Намиране на най-малкото общо кратно: начини, примери за намиране на LCM. Най-голям общ делител и най-малко общо кратно
Най-голям общ делител
Определение 2
Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.
Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител както на $a$, така и на $b$.
Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-големият, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:
$gcd \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$
За да намерите най-големия общ делител на две числа:
- Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
Пример 1
Намерете gcd на числата $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
$gcd=2\cdot 11=22$
Пример 2
Намерете НОД на мономи $63$ и $81$.
Ще намерим според представения алгоритъм. За това:
Нека разложим числата на прости множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
$gcd=3\cdot 3=9$
Можете да намерите НОД на две числа по друг начин, като използвате набора от делители на числа.
Пример 3
Намерете НОД на числата $48$ и $60$.
решение:
Намерете набора от делители на $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Сега нека намерим набора от делители на $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Така че най-големият общ делител на $48$ и $60$ е $12$.
Дефиниция на NOC
Определение 3
общо кратно на естествените числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.
Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригинала без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.
Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се означава с LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$
За да намерите LCM на две числа, трябва:
- Разлагайте числата на прости множители
- Изпишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не отиват към първото
Пример 4
Намерете LCM на числата $99$ и $77$.
Ще намерим според представения алгоритъм. За това
Разлагайте числата на прости множители
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Запишете факторите, включени в първия
добавете към тях фактори, които са част от втория и не отиват към първия
Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.
Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:
Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$
Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b
Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.
Свойства на GCD и LCM
- Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
- Ако $a\vdots b$ , тогава K$(a;b)=a$
Ако K$(a;b)=k$ и $m$-естествено число, то K$(am;bm)=km$
Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общо кратно на $a$ и $b$
За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Всеки общ делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$
Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо кратно, дефиниция, примери. В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd
Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.
Определение 1
Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: НОД (a, b) .
Пример 1
Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.
Решение
Нека вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .
Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от алгоритъма на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .
Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: НОД (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Отговор: LCM (126, 70) = 630.
Пример 2
Намерете nok на числата 68 и 34.
Решение
GCD в този случай е лесно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Отговор: LCM(68, 34) = 68.
В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата на прости множители.
Определение 2
За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:
- съставяме произведението на всички прости множители на числа, за които трябва да намерим LCM;
- ние изключваме всички прости множители от техните получени продукти;
- произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.
Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a , b) = a b: НОД (a , b) . Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай НОД на две числа е равен на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.
Пример 3
Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.
Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.
Пример 4
Намерете LCM на числата 441 и 700 , разлагайки двете числа на прости множители.
Решение
Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .
Продуктът на всички фактори, които са участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите множители. Това число е 7. Да го изключим от общ продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Отговор: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.
Определение 3
Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:
- Нека разложим и двете числа на прости множители:
- добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
- получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.
Пример 5
Да се върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите множители 2 и 7 числата 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.
Пример 6
Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.
Решение
Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7и 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на множителите 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3
числата 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Отговор: LCM (84, 648) = 4536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: последователно ще намираме LCM на две числа. Има теорема за този случай.
Теорема 1
Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.
Пример 7
Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Нека въведем нотацията: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме евклидовия алгоритъм, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: НОД(140, 9) = 1, НОК(140, 9) = 140 9: НОД(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .
Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.
Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ние действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.
LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.
Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.
Определение 4
Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:
- разложи всички числа на прости множители;
- към произведението на множителите на първото число добавете липсващите множители от произведението на второто число;
- добавете липсващите фактори на третото число към продукта, получен на предишния етап и т.н.;
- полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.
Пример 8
Необходимо е да се намери НОК на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . прости числа, което е числото 7, не може да се разложи на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.
Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.
Продължаваме да добавяме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на прости множители, на които вземаме 2 и 2. След това добавяме прост множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.
Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа
За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията да се извършат съгласно горните алгоритми.
Пример 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Такива действия са допустими поради факта, че ако се приеме, че аи − а- противоположни числа
тогава множеството от кратни асъвпада с набора от кратни на число − а.
Пример 10
Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 и − 45 .
Решение
Нека сменим числата − 145 и − 45 към техните противоположни числа 145 и 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145 , 45) = 145 45: НОД (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като преди това сме определили НОД с помощта на алгоритъма на Евклид.
Получаваме, че НОК на числата − 145 и − 45 равно на 1 305 .
Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Второ число: b=
Разделител на цифриБез разделител за интервал " ´
Резултат:
Най-голям общ делител gcd( а,b)=6
Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468
Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител(gcd) от тези числа. Означава се gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).
Най-малко общо кратно(LCM) на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).
Извикват се цели числа a и b взаимно примеако нямат общи делители, различни от +1 и −1.
Най-голям общ делител
Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общ делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.
1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.
Нека бъде а 1 ≥ а 2 и нека
където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).
Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2, тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Признак за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общ делител а 2 и а 3 . Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3, тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също са разделени на λ . Оттук и общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1 , тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общ делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-проста задача за намиране на общ делител на числа а 2 и а 3 .
Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3 . Тогава
,
където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 е същото като обикновените делители на числата а 2 и а 3 , а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... числа, които постоянно намаляват, и тъй като има краен брой цели числа между а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2=0).
.
Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (припомнете си това а n+2=0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .
Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n + 1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се наричат най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .
Числа а 1 и а 2 може да бъде както положително, така и отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа не е дефиниран.
Горният алгоритъм се извиква Алгоритъм на Евклидда се намери най-големият общ делител на две цели числа.
Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа
Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.
- Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
- Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
- Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
- Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
- Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.
На стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 също са делители на числата 630 и 434.
Взаимопрости числа
Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числакоито нямат общ делител.
Теорема 1. Ако а 1 и а 2 относително прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ и а 2 .
Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числа а 1 и а 2 (виж по-горе).
.
От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е. а n+1=1.
Нека умножим всички тези равенства по λ , тогава
.
Нека общият делител а 1 λ и а 2 е δ . Тогава δ влиза като фактор в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (Вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ влиза като фактор в а 2 λ и м 2 а 3 λ , и следователно влиза като фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .
Разсъждавайки по този начин, ние се убеждаваме, че δ влиза като фактор в а n−1 λ и м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ влиза като фактор в λ . Оттук и числото δ е общ делител на числа λ и а 2 .
Разгледайте специалните случаи на теорема 1.
Последица 1. Нека бъде аи ° Спростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.
Наистина ли. От теорема 1 аки bимат същите общи делители като ° Си b. Но числата ° Си b coprime, т.е. имат един общ делител 1. Тогава аки bсъщо имат един общ делител 1. Следователно аки bвзаимно прости.
Последица 2. Нека бъде аи bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.
Наистина ли. От условието за твърдение аки bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bи к. Следователно bразделя к.
Следствие 1 може да се обобщи.
Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.
2. Нека имаме два реда числа
така че всяко число от първия ред е просто по отношение на всяко число от втория ред. След това продуктът
Изисква се да се намерят такива числа, които се делят на всяко от тези числа.
Ако числото се дели на а 1, тогава изглежда така са 1, където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава
където с 1 е някакво цяло число. Тогава
е най-малко общо кратно на числа а 1 и а 2 .
а 1 и а 2 взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:
Намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
От горното следва, че всяко кратно на числата а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε и а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε и а 3 е ε един . Освен това, кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и а 4 . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 е ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на някакво конкретно число ε n , което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.
В конкретния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m взаимнопросто, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Освен това, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2, тогава а 3 е просто относително число аедин · а 2 (следствие 1). Най-малкото общо кратно на числата а 1 ,а 2 ,а 3 е число аедин · а 2 · а 3 . Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.
Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .
Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .
Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или произволен друг брой числа.
Калкулатор за намиране на GCD и NOC
Намерете GCD и NOC
GCD и NOC намерени: 5806
Как да използвате калкулатора
- Въведете числа в полето за въвеждане
- В случай на въвеждане на грешни символи, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
- натиснете бутона "Намиране на GCD и NOC"
Как се въвеждат числа
- Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
- Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно
Какво е NOD и NOK?
Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.
Как да проверя дали едно число се дели на друго число без остатък?
За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това чрез комбинирането им може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.
Някои признаци за делимост на числата
1. Признак за делимост на числото на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.
2. Признак за делимост на числото на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на 3. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сумата от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се окаже много голяма, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
решение:броим сбора на цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.
3. Признак за делимост на числото на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.
4. Признак за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
решение:изчисляваме сумата от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.
Как да намерим GCD и LCM на две числа
Как да намерим НОД на две числа
Най-лесният начин за изчисляване на най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия от тях.
Разгледайте този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36):
- Разлагаме двете числа на множители: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
- Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.
Как да намерим LCM на две числа
Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим НОД на тези числа. Нека просто го разгледаме.
За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:
- Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
Намиране на GCD и LCM за множество числа
Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Освен това, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Подобна връзка важи и за най-малкото общо кратно на числа: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.
- Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Нека намерим общи множители: 1, 2 и 2 .
- Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
- Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- За да намерите НОК на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , НОД = 1 2 .2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd
Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.
Решение.
В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.
Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Отговор:
LCM(126, 70)=630.
Пример.
Какво е LCM(68, 34)?
Решение.
защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Отговор:
LCM(68, 34)=68.
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.
Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числа на прости множители ).
Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Пример.
След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Решение.
Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:
Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .
Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Поради това, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Отговор:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Решение.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.
Отговор:
LCM(84, 648)=4 536 .
Намиране на LCM на три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.
Теорема.
Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Пример.
Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.
Решение.
В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .
Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.
Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.
Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
Отговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.
Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .
За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .
Зареждане...