Във физиката и други науки много често е необходимо да се измерват различни величини (например дължина, маса, време, температура, електрическо съпротивлениеи т.н.).

Измерване- процесът на намиране на стойността на физическо количество с помощта на специални технически средства - измервателни уреди.

Измерващ инструмент наречено устройство, чрез което измерената величина се сравнява с физическа величина от същия вид, взета като мерна единица.

Правете разлика между прав и индиректни методиизмервания.

Директни методи за измерване - методи, при които стойностите на определяните количества се намират чрез директно сравнение на измервания обект с мерната единица (стандарт). Например, дължината на тялото, измерена с линийка, се сравнява с единица дължина - метър, масата на тялото, измерена с везни, се сравнява с единица маса - килограм и т.н. Така, в резултат на директно измерване, определената стойност се получава веднага, директно.

Косвени методи за измерване- методи, при които стойностите на определяните величини се изчисляват от резултатите от директни измервания на други величини, с които те са свързани с известна функционална зависимост. Например, определяне на обиколката на кръг въз основа на резултатите от измерване на диаметъра или определяне на обема на тялото въз основа на резултатите от измерването на неговите линейни размери.

Поради несъвършенството на измервателните уреди, нашите сетивни органи, влиянието на външни въздействия върху измервателната апаратура и обекта на измерване, както и други фактори, всички измервания могат да се извършват само с определена степен на точност; следователно резултатите от измерването не дават истинската стойност на измереното количество, а само приблизителна. Ако например телесното тегло се определя с точност до 0,1 mg, това означава, че намереното тегло се различава от истинското телесно тегло с по-малко от 0,1 mg.

Точност на измерванията - характеристика на качеството на измерванията, отразяваща близостта на резултатите от измерването до истинската стойност на измереното количество.

Колкото по-малки са грешките на измерване, толкова по-голяма е точността на измерването. Точността на измерването зависи от инструментите, използвани при измерванията и от общи методиизмервания. Абсолютно безполезно е да се опитвате да надхвърлите тази граница на точност, когато правите измервания при дадени условия. Възможно е да се сведе до минимум въздействието на причините, които намаляват точността на измерванията, но е невъзможно да се отървете напълно от тях, тоест по време на измерванията винаги се правят повече или по-малко значителни грешки (грешки). За да се повиши точността на крайния резултат, всяко физическо измерване трябва да се направи не веднъж, а няколко пъти при едни и същи експериментални условия.

В резултат на i-тото измерване (i е номерът на измерване) на стойността "X" се получава приблизително число X i, което се различава от истинската стойност Xist с някаква стойност ∆X i = |X i - X |, което е грешка или, с други думи, грешка. Истинската грешка не ни е известна, тъй като не знаем истинската стойност на измерената величина. Истинската стойност на измерената физична величина се намира в интервала

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

където X i е стойността на стойността X, получена по време на измерването (т.е. измерената стойност); ∆X е абсолютната грешка при определяне на стойността на X.

Абсолютна грешка (грешка) на измерване ∆X е абсолютната стойност на разликата между истинската стойност на измерената величина Xist и резултата от измерването X i: ∆X = |X ist - X i |.

Относителна грешка (грешка) измерване δ (характеризиращо точността на измерване) е числено равно на съотношението на абсолютната грешка на измерване ∆X към истинската стойност на измерената стойност X sist (често се изразява като процент): δ \u003d (∆X / X sist) 100% .

Грешките или грешките при измерване могат да бъдат разделени на три класа: систематични, случайни и груби (пропуски).

Систематиченнаричат ​​такава грешка, която остава постоянна или естествено (според някаква функционална зависимост) се променя при многократни измервания на едно и също количество. Такива грешки възникват в резултат на конструктивните особености на измервателните уреди, недостатъците на приетия метод на измерване, евентуални пропуски на експериментатора, влиянието на външни условия или дефект в самия обект на измерване.

Във всяко измервателно устройство е присъща една или друга систематична грешка, която не може да бъде отстранена, но чийто ред може да бъде взет предвид. Систематичните грешки увеличават или намаляват резултатите от измерването, т.е. тези грешки се характеризират с постоянен знак. Например, ако по време на претеглянето една от тежестите има маса с 0,01 g повече от посочената върху нея, тогава намерената стойност на телесното тегло ще бъде надценена с тази сума, независимо колко измервания са направени. Понякога системните грешки могат да бъдат взети предвид или елиминирани, понякога това не може да се направи. Например, фаталните грешки включват грешки на инструмента, за които можем да кажем само, че не надвишават определена стойност.

Случайни грешки наречени грешки, които променят своята величина и знак по непредвидим начин от опит в опит. Появата на случайни грешки се дължи на действието на множество разнообразни и неконтролируеми причини.

Например, при теглене с везна, тези причини могат да бъдат вибрации на въздуха, утаени прахови частици, различно триене в лявото и дясното окачване на чашите и т.н. Случайните грешки се проявяват във факта, че след измерване на същата стойност на X същите експериментални условия, ние различни стойности: X1, X2, X3,…, X i,…, X n, където X i е резултатът от i-тото измерване. Не е възможно да се установи някаква закономерност между резултатите, поради което резултатът от i -тото измерване X се счита за случайна променлива. Случайните грешки могат да имат известен ефект върху едно измерване, но при повторни измервания те се подчиняват на статистически закони и влиянието им върху резултатите от измерването може да бъде взето предвид или значително намалено.

Пропуски и гафове– прекалено големи грешки, които ясно изкривяват резултата от измерването. Този клас грешки най-често се причинява от неправилни действия на експериментатора (например, поради невнимание, вместо четенето на устройството „212“ се изписва съвсем различно число - „221“). Измерванията, съдържащи пропуски и груби грешки, трябва да се отхвърлят.

Измерванията по отношение на тяхната точност могат да се извършват с технически и лабораторни методи.

При използване на технически методи измерването се извършва еднократно. В този случай те се задоволяват с такава точност, при която грешката не надвишава някаква определена, предварително определена стойност, определена от грешката на използваното измервателно оборудване.

При лабораторните методи за измерване се изисква по-точно посочване на стойността на измереното количество, отколкото позволява еднократното му измерване по техническия метод. В този случай се правят няколко измервания и се изчислява средноаритметичната стойност на получените стойности, която се приема като най-надеждната (истинска) стойност на измерената стойност. След това се оценява точността на резултата от измерването (отчитане на случайни грешки).

От възможността за извършване на измервания по два метода следва наличието на два метода за оценка на точността на измерванията: технически и лабораторен.

Относителна грешка

RMS грешки T, true A се наричат ​​абсолютни грешки.

В някои случаи абсолютната грешка не е достатъчно показателна, особено за линейни измервания. Например, линията се измерва с грешка от ±5 см. За линия с дължина 1 метър тази точност е очевидно ниска, но за линия с дължина 1 километър точността със сигурност е по-висока. Следователно точността на измерване ще бъде по-ясно характеризирана от отношението на абсолютната грешка към получената стойност на измереното количество. Това съотношение се нарича относителна грешка. Относителната грешка се изразява като дроб и дробта се преобразува така, че нейният числител да е равен на едно.

Относителната грешка се определя от съответната абсолютна

грешка. Позволявам х- получената стойност на определена стойност, след това - средната квадратична относителна грешка на тази стойност; е истинската относителна грешка.

Знаменателят на относителната грешка трябва да се закръгли до две значещи цифри с нули.

Пример. В горния случай средната квадратична относителна грешка на измерването на линията ще бъде равна на

пределна грешка

Пределната грешка се нарича най-висока стойностслучайна грешка, която може да възникне при определени условия на еднакво точни измервания.

Теорията на вероятностите доказа, че случайните грешки само в три случая от 1000 могат да надвишат стойността Zt; 5 грешки от 100 могат да бъдат победени 2ти 32 грешки от 100 могат да надминат T.

Въз основа на това в геодезическата практика резултатите от измерванията съдържат грешки 0>3т, се отнася за измервания, съдържащи груби грешкии не се приемат за обработка.

Стойности на грешка 0 = 2 Tсе използват като ограничаване при компилиране Технически изискванияза този тип работа, т.е. всички случайни грешки в измерването, които надвишават тези стойности по своя размер, се считат за неприемливи. При получаване на несъответствия над стойността 2т,предприемат се мерки за подобряване на условията за измерване, а самите измервания се повтарят.

Контролни въпроси и упражнения:

• 1. Избройте видовете измервания и дайте тяхното определение.
• 2. Избройте видовете грешки при измерване и дайте тяхното определение.
• 3. Избройте критериите, използвани за оценка на точността на измерванията.
• 4. Намерете средната квадратична грешка на поредица от измервания, ако най-вероятните грешки са: - 2,3; + 1,6; - 0,2; + 1,9; - 1.1.
• 5. Намерете относителната грешка на измерване на дължината на линията според резултатите: 487,23 m и 486,91 m.

Физическите величини се характеризират с понятието "точност на грешката". Има една поговорка, че чрез измерване човек може да стигне до познание. Така ще можете да разберете каква е височината на къщата или дължината на улицата, както много други.

Въведение

Нека разберем значението на понятието "измерване на стойността". Процесът на измерване е да се сравни с хомогенни количества, които се приемат за единица.

Литри се използват за определяне на обема, грамове се използват за изчисляване на масата. За да направим изчисленията по-удобни, въведохме системата SI на международната класификация на единиците.

За измерване на дължината на блатото в метри, маса - килограми, обем - кубични литри, време - секунди, скорост - метри в секунда.

При изчисляване на физически величини не винаги е необходимо да се използва традиционният метод, достатъчно е да се приложи изчислението с помощта на формула. Например, за да изчислите показатели като средна скорост, трябва да разделите изминатото разстояние на времето, прекарано на пътя. Така се изчислява средната скорост.

Използвайки мерни единици, които са десет, сто, хиляда пъти по-високи от показателите на приетите мерни единици, те се наричат ​​кратни.

Името на всеки префикс съответства на неговия множител:

1. Дека.
2. Хекто.
3. Кило.
4. мега.
5. Гига.
6. Тера.

Във физиката за записване на такива множители се използва степен 10. Например един милион се означава като 10 6 .

В обикновена линийка дължината има единица мярка - сантиметър. Той е 100 пъти по-малък от метър. 15 cm линийка е с дължина 0,15 m.

Линийката е най-простият вид измервателен уред за измерване на дължина. По-сложните устройства са представени от термометър - така че хигрометър - за определяне на влажността, амперметър - за измерване на нивото на сила, с която се разпространява електрически ток.

Колко точни ще бъдат измерванията?

Вземете линийка и обикновен молив. Нашата задача е да измерим дължината на тези канцеларски материали.

Първо трябва да определите каква е стойността на делението, посочена на скалата на измервателния уред. На двете деления, които са най-близките щрихи на скалата, се изписват числа, например "1" и "2".

Необходимо е да се изчисли колко деления са затворени в интервала на тези числа. Ако броите правилно, получавате "10". Извадете от числото, което е по-голямо, числото, което ще бъде по-малко, и разделете на числото, което съставлява деленията между цифрите:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Така определяме, че цената, която определя разделението на канцеларските материали, е числото 0,1 см или 1 мм. Ясно е показано как се определя ценовият индикатор за разделяне с помощта на който и да е измервателен уред.

Като измерим молив с дължина малко по-малка от 10 см, ще използваме получените знания. Ако на линийката нямаше малки деления, би следвало заключението, че обектът има дължина 10 см. Тази приблизителна стойност се нарича грешка при измерване. Той показва нивото на неточност, което може да бъде толерирано при измерването.

Определяне на параметрите на дължината на молив с повече високо нивоточност, по-голямата стойност на делението постига по-голяма точност на измерване, което осигурява по-малка грешка.

В този случай не могат да се направят абсолютно точни измервания. И показателите не трябва да надвишават размера на цената на разделяне.

Установено е, че размерите на грешката на измерване са ½ от цената, която е посочена върху деленията на уреда, използван за определяне на размерите.

След като измерим молива на 9,7 см, определяме показателите за неговата грешка. Това е празнина от 9,65 - 9,85 см.

Формулата, която измерва такава грешка, е изчислението:

A = a ± D (a)

A - под формата на величина за измерване на процеси;

a - стойността на резултата от измерването;

D - обозначението на абсолютната грешка.

При изваждане или добавяне на стойности с грешка резултатът ще бъде е равно на суматаиндикатори за грешката, която е всяка отделна стойност.

Въведение в концепцията

Ако разгледаме в зависимост от начина, по който се изразява, можем да различим следните разновидности:

• Абсолютно.
• Относително.
• дадени.

Абсолютната грешка на измерване се обозначава с главна буква "Делта". Това понятие се дефинира като разликата между измерените и действителните стойности на физическото количество, което се измерва.

Изразът на абсолютната грешка на измерване е единиците на количеството, което трябва да се измери.

При измерване на масата тя ще бъде изразена например в килограми. Това не е стандарт за точност на измерване.

Как да изчислим грешката на директните измервания?

Има начини да ги представите и изчислите. За това е важно да можете да идентифицирате физическо количествос необходимата точност, за да знае каква е абсолютната грешка на измерване, така че никой никога да не може да я открие. Можете да изчислите само неговата гранична стойност.

Дори този термин да е условно използван, той обозначава точно граничните данни. Абсолютните и относителните грешки на измерването се означават с едни и същи букви, разликата е в изписването им.

При измерване на дължина абсолютната грешка ще се измерва в онези единици, в които се изчислява дължината. И относителната грешка се изчислява без размери, тъй като това е съотношението на абсолютната грешка към резултата от измерването. Тази стойност често се изразява като процент или дроби.

Има няколко абсолютни и относителни грешки при измерване различни начиниизчисления в зависимост от това какви физични величини.

Концепцията за директно измерване

Абсолютната и относителната грешка на директните измервания зависят от класа на точност на устройството и възможността за определяне на грешката на претеглянето.

Преди да говорим за това как се изчислява грешката, е необходимо да се изяснят дефинициите. Директното измерване е измерване, при което резултатът се отчита директно от скалата на инструмента.

Когато използваме термометър, линийка, волтметър или амперметър, ние винаги извършваме директни измервания, тъй като използваме директно уред със скала.

Има два фактора, които влияят на ефективността:

• Грешка на инструмента.
• Грешката на референтната система.

Абсолютната граница на грешката за директни измервания ще бъде равна на сумата от грешката, която устройството показва, и грешката, която възниква по време на процеса на отчитане.

D = D (пр.) + D (отсъства)

Пример за медицински термометър

Стойностите на точността са посочени на самия инструмент. На медицински термометър е регистрирана грешка от 0,1 градуса по Целзий. Грешката при четене е половината от стойността на делението.

д = C/2

Ако стойността на разделението е 0,1 градуса, тогава за медицински термометър могат да се направят изчисления:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

На задната страна на скалата на друг термометър има техническа спецификация и е указано, че за правилните измервания е необходимо термометърът да се потопи с цялата задна част. Точността на измерване не е посочена. Единствената останала грешка е грешката при броенето.

Ако стойността на разделението на скалата на този термометър е 2 o C, тогава можете да измервате температурата с точност до 1 o C. Това са границите на допустимата абсолютна грешка при измерване и изчисляването на абсолютната грешка при измерване.

В електрическите измервателни уреди се използва специална система за изчисляване на точността.

Точност на електроизмервателните уреди

За да се определи точността на такива устройства, се използва стойност, наречена клас на точност. За неговото обозначение се използва буквата "Гама". За да определите точно абсолютните и относителните грешки на измерването, трябва да знаете класа на точност на устройството, който е посочен на скалата.

Вземете например амперметър. Скалата му показва класа на точност, който показва числото 0,5. Подходящ е за измервания на постоянен и променлив ток, отнася се към устройствата на електромагнитната система.

Това е доста точен уред. Ако го сравните с училищен волтметър, можете да видите, че той има клас на точност 4. Тази стойност трябва да бъде известна за по-нататъшни изчисления.

Приложение на знанията

Така D c \u003d c (max) X γ / 100

Тази формула ще се използва за конкретни примери. Нека използваме волтметър и намерим грешката в измерването на напрежението, което батерията дава.

Нека свържете батерията директно към волтметъра, като предварително проверите дали стрелката е на нула. Когато устройството беше свързано, стрелката се отклони с 4,2 деления. Това състояние може да се опише по следния начин:

1. Може да се види, че максималната стойност на U за този елемент е 6.
2. Клас на точност -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Като се използват тези формулни данни, абсолютните и относителните грешки на измерването се изчисляват, както следва:

D U \u003d DU (пр.) + C / 2

D U (пр.) \u003d U (макс.) X γ / 100

D U (пр.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Това е грешката на инструмента.

Изчисляването на абсолютната грешка на измерване в този случай ще се извърши, както следва:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Използвайки разглежданата формула, можете лесно да разберете как да изчислите абсолютната грешка при измерване.

Има правило за грешки при закръгляване. Тя ви позволява да намерите средната стойност между границата на абсолютната грешка и относителната.

Научаване за определяне на грешката при претегляне

Това е един пример за директни измервания. На специално място е претеглянето. Все пак лостовите везни нямат скала. Нека се научим как да определим грешката на такъв процес. Точността на измерване на масата се влияе от точността на теглилките и съвършенството на самите везни.

Ние използваме везна за баланс с набор от тежести, които трябва да бъдат поставени точно от дясната страна на везната. Вземете линийка за претегляне.

Преди да започнете експеримента, трябва да балансирате везните. Поставяме линийката върху лявата купа.

Масата ще бъде равна на сумата от инсталираните тежести. Нека определим грешката на измерване на това количество.

D m = D m (тегла) + D m (тегла)

Грешката при измерване на масата се състои от два члена, свързани с везни и тежести. За да разберете всяка от тези стойности, във фабриките за производство на везни и тежести продуктите се доставят със специални документи, които ви позволяват да изчислите точността.

Приложение на таблици

Да използваме стандартна таблица. Грешката на везната зависи от това колко маса е поставена върху везната. Колкото по-голяма е тя, толкова по-голяма е съответно грешката.

Дори да сложиш много леко тяло ще има грешка. Това се дължи на процеса на триене, възникващ в осите.

Втората таблица се отнася до набор от тегла. Това показва, че всеки от тях има своя собствена масова грешка. 10-грамовата има грешка от 1 мг, както и 20-грамовата. Изчисляваме сумата от грешките на всяко от тези тегла, взети от таблицата.

Масата и грешката на масата е удобно да се изпишат на два реда, които са разположени един под друг. Колкото по-малко е теглото, толкова по-точно е измерването.

Резултати

В хода на разглеждания материал се установи, че е невъзможно да се определи абсолютната грешка. Можете да зададете само неговите гранични индикатори. За това се използват формулите, описани по-горе в изчисленията. Този материал е предложен за изучаване в училище за ученици от 8-9 клас. Въз основа на получените знания е възможно да се решават задачи за определяне на абсолютните и относителните грешки.

Както бе споменато по-горе, резултатът от измерването на всяка стойност се различава от истинската стойност. Тази разлика, равна на разликата между показанието на инструмента и истинската стойност, се нарича абсолютна грешка на измерване, която се изразява в същите единици като самата измерена стойност:

Където хе абсолютната грешка.

При извършване на комплексен контрол, когато се измерват показатели с различна величина, е по-целесъобразно да се използва не абсолютна, а относителна грешка. Определя се по следната формула:

Целесъобразност на приложението х rel се свързва със следните обстоятелства. Да предположим, че измерваме времето с точност от 0,1 s (абсолютна грешка). В същото време, ако говорим за бягане на 10 000 метра, тогава точността е доста приемлива. Но е невъзможно да се измери времето за реакция с такава точност, тъй като големината на грешката е почти равна на измерената стойност (времето на проста реакция е 0,12-0,20 s). В тази връзка е необходимо да се сравни стойността на грешката и самата измерена стойност и да се определи относителната грешка.

Помислете за пример за определяне на абсолютните и относителните грешки на измерването. Да предположим, че измерването на сърдечната честота след бягане с високо прецизен уред ни дава стойност, близка до истинската и равна на 150 удара / мин. Едновременното палпационно измерване дава стойност, равна на 162 удара / мин. Замествайки тези стойности във формулите по-горе, получаваме:

х=150-162=12 удара/мин - абсолютна грешка;

x=(12: 150)X100%=8% - относителна грешка.

Задача номер 3 Индекси за оценка на физическото развитие

Абсолютни и относителни грешки

Грешки като средна стойност (J), средна квадратична стойност ( м), вероятно ( r), истина (D) и граница (D и т.н) са абсолютни грешки. Те винаги се изразяват в единици на измерваната величина, т.е. имат същия размер като измерената стойност.
Често има случаи, когато обекти с различни размери се измерват с еднакви абсолютни грешки. Например средно квадратична грешкаизмервания на дължината на линията: л 1 = 100 m и л 2 \u003d 1000 m, възлиза на м\u003d 5 см. Възниква въпросът: коя линия е измерена по-точно? За да се избегне несигурност, точността на измерване на определен брой величини се оценява като съотношението на абсолютната грешка към стойността на измереното количество. Полученото съотношение се нарича относителна грешка, която обикновено се изразява като дроб с числител, равен на едно.
Името на абсолютната грешка определя и името на съответната относителна грешка на измерване [1].

Позволявам х- резултатът от измерването на някаква стойност. Тогава
- средна квадратична относителна грешка;

Средна относителна грешка;

Вероятна относителна грешка;

Истинска относителна грешка;

Ограничете относителната грешка.

Знаменател нотносителната грешка трябва да бъде закръглена до две значещи цифри с нули:

mx= 0,3 m; х= 152,0 m;

mx= 0,25 m; х= 643.00 m; .

mx= 0,033 m; х= 795 000 m;

Както се вижда от примера, колкото по-голям е знаменателят на фракцията, толкова по-точни са измерванията.

Грешки при закръгляване

При обработката на резултатите от измерванията важна роля играят грешките при закръгляване, които по своите свойства могат да бъдат приписани на случайни променливи [2]:

1) пределна грешкаедно закръгляване е 0,5 единици от запазения знак;

2) грешки при закръгляване на по-големи и по-малки по абсолютна стойност са еднакво възможни;
3) положителните и отрицателните грешки при закръгляване са еднакво възможни;
4) математическото очакване на грешките при закръгляване е нула.
Тези свойства позволяват да се приписват грешки при закръгляване на произволни променливи, които имат равномерно разпределение. Непрекъсната случайна променлива хима равномерно разпределение на интервала [ а, б], ако на този интервал плътността на разпределение случайна величинае постоянна, а извън нея е равна на нула (фиг. 2), т.е.

й (х) . (1.32)

разпределителна функция Е(х)

a b x(1.33)

Ориз. 2 Очаквана стойност

(1.34)

дисперсия
(1.35)

Средно аритметично стандартно отклонение

(1.36)

За грешки при закръгляване