Най-малко общо кратно на числата 3 и 2. Nod и nok на числата - най-големият общ делител и най-малкото общо кратно на няколко числа

Темата "Множество числа" се изучава в 5 клас средно училище. Целта му е да подобри писмените и устните умения за математически изчисления. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, техниката за намиране на делители и кратни се разработва. естествено число, възможност за намиране на LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанията по него могат да се прилагат при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Смята се, че е най-малко. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Необходимо е да се докаже, че числото 125 е кратно на числото 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

При изчисляване на LCM има специални случаи.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), като едното от тях (80) се дели без остатък на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM (6, 7) = 42.

Помислете за последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки делители. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

В друг пример трябва да определите дали 9 е делител по отношение на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

най-големият общ делителчисла аи b, умножено по най-малкото им кратно, ще даде произведението на самите числа аи b.

А именно: НОД (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Общи кратни за по-сложни числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители, записваме ги като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

За да научите как да намирате най-големия общ делител на две или повече числа, трябва да разберете какво представляват естествените, простите и комплексните числа.

Естествено число е всяко число, което се използва за броене на цели числа.

Ако едно естествено число може да бъде разделено само на себе си и на единица, то се нарича просто.

Всички естествени числа могат да се делят на себе си и на единица, но единственото четно просто число е 2, всички останали могат да се делят на две. Следователно само нечетните числа могат да бъдат прости.

Твърде много прости числа пълен списъкте не съществуват. За да намерите GCD, е удобно да използвате специални таблици с такива числа.

Повечето естествени числа могат да бъдат разделени не само на едно, но и на други числа. Така например числото 15 може да се раздели на 3 и 5. Всички те се наричат ​​делители на числото 15.

По този начин делителят на всяко А е числото, на което то може да бъде разделено без остатък. Ако едно число има повече от два естествени делителя, то се нарича съставно.

Числото 30 има делители като 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Можете да видите, че 15 и 30 имат еднакви делители 1, 3, 5, 15. Най-големият общ делител на тези две числа е 15.

Така общият делител на числата A и B е числото, на което можете да ги разделите напълно. Максимумът може да се счита за максимум общ бройна които могат да бъдат разделени.

За решаване на проблеми се използва следният съкратен надпис:

НОД (A; B).

Например НОД (15; 30) = 30.

За записване на всички делители на естествено число се използва нотацията:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

В този пример естествените числа имат само един общ делител. Те се наричат ​​взаимно прости, съответно единицата е техният най-голям общ делител.

Как да намерим най-големия общ делител на числата

За да намерите GCD на няколко числа, трябва:

Намерете всички делители на всяко естествено число поотделно, т.е. разложете ги на множители (прости числа);

Изберете всички същите фактори за дадени числа;

Умножете ги заедно.

Например, за да изчислите най-големия общ делител на 30 и 56, трябва да напишете следното:

За да не се объркате с , е удобно да напишете множителите с помощта на вертикални колони. От лявата страна на линията трябва да поставите дивидента, а отдясно - делителя. Под дивидента трябва да посочите получения коефициент.

И така, в дясната колона ще бъдат всички фактори, необходими за решението.

Еднаквите делители (намерени множители) могат да бъдат подчертани за удобство. Те трябва да се пренапишат и умножат и да се запише най-големият общ делител.

НОД (30; 56) = 2 * 5 = 10

Наистина е толкова просто да се намери най-големият общ делител на числата. С малко практика можете да го направите почти автоматично.

Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b: НОД(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a k се дели на b.

Означете gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат взаимно прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a k се дели на b, може да бъде преформулирано по следния начин: a 1 d k се дели на b 1 d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието, че a 1 k се дели на b едно.

Трябва да запишем и две важни следствия от разглежданата теорема.

Общи кратни на две числа са същите като кратни на тяхното най-малко общо кратно.

Това е вярно, тъй като всяко общо кратно на M числа a и b се определя от равенството M=LCM(a, b) t за някаква цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са взаимно прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, LCM(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общи кратни на числата m k-1 и a k следователно съвпадат с кратни на m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , …, a k е m k .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Урокза студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

С понятията най-голям общ делител (НОД) и най-малко общо кратно (НОК) гимназистите се срещат в шести клас. Тази тема винаги е трудна за овладяване. Децата често объркват тези понятия, не разбират защо трябва да бъдат изучавани. AT последно времеи в научно-популярната литература има отделни твърдения, че този материал трябва да бъде изключен от училищната програма. Мисля, че това не е съвсем вярно и е необходимо да се изучава, ако не в класната стая, то в извънкласното време в класната стая на училищния компонент, тъй като допринася за развитието на логическото мислене на учениците, повишавайки скорост на изчислителните операции и способност за решаване на проблеми с помощта на красиви методи.

При изучаване на темата "Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели" учим децата да намират общия знаменател на две или повече числа. Например трябва да съберете дробите 1/3 и 1/5. Учениците могат лесно да намерят число, което се дели без остатък на 3 и 5. Това число е 15. Наистина, ако числата са малки, тогава техният общ знаменател е лесен за намиране, познавайки добре таблицата за умножение. Едно от момчетата забелязва, че това число е произведение на числата 3 и 5. Децата са на мнение, че по този начин винаги можете да намерите общ знаменател за числата. Например извадете дробите 7/18 и 5/24. Нека намерим произведението на числата 18 и 24. Равно е на 432. Вече сме получили голямо число и ако трябва да се направят допълнителни изчисления (особено за примери за всички действия), тогава вероятността за грешка се увеличава. Но намереното най-малко общо кратно на числата (LCM), което в този случай е еквивалентно на най-малкия общ знаменател (LCD) - числото 72 - значително ще улесни изчисленията и ще доведе до по-бързо решение на примера и по този начин ще спести време, определено за изпълнение на тази задача, което играе важна роля при изпълнението на финалния тест, контролни работиособено по време на крайната оценка.

Когато изучавате темата „Намаляване на дроби“, можете да се движите последователно, като разделите числителя и знаменателя на дробта на едно и също естествено число, като използвате признаците за делимост на числата, като в крайна сметка получите несъкратима дроб. Например, трябва да намалите фракцията 128/344. Първо разделяме числителя и знаменателя на дробта на числото 2, получаваме дробта 64/172. Още веднъж разделяме числителя и знаменателя на получената дроб на 2, получаваме дробта 32/86. Разделете още веднъж числителя и знаменателя на дробта на 2, получаваме несъкратимата дроб 16/43. Но съкращаването на дроб може да стане много по-лесно, ако намерим най-големия общ делител на числата 128 и 344. НОД (128, 344) = 8. Разделяйки числителя и знаменателя на дробта на това число, веднага получаваме несъкратима дроб.

Трябва да покажа на децата различни начининамиране на най-голям общ делител (НОД) и най-малко общо кратно (НОК) на числа. В прости случаи е удобно да се намери най-големият общ делител (НОД) и най-малкото общо кратно (НОК) на числа чрез просто изброяване. Когато числата стават по-големи, могат да се използват прости множители. Учебникът за шести клас (автор Н. Я. Виленкин) показва следния метод за намиране на най-големия общ делител (НОД) на числата. Нека разложим числата на прости множители:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

След това от факторите, включени в разгръщането на едно от тези числа, задраскваме онези, които не са включени в разгръщането на другото число. Произведението на останалите множители ще бъде най-големият общ делител на тези числа. В този случай това число е 8. От моя собствен опит се убедих, че е по-разбираемо за децата, ако подчертаем едни и същи множители в разширенията на числата, а след това в едно от разширенията намерим произведението на подчертаното фактори. Това е най-големият общ делител на тези числа. В шести клас децата са активни и любознателни. Можете да им поставите следната задача: опитайте се да намерите по описания начин най-големия общ делител на числата 343 и 287. Не е ясно как да ги разложите на прости множители. И тук можете да им разкажете за чудесния метод, изобретен от древните гърци, който ви позволява да търсите най-големия общ делител (НОД), без да го разлагате на прости множители. Този метод за намиране на най-големия общ делител е описан за първи път в Елементи на Евклид. Нарича се алгоритъм на Евклид. Състои се в следното: Първо, разделете по-голямото число на по-малкото. Ако има остатък, разделете по-малкото число на остатъка. Ако остатъкът се получи отново, разделете първия остатък на втория. Продължете да делите, докато остатъкът стане нула. Последният делител е най-големият общ делител (НОД) на тези числа.

Нека се върнем към нашия пример и за по-голяма яснота напишем решението под формата на таблица.

Така gcd(344,287) = 7

И как да намерим най-малкото общо кратно (LCM) на едни и същи числа? Има ли някакъв начин за това, който не изисква предварително разлагане на тези числа на прости множители? Оказва се, че има, и то много проста. Трябва да умножим тези числа и да разделим произведението на най-големия общ делител (НОД), който намерихме. В този пример произведението на числата е 98441. Разделете го на 7 и получете числото 14063. LCM(343,287) = 14063.

Една от трудните теми по математика е решаването на текстови задачи. Необходимо е да се покаже на учениците как с помощта на понятията „Най-голям общ делител (НОД)“ и „Най-малко общо кратно (НКМ)“ можете да решавате проблеми, които понякога са трудни за решаване по обичайния начин. Тук е подходящо да разгледаме с учениците, наред със задачите, предложени от авторите на училищния учебник, стари и занимателни задачи, които развиват любопитството на децата и повишават интереса към изучаването на тази тема. Умелото владеене на тези концепции позволява на учениците да видят красиво решение. нестандартна задача. И ако настроението на детето се повиши след решаване на добър проблем, това е знак за успешна работа.

По този начин изучаването в училище на такива понятия като „Най-голям общ делител (НОД)“ и „Най-малко общо кратно (LCD)“ на числа

Позволява ви да спестите време, отделено за изпълнение на работата, което води до значително увеличаване на обема на изпълнените задачи;

Повишава скоростта и точността на аритметичните операции, което води до значително намаляване на броя на допустимите изчислителни грешки;

Позволява ви да намерите красиви начини за решаване на нестандартни текстови задачи;

Развива любознателността на учениците, разширява техния кръгозор;

Създава предпоставки за възпитаване на многостранно развита творческа личност.

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.

Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числа на прости множители ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В същото време човек трябва да се придържа към следващото правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .