В трудовете на Лайбниц и Нютон за първи път се появява идеята, че диференциалите са основните части от увеличенията на функциите Δy, пропорционални на увеличенията на аргументите Δx, които могат успешно да се прилагат за изчисляване на стойностите на последното. С други думи, те откриха, че нарастването на функция може да бъде изразено във всяка точка (в нейната област на дефиниция) по отношение на нейната производна като 0, много по-бързо от самия Δx.

Според основоположниците на математическия анализ диференциалите са само първите членове в изразите за увеличенията на всякакви функции. Все още без ясно формулирана концепция за границата на последователностите, те интуитивно разбират, че стойността на диференциала клони към производната на функцията като Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

За разлика от Нютон, който беше преди всичко физик и смяташе математическия апарат за спомагателен инструментизследвания на физически проблеми, Лайбниц обърна повече внимание на самия този инструментариум, включително система от визуални и разбираеми означения за математически величини. Именно той предложи общоприетата нотация за диференциалите на функцията dy \u003d y "(x) dx, аргумента dx и производната на функцията под формата на тяхното съотношение y" (x) \u003d dy / dx .

Модерна дефиниция

Какво е диференциал от гледна точка на съвременната математика? То е тясно свързано с концепцията за нарастване променлива. Ако променливата y първо приеме стойността y = y 1 и след това y = y 2 , тогава разликата y 2 ─ y 1 се нарича нарастване на y.

Увеличението може да бъде положително. отрицателна и равна на нула. Думата "инкремент" се обозначава с Δ, нотацията Δy (да се чете "делта y") обозначава нарастването на y. така че Δу = y 2 ─ y 1 .

Ако стойността Δу на произволна функция y = f (x) може да бъде представена като Δу = A Δх + α, където A няма зависимост от Δх, т.е. A = const за дадено x и членът α клони към него е дори по-бързо от самия Δx, тогава първият („главен“) член, пропорционален на Δx, е диференциалът за y \u003d f (x), означен с dy или df (x) (прочетете „de y“, „de ef от x "). Следователно диференциалите са „основните“ линейни компоненти на увеличения на функции по отношение на Δx.

Механична интерпретация

Нека s \u003d f (t) - разстоянието на праволинейно движение от начална позиция(t - време за пътуване). Увеличението Δs е пътят на точката във времевия интервал Δt, а диференциалът ds = f "(t) Δt е пътят, който точката би изминала за същото време Δt, ако беше запазила скоростта f" (t ), достигнати до момента t . За безкрайно малък Δt въображаемият път ds се различава от истинския Δs с безкрайно малка стойност, която има по-висок порядък по отношение на Δt. Ако скоростта в момента t не е равна на нула, тогава ds дава приблизителната стойност на малкото преместване на точката.

Геометрична интерпретация

Нека правата L е графиката y = f(x). Тогава Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(вижте фигурата по-долу). Допирателната MN разделя сегмента Δy на две части, QN и NM". Първият е пропорционален на Δх и е равен на QN = MQ∙tg (ъгъл QMN) = Δх f "(x), т.е. QN е диференциалът dy.

Втората част NM" дава разликата Δу ─ dy, при Δх→0 дължината на NM" намалява дори по-бързо от нарастването на аргумента, т.е. неговият ред на малкост е по-висок от този на Δх. В разглеждания случай, за f "(x) ≠ 0 (допирателната не е успоредна на OX), сегментите QM" и QN са еквивалентни; с други думи, NM" намалява по-бързо (порядъкът му на малкост е по-висок) от общото увеличение Δу = QM". Това може да се види на фигурата (тъй като M "доближава M, сегментът NM" съставлява все по-малък процент от сегмента QM ").

И така, графично, диференциалът на произволна функция е равен на големината на увеличението на ординатата на нейния тангенс.

Производна и диференциал

Коефициентът А в първия член на израза за нарастване на функцията е равен на стойността на нейната производна f "(x). Така се осъществява следната връзка - dy \u003d f" (x) Δx, или df (x) \u003d f "(x) Δx.

Известно е, че нарастването на независимия аргумент е равно на неговия диференциал Δх = dx. Съответно можете да напишете: f "(x) dx \u003d dy.

Намирането (понякога наричано "решаване") на диференциали се извършва по същите правила, както при производните. Техният списък е даден по-долу.

Какво е по-универсално: увеличението на аргумента или неговия диференциал

Тук е необходимо да се направят някои пояснения. Представяне чрез стойността f "(x) Δx на диференциала е възможно, когато се разглежда x като аргумент. Но функцията може да бъде сложна, в която x може да бъде функция на някакъв аргумент t. Тогава представянето на диференциала чрез израза f "(x) Δx, като правило, е невъзможно; с изключение на случая на линейна зависимост x = at + b.

Що се отнася до формулата f "(x) dx \u003d dy, тогава в случай на независим аргумент x (след това dx \u003d Δx), а в случай на параметрична зависимост на x от t, тя представлява диференциал.

Например, изразът 2 x Δx представлява за y = x 2 неговия диференциал, когато x е аргумент. Нека сега зададем x= t 2 и вземем t като аргумент. Тогава y = x 2 = t 4 .

Този израз не е пропорционален на Δt и следователно сега 2xΔх не е диференциал. Може да се намери от уравнението y = x 2 = t 4 . Оказва се, че е равно на dy=4t 3 Δt.

Ако вземем израза 2xdx, тогава той представлява диференциала y = x 2 за всеки аргумент t. Наистина, при x= t 2 получаваме dx = 2tΔt.

Това означава, че 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т.е. изразите на диференциалите, записани чрез две различни променливи, съвпадат.

Замяна на увеличенията с диференциали

Ако f "(x) ≠ 0, тогава Δу и dy са еквивалентни (за Δх→0); ако f "(x) = 0 (което означава dy = 0), те не са еквивалентни.

Например, ако y = x 2, тогава Δy = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2 и dy = 2xΔx. Ако x=3, тогава имаме Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, които са еквивалентни поради Δх 2 →0, при x=0 стойностите Δу = Δх 2 и dy=0 не са еквивалентни.

Този факт, заедно с простата структура на диференциала (т.е. линейност по отношение на Δx), често се използва в приблизителни изчисления, като се приема, че Δy ≈ dy за малък Δx. Намирането на диференциал на функция обикновено е по-лесно от изчисляването точна стойностнараствания.

Например, имаме метален куб с ръб x = 10,00 см. При нагряване ръбът се удължава с Δx = 0,001 см. С колко се увеличава обемът V на куба? Имаме V \u003d x 2, така че dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Увеличението на обема ΔV е еквивалентно на разликата dV, така че ΔV = 3 cm 3 . Едно пълно изчисление ще даде ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в този резултат всички цифри с изключение на първата са ненадеждни; така че, така или иначе, трябва да го закръглите до 3 см 3.

Очевидно е, че такъв подход е полезен само ако е възможно да се оцени големината на въведената грешка.

Функционален диференциал: Примери

Нека се опитаме да намерим диференциала на функцията y = x 3, без да намираме производната. Нека увеличим аргумента и дефинираме Δу.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Тук коефициентът A= 3x 2 не зависи от Δх, така че първият член е пропорционален на Δх, докато другият член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 намалява по-бързо от нарастването на аргумента. Следователно членът 3x 2 Δx е диференциалът y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx или d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

В този случай d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Нека сега намерим dy на функцията y = 1/x по отношение на нейната производна. Тогава d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Следователно dy = ─ Δх/х 2 .

Диференциалите на основните алгебрични функции са дадени по-долу.

Приблизителни изчисления с помощта на диференциал

Често не е трудно да се изчисли функцията f (x), както и нейната производна f "(x) за x=a, но не е лесно да се направи същото в близост до точката x=a. Тогава на помощ идва приблизителният израз

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Той дава приблизителна стойност на функцията при малки нараствания Δх чрез нейния диференциал f "(a)Δх.

Следователно тази формула дава приблизителен израз за функцията в крайната точка на определен участък с дължина Δx като сбор от нейната стойност в началната точка на този участък (x=a) и диференциала в същата начална точка. Грешката на този метод за определяне на стойността на функцията е илюстрирана на фигурата по-долу.

Известен е обаче и точният израз за стойността на функцията за x=a+Δх, даден от формулата за крайни нараствания (или с други думи формулата на Лагранж)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

където точката x = a + ξ е на сегмента от x = a до x = a + Δx, въпреки че точната й позиция е неизвестна. Точната формула дава възможност да се оцени грешката на приблизителната формула. Ако поставим ξ = Δх /2 във формулата на Лагранж, тогава въпреки че престава да бъде точна, обикновено дава много по-добро приближение от оригиналния израз чрез диференциала.

Оценяване на грешката на формули чрез прилагане на диференциал

По принцип те са неточни и внасят съответните грешки в измервателните данни. Те се характеризират с пределната или накратко пределната грешка - положително число, очевидно превишаващо тази грешка по абсолютна стойност (или поне равно на нея). Границата се нарича частното от нейното деление на абсолютната стойност на измерената стойност.

Нека точната формула y= f (x) се използва за изчисляване на функцията y, но стойността на x е резултат от измерването и следователно въвежда грешка в y. След това, за да намерите границата абсолютна грешка│‌‌Δу│ функции y, използвайте формулата

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

където │Δх│ е пределната грешка на аргумента. Стойността │‌‌Δу│ трябва да се закръгли нагоре, тъй като неточна е самата замяна на изчисляването на увеличението с изчисляването на диференциала.

Диференциал... За някои това е красива далечна, а за други - неразбираема дума, свързана с математиката. Но ако това е вашето сурово настояще, нашата статия ще ви помогне да научите как правилно да „подготвите“ диференциала и с какво да го „обслужите“.

Диференциал в математиката означава линейна частфункционални увеличения. Концепцията за диференциал е неразривно свързана с записването на производната според Лайбниц f′(x 0) = df/dx·x 0 . Въз основа на това диференциалът от първи ред за функция f, дефинирана в множеството X, има следната форма: d x0 f = f (x 0) d x0 x. Както можете да видите, за да получите диференциал, трябва да можете свободно да намирате производни. Ето защо би било полезно да повторим правилата за изчисляване на дериватите, за да разберем какво ще се случи в бъдеще. И така, нека разгледаме по-отблизо диференциацията с примери. Необходимо е да се намери диференциала на функция, дадена в тази форма: y = x 3 -x 4. Първо, намираме производната на функцията: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Е, сега получаването на диференциала е лесно като белене на круши: df = (3x 3 -4x 3) dx. Сега получихме диференциала под формата на формула; на практика често се интересуваме и от цифровата стойност на диференциала за дадени специфични параметри x и ∆x. Има случаи, когато дадена функция се изразява имплицитно чрез x. Например y = x²-y x . Производната на функцията изглежда така: 2x-(y x)′. Но как да получа (y x)′? Такава функция се нарича комплексна и се диференцира според съответното правило: df/dx = df/dy·dy/dx. В този случай: df/dy = x·y x-1 и dy/dx = y′. Сега събираме всичко заедно: y′ = 2x-(x y x-1 y′). Групираме всички играчи в една посока: (1+x y x-1) y′ = 2x и в резултат получаваме: y′ = 2x/(1+x y x-1) = dy/dx. Въз основа на това, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Разбира се, добре е, че такива задачи са рядкост. Но сега сте готови за тях. В допълнение към разглежданите диференциали от първи ред има и диференциали по-висок ред. Нека се опитаме да намерим диференциала за функцията d /д(х 3 )· (х 3 – 2 x6 – x9 ), което ще бъде диференциал от втори ред за f(x). Въз основа на формулата f′(u) = d/du f(u), където u = f(x), приемаме u = x 3 . Получаваме: d/d(u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Връщаме замяната и получаваме отговора - 1 – х 3 – x 6 , x≠0. Онлайн услугата също може да стане помощник при намирането на диференциала. Естествено няма да го използвате на контролен или изпит. Но при самопроверкаправилността на решението, неговата роля е трудно да се надценява. В допълнение към самия резултат, той също така показва междинни решения, графики и неопределен интеграл на диференциална функция, както и корените на диференциално уравнение. Единственият недостатък е, че записва функцията на един ред, когато я въведете, но можете да свикнете с това с времето. Е, разбира се, такава услуга не може да се справи със сложни функции, но всичко, което е по-просто, е твърде трудно за него. Практическа употребадиференциални находки предимно във физиката и икономиката. Така че във физиката проблемите, свързани с определянето на скоростта и нейната производна, ускорението, често се решават чрез диференциране. А в икономиката диференциалът е неразделна част от изчисляването на ефективността на предприятието и фискалната политика на държавата, например ефектът на финансовия ливъридж.

Тази статия обсъжда типични проблеми с диференциацията. Курсът по висша математика на студентите често съдържа и задачи за използването на диференциала при приблизителни изчисления, както и търсенето на решения диференциални уравнения. Но основното е, че с ясно разбиране на основите можете лесно да се справите с всички нови задачи.

ЛОГАРИТМИЧНО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ

Диференцирането на много функции се опростява, ако те са предварително логаритмирани. За да направите това, продължете както следва. Ако трябва да намерите г“ от уравнението y=f(x), тогава можете:

Примери.

ЕКСПОНЕНЦИАЛНО-СТЕПЕННА ФУНКЦИЯ И НЕЙНОТО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ

експоненциаленфункцията е функция на формата y = u v, където u=u(x), v=v(x).

Логаритмичното диференциране се използва за намиране на производната на експоненциална степенна функция.

Примери.

ТАБЛИЦА НА ПРОИЗВОДНИТЕ

Нека комбинираме в една таблица всички основни формули и правила за диференциране, получени по-рано. Навсякъде ще предполагаме u=u(x), v=v(x), С=конст. За производни на основни елементарни функции ще използваме теоремата за производната сложна функция.

Примери.

КОНЦЕПЦИЯТА ЗА ФУНКЦИОНАЛЕН ДИФЕРЕНЦИАЛ. ВРЪЗКА МЕЖДУ ДИФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНА

Нека функцията y=f(x)е диференцируем на интервала [ а; b]. Производната на тази функция в някакъв момент х 0 Î [ а; b] се определя от равенството

.

Следователно, по свойството на границата

Умножаване на всички членове на полученото равенство по Δ х, получаваме:

Δ г = е"(х 0)·Δ х+ a Δ х.

И така, безкрайно малко увеличение Δ гдиференцируема функция y=f(x)може да бъде представен като сбор от два члена, първият от които е (за е"(х 0) ≠ 0) основна част от увеличението, линейни по отношение на Δ х, а втората е безкрайно малка стойност от по-висок порядък от Δ х. Основната част от приращението на функцията, т.е. е"(х 0)·Δ хсе нарича диференциал на функция в точка х 0 и означена с dy.

По този начин, ако функцията y=f(x)има производна е"(х) в точката х, след това произведението на производната е"(х) на нарастване Δ хсе извиква аргумент функционален диференциали обозначават:

Нека намерим диференциала на функцията y=x. В такъв случай г" = (х)" = 1 и следователно, dy=dx=Δ х. Така че диференциалът dxнезависима променлива хсъвпада с нарастването му Δ х. Следователно можем да напишем формула (1), както следва:

dy = f "(х)dx

Но от тази връзка следва, че. Следователно, производната f "(х) може да се разглежда като отношението на диференциала на функцията към диференциала на независимата променлива.

По-рано показахме, че диференцируемостта на функция в точка предполага съществуването на диференциал в тази точка.

Обратното също е вярно.

Ако за дадена стойност хувеличение на функцията Δ г = f(х+Δ х) – f(x)може да се представи като Δ г = А·Δ х+ α, където α е безкрайно малко количество, удовлетворяващо условието , т.е. ако за функция y=f(x)има диференциал dy=A dxв някакъв момент х, тогава тази функция има производна в точката хи f "(х)=НО.

Наистина имаме , и тъй като за Δ х→0, тогава .

По този начин има много тясна връзка между диференцируемостта на функция и съществуването на диференциал; двете понятия са еквивалентни.

Примери.Намерете функционални диференциали:

ГЕОМЕТРИЧНО ЗНАЧЕНИЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛА

Помислете за функцията y=f(x)и съответната крива. Вземете произволна точка от кривата M(x; y),начертайте допирателна към кривата в тази точка и означете с α ъгъла, който допирателната образува с положителната посока на оста вол. Даваме независима променлива хувеличение Δ х, тогава функцията ще получи увеличение Δ г = NMедин . Стойности х+Δ хи г+Δ гна кривата y = f(x)точката ще съвпадне

М 1 (х+Δ х; г+Δ г).

От Δ MNTнамирам NT=MN tgα. защото tgα = f "(х), а MN = Δ х, тогава NT = f "(х)·Δ х. Но по дефиниция на диференц dy=f "(х)·Δ х, Ето защо dy = NT.

Така диференциалът на функцията f(x), съответстваща на дадените стойности на x и Δx, е равен на увеличението на ординатата на допирателната към кривата y=f(x) в дадена точка x.

ТЕОРЕМА ЗА ДИФЕРЕНЦИАЛНАТА ИНВАРИАНТНОСТ

По-рано видяхме, че ако uе независима променлива, тогава диференциалът на функцията г=f "(u) има формата dy = f "(u)ду.

Нека покажем, че тази форма се запазва и в случая, когато uне е независима променлива, а функция, т.е. намерете израз за диференциала на сложна функция. Позволявам y=f(u), u=g(x)или y = f(g(x)). Тогава, съгласно правилото за диференциране на сложна функция:

.

Следователно по определение

Но ж"(х)dx= ду, Ето защо dy=f"(u)du.

Доказахме следната теорема.

Теорема.Сложна функционална диференциална y=f(u), за което u=g(x), има същата форма dy=f"(u)du, което би имало, ако междинният аргумент uбеше независимата променлива.

С други думи, формата на диференциала не зависи от това дали аргументът на функцията на независимата променлива е или функция на друг аргумент. Това свойство на диференциала се нарича диференциална инвариантност на формата.

Пример.. намирам dy.

Като вземем предвид свойството инвариантност на диференциала, намираме

.

ПРИЛАГАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛА ЗА ПРИБЛИЖЕНИТЕ ИЗЧИСЛЕНИЯ

Кажете ни стойността на функцията г 0 =f(x 0 ) и негово производно г 0 " = f "(x0) в точката x0. Нека покажем как да намерим стойността на функция в някаква близка точка х.

Както вече разбрахме, нарастването на функцията Δ гможе да се представи като сума Δ г=dy+α·Δ х, т.е. нарастването на функцията се различава от диференциала с безкрайно малка сума. Следователно, пренебрегвайки за малки Δ хвтори член в приблизителните изчисления, понякога те използват приблизителното равенство Δ г≈dyили Δ г» f"(x0)·Δ х.

Тъй като по дефиниция Δ г = f(х) – f(x0), тогава f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ х.

Примери.

ПРОИЗВОДНИ ПО-ВИСШ РЕД

Нека функцията y=f(x)е диференцируем на някакъв интервал [ а; b]. Производна стойност f"(х), най-общо казано, зависи от х, т.е. производна f"(х) също е функция на променливата х. Нека тази функция също има производна. Диференцирайки го, получаваме така наречената втора производна на функцията f(x).

Производната на първата производна се нарича производна от втори редили втора производнаот тази функция y=f(x)и означено г""или f""(х). Така, г"" = (г")".

Например ако при = х 5, тогава г"= 5х 4 и г""= 20х 4 .

По същия начин, на свой ред, производната от втори ред също може да бъде диференцирана. Производната на втората производна се нарича производна от трети редили трета производнаи се обозначава с y"""или f"""( х).

В общи линии, производна от n-ти редот функция f(x)се нарича производна (първа) на производната ( н– 1)ти ред и се обозначава със симв г(нито f(н) ( х): г(n) = ( г(n-1))".

По този начин, за да се намери производна от по-висок ред на дадена функция, всички нейни производни от по-нисък ред се намират последователно.