Метод на линеаризация на експериментални данни. Общ метод на линеаризация

Методът на хармоничната линеаризация позволява с достатъчна за практиката точност да се изследва стабилността и точността на линейни системи, използвайки методи, разработени за линейни системи. Методът дава възможност да се определи наличието на собствени трептения, както и тяхната честота и амплитуда.

Нелинейната система се представя като комбинация от линейна и нелинейна част (фиг. 5).

Ориз. 5 Диаграма на нелинейна система

Изходният сигнал на нелинейната част на системата в общ случайсе определя от израза

Означава се като трансферна функциялинейна част. Системата от уравнения приема формата

Нека намерим условията, при които на изхода на линейната част на системата възникват хармонични трептения от формата

В този случай сигналът y(t)нелинейната част също ще бъде периодична функция, но различна от синусоида. Тази функция може да бъде разширена в ред на Фурие

В този израз а ази b аз- Коефициенти на Фурие. За симетрични нелинейности Е 0 =0.

Основното условие, което методът налага върху линейната част на системата, е състоянието на нискочестотния филтър. Смята се, че линейна частпреминава само първия хармоник на трептенията. Това предположение ни позволява да считаме висшите хармоници в (7.19) за незначителни и да се ограничим до разглеждането само на първия хармоник на сигнала y(t).

тогава израз (7.20) може да бъде пренаписан като

Първото уравнение на системата (7.17) приема формата

В този израз

Резултатът от замяната на нелинейността F(x, sx)изразяване

и се нарича хармонична линеаризация. Количества ри р 1 се наричат ​​хармонични коефициенти на линеаризация или просто хармонични коефициенти. За еднозначни нелинейности, обикновено р 1 =0 . Формулите за хармонични коефициенти, съответстващи на типични нелинейности, са дадени в приложенията.

Основната разлика между хармоничната линеаризация и конвенционалната линеаризация е, че при конвенционалната линеаризация нелинейната характеристика се заменя с права линия с определен постоянен наклон, а при хармоничната линеаризация - с права линия, чийто наклон зависи от амплитудата на входен сигнал на нелинейния елемент.

Помислете за метода за определяне на амплитудата и честотата на собствените трептения.

един). В характеристичното уравнение на системата, получено от (7.22), правим промяната s=jи получи

2). От получения израз избираме реалната и въображаемата част и ги приравняваме към нула, което според критерия на Михайлов съответства на това, че системата е на границата на колебателна стабилност.

• 3) Решението на тази система дава честотата и стойностите на хармоничните коефициенти. Ако тези стойности са реални и положителни, тогава системата има граничен цикъл. Стойностите на хармоничните коефициенти могат да се използват за определяне на амплитудата на граничния цикъл.
• 4). обща чертастабилност на граничния цикъл, т.е. наличието на собствени трептения, е равенството на нула на предпоследната детерминанта на Хурвиц за получените стойности на амплитудата и честотата на граничния цикъл. Често е по-удобно да се използва условието за стабилност на граничния цикъл въз основа на критерия за стабилност на Михайлов.

Ако това неравенство е изпълнено, тогава граничният цикъл е стабилен и в системата има собствени трептения с амплитудата и честотата, дефинирани по-горе. Индексът ”*” означава, че производните вече са изчислени известни стойностихармонични коефициенти, амплитуда и честота.

Пример. Да приемем, че в вече разгледаната по-горе система за стабилизиране на ъгъла на наклон на самолета кормилното устройство е нелинейно и блоковата му схема има формата, показана на фиг. 7.6.

Фиг.6 Диаграма на нелинейно кормилно задвижване

Нека зададем следните параметри на нелинейността на скоростните характеристики на кормилното задвижване: b = 0,12, k 1 =tg =c/b = 6,7.Коефициентите на хармонична линеаризация на тази нелинейност се определят от изразите

Заменяйки нелинейната характеристика във веригата с хармоничен коефициент, получаваме трансферната функция на кормилното устройство

Ние заместваме тази трансферна функция в блоковата диаграма на системата за стабилизиране на ъгъла на наклона и определяме трансферната функция на затворената система

В характеристичното уравнение на затворена система правим промяната s = jи изберете реалните и въображаемите части.

От второто уравнение на системата получаваме израз за честотата: и замествайки го в първото уравнение, след трансформации получаваме

Замествайки тук предварително дефинираните изрази за коефициентите характеристично уравнение, на разположение квадратно уравнениеспрямо хармоничния коефициент, решавайки който, намираме

От тези стойности е възможно да се изчислят за два случая всички коефициенти на характеристичното уравнение и да се определят честотите, съответстващи на всяка стойност q(A).Получаваме:

И двете стойности на хармоничния коефициент и съответните честоти са реални и положителни. Следователно в системата има два гранични цикъла. Стойностите на амплитудата на граничния цикъл се определят числено чрез избиране на такава стойност, при която формулата за коефициента на хармонична линеаризация дава стойност, равна на предварително изчислената. В разглеждания случай получаваме

Сега нека оценим стабилността на граничните цикли. Използваме неравенството, получено от критерия Михайлов, за което определяме

Производната на коефициента на хармонична линеаризация, включена в получените изрази, се изчислява по формулата

Изчисленията, използващи горните формули, показват, че първият граничен цикъл не е стабилен и възниква, когато (0) 0.1166(6.7 0 ). Ако първоначалното отклонение е по-малко от зададеното, то процесът на входа на нелинейния елемент затихва (фиг. 7. 7) и системата е стабилна.

Ако първоначалната стойност на ъгъла на тангажа е по-голяма от зададената стойност, тогава процесите се сближават към втория граничен цикъл, който е стабилен и по този начин в системата възникват автоколебания (фиг. 8).

Ориз. осем

Чрез моделиране се определя, че зоната на привличане на стабилен граничен цикъл е приблизително в рамките (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

Линеаризацията е най-често срещаният начин за намаляване на сложността на ММ и е основата за приложението линейна теория.

Същността на всяка линеаризация е приблизителензамяна на първоначалната нелинейна зависимост (нелинейност) с някаква линейна зависимост в съответствие с определено условие (критерий) за еквивалентност. Сред възможните методи, най-често използваните метод на допирателната(линеаризация в малка околност на дадена точка). Този метод не зависи от вида на преобразуваните сигнали и може да се използва еднакво успешно различновидове нелинейности, които могат да бъдат едномерни и многомерни; безинерционни (статични) и динамични.

Инерционни нелинейностиустановете функционална връзка между входните стойности u(T) и излезте г(T) в същото текущо време Tи може да се настрои ясно(формули, графики, таблици), или имплицитно(алгебрични уравнения). На блок-схемите те съответстват безинерционен(без памет) нелинейни връзки.

Динамични нелинейностисе описват математически с нелинейни диференциални уравнения и им съответстват на блокови диаграми нелинейни динамични връзки. В този случай изходните стойности г(T) в момента Tзависят не само от стойностите на входа едновременно, но и от производни, интеграли или всякакви други стойности.

Математическата основа на метода на допирателната е разширяването на нелинейна функция в редица на Тейлър в малък околност на някаква "точка на линеаризация", последвано от отхвърляне на нелинейни членове, съдържащи степените на отклонение на променливите (увеличения ) над първия.

Нека разгледаме същността на метода в частни случаи с последващи обобщения.

1) Нека г= Е(u) - изрично дадено едноизмеренинерционна нелинейност, гладка и непрекъсната в близост до някаква точка u=u*. Ако приемем u=u*+D u;г=г*+D г, където г*=Е(u*), записваме серията на Тейлър за тази функция във формата:

Отхвърляне на термини от по-висок порядък на малка стойност и оставяне само на термини, съдържащи D uна първа степен, получаваме приблизителното равенство

. (2)

Този израз приблизително описва връзката малъкувеличава D ги Д uкато линеензависимост и е резултат от линеаризацията в разглеждания случай. Тук Да сеТо има геометричен смисълнаклона на наклона на допирателната към графиката на функцията в точката с координата u=u*.

Кога многоизмереннелинейност г=Е(u), кога г={y i}, Е={F i) и u={u j) са вектори, по подобен начин получаваме, че D г=Кд u. Тук К={K ij) е матричен коефициент, чиито елементи K ijсе определят като стойности на частични производни на функции F iпо променливи u jизчислено в "точка" u=ф*.

2. Нека е дадена безинерционната нелинейност имплицитнокато се използва алгебрично уравнение Е(г,u)=0 . Необходимо е тази нелинейност да се линеаризира в малка околност на известно конкретно решение ( u*, г*) при предположението, че всички нелинейни функции F iкато част от Еса непрекъснати и диференцируеми в този квартал. След като разширим тази векторна функция в серия на Тейлър и отхвърлим условията от втория и по-високия ред на малкост, получаваме линеенуравнение за първо приближение:

, (3)

къде г=г–г*; д u=u–u*; - матрици на частни производни, изчислени в точката на линеаризация.

3. Нека едноизмерен динамиченнелинейността се дава от диференциалното уравнение "вход-изход" н-та поръчка:

Е(г, г (1) , …, г (н) , u, u (1) , …u (м))=0. (4)

Ние линеаризираме тази нелинейност чрез метода на допирателната в малък квартал на известното частенрешения на това уравнение г*(T) съответстващ даденовход u*(T). Производни по време на съответните порядки на г*(T) и u*(T) също се предполага, че са известни.

Поемане на функция Енепрекъснато диференцируем по отношение на всички свои аргументи и следвайки общата техника, разгледана по-горе (разширяване в серия и вземане предвид само членове, които са линейни по отношение на нарастванията на аргументите), ние пишем линеенуравнение с първо приближение за нелинейно уравнение:

(5)

Тук символът (*) означава, че частните производни са дефинирани за стойностите на променливите и техните производни, съответстващи на конкретното решение ( г*(T), u*(T)). В общия случай техните стойности (коефициенти на уравнението) ще зависят от времето и линеаризираният модел ще бъде нестационарни. Но ако конкретното решение отговаря статичен режим, тогава тези коефициенти ще бъдат постоянен.

За удобство и краткост на обозначението въвеждаме следното обозначение:

= a i; = -b i; д г (аз) =D iд г; д u (аз) =D iд u; д=д/дт.

Тогава линеаризирануравнение (5) е написано в кратка операторна форма:

А(д)Д г(T)=б(д)Д u(T),

където А(д) е полином на степен нпо отношение на оператора за диференциране д;

б(д) е подобен операторен полином м-та степен.

4. Нека многоизмерен динамиченнелинейността се дава от нелинейни уравнения на състоянието на формата

(6)

Подобно на предишните случаи, ние линеаризираме тази нелинейност чрез метода на допирателната в малък квартал на известната частенрешения ( х*, y*) съответстващ даденовход ф*(T). В този случай уравненията на първото приближение ще имат следната форма:

(7)

където - матрици с подходящи размери. Техните елементи в общия случай ще бъдат функции на времето, но ако дадено решение отговаря на статиченрежим, те ще бъдат постоянни.

Нека направим заключителни бележки относно приложението на метода на допирателните в линеаризацията на ММ на цялата ACS, която е набор от описания на взаимодействащи градивни елементи.

1) "референтен режим" (*), спрямо който се извършва линеаризацията, се изчислява за цялата система от нейния пълен (нелинеен) MM. За изчисляване могат да се използват както графични, така и числени (компютърни) методи. В този случай коефициентите на всички линеаризирани уравнения и функционални зависимости ще зависят от избраните точки на линеаризация;

2) всички нелинейни зависимости на ММ трябва да са непрекъснати и непрекъснато диференцируеми (гладки) в малка околност на режима (*);

3) отклоненията на променливите от техните стойности в референтния режим трябва да бъдат достатъчно малки; за SAR и Y това изискване е напълно в съответствие с целта на контрола - регулирането на стойностите на контролираните променливи в съответствие с предписаните закони за тяхната промяна;

4) за линейни уравнениякато част от ММ, линеаризацията се състои във формалната замяна на всички променливи с техните отклонения (инкременти);

5) за да се получи линеаризирана ММ на цялата система в стандартна форма, например под формата на уравнения на състоянието, първо трябва да се линеаризира всяко от уравненията в ММ. Това ще бъде много по-просто и по-бързо, отколкото да се опитвате да получите нелинейна ММ система в стандартна форма с нейната последваща линеаризация;

6) при спазване на всички условия за прилагане на метода на допирателната, свойствата на линеаризирана ММ дават обективна представа за локалните свойства на нелинейна ММ в малък кварталреферентен режим. Този факт има строга математическа обосновка под формата на теоремите на Ляпунов (първият метод) и е теоретичната основа за практическо приложениетеория на линейното управление.

Зависимости

Обработка на резултатите от индиректни измервания с нелинейни

Представяне на резултатите от измерванията

С оглед на факта, че всеки аргумент може да има съответни доверителни граници за неизключени систематични и случайни грешки, задачата за определяне на грешката на косвеното измерване в тези случаи е разделена на три етапа:

а) сумиране на частични неизключени систематични грешки на аргументите;

б) сумиране на конкретни случайни грешки на аргументите;

в) събиране на систематичните и случайните компоненти на грешката.

Доверителна граница на неизключената систематична грешка на косвеното измерване при условие на същото ниво на увереностчастични грешки и техните равномерно разпределениевътре в дадените граници се определя по формулата (без да се взема предвид знакът):

където θ ге доверителната граница на неизключената систематична грешка на средната стойност Xj-ти аргумент. При липса на корелация между аргументите, RMS оценката на случайната грешка на косвеното измерване се изчислява от

където S x j– RMS оценка на случайната грешка на резултата от измерването Xj-ти аргумент.

При нормална дистрибуцияна грешките на непрякото измерване, доверителната граница на случайния компонент на грешката се изчислява по формулата:

където tp- Квантил на ученика с доверителна вероятност Пс ефективно числостепени на свобода k еф, определени за малки размери на извадката по формулата:

За големи обеми броят на степените на свобода се намира по формулата

Доверителна граница на общата грешка на резултата от косвеното

измерванията се определят съгласно описаните по-горе правила.

Има два метода за определяне на точковата оценка на резултата от косвено измерване и неговата грешка: линеаризация и редукция.

За индиректни измервания с нелинейни зависимости и некорелирани грешки на измерване на аргументите се използва методът на линеаризация. Методът на линеаризация се основава на факта, че грешката на измерване е много по-малка от измерената стойност и следователно е близо до средните стойности Xiаргументи, нелинейната функционална зависимост се линеаризира и разширява в серия на Тейлър (членове от висок ред не се вземат предвид). Чрез линеаризиране на функцията на няколко произволни аргумента (които са резултатите от измерванията и техните грешки), обикновено може да се получи доста прост израз за изчисляване на оценките на средната стойност

стойност и стандартно отклонение на функцията. Развиването на нелинейна функция в ред на Тейлър има формата:

Методът на линеаризация е допустим, ако остатъчният член може да бъде пренебрегнат Р. Остатъчен член

пренебрегнат ако

където X S- средно аритметично стандартно отклонениеслучайни грешки на резултата от измерването x i-ти аргумент. Първият член от дясната страна на уравнението е точкова оценкаистинската стойност на косвеното количество, което се получава чрез заместване в

функционална зависимост на средните аритметични стойности X i, стойности на аргументи:

Втори срок

е сумата от компонентите на непряката грешка на измерване, наречени частични грешки, и частните производни

Коефициенти на влияние.

Отклонения Δ Xiтрябва да се вземат от получените стойности на грешката и така, че да максимизират израза за остатъчния член Р. Ако частичните грешки на непрякото измерване не зависят една от друга, т.е. не са корелирани и доверителните граници на грешката на аргументите са известни за една и съща вероятност, тогава пределната грешка (без да се взема предвид знакът) на косвеното измерване се изчислява по формулата:

стойностите на частичните производни на функционалната зависимост се определят при средните стойности на аргументите

Този метод, наречен максимум-минимум, дава значително по-висока стойност за грешката на индиректното измерване. Относително правилна оценка на косвената грешка на измерване се получава чрез метода на квадратичното сумиране

В редица случаи изчисляването на индиректната грешка на измерване е значително опростено чрез преминаване към относителни грешки. За да направите това, използвайте техниката на вземане на логаритъм и последващо диференциране на функционалната зависимост. Когато пределната грешка на косвеното измерване, получена по метода максимум-минимал.

Линеаризацията на оригиналния нелинеен модел улеснява решаването на конкретен изследователски проблем. Следователно, за да се опрости моделирането и изследването, когато е възможно, е желателно да се замени нелинейно уравнениеприближен линеен, чието решение описва свойството на оригиналната нелинейна система с достатъчна степен на точност. Процесът на замяна на нелинеен модел с линеен се нарича линеаризация.

Ако диференциално уравнениеобектът е нелинеен поради нелинейността на статичната му характеристика, тогава за линеаризиране на уравнението е необходимо да се замени нелинейната статична характеристика.

най-често използвани метод на малки отклонения .

Техниката за съставяне на линеаризирани уравнения е фундаментално проста. Математическата обосновка на тази процедура е в изискванията за вида на нелинейността на функцията. За допустимостта на линеаризацията е достатъчно , и съществуват и са непрекъснати в някаква околност на точката ( х 0 , г 0 , u 0). След това линеаризацията се извършва с помощта на разширението в редица на Тейлър на функцията в близост до точката ( х 0 , г 0 , u 0) и отхвърляне на всички нелинейни членове от тази серия. Интуитивно е ясно, че линеаризираният модел, получен с помощта на разширението на серията на Тейлър, може да бъде подходящ за описание на процеси в нелинейна инсталация, които не са свързани с големи промени в променливите в близост до точката ( х 0 , г 0). Грешката на моделиране е толкова по-малка, колкото по-малки са отклоненията на променливите.

По този начин идеята за линеаризация на нелинейни модели е, че вместо (4.42) опростени математически модели, въз основа на факта, че процесите в системата протичат с леко отклонение от някаква така наречена референтна траектория ( х 0 ,u 0 ,г 0), отговарящи на уравненията:

. (4.43)

Тогава можем да напишем приблизително линеаризиран моделпри отклонения от този режим:

, (4.44)

Пример 1.1. Линеаризирайте уравнението на състоянието.

Решение.Ние линеаризираме уравнението на състоянието близо до траекторията, съответстваща на . Имаме , откъдето решавайки това уравнение, получаваме, че или (за ), или .

Разгледайте втория случай (тъй като първият е тривиален):

.

.

В отклонения , линеаризираното уравнение има формата:

. (4.45)

Ако режимът на проектиране е стабилен, т.е. не зависи от времето, тогава коефициентите в (4.44) също не зависят от времето. Такива системи се наричат стационарен.Особено често в практиката има стационарни линейни непрекъснати системи, описани с уравненията:

Ако линеаризацията води до големи грешки, тогава е необходимо да изберете модел, който е линеен по параметри:

където а− матрица на поръчката н´ н; Yе нелинейна векторна функция.

Този клас включва, например, билинейни обекти:

х"=а 1 х+а 2 xi+а 3 u, където а= (а 1 , а 2 , а 3), Y= (x, xu, u).

Това важи и за системи, които са дискретни във времето.

AT

Ориз. 2.2. ATS връзка

В повечето случаи е възможно да се линеаризират нелинейни зависимости, като се използва методът на малките отклонения или вариации. За да го разгледаме, нека се обърнем към определена връзка в системата за автоматично управление (фиг. 2.2). Входните и изходните величини са означени с X 1 и X 2 , а външното смущение е означено с F(t).

Да приемем, че връзката е описана от някакво нелинейно диференциално уравнение от вида

За да съставите такова уравнение, трябва да използвате подходящия клон на техническите науки (например електротехника, механика, хидравлика и т.н.), който изучава този конкретен тип устройство.

Основата за линеаризация е предположението, че отклоненията на всички променливи, включени в уравнението на динамиката на връзката, са достатъчно малки, тъй като точно на достатъчно малък участък криволинейната характеристика може да бъде заменена с прав сегмент. Отклоненията на променливите се измерват в този случай от техните стойности в постоянен процес или в определено равновесно състояние на системата. Нека, например, устойчивият процес се характеризира с постоянна стойност на променливата X 1 , която означаваме като X 10 . В процеса на регулиране (фиг. 2.3) променливата X 1 ще има стойностите където
означава отклонението на променливата X 1 от постоянната стойност на X 10 .

НО

Ориз. 2.3. Процес на регулиране на връзката

въвеждат се данъчни съотношения за други променливи. За разглеждания случай имаме: и
.

След това можете да напишете:
;
и
, защото
и

Всички отклонения се приемат за достатъчно малки. Това математическо предположение не противоречи на физическия смисъл на проблема, тъй като самата идея за автоматично управление изисква всички отклонения на контролираната променлива по време на процеса на управление да бъдат достатъчно малки.

Стационарното състояние на връзката се определя от стойностите на X 10 , X 20 и F 0 . Тогава уравнение (2.1) може да бъде написано за стационарно състояние във формата

Нека разширим лявата страна на уравнение (2.1) в реда на Тейлър

където  са членове по-висок ред. Индексът 0 за частични производни означава, че след като се вземе производната, постоянната стойност на всички променливи трябва да бъде заменена в нейния израз
.

Членовете от по-висок ред във формула (2.3) включват по-високи частни производни, умножени по квадрати, кубове и по-високи степени на отклонения, както и продукти на отклонения. Те ще бъдат малки от по-висок порядък в сравнение със самите отклонения, които са малки от първи порядък.

Уравнение (2.3) е уравнение на динамиката на връзката, точно като (2.1), но написано в различна форма. Нека отхвърлим малките стойности от по-висок порядък в това уравнение, след което изваждаме уравненията за стационарно състояние (2.2) от уравнение (2.3). В резултат на това получаваме следното приблизително уравнение на динамиката на връзката при малки отклонения:

В това уравнение всички променливи и техните производни влизат линейно, тоест на първа степен. Всички частни производни са някои постоянни коефициенти в случай, че се изследва система с постоянни параметри. Ако системата има променливи параметри, тогава уравнение (2.4) ще има променливи коефициенти. Нека разгледаме само случая на постоянни коефициенти.

Получаването на уравнение (2.4) е целта на извършената линеаризация. В теорията на автоматичното управление е обичайно да се пишат уравненията на всички връзки, така че изходната стойност да е от лявата страна на уравнението, а всички други членове да се прехвърлят от дясната страна. В този случай всички членове на уравнението се разделят на коефициента при изходната стойност. В резултат на това уравнение (2.4) приема формата

където е въведена следната нотация

. (2.6)

Освен това, за удобство е обичайно всички диференциални уравнения да се записват в операторна форма с нотацията

Тогава диференциалното уравнение (2.5) може да се запише във вида

Този запис ще се нарича стандартна форма на уравнението на динамиката на връзката.

Коефициентите T 1 и T 2 имат размерността на времето - секунди. Това следва от факта, че всички членове в уравнение (2.8) трябва да имат една и съща размерност и например размерността (или px 2) се различава от размерността на x 2 за секунда на минус първа степен (
). Следователно коефициентите T 1 и T 2 се наричат времеви константи .

Коефициентът k 1 има размерността на изходната стойност, разделена на размерността на входа. Нарича се предавателно отношение връзка. За връзки, чиито изходни и входни стойности имат една и съща размерност, се използват и следните термини: печалба - за връзка, която е усилвател или има усилвател в състава си; предавателно число - за скоростни кутии, делители на напрежение, мащабиращи устройства и др.

Коефициентът на предаване характеризира статичните свойства на връзката, тъй като е в стабилно състояние
. Следователно той определя стръмността на статичната характеристика при малки отклонения. Ако изобразим цялата реална статична характеристика на връзката
, тогава линеаризацията дава
или
. Коефициентът на предаване k 1 ще бъде тангенса на наклона допирателна в тази точка C (виж фиг. 2.3), от която се измерват малки отклонения x 1 и x 2.

От фигурата се вижда, че горната линеаризация на уравнението е валидна за процеси на управление, които обхващат такъв участък от характеристиката АВ, на който тангентата се различава малко от самата крива.

В допълнение, друг, графичен метод на линеаризация следва от това. Ако са известни статичната характеристика и точката C, която определя стационарното състояние, около което протича процесът на регулиране, тогава коефициентът на предаване в уравнението на връзката се определя графично от чертежа съгласно зависимостта k 1 = tg като се вземе предвид мащабът на чертежа и размерите x 2. В много случаи метод на графична линеаризация се оказва по-удобен и води до целта по-бързо.

Размерът на коефициента k 2 е равен на размерът на усилването k 1, умножено по времето. Следователно уравнение (2.8) често се записва във формата

където
е времевата константа.

П

Ориз. 2.4. Мотор с независимо възбуждане

времеконстантите T1, T2 и T3 определят динамичните свойства на връзката. Този въпрос ще бъде разгледан подробно по-долу.

Коефициентът k 3 е усилването за външно смущение.

Като пример за линеаризация, помислете за електродвигател, управляван от страната на веригата на възбуждане (фиг. 2.4).

За да намерим диференциално уравнение, което свързва увеличението на скоростта с увеличението на напрежението върху възбуждащата намотка, ние записваме закона за равновесие на електродвижещите сили (emf) във веригата на възбуждане, закона за равновесие на emf във веригата на котвата и закона на равновесие на моментите на вала на двигателя:

;

.

Във второто уравнение, за простота, членът, съответстващ на самоиндукционната емф в веригата на котвата, е пропуснат.

В тези формули R B и R I са съпротивленията на веригата на възбуждане и веригата на котвата; І В и І Я - токове в тези вериги; U V и U I са напреженията, приложени към тези вериги;  V е броят на навивките на възбудителната намотка; Ф – магнитен поток; Ω е ъгловата скорост на въртене на вала на двигателя; M е моментът на съпротивление от външни сили; J е намаленият инерционен момент на двигателя; C E и C M - коефициенти на пропорционалност.

Да приемем, че преди появата на нарастване на напрежението, приложено към възбуждащата намотка, е имало стабилно състояние, за което уравненията (2.10) ще бъдат записани, както следва:

(2.11)

Ако сега напрежението на възбуждане получи увеличение U B = U B0 + ΔU B, тогава всички променливи, които определят състоянието на системата, също ще получат увеличение. В резултат на това ще имаме: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Заместваме тези стойности в (2.10), изхвърляме малките от по-висок порядък и получаваме:

(2.12)

Изваждайки уравнения (2.11) от уравнения (2.12), получаваме система от уравнения за отклонения:

(2.13)

AT

Ориз. 2.5. Крива на намагнитване

тези уравнения въвеждат коефициента на пропорционалност между увеличението на потока и увеличението на тока на възбуждане
определена от кривата на намагнитване на електродвигателя (фиг. 2.5).

Съвместното решение на система (2.13) дава

където е коефициентът на трансфер, ,

; (2.15)

електромагнитна времева константа на веригата на възбуждане, s,

(2.16)

където L B = a B е динамичният коефициент на самоиндукция на веригата на възбуждане; електромагнитна времева константа на двигателя, s,

. (2.17)

От изразите (2.15) - (2.17) може да се види, че разглежданата система е по същество нелинейна, тъй като коефициентът на предаване и "константата" на времето всъщност не са постоянни. Те могат да се считат за постоянни само приблизително за определен режим, при условие че отклоненията на всички променливи от стационарните стойности са малки.

Интересен е частният случай, когато в стационарно състояние U B0 = 0; I B0 = 0; Ф 0 = 0 и Ω 0 = 0. Тогава формула (2.14) приема вида

. (2.18)

В този случай статичната характеристика ще се отнася до увеличаването на ускорението на двигателя
и нарастване на напрежението във веригата на възбуждане.