Каква е перпендикулярната ъглополовяща в триъгълник. Четири прекрасни точки на триъгълника
В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворен в триъгълник, така и свободен. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на ъглополовящата.
Теорема:
Симетралите AA 1, BB 1, СС 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).
Ориз. 1. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Нека първо разгледаме две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, пресечната точка O съществува. За да докажем това, нека приемем обратното: нека дадените ъглополовящи не се пресичат, в който случай те са успоредни. Тогава правата BC е секанс и сумата от ъглите е 
, това противоречи на факта, че в целия триъгълник сумата от ъглите е .
И така, точка O от пресечната точка на две ъглополовящи съществува. Нека разгледаме свойствата му:
Точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярна на BC, OL е перпендикулярна на BA, то дължините на тези перпендикуляри са равни - . Освен това точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла и е на еднакво разстояние от неговите страни CB и CA, перпендикулярите OM и OK са равни.
Получихме следните равенства:
, тоест и трите перпендикуляра, пуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.
Интересува ни равенството на перпендикулярите OL и OM. Това равенство казва, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че тя лежи на неговата ъглополовяща AA 1.
Така доказахме, че и трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.
Освен това триъгълникът се състои от три сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на отделен сегмент.
Дадена е отсечката AB. Всеки сегмент има среда и през него може да се прекара перпендикуляр - нека го обозначим като p. Така p е перпендикулярната ъглополовяща.
Ориз. 2. Илюстрация към теоремата
Всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е на еднакво разстояние от краищата на сегмента.
Докажете това (фиг. 2).
Доказателство:
Помислете за триъгълници и . Те са правоъгълни и равни, защото имат общ катет OM, а катетите AO и OB са равни по условие, така че имаме две правоъгълен триъгълник, равен на два крака. От това следва, че и хипотенузите на триъгълниците са равни, тоест това, което трябваше да се докаже.
Обратната теорема е вярна.
Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на тази отсечка.
Дадени са отсечка AB, нейната перпендикулярна ъглополовяща p и точка M, равноотдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи върху ъглополовящата на отсечката (фиг. 3).
Ориз. 3. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Помислете за триъгълник. Равнобедрен е, според състоянието. Помислете за медианата на триъгълник: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според собствеността равнобедрен триъгълник, медианата, прекарана към основата му, е едновременно височина и ъглополовяща. Следва, че . Но правата p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че в точка O е възможно да се начертае единствен перпендикуляр на отсечката AB, което означава, че правите OM и p съвпадат, от което следва, че точката M принадлежи на правата p, което трябваше да докажем.
Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени.
Дадена точка лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на отсечка тогава и само ако е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка.
И така, нека повторим, че има три сегмента в триъгълник и свойството на перпендикулярна ъглополовяща се прилага за всеки от тях.
Теорема:
Перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.
Даден е триъгълник. Перпендикуляри към неговите страни: P 1 към страната BC, P 2 към страната AC, P 3 към страната AB.
Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).
Ориз. 4. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Нека разгледаме две перпендикулярни ъглополовящи P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт от противното - нека перпендикулярите P 2 и P 3 са успоредни. След това ъгълът е обърнат, което противоречи на факта, че сборът от трите ъгъла на триъгълник е . И така, има точка O от пресечната точка на две от трите перпендикулярни ъглополовящи. Свойства на точка O: тя лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB: . Той също така лежи върху перпендикулярната ъглополовяща към страната AC, което означава . Получихме следните равенства.
В триъгълника има така наречените четири забележителни точки: пресечната точка на медианите. Пресечната точка на ъглополовящи, пресечната точка на височините и пресечната точка на ъглополовящи. Нека да разгледаме всеки от тях.
Пресечна точка на медианите на триъгълника
Теорема 1
В пресечната точка на медианите на триъгълник: Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и се делят на пресечната точка в съотношение $2:1$, започвайки от върха.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са неговите медиани. Тъй като медианите разделят страните наполовина. Нека разгледаме средната линия $A_1B_1$ (фиг. 1).
Фигура 1. Медиани на триъгълник
Съгласно теорема 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следователно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Това означава, че триъгълниците $ABM$ и $A_1B_1M$ са подобни по първия критерий за подобие на триъгълници. Тогава
По същия начин е доказано, че
Теоремата е доказана.
Пресечна точка на ъглополовящи на триъгълник
Теорема 2
На пресечната точка на ъглополовящи на триъгълник: Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $AM,\BP,\CK$ са неговите ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на ъглополовящите $AM\ и\BP$. Нека начертаем перпендикуляри от тази точка към страните на триъгълника (фиг. 2).
Фигура 2. Симетрали на триъгълник
Теорема 3
Всяка точка от ъглополовящата на неразвит ъгъл е на еднакво разстояние от страните му.
По теорема 3 имаме: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следователно $OY=OZ$. Това означава, че точката $O$ е равноотдалечена от страните на ъгъл $ACB$ и следователно лежи на неговата ъглополовяща $CK$.
Теоремата е доказана.
Пресечната точка на ъглополовящите перпендикуляри на триъгълник
Теорема 4
Перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника се пресичат в една точка.
Доказателство.
Нека е даден триъгълник $ABC$, $n,\ m,\ p$ неговите перпендикулярни ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на бисекторалните перпендикуляри $n\ и\ m$ (фиг. 3).
Фигура 3. Перпендикулярни ъглополовящи на триъгълник
За да го докажем, се нуждаем от следната теорема.
Теорема 5
Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща към отсечка е на еднакво разстояние от краищата на отсечката.
По теорема 3 имаме: $OB=OC,\ OB=OA$. Следователно $OA=OC$. Това означава, че точката $O$ е на еднакво разстояние от краищата на отсечката $AC$ и следователно лежи на нейната перпендикулярна ъглополовяща $p$.
Теоремата е доказана.
Пресечна точка на височини на триъгълник
Теорема 6
Височините на триъгълник или техните продължения се пресичат в една точка.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ е неговата надморска височина. Нека начертаем права линия през всеки връх на триъгълника, успоредна на страната, противоположна на върха. Получаваме нов триъгълник $A_2B_2C_2$ (фиг. 4).
Фигура 4. Височини на триъгълник
Тъй като $AC_2BC$ и $B_2ABC$ са успоредници с обща страна, то $AC_2=AB_2$, тоест точка $A$ е средата на страната $C_2B_2$. По същия начин откриваме, че точка $B$ е средата на страната $C_2A_2$, а точката $C$ е средата на страната $A_2B_2$. От конструкцията имаме, че $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Следователно $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник $A_2B_2C_2$. Тогава, съгласно теорема 4, имаме, че височините $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ се пресичат в една точка.
Речник на планиметричните термини- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia
Колинеарни точки
Конкурентно директно- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia
Кръг Аполония- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia
Равнинна трансформация- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia
Ceviana- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia
Речник по планиметрия- Тази страница е речник. Вижте също основната статия: Планиметрия Тук са събрани определения на термини от планиметрията. Връзките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив... Уикипедия
Проблемът на Аполоний- Задачата на Аполоний е да построи окръжност, допирателна към три дадени окръжности с помощта на пергел и линийка. Според легендата проблемът е формулиран от Аполоний от Перга около 220 г. пр.н.е. д. в книгата „Докосване“, която беше изгубена ... Wikipedia
Проблемът на Аполоний- Задачата на Аполоний е да построи окръжност, допирателна към три дадени окръжности с помощта на пергел и линийка. Според легендата проблемът е формулиран от Аполоний от Перга около 220 г. пр.н.е. д. в книгата „Докосване“, която беше изгубена, но беше... ... Уикипедия
Диаграма на Вороной- случаен набор от точки в равнината Диаграмата на Вороной на краен набор от точки S в равнината представлява дял на равнината, така че ... Wikipedia
В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворен в триъгълник, така и свободен. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на ъглополовящата.
Теорема:
Симетралите AA 1, BB 1, СС 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).
Ориз. 1. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Нека първо разгледаме две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, пресечната точка O съществува. За да докажем това, нека приемем обратното: нека дадените ъглополовящи не се пресичат, в който случай те са успоредни. Тогава правата BC е секанс и сумата от ъглите е , това противоречи на факта, че в целия триъгълник сумата от ъглите е .
И така, точка O от пресечната точка на две ъглополовящи съществува. Нека разгледаме свойствата му:
Точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярна на BC, OL е перпендикулярна на BA, то дължините на тези перпендикуляри са равни - . Освен това точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла и е на еднакво разстояние от неговите страни CB и CA, перпендикулярите OM и OK са равни.
Получихме следните равенства:
, тоест и трите перпендикуляра, пуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.
Интересува ни равенството на перпендикулярите OL и OM. Това равенство казва, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че тя лежи на неговата ъглополовяща AA 1.
Така доказахме, че и трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.
Освен това триъгълникът се състои от три сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на отделен сегмент.
Дадена е отсечката AB. Всеки сегмент има среда и през него може да се прекара перпендикуляр - нека го обозначим като p. Така p е перпендикулярната ъглополовяща.
Ориз. 2. Илюстрация към теоремата
Всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е на еднакво разстояние от краищата на сегмента.
Докажете това (фиг. 2).
Доказателство:
Помислете за триъгълници и . Те са правоъгълни и равни, защото имат общ катет OM, а катетите AO и OB са равни по условие, така че имаме два правоъгълни триъгълника, равни по два катета. От това следва, че и хипотенузите на триъгълниците са равни, тоест това, което трябваше да се докаже.
Обратната теорема е вярна.
Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на тази отсечка.
Дадени са отсечка AB, нейната перпендикулярна ъглополовяща p и точка M, равноотдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи върху ъглополовящата на отсечката (фиг. 3).
Ориз. 3. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Помислете за триъгълник. Равнобедрен е, според състоянието. Помислете за медианата на триъгълник: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата му, е едновременно височина и ъглополовяща. Следва, че . Но правата p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че в точка O е възможно да се начертае единствен перпендикуляр на отсечката AB, което означава, че правите OM и p съвпадат, от което следва, че точката M принадлежи на правата p, което трябваше да докажем.
Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени.
Дадена точка лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на отсечка тогава и само ако е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка.
И така, нека повторим, че има три сегмента в триъгълник и свойството на перпендикулярна ъглополовяща се прилага за всеки от тях.
Теорема:
Перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.
Даден е триъгълник. Перпендикуляри към неговите страни: P 1 към страната BC, P 2 към страната AC, P 3 към страната AB.
Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).
Ориз. 4. Илюстрация към теоремата
Доказателство:
Нека разгледаме две перпендикулярни ъглополовящи P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт от противното - нека перпендикулярите P 2 и P 3 са успоредни. След това ъгълът е обърнат, което противоречи на факта, че сборът от трите ъгъла на триъгълник е . И така, има точка O от пресечната точка на две от трите перпендикулярни ъглополовящи. Свойства на точка O: тя лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB: . Той също така лежи върху перпендикулярната ъглополовяща към страната AC, което означава . Получихме следните равенства.
Зареждане...