Геометрията не е лесна наука. Може да е полезно и за двамата училищна програма, както и в истинския живот. Познаването на много формули и теореми ще опрости геометричните изчисления. Един от най прости фигурив геометрията е триъгълник. Една от разновидностите на триъгълници, равностранен, има свои собствени характеристики.

Характеристики на равностранен триъгълник

По дефиниция триъгълникът е многостен, който има три ъгъла и три страни. Това е плоска двуизмерна фигура, нейните свойства се изучават в гимназия. Според вида на ъгъла се различават остроъгълни, тъпоъгълни и правоъгълни триъгълници. Правоъгълен триъгълник е геометрична фигуракъдето един от ъглите е 90º. Такъв триъгълник има два крака (те създават прав ъгъл) и една хипотенуза (тя е противоположна прав ъгъл). В зависимост от това какви количества са известни, има три прости начиниизчислете хипотенузата правоъгълен триъгълник.

Първият начин е да се намери хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Питагорова теорема

Питагоровата теорема е най-старият начин за изчисляване на която и да е страна на правоъгълен триъгълник. Звучи така: „В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.“ По този начин, за да се изчисли хипотенузата, трябва да се изведе Корен квадратенот сбора на два крака в квадрат. За яснота са дадени формули и диаграма.

Вторият начин. Изчисляване на хипотенузата с помощта на 2 известни стойности: катет и прилежащия ъгъл

Едно от свойствата на правоъгълния триъгълник казва, че съотношението на дължината на катета към дължината на хипотенузата е еквивалентно на косинуса на ъгъла между този катет и хипотенузата. Нека наречем известния ни ъгъл α. Сега, благодарение на добре познатата дефиниция, можем лесно да формулираме формула за изчисляване на хипотенузата: Хипотенуза = крак/cos(α)

Третият начин. Изчисляване на хипотенузата с помощта на 2 известни стойности: катет и срещуположен ъгъл

Ако противоположният ъгъл е известен, е възможно отново да се използват свойствата на правоъгълен триъгълник. Съотношението на дължината на катета и хипотенузата е еквивалентно на синуса на противоположния ъгъл. Да се ​​обадим пак известен ъгъла. Сега за изчисленията прилагаме малко по-различна формула:
Хипотенуза = катет/грех (α)

Примери, които да ви помогнат да разберете формулите

За по-задълбочено разбиране на всяка от формулите трябва да разгледате илюстративни примери. Така че, да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник, където има такива данни:

• Крак - 8 см.
• Прилежащият ъгъл cosα1 е 0,8.
• Противоположният ъгъл sinα2 е 0,8.

Според Питагоровата теорема: Хипотенуза \u003d корен квадратен от (36 + 64) \u003d 10 cm.
Според размера на крака и включения ъгъл: 8 / 0,8 \u003d 10 см.
По размера на крака и противоположния ъгъл: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

След като сте разбрали формулата, можете лесно да изчислите хипотенузата с всякакви данни.

Видео: Теорема на Питагор

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълно илюстрирано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

В задачите прав ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите как да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в такива

и в такива

Какво е добро за правоъгълен триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: крака - два, а хипотенузата - само един(единствен, неповторим и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава донесе много ползи на онези, които го познават. А най-хубавото в нея е, че е проста.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме тези много питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Наистина ли прилича на шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема, по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площ на квадратите, построен върху краката, е равен на квадратна площпостроен върху хипотенузата.

Не звучи ли малко по-различно, нали? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, се получи точно такава картина.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да запомнят децата по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли тази шега за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало ... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да запомнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълен триъгълник беше обсъдена. Ако се интересувате как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да продължим ... в тъмната гора ... на тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "истинското" определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположният крак (за ъгъла)? Разбира се, че има! Това е катет!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, котката. И така, за ъгъла катетът е съседен и

А сега внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е страхотен:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да го изразя с думи сега? Какъв е кракът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А катетът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво получихме?

Вижте как числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направи размяната:

Резюме

Нека накратко запишем какво сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълния триъгълник е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катетите и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна. Как ще го докажеш? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате ли колко хитро разделихме страните му на сегменти с дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малката площ? Разбира се, . Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че сме взели две от тях и сме ги облегнали една на друга с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположния катет към съседния катет.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към противоположния катет.

И отново всичко това под формата на чиния:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са "съответстващи". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът беше съседен, или в двата - срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Погледнете темата "и обърнете внимание на факта, че за равенството на "обикновените" триъгълници е необходимо равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответстващи елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация със знаци за сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. Остър ъгъл

II. На два крака

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се случи така

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се спечели от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която около трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНАТА ОКРУЖНА. И какво стана?

Така че нека започнем с това "освен...".

Нека да разгледаме i.

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първа формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново.

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• на два крака:
• по крака и хипотенузата: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на двата крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през катетри:

ИЗМЕРВАНЕ НА ПЛОЩТА НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ.

§ 58. ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА 1 .

__________
1 Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр.н.е.).
_________

Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни а, bи с(dev. 267).

Нека изградим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно а 2 , b 2 и с 2. Нека докажем това с 2 = а 2 +б 2 .

Да построим два квадрата MKOR и M"K"O"R" (фиг. 268, 269), като за страна на всеки от тях вземем отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълен триъгълник ABC.

След като завършим конструкциите, показани на чертежи 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи а 2 и b 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M"K"O"R" е разделен на четириъгълник (защрихован е на чертеж 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. с) и ъглите са прави / 1 + / 2 = 90°, откъдето / 3 = 90°).

По този начин сумата от площите на квадратите, изградени върху краката (на чертеж 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата от площите на четири равни триъгълника и площта на ​​квадратът, построен върху хипотенузата (на чертеж 269 този квадрат също е защрихован) е равен на площта на квадрата M "K" O "R", равна на квадрата на MKOR, без сумата от площите на четири еднакви триъгълника. Следователно площта на квадрата, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху краката.

Получаваме формулата с 2 = а 2 +б 2, където с- хипотенуза, аи b- катети на правоъгълен триъгълник.

Питагоровата теорема може да се обобщи по следния начин:

Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.

От формулата с 2 = а 2 +б 2 можете да получите следните формули:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Тези формули могат да се използват за намиране на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник при дадени две от страните му.
Например:

а) ако са дадени крака а= 4 см, b\u003d 3 cm, тогава можете да намерите хипотенузата ( с):
с 2 = а 2 +б 2 , т.е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето с= √25 =5 (cm);

б) ако е дадена хипотенузата с= 17 см и крак а= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( b):

b 2 = с 2 - а 2 , т.е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откъдето b= √225 = 15 (cm).

Последица: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза си с 1 са равни, а катетът bтриъгълник ABC е по-голям от катета b 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,
след това крака атриъгълник ABC по-малко от катета а 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 . (Направете чертеж, илюстриращ това следствие.)

Наистина, въз основа на Питагоровата теорема получаваме:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В написаните формули умалените са равни и изваждаемото в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,
т.е. а 2 < а 12 . Където а< а 1 .

Упражнения.

1. Използвайки чертеж 270, докажете Питагоровата теорема за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

2. Единият катет на правоъгълен триъгълник е 12 см, другият е 5 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, единият катет е 8 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 37 см, единият му катет е 35 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

5. Построете квадрат два пъти по-голям от дадения.

6. Построете квадрат, два пъти по-голям от дадения. Инструкция.Задръж даден квадратдиагонали. Квадратите, построени върху половините на тези диагонали, ще бъдат желаните.

7. Катетите на правоъгълен триъгълник са съответно 12 см и 15 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник с точност до 0,1 см.

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 20 см, единият му катет е 15 см. Изчислете дължината на другия катет с точност до 0,1 см.

9. Колко дълга трябва да бъде стълбата, за да може да се прикрепи към прозорец, разположен на височина 6 м, ако долният край на стълбата трябва да е на 2,5 м от сградата? (По дяволите. 271.)

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката

между страните на правоъгълен триъгълник.

Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,

изградени върху катетри.

Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през ° С, и дължините на краката през аи b:

И двете формулировки питагорови теоремиса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така

изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и

чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратната теорема на Питагор.

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или с други думи:

За всяка тройка положителни числа а, bи ° С, така че

има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.

Питагоровата теорема за равнобедрен триъгълник.

Питагорова теорема за равностранен триъгълник.

Доказателства на Питагоровата теорема.

В момента в научна литератураЗаписани са 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата

Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие

може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на площта, аксиоматичени екзотични доказателства(например,

като се използва диференциални уравнения).

1. Доказателство на Питагоровата теорема от гледна точка на подобни триъгълници.

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства

директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигурата.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначават

нейната основа чрез з.

Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C на два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC.

Чрез въвеждане на нотацията:

получаваме:

,

което съвпада -

Като фолдна а 2 и b 2, получаваме:

или , което трябваше да се докаже.

2. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на площта.

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях

използвайте свойствата на областта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата питагорова теорема.

• Доказателство чрез равнодопълване.

Подредете четири еднакви правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Четириъгълник със страни ° С- квадрат,

тъй като сборът от две остри ъгли 90°, а

развитият ъгъл е 180°.

Площта на цялата фигура е, от една страна,

площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите четири триъгълникаи

Q.E.D.

3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.

​

Като се има предвид чертежът, показан на фигурата, и

гледам как се сменя странатаа, ние можем

напишете следната връзка за безкрайност

малък странични увеличенияси а(използвайки прилика

триъгълници):

Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата крака:

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната

пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата

приноси от нарастването на различни крака.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва нарастване

(в този случай кракът b). Тогава за интеграционната константа получаваме:

Питагорова теорема

Съдбата на други теореми и проблеми е особена... Как може да се обясни например такова изключително внимание от страна на математици и математици към Питагоровата теорема? Защо много от тях не се задоволиха с вече известните доказателства, а намериха свои собствени, довеждайки броя на доказателствата до няколкостотин за двадесет и пет сравнително наблюдаеми века?
Кога говорим сиотносно Питагоровата теорема необичайното започва още с нейното име. Смята се, че в никакъв случай Питагор не го е формулирал за първи път. Също така е съмнително, че той й е дал доказателство. Ако Питагор е реален човек (някои дори се съмняват в това!), то той най-вероятно е живял през 6-5 век. пр.н.е д. Самият той не пише нищо, той се нарича философ, което означава, според неговото разбиране, „стремеж към мъдрост“, основава Питагорейския съюз, чиито членове се занимават с музика, гимнастика, математика, физика и астрономия. Очевидно той е бил и велик оратор, както се вижда от следната легенда, свързана с престоя му в град Кротон: „Първата поява на Питагор пред хората в Кротон започна с реч пред млади мъже, в която той е толкова строг , но в същото време толкова увлекателно очертаваше задълженията на младите мъже, че старейшините в града помолиха да не ги оставят без учение. В тази втора реч той посочи законността и чистотата на морала като основи на семейството; в следващите две се обръща към децата и жените. Последствието от последната реч, в която той особено осъди лукса, беше, че хиляди скъпоценни рокли бяха доставени в храма на Хера, тъй като нито една жена вече не се осмели да се покаже в тях на улицата ... ”Въпреки това, обратно през втория век от нашата ера, т.е. след 700 години, те са живели и работили напълно истински хора, изключителни учени, които са били явно повлияни от Питагорейския съюз и с голямо уважение към това, което според легендата е създал Питагор.
Също така няма съмнение, че интересът към теоремата се дължи и на факта, че тя заема едно от централни места, и удовлетворението на авторите на доказателствата, които са преодолели трудностите, за които римският поет Квинт Хорас Флак, живял преди нашата ера, добре е казал: „Трудно е да се изразят добре известни факти.“
Първоначално теоремата установява връзката между площите на квадратите, построени върху хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник:
.
Алгебрична формулировка:
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника чрез c и дължините на краката през a и b: a 2 + b 2 \u003d c 2. И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратната теорема на Питагор. За всяка тройка от положителни числа a, b и c такава, че
a 2 + b 2 = c 2 , има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Доказателство за

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигурата.
Нека ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C. Начертайте височина от C и означете нейната основа с H. Триъгълник ACH е подобен на триъгълник ABC в два ъгъла.
По същия начин, триъгълник CBH е подобен на ABC. Въвеждане на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Добавяйки, получаваме

или

Площни доказателства

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

1. Подредете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата.
2. Четириъгълник със страни c е квадрат, тъй като сборът от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
3. Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат.



Q.E.D.

Доказателство чрез еквивалентност

Пример за едно от тези доказателства е показано на чертежа вдясно, където квадратът, построен върху хипотенузата, се преобразува чрез пермутация в два квадрата, построени върху катетите.

Доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни. Разгледайте рисунката вляво. Върху него построихме квадрати от страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ , съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака. Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK. Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата по горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD се доказва лесно чрез метода на движение: нека завъртим триъгълника CAK на 90° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпадне (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°). Аргументът за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен. Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Разгледайте чертежа, както се вижда от симетрията, сегментът CI разрязва квадрата ABHJ на две еднакви части (тъй като триъгълниците ABC и JHI са равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на защрихованите фигури CAJI и GDAB. Сега е ясно, че площта на фигурата, засенчена от нас, е равна на сумата от половината от площите на квадратите, построени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последна стъпкадоказателството е оставено на читателя.