Разширението в редица на Тейлър е квадратен корен. Разгъване на функции в степенни редове
Ако функцията f(x) има производни от всички порядъци на някакъв интервал, съдържащ точка a, тогава към нея може да се приложи формулата на Тейлър:
,
където rn- така нареченият остатъчен член или остатъкът от серията, може да се оцени с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x се намира между x и a.
Правила за въвеждане на функция:
Ако за някаква стойност х rn→0 при н→∞, тогава в границата формулата на Тейлър се превръща за тази стойност в конвергентна Серия Тейлър:
,
По този начин функцията f(x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.
За a = 0 получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
,
Разширение на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
експоненциални функции
, R=∞
Тригонометрични функции 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява по степени на x, защото ctg0=∞
Хиперболични функции
Логаритмични функции
, -1
Биномни редове
.
Пример #1. Разгънете функцията в степенен ред f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
f(x) = 2х, е( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2х ln2, е"( 0)
= 2 0
ln2=ln2;
f""(x) = 2хв 2 2, е""( 0)
= 2 0
log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0)
= 2 0
вътре н 2=в н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:
Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, така че това разширение е валидно за -∞<х<+∞.
Пример #2. Напишете ред на Тейлър по степени ( х+4) за функцията f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
f(x)= д х, е(-4)
= д -4
;
f"(x)= д х, е"(-4)
= д -4
;
f""(x)= д х, е""(-4)
= д -4
;
…
f(n)(x)= д х, f(n)( -4)
= д -4
.
Следователно желаният ред на Тейлър на функцията има формата:
Това разширение е валидно и за -∞<х<+∞.
Пример #3. Функция за разширяване f(x)=вн хв серия по степени ( Х- 1),
(т.е. в серия на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение. Намираме производните на тази функция.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:
С помощта на теста на д'Аламбер може да се провери, че редът се събира при ½x-1½<1 . Действительно,
Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на теста на Лайбниц. За x=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).
Пример #4. Разгънете функцията в степенен ред. Пример номер 5. Разширете функцията в серия Maclaurin. Коментирайте
.
Този метод се основава на теоремата за уникалността на разлагането на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, без значение как се извършва нейното разширение. Пример № 5а. Разширете функцията в серия Maclaurin, посочете зоната на конвергенция. Дробта 3/(1-3x) може да се разглежда като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример номер 6. Разгънете функцията в ред на Тейлър в околността на точката x = 3. Пример номер 7. Напишете ред на Тейлър по степени (x -1) на функцията ln(x+2) . Пример номер 8. Разгънете функцията f(x)=sin(πx/4) в редица на Тейлър около точката x =2. Пример #1. Изчислете ln(3) с точност до 0,01. Пример #2. Изчислете с точност до 0,0001. Пример #3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x с точност до 10 -5 . Пример #4. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001. В теорията на функционалните редове централно място заема разделът, посветен на разлагането на функция в ред. Така се поставя задачата: за дадена функция
изисква се да се намери такъв степенен ред който се събира на някакъв интервал и сумата му е равна на Тази задача се нарича проблемът за разширяване на функция в степенен ред. Необходимо условие за разлагане на функция в степенен реде неговата диференцируемост безкраен брой пъти - това следва от свойствата на сходните степенни редове. Това условие е изпълнено, като правило, за елементарни функции в тяхната област на дефиниране. Така че нека приемем, че функцията Да приемем, че функцията където а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а П ,...
– несигурни (все още) коефициенти. Нека поставим в равенство (*) стойността х = х 0 ,
тогава получаваме Разграничаваме степенните редове (*) член по член и поставяне тук х = х 0 ,
получаваме Със следващото диференциране получаваме серията предполагайки х = х 0 ,
получаваме След П-кратна диференциация, която получаваме Ако приемем в последното равенство х = х 0 ,
получаваме Така че коефициентите са намерени замествайки което в ред (*), получаваме Получената серия се нарича близо до Тейлър
за функция
Така установихме, че ако функцията може да бъде разширена в степенен ред по степени (x - x 0 ), тогава това разширение е уникално и получената серия непременно е серия на Тейлър. Имайте предвид, че серията на Тейлър може да бъде получена за всяка функция, която има производни от всякакъв ред в точката х = х 0 .
Но това все още не означава, че между функцията и получената серия може да се постави знак за равенство, т.е. че сумата от редицата е равна на оригиналната функция. Първо, такова равенство може да има смисъл само в областта на конвергенция и серията на Тейлър, получена за функцията, може да се разминава, и второ, ако серията на Тейлър се сближава, тогава нейната сума може да не съвпада с оригиналната функция. Нека формулираме твърдение, с помощта на което ще бъде решен поставеният проблем. Ако функцията
къдетоР н (х)-остатъчен член на формулата на Тейлър - има формата (форма на Лагранж) където
точкаξ
се намира между x и x 0 . Имайте предвид, че има разлика между реда на Тейлър и формулата на Тейлър: формулата на Тейлър е крайна сума, т.е. П -фиксиран номер. Припомнете си, че сумата от сер С(х)
може да се определи като граница на функционалната последователност от частични суми С П (х)
на някакъв интервал х: Според това, да се разшири функция в серия на Тейлър означава да се намери серия такава, че за всяко хх Записваме формулата на Тейлър във формата където забележи това Ако Така доказахме критерий за разлагане на функция в ред на Тейлър.
За да може в някакъв интервал функциятаf(x) се разширява в редица на Тейлър, е необходимо и достатъчно на този интервал
С помощта на формулирания критерий може да се получи достатъчноусловия за разлагане на функция в ред на Тейлър.
Ако внякаква околност на точката x 0 абсолютните стойности на всички производни на функцията са ограничени от едно и също число M≥ 0, т.е. От горното следва алгоритъмразширяване на функцията
f(х) в серия на Тейлърв близост до точката х 0 :
1.
Намиране на производни на функции f(х):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (н) (х),… 2. Изчисляваме стойността на функцията и стойностите на нейните производни в точката х 0 f(x 0
), f'(x 0
), f”(x 0
), f’”(x 0
), е (н) (х 0
),…
3. Формално записваме редицата на Тейлър и намираме областта на сходимост на получената степенна редица. 4. Проверяваме изпълнението на достатъчни условия, т.е. установи за кое хот областта на конвергенция, остатъчен член Р н (х)
клони към нула при Развиването на функциите в ред на Тейлър според този алгоритъм се нарича разширение на функция в ред на Тейлър по дефиницияили директно разграждане.
Как да вмъквам математически формули в сайта? Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които Wolfram Alpha автоматично генерира. В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но е морално остарял. Ако, от друга страна, постоянно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax, специална JavaScript библиотека, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране. Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия сайт, който ще бъде автоматично зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) качете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод е по-сложен и отнема много време и ще ви позволи да ускорите зареждането на страниците на вашия сайт, а ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия уебсайт. Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вграждате математически формули във вашите уеб страници. Всеки фрактал се изгражда според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация. Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Получава се комплект, състоящ се от 20 останали по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес за неопределено време, получаваме гъбата Menger. Студентите по висша математика трябва да знаят, че сумата от някои степенни редове, принадлежащи към интервала на сходимост на дадения ни ред, е непрекъсната и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се твърди, че дадена произволна функция f(x) е сумата от някои степенни редове? Тоест, при какви условия функцията f(x) може да бъде представена чрез степенен ред? Важността на този въпрос се крие във факта, че е възможно приблизително да се замени функцията f(x) със сумата от първите няколко членове на степенния ред, тоест с полином. Подобно заместване на функция с доста прост израз - полином - също е удобно при решаване на някои задачи, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване и т.н. Доказано е, че за някаква функция f(x), в която могат да се изчислят производни до (n + 1)-ти ред, включително последната, в околността (α - R; x 0 + R) на някои точка x = α формула: Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната, се нарича серия на Маклорен: Правилото, което прави възможно разширяването в серия Maclaurin: R n (x) -> 0 за n -> безкрайност. Ако такъв съществува, функцията f(x) в него трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен. Помислете сега за серията Maclaurin за отделни функции. 1. И така, първото ще бъде f(x) = e x. Разбира се, според характеристиките си, такава функция има производни от много различни порядки и f (k) (x) \u003d e x, където k е равно на всичко. Нека заместим x \u003d 0. Получаваме f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... Въз основа на горното серията e x ще изглежда така: 2. Редът на Маклорен за функцията f(x) = sin x. Незабавно изяснете, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x = sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), където k е равно на произволно естествено число. Тоест, като правим прости изчисления, можем да заключим, че серията за f(x) = sin x ще изглежда така: 3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x) = cos x. Има производни от произволен ред за всички неизвестни и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серията Maclaurin, но те са допълнени от серията Taylor за някои функции. Сега ще ги изброим. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорен са важна част от практиката за решаване на редове във висшата математика. И така, серия Тейлър. 1. Първият ще бъде ред за f-ii f (x) = ln (1 + x). Както в предишните примери, като ни се даде f (x) = ln (1 + x), можем да добавим серия, използвайки общата форма на серията на Маклорен. но за тази функция серията Maclaurin може да бъде получена много по-лесно. След интегриране на определена геометрична серия, получаваме серия за f (x) = ln (1 + x) от такава извадка: 2. И вторият, който ще бъде окончателен в нашата статия, ще бъде серия за f (x) \u003d arctg x. За x, принадлежащ на интервала [-1; 1], разширението е валидно: Това е всичко. В тази статия бяха разгледани най-използваните серии на Тейлър и Маклорен във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети. Разлагане на функция в редица на Тейлър, Маклорен и Лоран в сайта за трениране на практически умения. Това серийно разширение на функция дава на математиците представа за оценка на приблизителната стойност на функция в някакъв момент от нейната област на дефиниране. Много по-лесно е да се изчисли такава стойност на функцията в сравнение с използването на таблицата Bredis, която е толкова остаряла в ерата на компютрите. Развиването на функция в ред на Тейлър означава да се изчислят коефициентите пред линейните функции на този ред и да се запише в правилната форма. Учениците бъркат тези две серии, като не разбират кое е общ случай и кое частен случай на втория. Напомняме ви веднъж завинаги, че редът на Маклорен е специален случай на реда на Тейлър, тоест това е редът на Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки записи на разширението на известни функции, като e ^x, Sin(x), Cos(x) и други, това са разширения в редица на Тейлър, но в точка 0 за аргумента. За функциите на сложен аргумент серията на Лоран е най-често срещаният проблем в TFKT, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сумата от два реда. Предлагаме ви да разгледате пример за разлагане директно на сайта на сайта, много е лесно да направите това, като щракнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Именно с това разширяване на функция в серия се свързва мажоризиращата серия, която ограничава оригиналната функция в определена област по ординатната ос, ако променливата принадлежи към абсцисната област. Векторният анализ се сравнява с друга интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде проучен, процесът отнема много време. Всеки ред на Тейлър може да бъде свързан с ред на Маклорен чрез замяна на x0 с нула, но за реда на Маклорен обратното представяне на реда на Тейлър понякога не е очевидно. Колкото и да не се изисква да се прави в чист вид, това е интересно за общото саморазвитие. Всяка серия на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели степени на z-a, с други думи, серия от същия тип на Тейлър, но малко по-различна в изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на серията на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, поетапно разширяване на функция в редица трудно може да се постигне само чрез свеждане на членовете до общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. Приблизителното изчисляване на функционалната стойност изисква формулиране на задачи. Помислете за факта, че когато аргументът на серията Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва на няколко стъпки, но напълно различна картина, когато сложна или нелинейна функция действа като аргумент на функцията, която трябва да бъде разширена, тогава процесът на представяне на такава функция в степенен ред е очевиден, тъй като по този начин е лесно да се изчисли, макар и приблизително, но стойността във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малко ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато е необходимо да се изчисли функцията в нулевата точка. Въпреки това, самата серия на Лоран тук е представена от равнинно разширение с въображаеми единици. Също така не без успех ще бъде правилното решение на проблема в хода на цялостния процес. В математиката този подход не е познат, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до извода за така наречените поточкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да приложите методи, известни за този процес, като прилагане на теорията на производните. За пореден път се убеждаваме в правотата на учителя, който прави предположенията си за резултатите от следизчислителните изчисления. Нека отбележим, че серията Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числена ос, но, скъпи потребители на услугата на уебсайта, не забравяйте формата на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се зададе домейнът на функцията, тоест да се изпишат и изключат от по-нататъшни разглеждания тези точки, в които функцията не е дефинирана в домейна на реалните числа. Така да се каже, това ще покаже вашата бързина в решаването на проблема. Построяването на редицата на Маклорен с нулева стойност на аргумента няма да бъде изключение от казаното. В същото време никой не е отменил процеса на намиране на домейна на дефиниция на функция и трябва да подходите към това математическо действие с цялата сериозност. Ако серията на Лоран съдържа основната част, параметърът "а" ще се нарича изолирана особена точка, а серията на Лоран ще бъде разширена в пръстена - това е пресечната точка на областите на сближаване на нейните части, от които съответните ще последва теорема. Но не всичко е толкова трудно, колкото може да изглежда на пръв поглед за неопитен ученик. Изучавайки само реда на Тейлър, човек лесно може да разбере реда на Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството от числа. Всяко разширяване на функция в серия може да се извърши само в точка от домейна на функцията. Трябва да се вземат предвид свойствата на такива функции, например периодичност или безкрайна диференцируемост. Предлагаме ви също така да използвате таблицата с готови разширения в серията на Тейлър от елементарни функции, тъй като една функция може да бъде представена от до десетки различни степенни редове, което може да се види от използването на нашия онлайн калкулатор. Онлайн поредицата на Maclaurin е по-лесна от всякога за определяне дали използвате уникалната услуга на сайта, просто трябва да въведете правилната писмена функция и ще получите представения отговор за няколко секунди, той ще бъде гарантирано точен и в стандартна писмена форма . Можете веднага да препишете резултата в чист екземпляр за предаване на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на разглежданата функция в пръстени и след това недвусмислено да се каже, че тя може да бъде разширена в серия на Лоран във всички такива пръстени. Важен момент е да не изпускате от поглед членовете на серията Laurent, съдържащи отрицателни степени. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте добре теоремата на Лоран за разлагането на функция в редица по цели степени.
Решение. В разлагането (1) заместваме x с -x 2, получаваме:
, -∞
Решение. Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:
замествайки вместо x във формулата -x, получаваме:
От тук намираме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Разширявайки скобите, пренареждайки условията на поредицата и извършвайки редукция на подобни членове, получаваме
. Тази редица се събира в интервала (-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се събира в този интервал.
Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1) - (5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да промените променливата T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.
Решение. Първо намираме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до елементарно:
с област на конвергенция |x|< 1/3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която е необходимо да се намерят производните на функциите и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да се използва съществуващото разлагане (5):
=
Полученият ред се събира при или -3
Решение.
Серията се събира при , или -2< x < 5.
Решение. Нека направим замяната t=x-2:
Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t за x, получаваме:
Полученият ред се събира към дадената функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приблизителни изчисления с помощта на степенни редове
Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ, с определена точност, можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа, определени интеграли. Сериите се използват и при интегрирането на диференциални уравнения.
Разгледайте разширението на функцията в степенна серия:
За изчисляване на приблизителната стойност на функция в дадена точка х, принадлежащ към областта на конвергенция на посочените серии, първият нчленове ( не крайно число), а останалите членове се отхвърлят:
За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък r n (x) . За това се използват следните методи:
Решение. Нека използваме разлагането , където x=1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):
Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за това го оценяваме, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:
Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим
Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е най-близкото цяло число до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130=5 3 +5. 
тъй като четвъртият член на получената серия с редуващи се знаци, която удовлетворява теста на Лайбниц, вече е по-малка от необходимата точност:
, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на антипроизводна, често без израз в елементарни функции. Също така се случва, че намирането на антидериват е възможно, но ненужно трудоемко. Въпреки това, ако интегралната функция се разшири в степенна серия и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на тази серия, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.
Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. е "невъзможен интеграл". Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.
Разделяне на термин по термин на серията за грях хна х, получаваме: 
Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:
Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме 
.
Решение.
. Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
,
тези.
=
..
има производни от всякакъв ред. Може ли да се разшири в степенен ред, ако да, как да се намери този ред? Втората част от проблема е по-лесна за решаване, така че нека започнем с нея.
може да се представи като сбор от степенен ред, събиращ се в интервал, съдържащ точка х 0 :
=
..
(*)
.
=
..
.
=
..
, където 
.
, където
,
,
,
…,
,….,
.
3.2. Достатъчни условия за разлагане на функция в ред на Тейлър
в някаква околност на точката x 0 има производни до (н+
1)-ти ред включително, то в този квартал имамеформула
Тейлър
.
дефинира грешката, която получаваме, заменете функцията f(х)
полином С н (х).
, тогава 
,тези. функцията се разширява в серия на Тейлър. Обратно, ако 
, тогава 
.
, къдетоР н (х) е остатъкът от редицата на Тейлър.
, To в тази близост функцията се разширява в серия на Тейлър.
или
.
Зареждане...