Намиране на правилото не и кимане. Намиране на възли от три или повече числа
Тази статия е за намиране на най-голям общ делител (gcd)две или повече числа. Първо, разгледайте алгоритъма на Евклид, той ви позволява да намерите НОД на две числа. След това ще се спрем на метод, който ни позволява да изчислим НОД на числа като произведение на техните общи прости множители. След това ще се занимаваме с намирането на най-големия общ делител на три или повече числа и ще дадем примери за изчисляване на GCD на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Алгоритъм на Евклид за намиране на НОД
Обърнете внимание, че ако се бяхме обърнали към таблицата на простите числа от самото начало, щяхме да разберем, че числата 661 и 113 са прости, от което веднага бихме могли да кажем, че най-голямото им общ делителе равно на 1.
Отговор:
gcd(661, 113)=1.
Намиране на НОД чрез разлагане на числа на прости множители
Помислете за друг начин да намерите GCD. Най-големият общ делител може да бъде намерен чрез разлагане на числа на прости множители. Нека формулираме правилото: Gcd на две положителни цели числа a и b е равна на произведението на всички общи прости множители в простите разлагания на a и b.
Нека дадем пример, за да обясним правилото за намиране на НОД. Нека да знаем разлаганията на числата 220 и 600 на прости множители, те имат формата 220=2 2 5 11 и 600=2 2 2 3 5 5 . Често срещаните прости множители, участващи в разширяването на числата 220 и 600, са 2, 2 и 5. Следователно gcd(220, 600)=2 2 5=20 .
Така, ако разложим числата a и b на прости множители и намерим произведението на всичките им общи множители, тогава това ще намери най-големия общ делител на числата a и b.
Помислете за пример за намиране на GCD според обявеното правило.
Пример.
Намерете най-големия общ делител на 72 и 96.
Решение.
Нека разложим числата 72 и 96 на множители: 
Тоест 72=2 2 2 3 3 и 96=2 2 2 2 2 3 . Често срещаните прости множители са 2, 2, 2 и 3. Така gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .
Отговор:
gcd(72, 96)=24.
В заключение на този раздел отбелязваме, че валидността на горното правило за намиране на gcd следва от свойството на най-големия общ делител, което гласи, че НОД(m a 1, m b 1)=m НОД(a 1, b 1), където m е всяко положително цяло число.
Намиране на НОД на три или повече числа
Намирането на най-големия общ делител на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на НОД на две числа. Споменахме това, когато изучавахме свойствата на GCD. Там формулирахме и доказахме теоремата: най-големият общ делител на няколко числа a 1 , a 2 , …, a k е равен на числото d k , което се намира при последователното изчисление на gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .
Нека да видим как изглежда процесът на намиране на НОД на няколко числа, като разгледаме решението на примера.
Пример.
Намерете най-големия общ делител на четирите числа 78, 294, 570 и 36.
Решение.
В този пример a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Първо, използвайки алгоритъма на Евклид, ние определяме най-големия общ делител d 2 на първите две числа 78 и 294 . При деление се получават равенствата 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 и 18=6 3 . Така d 2 =НОД(78, 294)=6 .
Сега нека изчислим d 3 \u003d НОД (d 2, a 3) \u003d НОД (6, 570). Отново прилагаме алгоритъма на Евклид: 570=6·95 , следователно d 3 =НОД(6, 570)=6 .
Остава да изчислим d 4 \u003d НОД (d 3, a 4) \u003d НОД (6, 36). Тъй като 36 се дели на 6, тогава d 4 \u003d НОД (6, 36) \u003d 6.
Така най-големият общ делител на четирите дадени числа е d 4 =6 , тоест gcd(78, 294, 570, 36)=6 .
Отговор:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Разлагането на числа на прости множители също ви позволява да изчислите GCD на три или повече числа. В този случай най-големият общ делител се намира като произведение на всички общи прости множители на дадените числа.
Пример.
Изчислете НОД на числата от предишния пример, като използвате техните прости фактори.
Решение.
Разлагаме числата 78 , 294 , 570 и 36 на прости множители, получаваме 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 . Общите прости множители на всички дадени четири числа са числата 2 и 3. Следователно, НОД(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Много делители
Разгледайте следната задача: намерете делителя на числото 140. Очевидно е, че числото 140 има не един делител, а няколко. В такива случаи се казва, че задачата има Многорешения. Нека ги намерим всички. Първо, разлагаме това число на прости множители:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Сега можем лесно да напишем всички делители. Нека започнем с прости делители, тоест тези, които присъстват в разширението по-горе:
След това изписваме онези, които се получават чрез умножение по двойки на прости делители:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
След това - тези, които съдържат три прости делителя:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
И накрая, нека не забравяме единицата и самото разложимо число:
Всички намерени от нас делители образуват Многоделители на числото 140, което се записва с фигурни скоби:
Наборът от делители на числото 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
За удобство на възприятието, ние изписахме разделителите тук ( зададени елементи) във възходящ ред, но най-общо казано, това не е необходимо. В допълнение въвеждаме съкращение. Вместо "Множеството от делители на числото 140" ще пишем "D (140)". По този начин,
По същия начин може да се намери множеството от делители за всяко друго естествено число. Например от разширението
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
получаваме:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
От множеството на всички делители трябва да се разграничи множеството на простите делители, които съответно за числата 140 и 105 са равни:
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Трябва да се подчертае, че при разлагането на числото 140 на прости множители две присъства два пъти, докато в множеството PD(140) е само едно. Множеството от PD(140) е по същество всички отговори на задачата: „Намерете прост множител на числото 140“. Ясно е, че един и същи отговор не трябва да се повтаря повече от веднъж.
Намаляване на фракцията. Най-голям общ делител
Помислете за дроб
Знаем, че тази дроб може да бъде намалена с число, което е едновременно делител на числителя (105) и делител на знаменателя (140). Нека да разгледаме множествата D(105) и D(140) и да запишем техните общи елементи.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Общи елементи на множествата D(105) и D(140) =
Последното равенство може да се напише по-кратко, а именно:
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Тук специалната икона "∩" ("чанта с дупката надолу") просто показва, че от двата набора, написани от противоположните й страни, трябва да се изберат само общи елементи. Записът „D (105) ∩ D (140)“ гласи „ кръстовищекомплекти Te от 105 и Te от 140.
[Имайте предвид по пътя, че можете да извършвате различни двоични операции с множества, почти като с числа. Друга често срещана двоична операция е асоциация, което се обозначава с иконата "∪" ("чанта с дупката нагоре"). Обединението на две множества включва всички елементи на двете множества:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
И така, открихме, че частта
може да се сведе до всяко от числата, принадлежащи на множеството
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
и не може да се сведе до друго естествено число. Ето всички възможни начини за намаляване (с изключение на безинтересното намаление с единица):
Очевидно е, че е най-практично да се намали дробта с число, ако е възможно, по-голямо. В този случай това е числото 35, за което се казва, че е най-голям общ делител (GCD) числата 105 и 140. Това се записва като
gcd(105, 140) = 35.
На практика обаче, ако ни бъдат дадени две числа и трябва да намерим техния най-голям общ делител, изобщо не трябва да изграждаме набори. Достатъчно е просто да разложите двете числа на прости множители и да подчертаете онези от тези множители, които са общи за двете факторизации, например:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Умножавайки подчертаните числа (във всяко от разширенията), получаваме:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Разбира се, възможно е да има повече от два подчертани фактора:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
От тук става ясно, че
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Специално споменаване заслужава ситуацията, когато изобщо няма общи фактори и няма какво да се подчертае, например:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
В такъв случай,
gcd(42, 55) = 1.
Извикват се две естествени числа, за които gcd е равно на единица взаимно приме. Ако направите дроб от такива числа, напр.
тогава такава дроб е нередуцируем.
Най-общо казано, правилото за съкращаване на дроби може да се напише по следния начин:
|
а/ gcd( а, b) |
|||
|
b/ gcd( а, b) |
Тук се предполага, че аи bса естествени числа и всички дроби са положителни. Ако сега поставим знак минус на двете страни на това равенство, ще получим съответното правило за отрицателни дроби.
Събиране и изваждане на дроби. Най-малко общо кратно
Да предположим, че искате да изчислите сумата от две дроби:
Вече знаем как знаменателите се разлагат на прости множители:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
От това разлагане веднага следва, че за да се приведат дробите към общ знаменател, е достатъчно да се умножат числителят и знаменателят на първата дроб по 2 ∙ 2 (произведението на неударените прости множители на втория знаменател) и числителят и знаменателят на втората дроб по 3 (“продукт” неподчертани прости множители на първия знаменател). В резултат на това знаменателите на двете дроби ще станат равни на число, което може да бъде представено по следния начин:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Лесно е да се види, че и двата оригинални знаменателя (както 105, така и 140) са делители на числото 420, а числото 420 от своя страна е кратно на двата знаменателя - и не просто кратно, то е най-малко общо кратно (НОК) числата 105 и 140. Това се записва така:
LCM(105, 140) = 420.
Като се вгледаме по-внимателно в разширяването на числата 105 и 140, виждаме това
105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).
По същия начин за произволни естествени числа bи д:
b ∙ д= LCM( b, д) ∙ GCD( b, д).
Сега нека завършим сумирането на нашите дроби:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Забележка.За да решите някои задачи, трябва да знаете какво е квадратът на числото. Числов квадрат анарече номер аумножено по себе си, т.е а∙а. (Както можете да видите, тя е равна на площта на квадрат със страна а). |
Второ число: b=
Разделител на цифриБез разделител за интервал " ´
Резултат:
Най-голям общ делител gcd( а,b)=6
Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468
Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител(gcd) от тези числа. Означава се gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).
Най-малко общо кратно(LCM) на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).
Извикват се цели числа a и b взаимно примеако нямат общи делители, различни от +1 и −1.
Най-голям общ делител
Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общ делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.
1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.
Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека
където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).
Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2, тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Признак за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общ делител а 2 и а 3 . Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3, тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също са разделени на λ . Оттук и общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2 . защото а 3 <а 2 ≤а 1 , тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общ делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-проста задача за намиране на общ делител на числа а 2 и а 3 .
Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3 . Тогава
,
където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 е същото като обикновените делители на числата а 2 и а 3 , а също и с общи делители а 1 и а 2 . защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... числа, които постоянно намаляват, и тъй като има краен брой цели числа между а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2=0).
.
Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2 . Но общият делител а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (припомнете си това а n+2=0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .
Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n + 1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2 . Номер а n+1 се наричат най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .
Числа а 1 и а 2 може да бъде както положително, така и отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа не е дефиниран.
Горният алгоритъм се извиква Алгоритъм на Евклидда се намери най-големият общ делител на две цели числа.
Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа
Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.
- Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
- Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
- Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
- Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
- Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.
На стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 също са делители на числата 630 и 434.
Взаимопрости числа
Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числакоито нямат общ делител.
Теорема 1. Ако а 1 и а 2 относително прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ и а 2 .
Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числа а 1 и а 2 (виж по-горе).
.
От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е. а n+1=1.
Нека умножим всички тези равенства по λ , тогава
.
Нека общият делител а 1 λ и а 2 е δ . Тогава δ влиза като фактор в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (Вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ влиза като фактор в а 2 λ и м 2 а 3 λ , и следователно влиза като фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .
Разсъждавайки по този начин, ние се убеждаваме, че δ влиза като фактор в а n−1 λ и м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ влиза като фактор в λ . Оттук и числото δ е общ делител на числа λ и а 2 .
Разгледайте специалните случаи на теорема 1.
Последица 1. Позволявам аи ° Спростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.
Наистина ли. От теорема 1 аки bимат същите общи делители като ° Си b. Но числата ° Си b coprime, т.е. имат един общ делител 1. Тогава аки bсъщо имат един общ делител 1. Следователно аки bвзаимно прости.
Последица 2. Позволявам аи bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.
Наистина ли. От условието за твърдение аки bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bи к. Следователно bразделя к.
Следствие 1 може да се обобщи.
Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.
2. Нека имаме два реда числа
така че всяко число от първия ред е просто по отношение на всяко число от втория ред. След това продуктът
Изисква се да се намерят такива числа, които се делят на всяко от тези числа.
Ако числото се дели на а 1, тогава изглежда така са 1, където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава
където с 1 е някакво цяло число. Тогава
е най-малко общо кратно на числа а 1 и а 2 .
а 1 и а 2 взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:
Намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
От горното следва, че всяко кратно на числата а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε и а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε и а 3 е ε един . Освен това, кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и ачетири . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 е ε 2 . Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на някакво конкретно число ε n , което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.
В конкретния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m взаимнопросто, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Освен това, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2, тогава а 3 е просто относително число аедин · а 2 (следствие 1). Най-малкото общо кратно на числата а 1 ,а 2 ,а 3 е число аедин · а 2 · а 3 . Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.
Изявление 1. Най-малко общо кратно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .
Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .
Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делителтези числа. Означаваме НОД(a, b).
Помислете за намиране на GCD, като използвате примера на две естествени числа 18 и 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 и 432
Нека разложим числата на прости множители:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Изтрийте от първото число, чиито фактори не са във второто и третото число, получаваме:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
В резултат на GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Намиране на НОД с алгоритъма на Евклид
Вторият начин за намиране на най-големия общ делител с помощта на Алгоритъм на Евклид. Алгоритъмът на Евклид е най-ефективният начин за намиране GCD, като го използвате, трябва постоянно да намирате остатъка от делението на числата и да прилагате повтаряща се формула.
Повтаряща се формулаза GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), където a mod b е остатъкът от деленето на a на b.
Алгоритъм на Евклид
Пример Намерете най-големия общ делител на числата 7920 и 594
Нека намерим GCD( 7920 , 594 ), като използваме алгоритъма на Евклид, ще изчислим остатъка от делението с помощта на калкулатор.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
В резултат на това получаваме GCD( 7920 , 594 ) = 198
Най-малко общо кратно
За да намерите общ знаменател при събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели, трябва да знаете и да можете да смятате най-малко общо кратно(NOC).
Кратно на числото "а" е число, което само по себе си се дели на числото "а" без остатък.
Числа, кратни на 8 (т.е. тези числа ще бъдат разделени на 8 без остатък): това са числата 16, 24, 32 ...
Кратни на 9: 18, 27, 36, 45...
Има безкрайно много кратни на дадено число a, за разлика от делителите на същото число. Делители - крайно число.
Общо кратно на две естествени числа е число, което се дели равномерно и на двете от тези числа..
Най-малко общо кратно(LCM) на две или повече естествени числа е най-малкото естествено число, което само по себе си се дели на всяко от тези числа.
Как да намерите NOC
LCM може да бъде намерен и написан по два начина.
Първият начин да намерите LCM
Този метод обикновено се използва за малки числа.
- Записваме кратните за всяко от числата в ред, докато има кратно, което е еднакво и за двете числа.
- Кратно на числото "а" се обозначава с главна буква "К".
Пример. Намерете LCM 6 и 8.
Вторият начин за намиране на LCM
Този метод е удобен за използване за намиране на LCM за три или повече числа.
Броят на еднаквите множители в разширенията на числата може да бъде различен.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Отговор: LCM (24, 60) = 120
Можете също да формализирате намирането на най-малкото общо кратно (LCM), както следва. Нека намерим LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Както можете да видите от разширяването на числата, всички фактори от 12 са включени в разширяването на 24 (най-голямото от числата), така че добавяме само едно 2 от разширяването на числото 16 към LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Отговор: LCM (12, 16, 24) = 48
Специални случаи на намиране на НОК
Например LCM(60, 15) = 60
Тъй като взаимнопростите числа нямат общи прости делители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа.
На нашия уебсайт можете също да използвате специален калкулатор, за да намерите най-малкото общо кратно онлайн, за да проверите изчисленията си.
Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, то се нарича просто.
Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.
Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число, останалите прости числа са нечетни.
Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Няма обаче последно просто число. В секцията "За изучаване" можете да изтеглите таблица на простите числа до 997.
Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.
- числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
- 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
- разлагат делителите на числата на прости множители;
Числата, на които числото се дели по равно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12), се наричат делители на числото.
Делителят на естествено число а е такова естествено число, което дели даденото число "а" без остатък.
Естествено число, което има повече от два множителя, се нарича съставно число.
Забележете, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.
Общият делител на две дадени числа "a" и "b" е числото, на което и двете дадени числа "a" и "b" се делят без остатък.
Най-голям общ делител(НОД) на две дадени числа "a" и "b" е най-голямото число, на което и двете числа "a" и "b" се делят без остатък.
Накратко най-големият общ делител на числата "a" и "b" се записва по следния начин:
Пример: gcd (12; 36) = 12 .
Делителите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".
Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива номера се наричат взаимнопрости числа.
Взаимопрости числаса естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният GCD е 1.
Как да намерим най-големия общ делител
За да намерите gcd на две или повече естествени числа, трябва:
Изчисленията са удобно написани с помощта на вертикална лента. Отляво на реда първо запишете дивидента, отдясно - делителя. По-нататък в лявата колона записваме стойностите на private.
Нека веднага обясним с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.
- Подчертайте едни и същи прости множители и в двете числа.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Намираме произведението на еднакви прости множители и записваме отговора;
НОД (28; 64) = 2 2 = 4
Отговор: НОД (28; 64) = 4
Можете да подредите местоположението на GCD по два начина: в колона (както беше направено по-горе) или „в линия“.
Първият начин за писане на GCD
Намерете GCD 48 и 36.
НОД (48; 36) = 2 2 3 = 12
Вторият начин за писане на GCD
Сега нека напишем решението за търсене на GCD в ред. Намерете НОД 10 и 15.
На нашия информационен сайт можете също да намерите най-големия общ делител онлайн с помощта на помощна програма, за да проверите вашите изчисления.
Намиране на най-малкото общо кратно, методи, примери за намиране на LCM.
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - Най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd
Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.
Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.
В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката на LCM с GCD, която се изразява с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.
Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70:NOD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Какво е LCM(68, 34)?
Тъй като 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34:NOD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.
Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагане на числа на прости множители ).
Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, тоест LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители: 
Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .
Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Така че LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, то стойността на полученото произведение ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75, добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разгръщането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разгръщането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.
Нека са дадени цели положителни числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.
Първо намираме m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) . За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: НОД(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .
Сега намираме m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.
Остава да намерим m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10 , следователно LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.
Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500.
В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.
Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.
Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11 13 .
За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7) трябва да добавите липсващите множители от разлагането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .
Следователно, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа
Понякога има задачи, в които трябва да намерите най-малкото общо кратно на числа, сред които едно, няколко или всички числа са отрицателни. В тези случаи всички отрицателни числа трябва да бъдат заменени с техните противоположни числа, след което трябва да се намери LCM на положителните числа. Това е начинът да се намери LCM на отрицателни числа. Например LCM(54, −34)=LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Можем да направим това, защото множеството от кратни на a е същото като множеството от кратни на −a (a и −a са противоположни числа). Наистина, нека b е някакво кратно на a, тогава b се дели на a и концепцията за делимост твърди съществуването на такова цяло число q, че b=a q. Но равенството b=(−a)·(−q) също ще бъде вярно, което, по силата на същата концепция за делимост, означава, че b се дели на −a, тоест b е кратно на −a. Обратното твърдение също е вярно: ако b е кратно на −a, тогава b също е кратно на a.
Намерете най-малкото общо кратно на отрицателните числа −145 и −45.
Нека заменим отрицателните числа −145 и −45 с противоположните им числа 145 и 45 . Имаме LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . След като определихме gcd(145, 45)=5 (например, използвайки алгоритъма на Евклид), изчисляваме LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Така най-малкото общо кратно на отрицателните цели числа −145 и −45 е 1,305.
www.cleverstudents.ru
Продължаваме да изучаваме разделението. В този урок ще разгледаме понятия като GCDи НОК.
GCDе най-големият общ делител.
НОКе най-малкото общо кратно.
Темата е доста скучна, но е необходимо да се разбере. Без да разберете тази тема, няма да можете да работите ефективно с дроби, които са истинска пречка в математиката.
Най-голям общ делител
Определение. Най-голям общ делител на числата аи b аи bразделено без остатък.
За да разберем добре тази дефиниция, заместваме вместо променливи аи bпроизволни две числа, например, вместо променлива азаменете числото 12 и вместо променливата bномер 9. Сега нека се опитаме да прочетем това определение:
Най-голям общ делител на числата 12 и 9 е най-голямото число, с което 12 и 9 разделено без остатък.
От дефиницията става ясно, че става дума за общ делител на числата 12 и 9, като този делител е най-големият от всички съществуващи делители. Този най-голям общ делител (gcd) трябва да бъде намерен.
За намиране на най-големия общ делител на две числа се използват три метода. Първият метод отнема доста време, но ви позволява да разберете добре същността на темата и да почувствате цялото й значение.
Вторият и третият метод са доста прости и позволяват бързо намиране на GCD. Ще разгледаме и трите метода. А какво да приложите на практика - вие избирате.
Първият начин е да намерите всички възможни делители на две числа и да изберете най-голямото от тях. Нека разгледаме този метод в следния пример: намерете най-големия общ делител на числата 12 и 9.
Първо намираме всички възможни делители на числото 12. За да направим това, разделяме 12 на всички делители в диапазона от 1 до 12. Ако делителят ни позволява да разделим 12 без остатък, тогава ще го маркираме в синьо и направете подходящо обяснение в скоби.
12: 1 = 12
(12 делено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 12)
12: 2 = 6
(12 делено на 2 без остатък, така че 2 е делител на 12)
12: 3 = 4
(12 делено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 12)
12: 4 = 3
(12 делено на 4 без остатък, така че 4 е делител на 12)
12:5 = 2 (2 остават)
(12 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 12)
12: 6 = 2
(12 делено на 6 без остатък, така че 6 е делител на 12)
12: 7 = 1 (5 остават)
(12 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 12)
12: 8 = 1 (4 остават)
(12 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 12)
12:9 = 1 (3 вляво)
(12 не се дели на 9 без остатък, така че 9 не е делител на 12)
12: 10 = 1 (2 остават)
(12 не се дели на 10 без остатък, така че 10 не е делител на 12)
12:11 = 1 (1 остава)
(12 не се дели на 11 без остатък, така че 11 не е делител на 12)
12: 12 = 1
(12 делено на 12 без остатък, така че 12 е делител на 12)
Сега нека намерим делителите на числото 9. За да направите това, проверете всички делители от 1 до 9
9: 1 = 9
(9 делено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 9)
9: 2 = 4 (1 остава)
(9 не се дели на 2 без остатък, така че 2 не е делител на 9)
9: 3 = 3
(9 делено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 9)
9: 4 = 2 (1 остава)
(9 не се дели на 4 без остатък, така че 4 не е делител на 9)
9:5 = 1 (4 остават)
(9 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 9)
9: 6 = 1 (3 остават)
(9 не се дели на 6 без остатък, така че 6 не е делител на 9)
9:7 = 1 (2 остават)
(9 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 9)
9:8 = 1 (1 остава)
(9 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 9)
9: 9 = 1
(9 делено на 9 без остатък, така че 9 е делител на 9)
Сега запишете делителите на двете числа. Числата, осветени в синьо, са делителите. Нека ги изпишем:
След като напишете делителите, можете веднага да определите кой е най-големият и най-често срещаният.
По дефиниция най-големият общ делител на 12 и 9 е числото, на което 12 и 9 се делят равномерно. Най-големият и общ делител на числата 12 и 9 е числото 3
Както числото 12, така и числото 9 се делят на 3 без остатък:
Така че gcd (12 и 9) = 3
Вторият начин да намерите GCD
Сега разгледайте втория начин за намиране на най-големия общ делител. Същността на този метод е да разложите двете числа на прости множители и да умножите общите.
Пример 1. Намерете НОД на числата 24 и 18
Първо, нека разделим двете числа на прости множители:
Сега умножаваме техните общи множители. За да не се объркате, общите фактори могат да бъдат подчертани.
Разглеждаме разлагането на числото 24. Първият му множител е 2. Търсим същия множител в разлагането на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете:
Отново разглеждаме разлагането на числото 24. Вторият му множител също е 2. Търсим същия множител в разлагането на числото 18 и виждаме, че го няма за втори път. След това не подчертаваме нищо.
Следващите две в разширението на числото 24 също липсват в разширението на числото 18.
Преминаваме към последния фактор в разлагането на числото 24. Това е факторът 3. Търсим същия фактор в разлагането на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете три:
И така, общите множители на числата 24 и 18 са множителите 2 и 3. За да получите НОД, тези множители трябва да се умножат:
Така че gcd (24 и 18) = 6
Третият начин за намиране на GCD
Сега разгледайте третия начин за намиране на най-големия общ делител. Същността на този метод се състои в това, че числата, за които се търси най-големият общ делител, се разлагат на прости множители. След това от разлагането на първото число се изтриват фактори, които не са включени в разлагането на второто число. Останалите числа в първото разширение се умножават и получават НОД.
Например, нека намерим НОД за числата 28 и 16 по този начин. Първо, разлагаме тези числа на прости множители:
Имаме две разширения: и
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширяването на второто число. Разширението на второто число не включва седем. Ще го изтрием от първото разширение:
Сега умножаваме останалите фактори и получаваме НОД:
Числото 4 е най-големият общ делител на числата 28 и 16. И двете числа се делят на 4 без остатък:
Пример 2Намерете НОД на числата 100 и 40
Разлагане на числото 100
Разлагане на числото 40
Имаме две разширения:
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширяването на второто число. Разширението на второто число не включва една петица (има само една петица). Изтриваме го от първото разлагане
Умножете останалите числа:
Получихме отговора 20. Значи числото 20 е най-големият общ делител на числата 100 и 40. Тези две числа се делят на 20 без остатък:
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3Намерете НОД на числата 72 и 128
Разлагане на числото 72
Разлагане на числото 128
2×2×2×2×2×2×2
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширяването на второто число. Разширението на второто число не включва две тройки (въобще ги няма). Изтриваме ги от първото разширение:
Получихме отговора 8. Значи числото 8 е най-големият общ делител на числата 72 и 128. Тези две числа се делят на 8 без остатък:
НОД (72 и 128) = 8
Намиране на GCD за множество числа
Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, за които трябва да се търси най-големият общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа.
Например, нека намерим НОД за числата 18, 24 и 36
Разлагане на множители на числото 18
Разлагане на множители на числото 24
Разлагане на множители на числото 36
Имаме три разширения:
Сега избираме и подчертаваме общите множители в тези числа. Общите фактори трябва да бъдат включени и в трите числа:
Виждаме, че общите множители за числата 18, 24 и 36 са множители 2 и 3. Като умножим тези множители, получаваме НОД, който търсим:
Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 18, 24 и 36. Тези три числа се делят на 6 без остатък:
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2Намерете gcd за числата 12, 24, 36 и 42
Нека разложим всяко число на множители. След това намираме произведението на общите множители на тези числа.
Разлагане на числото 12 на множители
Разлагане на множители на числото 42
Имаме четири разширения:
Сега избираме и подчертаваме общите множители в тези числа. Общите множители трябва да бъдат включени във всичките четири числа:
Виждаме, че общите множители за числата 12, 24, 36 и 42 са множителите 2 и 3. Като умножим тези множители, получаваме НОД, който търсим:
Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 12, 24, 36 и 42. Тези числа се делят на 6 без остатък:
gcd(12, 24, 36 и 42) = 6
От предишния урок знаем, че ако дадено число се дели на друго без остатък, то се нарича кратно на това число.
Оказва се, че кратното може да бъде общо за няколко числа. И сега ще се интересуваме от кратно на две числа, докато то трябва да бъде възможно най-малко.
Определение. Най-малко общо кратно (LCM) на числа аи б- аи b аи номер b.
Дефиницията съдържа две променливи аи b. Нека заместим тези променливи с произволни две числа. Например, вместо променлива азаменете числото 9 и вместо променливата bнека заместим числото 12. Сега нека се опитаме да прочетем определението:
Най-малко общо кратно (LCM) на числа 9 и 12 - е най-малкото число, което е кратно на 9 и 12 . С други думи, това е толкова малко число, което се дели без остатък на числото 9 и на номера 12 .
От дефиницията става ясно, че LCM е най-малкото число, което се дели без остатък на 9 и 12. Това LCM трябва да бъде намерено.
Има два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Първият начин е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тези кратни такова число, което ще бъде общо за двете числа и малко. Нека приложим този метод.
Първо, нека намерим първите кратни на числото 9. За да намерите кратни на 9, трябва последователно да умножите тази деветка по числата от 1 до 9. Отговорите, които получавате, ще бъдат кратни на числото 9. И така, да започваме. Множествата ще бъдат маркирани в червено:
Сега намираме кратни на числото 12. За да направим това, умножаваме 12 по всички числа от 1 до 12 последователно.
Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.
Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делителите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно приме.
Определение.Естествените числа се наричат взаимно примеако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.
Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.
Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.
Да намеря най-голям общ делител
2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.
Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като той дели всички останали числа: 45, 75 и 180.
Най-малко общо кратно (LCM)
Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, кратно както на a, така и на b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратни на тези числа подред. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Нека да напишем факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, и да добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.
Също така намерете най-малкото общо кратно на три или повече числа.
Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложи ги на прости множители;
2) напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.
Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сумата от всичките му делители (без самото число), те наричат перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямото) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Начала“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число стои четно по-голямо просто число.
За намиране на прости числа друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха задраскани (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). накрая само простите числа останаха незадраскани.
Зареждане...