ИЗМЕРВАНЕ НА ПЛОЩТА НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ.

§ 58. ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА 1 .

__________
1 Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр.н.е.).
_________

Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни а, bи с(dev. 267).

Нека изградим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно а 2 , b 2 и с 2. Нека докажем това с 2 = а 2 +б 2 .

Да построим два квадрата MKOR и M"K"O"R" (фиг. 268, 269), като за страна на всеки от тях вземем отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълен триъгълник ABC.

След като завършим конструкциите, показани на чертежи 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи а 2 и b 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M"K"O"R" е разделен на четириъгълник (защрихован е на чертеж 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. с) и ъглите са прави / 1 + / 2 = 90°, откъдето / 3 = 90°).

По този начин сумата от площите на квадратите, изградени върху краката (на чертеж 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата от площите на четири равни триъгълника и площта на ​квадратът, построен върху хипотенузата (на чертеж 269 този квадрат също е защрихован) е равен на площта на квадрата M "K" O "R", равен на квадрата MKOR, без сумата от площите на четири подобни триъгълника. Следователно площта на квадрата, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху краката.

Получаваме формулата с 2 = а 2 +б 2, където с- хипотенуза, аи b- катети на правоъгълен триъгълник.

Питагоровата теорема може да се обобщи по следния начин:

Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.

От формулата с 2 = а 2 +б 2 можете да получите следните формули:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Тези формули могат да се използват за намиране на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник при дадени две от страните му.
Например:

а) ако са дадени крака а= 4 см, b\u003d 3 cm, тогава можете да намерите хипотенузата ( с):
с 2 = а 2 +б 2 , т.е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето с= √25 =5 (cm);

б) ако е дадена хипотенузата с= 17 см и крак а= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( b):

b 2 = с 2 - а 2 , т.е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откъдето b= √225 = 15 (cm).

Последица: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза си с 1 са равни, а катетът bтриъгълник ABC е по-голям от катета b 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,
след това крака атриъгълник ABC по-малко от катета а 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 . (Направете чертеж, илюстриращ това следствие.)

Наистина, въз основа на Питагоровата теорема получаваме:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В написаните формули умалените са равни и изваждаемото в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,
т.е. а 2 < а 12 . Където а< а 1 .

Упражнения.

1. Използвайки чертеж 270, докажете Питагоровата теорема за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

2. Единият катет на правоъгълен триъгълник е 12 см, другият е 5 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, единият катет е 8 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 37 см, единият му катет е 35 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

5. Построете квадрат два пъти по-голям от дадения.

6. Построете квадрат, два пъти по-голям от дадения. Инструкция.Задръж даден квадратдиагонали. Квадратите, построени върху половините на тези диагонали, ще бъдат желаните.

7. Катетите на правоъгълен триъгълник са съответно 12 см и 15 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник с точност до 0,1 см.

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 20 см, единият му катет е 15 см. Изчислете дължината на другия катет с точност до 0,1 см.

9. Колко дълга трябва да бъде стълбата, за да може да се прикрепи към прозорец, разположен на височина 6 м, ако долният край на стълбата трябва да е на 2,5 м от сградата? (По дяволите. 271.)

В едно можете да сте сигурни на сто процента, че когато го попитат колко е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на катетите“. Тази теория е здраво насадена в съзнанието на всички. образован човек, но е достатъчно просто да помолите някой да го докаже и тогава може да възникнат трудности. Така че нека си спомним и помислим различни начинидоказателство на Питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на Питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което всъщност и направи.

Раждането на една теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал своята велика теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно са правили своите изчисления древните гърци, затова тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: "В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата."

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо да определим какво имаме. Тези данни ще се отнасят и за други начини за доказване на Питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични нотации.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият метод на доказателство се основава на факта, че трябва да се начертае квадрат от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да начертаете отсечка, равна на крака, към дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се окажат две равни страни на квадрата. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и sv трябва да начертаете два успоредни сегмента, равни на c. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да начертаете четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 av.

Следователно площта е: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Втори метод: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на Питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела на геометрията за подобни триъгълници. В него се казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната стойност, пропорционална на неговата хипотенуза и сегмента на хипотенузата, излизащ от върха на ъгъл от 90o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение катетите на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 \u003d AB * DV

Сега трябва да съберем получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV \u003d AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателство на Питагоровата теорема и различни начининейните решения изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теоремата през г древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да начертаете квадрат и да начертаете по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като на хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на краката, това показва верността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема, известна фраза: "Питагоровите панталони са равни във всички посоки."

Доказателство от J. Garfield

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в държавно училище, но скоро става директор на една от най-високите образователни институции. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказателство на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да начертаете два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

За Питагоровата теорема и как да я докажем може да се напише повече от един том учебно ръководство. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност използвайте Питагоровата теорема във вашия Ежедневиетовсеки може. И не само в професионална дейностно и в нормалните домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека наречем T. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се премести от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка С. За да намерите половината от разстоянието, което точка А е изместила, трябва да умножите скорост на лайнера с половината от времето за пътуване на лъча (t ").

И за да намерите колко далеч може да измине един светлинен лъч през това време, трябва да посочите половината от пътя на новите букове и да получите следния израз:

Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената обвивка, са върховете равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка А до лайнера ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространи сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, откриваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на килера, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира към стената. Следователно, страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височината, така и по диагонала на помещението.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - всичко се събира.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини повреда на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълно илюстрирано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

В задачите прав ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите как да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в такива

и в такива

Какво е добро за правоъгълен триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: крака - два, а хипотенузата - само един(единствен, неповторим и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава донесе много ползи на онези, които го познават. А най-хубавото в нея е, че е проста.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме тези много питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Наистина ли прилича на шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема, по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площ на квадратите, построен върху краката, е равен на квадратна площпостроен върху хипотенузата.

Не звучи ли малко по-различно, нали? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, се получи точно такава картина.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да запомнят децата по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли тази шега за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало ... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да запомнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Е, най-важната теорема за правоъгълен триъгълник беше обсъдена. Ако се интересувате как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да продължим ... в тъмната гора ... на тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "истинското" определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположният крак (за ъгъла)? Разбира се, че има! Това е катет!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, котката. И така, за ъгъла катетът е съседен и

А сега внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е страхотен:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да го изразя с думи сега? Какъв е кракът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А катетът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво получихме?

Вижте как числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направи размяната:

Резюме

Нека накратко запишем какво сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълния триъгълник е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катетите и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - опреснете знанията си

Възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна. Как ще го докажеш? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате ли колко хитро разделихме страните му на сегменти с дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малката площ? Разбира се, . Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че сме взели две от тях и сме ги облегнали една на друга с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположния катет към съседния катет.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към противоположния катет.

И отново всичко това под формата на чиния:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са "съответстващи". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът беше съседен, или в двата - срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Погледнете темата "и обърнете внимание на факта, че за равенството на "обикновените" триъгълници е необходимо равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответстващи елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация със знаци за сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. Остър ъгъл

II. На два крака

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се случи така

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се спечели от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която около трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНАТА ОКРУЖНА. И какво стана?

Така че нека започнем с това "освен...".

Нека да разгледаме i.

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първа формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново.

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• на два крака:
• по крака и хипотенузата: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на двата крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник, медианата, изтеглена от върха прав ъгъл, е равно на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през катетри:

Анимирано доказателство на Питагоровата теорема е едно от фундаменталентеореми на евклидовата геометрия, установяващи връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Смята се, че е доказана от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена (има и други версии, по-специално алтернативно мнение, че тази теорема е в общ изгледе формулиран от питагорейския математик Хипас).
Теоремата казва:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника ° С,и дължините на краката като аи б,получаваме следната формула:

По този начин теоремата на Питагор установява връзка, която ви позволява да определите страната на правоъгълен триъгълник, като знаете дължините на другите две. Питагоровата теорема е специален случай на косинусовата теорема, която определя връзката между страните на произволен триъгълник.
Обратното твърдение също е доказано (наричано още обратна теорема на Питагор):

За всеки три положителни числа a, b и c, така че a ? +b? = c ?, има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Визуално доказателство за триъгълника (3, 4, 5) от Чу Пей 500-200 г. пр.н.е. Историята на теоремата може да бъде разделена на четири части: знания за Числата на Питагор, знания за отношението на страните в правоъгълен триъгълник, знания за отношението на съседните ъгли и доказателство на теоремата.
Мегалитни структури около 2500 г. пр.н.е в Египет и Северна Европа съдържат правоъгълни триъгълници с цели страни. Бартел Лендерт ван дер Ваерден предположи, че в онези дни числата на Питагор са били намирани алгебрично.
Написана между 2000 и 1876 г. пр.н.е папирус от Средното царство на Египет Берлин 6619съдържа задача, чието решение са числата на Питагор.
По време на управлението на Хамурапи Велики, вивилонска плоча Плимптън 322,написана между 1790 и 1750 г. пр. н. е. съдържа много записи, тясно свързани с числата на Питагор.
В Будхаяна сутрите, които датират от различни версии 8 или 2 век пр.н.е в Индия, съдържа питагорови числа, извлечени алгебрично, формулировка на питагоровата теорема и геометрично доказателство за равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Сутрите на Апастамба (около 600 г. пр. н. е.) съдържат числено доказателство на Питагоровата теорема, използвайки изчисления на площ. Ван дер Ваерден смята, че се основава на традициите на своите предшественици. Според Алберт Бурко това е оригиналното доказателство на теоремата и той предполага, че Питагор е посетил Аракони и го е копирал.
Питагор, чиито години на живот обикновено се посочват 569 - 475 г. пр.н.е. използва алгебрични методиизчисляване на числата на Питагор, според коментарите на Проклов за Евклид. Прокъл обаче е живял между 410 и 485 г. сл. Хр. Според Томас Гизе пет века след Питагор няма индикация за авторство на теоремата. Въпреки това, когато автори като Плутарх или Цицерон приписват теоремата на Питагор, те го правят така, сякаш авторството е широко известно и сигурно.
Около 400 г. пр.н.е Според Прокъл Платон е дал метод за изчисляване на питагорейските числа, съчетаващ алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е., в НаченкиЕвклид, имаме най-старото аксиоматично доказателство, оцеляло до днес.
Написано някъде между 500 г. пр.н.е. и 200 г. пр.н.е., китайската математическа книга "Чу Пей" (? ? ? ?), дава визуално доказателство на Питагоровата теорема, която в Китай се нарича теорема гугу (????), за триъгълник със страни (3 , 4, 5). По време на управлението на династия Хан, от 202 г. пр.н.е. преди 220 г. сл. Хр Числата на Питагор се появяват в книгата "Девет раздела на математическото изкуство" заедно със споменаването на правоъгълни триъгълници.
Използването на теоремата е документирано за първи път в Китай, където е известна като теоремата на гугу (????), и в Индия, където е известна като теоремата на Баскар.
Мнозина спорят дали Питагоровата теорема е открита веднъж или многократно. Boyer (1991) вярва, че знанието, открито в Shulba Sutra, може да е от месопотамски произход.
Алгебрично доказателство
От четири правоъгълни триъгълника се образуват квадрати. Известни са повече от сто доказателства на Питагоровата теорема. Тук доказателствата се основават на теоремата за съществуване на площта на фигура:

Поставете четири еднакви правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сумата от две остри ъгли, А развитият ъгъл е .
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна "a + b", а от друга - на сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат .

Което трябва да се докаже.
По сходството на триъгълниците
Използване на подобни триъгълници. Позволявам ABCе правоъгълен триъгълник, в който ъгълът ° Справ, както е показано на снимката. Нека начертаем височина от точка ° С,и се обади зточка на пресичане със страна AB.Оформен триъгълник ACHкато триъгълник abc,тъй като и двете са правоъгълни (по дефиниция на височина) и споделят ъгъл а,очевидно третият ъгъл ще бъде същият и в тези триъгълници. По същия начин mirkuyuyuchy, триъгълник CBHсъщо подобен на триъгълник ABC.От подобието на триъгълници: Ако

Това може да се запише като

Ако съберем тези две равенства, получаваме

HB + c по AH = c по (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

С други думи, Питагоровата теорема:

Доказателството на Евклид
Доказателство на Евклид в Евклидовите "Принципи", Питагоровата теорема, доказана чрез метода на успоредниците. Позволявам А, Б, Ввърхове на правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл А.Пуснете перпендикуляр от точка Акъм страната срещу хипотенузата в квадрат, построен върху хипотенузата. Линията разделя квадрата на два правоъгълника, всеки от които има същата площ като квадратите, построени върху краката. основна идеядоказателството се състои в превръщането на горните квадрати в успоредници със същата площ и след това връщане и превръщане в правоъгълници в долния квадрат и отново със същата площ.

Нека начертаем сегменти CFи AD,получаваме триъгълници BCFи ИАЛ.
ъгли ТАКСИи ЧАНТА- права; точки С, Аи Жса колинеарни. Същия начин Б, Аи з.
ъгли CBDи FBA- двете са прави, след това ъгълът ABDравен на ъгъла fbc,тъй като и двете са сбор от прав ъгъл и ъгъл ABC.
Триъгълник ABDи FBCниво от двете страни и ъгъла между тях.
Тъй като точките А, Ки Л– колинеарно, площта на правоъгълника BDLK е равна на две области на триъгълника ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
По същия начин получаваме CKLE = ACIH = AC 2
От едната страна площта CBDEравна на сумата от площите на правоъгълниците BDLKи CKLE,от друга страна, площта на квадрата BC2,или AB 2 + AC 2 = пр.н.е. 2.

Използване на диференциали
Използването на диференциали. До Питагоровата теорема може да се стигне, като се проучи как нарастването на страната влияе върху дължината на хипотенузата, както е показано на фигурата вдясно, и се приложат малко изчисления.
В резултат на растежа на страната а,от подобни триъгълници за безкрайно малки нараствания

Интегрирането получаваме

Ако а= 0 тогава ° С = б,така че "константата" е б 2.Тогава

Както може да се види, квадратите се дължат на съотношението между увеличенията и страните, докато сумата е резултат от независимия принос на увеличенията на страните, което не е видно от геометричните доказателства. В тези уравнения даи dcса съответно безкрайно малки увеличения на страните аи ° С.Но вместо тях използваме? аи? ° С,тогава границата на съотношението, ако клонят към нула, е да / DC,производна, и също е равно на ° С / а,съотношението на дължините на страните на триъгълниците, в резултат на което получаваме диференциално уравнение.
В случай на ортогонална система от вектори има равенство, което се нарича още Питагорова теорема:

Ако - Това са проекциите на вектор върху координатните оси, тогава тази формула съвпада с евклидовото разстояние и означава, че дължината на вектора е равна на корен квадратен от сумата от квадратите на неговите компоненти.
Аналог на това равенство в случая безкрайна системавектори се нарича равенство на Парсевал.

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естествения научен анализ, практическия подход и сухия език на формули и числа. Математиката не може да се класифицира като хуманитарен предмет. Но без творчество в "кралицата на всички науки" няма да стигнете далеч - хората знаят за това отдавна. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат с теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишетата и елементарните истини – само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде забавна. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, но и за всички, които са силни умом и духом.

Из историята на проблема

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича "Питагоровата теорема", самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са били изучавани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друга доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Известно е само, че доказателството на Питагор, ако изобщо е съществувало, не е оцеляло. Въпреки това има предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор, а Евклид само го е записал.

Днес също така е известно, че задачи за правоъгълен триъгълник се намират в египетски източници от времето на фараон Аменемхет I, върху вавилонски глинени плочки от царуването на цар Хамурапи, в древния индийски трактат Сулва сутра и древния китайски труд Джоу -би суан джин.

Както можете да видите, Питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Приблизително 367 различни доказателства, които съществуват днес, служат като потвърждение. Никоя друга теорема не може да се конкурира с нея в това отношение. Известни автори на доказателства включват Леонардо да Винчи и 20-ия президент на Съединените щати Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето от теоремите на геометрията произлизат от нея или по един или друг начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

AT училищни учебницидават главно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо да разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има причина да се смята, че именно такъв триъгълник първоначално е бил разглеждан от древните математици.

Изявление "квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху неговите катети"може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. И на краката AB и BC, построени върху квадрат, всеки от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на множество анекдоти и карикатури, посветени на теоремата на Питагор. Може би най-известният е "Питагоровите панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се разглежда като вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни a, b и c(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сумата от дължините на двата крака - (a+b). Във всеки от квадратите направете конструкции, както на фигури 2 и 3.

В първия квадрат изградете четири от същите триъгълници като на фигура 1. В резултат на това се получават два квадрата: един със страна a, вторият със страна b.

Във втория квадрат построените четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сумата от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равна на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери чрез изчисляване на площите на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на Фигура 3. чрез изваждане на площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата, от площта на голям квадрат със страна (a+b).

Записвайки всичко това, имаме: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Разгънете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и получете това a 2 + b 2 = a 2 + b 2. В същото време площта на вписаната на фиг.3. квадрат може да се изчисли и по традиционната формула S=c2. Тези. a2+b2=c2Вие доказахте Питагоровата теорема.

Доказателство 3

Същото древноиндийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Венецът на знанието“ („Siddhanta Shiromani“), а като основен аргумент авторът използва апел, отправен към математическите таланти и наблюдателността на учениците и последователи: “Виж!”.

Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата изградете четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Означена е страната на големия квадрат, която е и хипотенузата с. Нека наречем краката на триъгълника аи b. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (a-b).

Използвайте формулата за квадратна площ S=c2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площите на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции, за да изчислите площта на квадрат, за да сте сигурни, че дават същия резултат. И това ви дава правото да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c2=a2+b2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство се нарича "Столът на булката" - заради подобната на стол фигура, която е резултат от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фигура 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, прехвърлите ги в противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепите хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „булката стол” (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще видите, че "столът на булката" е оформен от два квадрата: малки със страна bи голяма със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и на нас след тях да стигнем до извода, че c2=a2+b2.

Доказателство 5

Това е друг начин да се намери решение на Питагоровата теорема въз основа на геометрията. Нарича се метод Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи изградете сегмент CD, което е равно на крака AB. Долен перпендикуляр ADлинейна отсечка ЕД. Сегменти ЕДи ACса равни. Свържи точките ди AT, както и ди ОТи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече сме тествали: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да се направи чрез добавяне на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях ERU, е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Нека също не забравяме това AB=CD, AC=EDи BC=CE- това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварваме. Така, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛОе трапец. Следователно изчисляваме неговата площ по формулата: SABED=(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента ADкато сбор от отсечките ACи CD.

Нека запишем и двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ние използваме равенството на сегментите, което вече ни е известно и описано по-горе, за да опростим правилната страназаписи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. И сега отваряме скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършим всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Теоремата на Питагор може да се докаже и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физиците: ако например течността се излее в квадратни и триъгълни обеми, подобни на тези, показани на чертежите. Чрез изливане на течност е възможно да се докаже равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за Питагоровите тройки

Този въпрос е малко или не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и има голямо значениев геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много задачи по математика. Идеята за тях може да ви бъде полезна в по-нататъшното обучение.

И така, какво представляват Питагоровите тройки? Така викат цели числа, събрани по тройки, сумата от квадратите на две от които е равна на третото число в квадрата.

Питагоровите тройки могат да бъдат:

• примитивни (и трите числа са относително прости);
• непримитивни (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагоровите тройки: в задачите те са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни 3,4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от тройката на Питагор, е правоъгълен по подразбиране.

Примери за питагорови тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Теоремата на Питагор намира приложение не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, за конструкцията: Питагоровата теорема намира широко приложение в нея при проблеми различни ниватрудности. Например, погледнете романския прозорец:

Нека обозначим ширината на прозореца като b, тогава радиусът на големия полукръг може да се означи като Ри изразете чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полуокръжности също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В този проблем се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (да го наречем стр).

Теоремата на Питагор просто е полезна за изчисляване Р. За да направим това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: b/4+p. Единият катет е радиус б/4, друг b/2-p. Използвайки Питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И след това разделяме всички термини на b, даваме подобни за получаване 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- което ни трябваше.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко висока трябва да бъде мобилната кула, за да може сигналът да достигне определена точка местност. И дори стабилно инсталиране коледна елхана градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

Що се отнася до литературата, Питагоровата теорема е вдъхновявала писатели от древността и продължава да го прави и днес. Например, немски писателдеветнадесети век Аделберт фон Шамисо, тя вдъхновява написването на сонет:

Светлината на истината няма скоро да се разсее,
Но след като блесна, едва ли ще се разсее
И както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнения и спорове.

Най-мъдрият, когато докосне окото
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, намушкани, лъжат -
Обратният подарък на щастливия Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги възбуди племето на биковете
събитие, споменато тук.

Те смятат, че е време
И отново ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката” посвети цяла глава на доказателствата на Питагоровата теорема. И половин глава от история за двуизмерен свят, който би могъл да съществува, ако Питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един свят. Би било много по-лесно да се живее в него, но и много по-скучно: например там никой не разбира значението на думите „кръгъл“ и „пухкав“.

А в книгата „Приключенията на електрониката” авторът, през устата на учителя по математика Таратара, казва: „Основното нещо в математиката е движението на мисълта, новите идеи.” Именно този творчески полет на мисълта генерира Питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага да надхвърлите обичайното и да погледнете познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия е създадена, за да можете да погледнете отвъд училищна програмапо математика и да научите не само онези доказателства на Питагоровата теорема, които са дадени в учебниците „Геометрия 7-9“ (Л. С. Атанасян, В. Н. Руденко) и „Геометрия 7-11“ (А. В. Погорелов), но и други любопитни начини за доказване известната теорема. А също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да поискате по-високи резултати в часовете по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо ценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите как е математиката интересна наука. Да се ​​убеди с конкретни примери, че в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да направите свои собствени изследвания и вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали намирате доказателствата, представени в статията, за интересни. Намирате ли тази информация за полезна в обучението си? Кажете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко с вас.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.